2026年人教版中考数学二轮复习：相交线与平行线（含答案）
文档属性
| 名称 | 2026年人教版中考数学二轮复习：相交线与平行线（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-06 00:00:00 | ||
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文档简介
2026年中考数学二轮复习之相交线与平行线
一．选择题（共10小题）
1．（2026 碑林区校级模拟）如图，AB∥CD，EB平分∠FED，若∠1＝36°，则∠2的度数为（ ）
A．108° B．106° C．100° D．96°
2．（2025 河南）如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
3．（2025 天涯区模拟）如图，直线a∥b，将三角尺的直角顶点放在直线b上，若∠1＝35°，则∠2等于（ ）
A．45° B．55° C．35° D．65°
4．（2025 湖里区模拟）如图，AB∥CD，∠A＝37°，∠C＝65°，那么∠F等于（ ）
A．28° B．63° C．37° D．60°
5．（2025 连州市三模）如图，已知直线m∥n，∠1＝140°，∠2＝30°，则∠3度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
6．（2025 城北区校级模拟）如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB＝20°，∠FED＝60°，则∠GFH的度数为（ ）
A．20° B．40° C．60° D．80°
7．（2025 江阳区模拟）某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中，当∠ABC＝150°时，∠BCD的度数为（ ）
A．110° B．120° C．130° D．150°
8．（2025 碑林区校级四模）如图，直线m∥n，直尺ABCD的顶点A、D分别落在直线m和直线n上，BC与直线n交于点P，若∠1＝30°，则∠BPD的度数为（ ）
A．120° B．150° C．135° D．130°
9．（2025 扬州一模）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数为（ ）
A．130° B．140° C．150° D．160°
10．（2025 东莞市二模）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知AB∥DE，AD∥EF，∠BCE＝67°，∠CEF＝133°，则∠ADE的度数为（ ）
A．57° B．66° C．67° D．74°
二．填空题（共5小题）
11．（2025 江西模拟）如图，直线a与直线b平行，将三角板的直角顶点放在直线a上，若∠1＝40°，则∠2＝ °．
12．（2025 商河县一模）如图，直线a∥b，∠1＝75°，∠2＝35°，则∠3的度数是 ．
13．（2025 芗城区校级模拟）相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．如图所示的风筝骨架中，AB∥CD，若∠1＝141°，则∠2＝ ．
14．（2025 海州区校级模拟）一副直角三角尺如图摆放，点D在BC的延长线上，EF∥BC，则∠CED的度数是 ．
15．（2025 新抚区四模）光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线AB与表示水底的直线CD平行，光线EF从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，FH是EF的延长线，若∠1＝42°，∠2＝16°，则∠CGF的度数是 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 巴中）如图，已知∠1＝40°，∠B＝50°，AB⊥AC，AD＝BC．
（1）求证：AD∥BC；
（2）求∠D的度数．
17．（2025 洞口县校级模拟）如图，点D，H分别在AB，AC上，点E，F都在BC上，DE交FH于点G，AG平分∠BAC，∠BED＝∠C，∠1+∠2＝90°．
（1）求证：FH⊥DE；
（2）若∠3＝∠4，∠BAC＝68°，求∠DFH的度数．
18．（2025 武威校级模拟）已知AB∥CD，点E在BD连线的右侧，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F．
（1）如图1，若∠1＝65°，∠2＝75°，求∠F的度数．
（2）求证：∠E+2∠F＝360°．
（3）如图2，若∠E＝m°，∠PBF＝n∠ABP，∠PDF＝n∠CDP，求∠P的度数（用m，n的代数式表示）．
19．（2025 长安区校级模拟）如图，三条直线AB，CD，EF相交于点O，且CD⊥EF，∠AOE＝70°，若OG平分∠BOF．求∠DOG的度数．
20．（2025 南昌二模）近年来，中国机器狗技术发展迅速．图1是某一型号的机器狗正常站立时的实物图，图2是它的侧面示意图，机身AD，大腿AB，DE和小腿BC，EF在它们之间的连接处可以转动调节姿态，调节过程中，机身、大腿、小腿的长度都不会发生变化，但位置、及以各接口处为顶点的角的大小可能发生改变．经测量，AD＝40cm，AB＝DE＝BC＝EF＝20cm．
（1）当机器狗处于正常站立时，机身AD平行于地面CF，∠ABC＝∠DEF＝120°，机器狗的高度可以看成A，C两点间的距离，求此时机器狗的高度．
（2）图3是机器狗坐下时的实物图，图4是其侧面示意图，此时，小腿EF紧贴地面，AB∥DE，BC∥EF，只调节机身AD与小腿EF所在直线形成的锐角，当其超过65°时，机器狗需要重新调整其他部分参数，才能坐得稳．请你通过推理计算，判断当BC与EF之间的距离为时，要使其坐得稳，该机器狗是否需要调整其他部分参数．
2026年中考数学二轮复习之相交线与平行线
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2026 碑林区校级模拟）如图，AB∥CD，EB平分∠FED，若∠1＝36°，则∠2的度数为（ ）
A．108° B．106° C．100° D．96°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】A
根据平行线的性质进行计算即可．
【解答】解：如图所示，
∵EB平分∠FED，且∠1＝36°，
∴∠FED＝2∠1＝72°，
∴∠3＝180°﹣∠FED＝108°．
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝108°．
故选：A．
本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
2．（2025 河南）如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【考点】对顶角、邻补角．
【专题】正多边形与圆．
【答案】C
由量角器可知，∠1＝120°，再利用对顶角相等求解即可．
【解答】解：如图，延长BO，
由量角器可知，∠AOD＝120°，
∴∠BOC＝∠AOD＝120°，
即所量内角的度数为120°，
故选：C．
本题考查了量角器，对顶角，正确读出量角器度数是解题关键．
3．（2025 天涯区模拟）如图，直线a∥b，将三角尺的直角顶点放在直线b上，若∠1＝35°，则∠2等于（ ）
A．45° B．55° C．35° D．65°
【考点】平行线的性质．
【专题】常规题型．
【答案】B
根据平角的定义求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2＝∠3．
【解答】解：如图，∵∠1＝35°，
∴∠3＝180°﹣35°﹣90°＝55°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝55°．
故选：B．
本题考查了平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
4．（2025 湖里区模拟）如图，AB∥CD，∠A＝37°，∠C＝65°，那么∠F等于（ ）
A．28° B．63° C．37° D．60°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
过F作FK∥AB，得到FK∥CD，推出∠AFK＝∠A＝37°，∠EFK＝∠C＝65°，即可求出∠AFE的度数．
【解答】解：过F作FK∥AB，
∵AB∥CD，
∴FK∥CD，
∴∠AFK＝∠A＝37°，∠EFK＝∠C＝65°，
∴∠AFE＝∠EFK﹣∠AFK＝28°．
故选：A．
本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠AFK＝∠A，∠EFK＝∠C．
5．（2025 连州市三模）如图，已知直线m∥n，∠1＝140°，∠2＝30°，则∠3度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
由平行线的性质推出∠5+∠4＝180°，由对顶角的性质得到∠4＝∠1＝140°，求出∠5＝40°，由三角形的外角性质得到∠3＝∠2+∠5＝70°．
【解答】解：∵m∥n，
∴∠5+∠4＝180°，
∵∠4＝∠1＝140°，
∴∠5＝40°，
∵∠2＝30°，
∴∠3＝∠2+∠5＝70°．
故选：B．
本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠5+∠4＝180°．
6．（2025 城北区校级模拟）如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB＝20°，∠FED＝60°，则∠GFH的度数为（ ）
A．20° B．40° C．60° D．80°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】B
先利用平行线的性质可得∠FED＝∠GFB＝60°，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：∵AB∥CD，∠FED＝60°，
∴∠FED＝∠GFB＝60°，
∵∠HFB＝20°，
∴∠GFH＝∠GFB﹣∠HFB＝40°，
故选：B．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
7．（2025 江阳区模拟）某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中，当∠ABC＝150°时，∠BCD的度数为（ ）
A．110° B．120° C．130° D．150°
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
过点B作BG∥AE，则AE∥CD∥BG，由两直线平行，同旁内角互补推出∠BAE+∠ABG＝180°，∠BCD+∠CBG＝180°，再由垂直的定义得到∠BAE＝90°，结合∠ABC＝150°，即可求解．
【解答】解：如图，过点B作BG∥AE，
∵AE∥CD，
∴AE∥CD∥BG，
∴∠BAE+∠ABG＝180°，∠BCD+∠CBG＝180°，
∵BA⊥AE，
∴∠BAE＝∠ABG＝90°，
又∵∠ABC＝150°，
∴∠CBG＝∠ABC﹣∠ABG＝150°﹣90°＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣∠CBG＝180°﹣60°＝120°，
故选：B．
本题主要考查了平行线的性质与判定，熟记平行线的性质与判定是解题的关键．
8．（2025 碑林区校级四模）如图，直线m∥n，直尺ABCD的顶点A、D分别落在直线m和直线n上，BC与直线n交于点P，若∠1＝30°，则∠BPD的度数为（ ）
A．120° B．150° C．135° D．130°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】B
在图中标记字母M，N，由BM∥DP，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出∠BPN的度数，结合∠BPN与∠BPD互补，即可求出∠BPD的度数．
【解答】解：在图中标记字母M，N，如图所示．
∵BM∥DP，∠1＝30°，
∴∠BPN＝∠1＝30°．
∵∠BPN与∠BPD互补，
∴∠BPD＝180°﹣30°＝150°．
故选：B．
本题主要考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
9．（2025 扬州一模）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数为（ ）
A．130° B．140° C．150° D．160°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
过∠2顶点作直线l∥支撑平台，直线l将∠2分成两个角即∠4、∠5，根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：如图所示，过∠2顶点作直线l∥支撑平台，直线l将∠（2分）成两个角∠4和∠5，
∵工作篮底部与支撑平台平行、直线l∥支撑平台，
∴直线l∥支撑平台∥工作篮底部，
∴∠1＝∠4＝30°、∠5+∠3＝180°，
∵∠4+∠5＝∠2＝50°，
∴∠5＝50°﹣∠4＝20°，
∴∠3＝180°﹣∠5＝160°，
故选：D．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
10．（2025 东莞市二模）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知AB∥DE，AD∥EF，∠BCE＝67°，∠CEF＝133°，则∠ADE的度数为（ ）
A．57° B．66° C．67° D．74°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
根据两直线平行，内错角相等得出∠BCE＝∠DEC＝67°，即可求出∠DEF的度数，再根据两直线平行，内错角相等得出∠ADE＝∠DEF＝66°即可．
【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠BCE＝∠DEC，
∵∠BCE＝67°，
∴∠DEC＝67°，
∵∠CEF＝133°，
∴∠DEF＝∠CEF﹣∠DEC＝133°﹣67°＝66°，
∵AD∥EF，
∴∠ADE＝∠DEF＝66°，
故选：B．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 江西模拟）如图，直线a与直线b平行，将三角板的直角顶点放在直线a上，若∠1＝40°，则∠2＝ 50 °．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】50．
根据平行线的性质可得∠2＝∠3，结合∠1+∠3＝90°可求解∠3的度数．
【解答】解：∵a∥b
∴∠2＝∠3，
∵∠1+∠3＝90°，∠1＝40°，
∴∠3＝90°﹣40°＝50°，
∴∠2＝50°．
故答案为50．
本题主要考查平行线的性质，求解∠3的度数是解题的关键．
12．（2025 商河县一模）如图，直线a∥b，∠1＝75°，∠2＝35°，则∠3的度数是 40° ．
【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【答案】40°
根据两直线平行，同位角相等可得∠4＝∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：如图，∵直线a∥b，
∴∠4＝∠1＝75°，
由三角形的外角性质得，∠3＝∠4﹣∠2＝75°﹣35°＝40°．
故答案为：40°．
本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．
13．（2025 芗城区校级模拟）相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．如图所示的风筝骨架中，AB∥CD，若∠1＝141°，则∠2＝ 39° ．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】39°．
先证明∠3＝∠1＝141°，再利用邻补角的含义求解即可．
【解答】解：如图，
∵AB∥CD，∠1＝141°，
∴∠3＝∠1＝141°（两直线平行，内错角相等），
∴∠2＝180°﹣141°＝39°，
即∠2的度数为39°．
故答案为：39°．
本题考查的是平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握．
14．（2025 海州区校级模拟）一副直角三角尺如图摆放，点D在BC的延长线上，EF∥BC，则∠CED的度数是 15° ．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】15°．
根据题意可知∠ACB＝60°，∠DEF＝45°，再利用平行线性质可得∠ACB＝60°＝∠CEF，继而求得本题答案．
【解答】解：∵一副直角三角尺，
∴∠ACB＝60°，∠DEF＝45°，
∵EF∥BC，
∴∠ACB＝60°＝∠CEF（两直线平行，内错角相等），
∴∠CED＝60°﹣45°＝15°，
则∠CED的度数为15°，
故答案为：15°．
本题考查平行线性质，关键是平行线性质的熟练掌握．
15．（2025 新抚区四模）光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线AB与表示水底的直线CD平行，光线EF从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，FH是EF的延长线，若∠1＝42°，∠2＝16°，则∠CGF的度数是 58° ．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】58°
由平行线的性质推出∠CGF+∠AFG＝180°，由平角定义得到∠2+∠1+∠AFG＝180°，于是得到∠CGF＝∠1+∠2＝42°+I6°＝58°．
【解答】解∵AB∥CD，
∴∠CGF+∠AFG＝180°，
∵∠2+∠1+∠AFG＝180°，
∴∠CGF＝∠1+∠2＝42°+I6°＝58°．
故答案为：58°．
本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠CGF+∠AFG＝180°．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 巴中）如图，已知∠1＝40°，∠B＝50°，AB⊥AC，AD＝BC．
（1）求证：AD∥BC；
（2）求∠D的度数．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】（1）∵AB⊥AC，∠B＝50°，
∴∠ACB＝90°﹣50°＝40°．
又∵∠1＝40°，
∴∠1＝∠ACB，
∴AD∥BC；
（2）50°．
（1）先求出∠ACB的度数，再结合平行线的判定即可解决问题；
（2）根据题意，得出四边形ABCD是平行四边形，据此可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AB⊥AC，∠B＝50°，
∴∠ACB＝90°﹣50°＝40°．
又∵∠1＝40°，
∴∠1＝∠ACB，
∴AD∥BC；
（2）解：∵AD＝BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝50°．
本题主要考查了平行线的判定与性质，熟知平行线的判定与性质是解题的关键．
17．（2025 洞口县校级模拟）如图，点D，H分别在AB，AC上，点E，F都在BC上，DE交FH于点G，AG平分∠BAC，∠BED＝∠C，∠1+∠2＝90°．
（1）求证：FH⊥DE；
（2）若∠3＝∠4，∠BAC＝68°，求∠DFH的度数．
【考点】平行线的判定与性质；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】见试题解答内容
（1）由∠BED＝∠C，得到DE∥AC，由角平分线定义得到∠1＝∠GAH，又∠1+∠2＝90°，因此∠2+∠GAH＝90°，得到GH⊥AC，即可证明HF⊥DE；
（2）由角平分线定义得到∠GAH∠BAC＝34°，即可求出∠2的度数，由条件可以证明DF∥AG，得到∠DFH＝∠2．
【解答】（1）证明：∵∠BED＝∠C，
∴DE∥AC，
∵AG平分∠BAC，
∴∠1＝∠GAH，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠2+∠GAH＝90°，
∴GH⊥AC，
∴HF⊥DE；
（2）解：∵AG平分∠BAC，
∴∠GAH∠BAC＝34°，
∴∠2＝90°﹣34°＝56°，
∵DE∥AC，
∴∠3＝∠GAH，
∵∠1＝∠GAH，
∴∠1＝∠3，
∵∠3＝∠4，
∴∠3＝∠4，
∴DF∥AG，
∴∠DFH＝∠2＝56°．
本题考查平行线的判定和性质，垂线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
18．（2025 武威校级模拟）已知AB∥CD，点E在BD连线的右侧，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F．
（1）如图1，若∠1＝65°，∠2＝75°，求∠F的度数．
（2）求证：∠E+2∠F＝360°．
（3）如图2，若∠E＝m°，∠PBF＝n∠ABP，∠PDF＝n∠CDP，求∠P的度数（用m，n的代数式表示）．
【考点】平行线的性质；列代数式；角平分线的定义；平行公理及推论．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）140°；
（2）证明见解答；
（3）∠P．
（1）过点F作直线FG∥AB，根据平行线的性质及平行线公理即可解答；
（2）过点E作直线EH∥AB，根据平行线的性质，角平分线的定义及平行线公理即可得证；
（3）根据角的等量代换表示出∠E，进而表示出∠ABP+∠CDP，过点P作直线PJ∥AB，根据平行线的性质及平行线公理即可解答．
【解答】（1）解：过点F作直线FG∥AB，如图，
∵FG∥AB，
∴∠BFG＝∠1＝65°，
∵FG∥AB，AB∥CD，
∴FG∥CD，
∴∠DFG＝∠2＝75°，
∴∠F＝∠BFG+∠DFG＝65°+75°＝140°；
（2）证明：过点E作直线EH∥AB，如图，
∵EH∥AB，
∴∠ABE+∠BEH＝180°，
∵EH∥AB，AB∥CD，
∴EH∥CD，
∴∠CDE+∠HED＝180°，
∴∠ABE+∠BEH+∠HED+∠CDE＝360°，
∵BF平分∠ABE，FD平分∠CDE，
∴∠ABE＝2∠1，∠CDE＝2∠2，
∴∠E+2∠1+2∠2＝360°，
由（1）得，∠F＝∠1+∠2，
∴∠E+2∠F＝360°．
（3）解：∵∠PBF＝n∠ABP，∠PDF＝n∠CDP，
∴∠ABF＝（n+1）∠ABP，∠CDF＝（n+1）∠CDP，
由（1）得∠F＝∠ABF+∠CDF＝（n+1）（∠ABP+∠CDP），
由（2）得，∠E+2∠F＝360°，
∴∠E＝360°﹣2（n+1）（∠ABP+∠CDP）＝m°，
∴∠ABP+∠CDP，
过点P作直线PJ∥AB，如图，
∵PJ∥AB，
∴∠BPJ＝∠ABP，
∵PJ∥AB，AB∥CD
∴PJ∥CD，
∴∠DPJ＝∠CDP，
∴∠P＝∠ABP+∠CDP．
本题考查平行线的性质，平行线公理，角平分线的定义，列代数式，掌握平行线的性质，平行线公理，角平分线的定义是解题的关键．
19．（2025 长安区校级模拟）如图，三条直线AB，CD，EF相交于点O，且CD⊥EF，∠AOE＝70°，若OG平分∠BOF．求∠DOG的度数．
【考点】垂线；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】55°．
根据对顶角相等可得∠BOF＝∠AOE＝70°，由CD⊥EF可得∠DOF＝90°，再根据角平分线的性质求得∠GOF，进而根据∠DOG＝∠DOF﹣∠GOF计算即可．
【解答】解：∵三条直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOE＝70°，
∴∠BOF＝∠AOE＝70°，
∵CD⊥EF，
∴∠DOF＝90°，
∵OG平分∠BOF，
∴，
∴∠DOG＝∠DOF﹣∠GOF＝90°﹣35°＝55°．
本题考查了几何图形中角的和差计算，对顶角的性质，角平分线的定义，垂线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
20．（2025 南昌二模）近年来，中国机器狗技术发展迅速．图1是某一型号的机器狗正常站立时的实物图，图2是它的侧面示意图，机身AD，大腿AB，DE和小腿BC，EF在它们之间的连接处可以转动调节姿态，调节过程中，机身、大腿、小腿的长度都不会发生变化，但位置、及以各接口处为顶点的角的大小可能发生改变．经测量，AD＝40cm，AB＝DE＝BC＝EF＝20cm．
（1）当机器狗处于正常站立时，机身AD平行于地面CF，∠ABC＝∠DEF＝120°，机器狗的高度可以看成A，C两点间的距离，求此时机器狗的高度．
（2）图3是机器狗坐下时的实物图，图4是其侧面示意图，此时，小腿EF紧贴地面，AB∥DE，BC∥EF，只调节机身AD与小腿EF所在直线形成的锐角，当其超过65°时，机器狗需要重新调整其他部分参数，才能坐得稳．请你通过推理计算，判断当BC与EF之间的距离为时，要使其坐得稳，该机器狗是否需要调整其他部分参数．
【考点】平行线之间的距离；平行四边形的判定与性质；解直角三角形的应用．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）此时机器狗的高度为；
（2）不需要调整其他部分参数．
（1）连接AC，过点B作BG⊥AC于点G，则AC＝2AG，∠ABG＝60°，解直角三角形求出AG的长即可得到答案；
（2）连接BE，过点B作BM⊥EF于点M，可证明四边形ABED是平行四边形．则BE＝AD＝40cm，BE∥AD．解直角三角形得到∠BEM＝60°，即可得到结论．
【解答】解：（1）如图，连接AC，过点B作BG⊥AC于点G，
∵AB＝BC＝20cm，∠ABC＝120°，
∴AC＝2AG，∠ABG＝60°，
∴，
∴．
答：此时机器狗的高度为；
（2）如图，连接BE，过点B作BM⊥EF于点M，
∵AB∥DE，AB＝DE，
∴四边形ABED是平行四边形．
∴BE＝AD＝40cm，BE∥AD．
∴∠BEF的度数就是直线AD与EF的夹角的度数．
∵．
∴．
∴∠BEM＝60°，
∵65°＞60°，
∴不需要调整其他部分参数．
本题主要考查了解直角三角形的实际应用，三线合一定理，平行四边形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．
一．选择题（共10小题）
1．（2026 碑林区校级模拟）如图，AB∥CD，EB平分∠FED，若∠1＝36°，则∠2的度数为（ ）
A．108° B．106° C．100° D．96°
2．（2025 河南）如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
3．（2025 天涯区模拟）如图，直线a∥b，将三角尺的直角顶点放在直线b上，若∠1＝35°，则∠2等于（ ）
A．45° B．55° C．35° D．65°
4．（2025 湖里区模拟）如图，AB∥CD，∠A＝37°，∠C＝65°，那么∠F等于（ ）
A．28° B．63° C．37° D．60°
5．（2025 连州市三模）如图，已知直线m∥n，∠1＝140°，∠2＝30°，则∠3度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
6．（2025 城北区校级模拟）如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB＝20°，∠FED＝60°，则∠GFH的度数为（ ）
A．20° B．40° C．60° D．80°
7．（2025 江阳区模拟）某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中，当∠ABC＝150°时，∠BCD的度数为（ ）
A．110° B．120° C．130° D．150°
8．（2025 碑林区校级四模）如图，直线m∥n，直尺ABCD的顶点A、D分别落在直线m和直线n上，BC与直线n交于点P，若∠1＝30°，则∠BPD的度数为（ ）
A．120° B．150° C．135° D．130°
9．（2025 扬州一模）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数为（ ）
A．130° B．140° C．150° D．160°
10．（2025 东莞市二模）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知AB∥DE，AD∥EF，∠BCE＝67°，∠CEF＝133°，则∠ADE的度数为（ ）
A．57° B．66° C．67° D．74°
二．填空题（共5小题）
11．（2025 江西模拟）如图，直线a与直线b平行，将三角板的直角顶点放在直线a上，若∠1＝40°，则∠2＝ °．
12．（2025 商河县一模）如图，直线a∥b，∠1＝75°，∠2＝35°，则∠3的度数是 ．
13．（2025 芗城区校级模拟）相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．如图所示的风筝骨架中，AB∥CD，若∠1＝141°，则∠2＝ ．
14．（2025 海州区校级模拟）一副直角三角尺如图摆放，点D在BC的延长线上，EF∥BC，则∠CED的度数是 ．
15．（2025 新抚区四模）光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线AB与表示水底的直线CD平行，光线EF从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，FH是EF的延长线，若∠1＝42°，∠2＝16°，则∠CGF的度数是 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 巴中）如图，已知∠1＝40°，∠B＝50°，AB⊥AC，AD＝BC．
（1）求证：AD∥BC；
（2）求∠D的度数．
17．（2025 洞口县校级模拟）如图，点D，H分别在AB，AC上，点E，F都在BC上，DE交FH于点G，AG平分∠BAC，∠BED＝∠C，∠1+∠2＝90°．
（1）求证：FH⊥DE；
（2）若∠3＝∠4，∠BAC＝68°，求∠DFH的度数．
18．（2025 武威校级模拟）已知AB∥CD，点E在BD连线的右侧，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F．
（1）如图1，若∠1＝65°，∠2＝75°，求∠F的度数．
（2）求证：∠E+2∠F＝360°．
（3）如图2，若∠E＝m°，∠PBF＝n∠ABP，∠PDF＝n∠CDP，求∠P的度数（用m，n的代数式表示）．
19．（2025 长安区校级模拟）如图，三条直线AB，CD，EF相交于点O，且CD⊥EF，∠AOE＝70°，若OG平分∠BOF．求∠DOG的度数．
20．（2025 南昌二模）近年来，中国机器狗技术发展迅速．图1是某一型号的机器狗正常站立时的实物图，图2是它的侧面示意图，机身AD，大腿AB，DE和小腿BC，EF在它们之间的连接处可以转动调节姿态，调节过程中，机身、大腿、小腿的长度都不会发生变化，但位置、及以各接口处为顶点的角的大小可能发生改变．经测量，AD＝40cm，AB＝DE＝BC＝EF＝20cm．
（1）当机器狗处于正常站立时，机身AD平行于地面CF，∠ABC＝∠DEF＝120°，机器狗的高度可以看成A，C两点间的距离，求此时机器狗的高度．
（2）图3是机器狗坐下时的实物图，图4是其侧面示意图，此时，小腿EF紧贴地面，AB∥DE，BC∥EF，只调节机身AD与小腿EF所在直线形成的锐角，当其超过65°时，机器狗需要重新调整其他部分参数，才能坐得稳．请你通过推理计算，判断当BC与EF之间的距离为时，要使其坐得稳，该机器狗是否需要调整其他部分参数．
2026年中考数学二轮复习之相交线与平行线
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2026 碑林区校级模拟）如图，AB∥CD，EB平分∠FED，若∠1＝36°，则∠2的度数为（ ）
A．108° B．106° C．100° D．96°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】A
根据平行线的性质进行计算即可．
【解答】解：如图所示，
∵EB平分∠FED，且∠1＝36°，
∴∠FED＝2∠1＝72°，
∴∠3＝180°﹣∠FED＝108°．
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝108°．
故选：A．
本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
2．（2025 河南）如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【考点】对顶角、邻补角．
【专题】正多边形与圆．
【答案】C
由量角器可知，∠1＝120°，再利用对顶角相等求解即可．
【解答】解：如图，延长BO，
由量角器可知，∠AOD＝120°，
∴∠BOC＝∠AOD＝120°，
即所量内角的度数为120°，
故选：C．
本题考查了量角器，对顶角，正确读出量角器度数是解题关键．
3．（2025 天涯区模拟）如图，直线a∥b，将三角尺的直角顶点放在直线b上，若∠1＝35°，则∠2等于（ ）
A．45° B．55° C．35° D．65°
【考点】平行线的性质．
【专题】常规题型．
【答案】B
根据平角的定义求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2＝∠3．
【解答】解：如图，∵∠1＝35°，
∴∠3＝180°﹣35°﹣90°＝55°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝55°．
故选：B．
本题考查了平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
4．（2025 湖里区模拟）如图，AB∥CD，∠A＝37°，∠C＝65°，那么∠F等于（ ）
A．28° B．63° C．37° D．60°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
过F作FK∥AB，得到FK∥CD，推出∠AFK＝∠A＝37°，∠EFK＝∠C＝65°，即可求出∠AFE的度数．
【解答】解：过F作FK∥AB，
∵AB∥CD，
∴FK∥CD，
∴∠AFK＝∠A＝37°，∠EFK＝∠C＝65°，
∴∠AFE＝∠EFK﹣∠AFK＝28°．
故选：A．
本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠AFK＝∠A，∠EFK＝∠C．
5．（2025 连州市三模）如图，已知直线m∥n，∠1＝140°，∠2＝30°，则∠3度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
由平行线的性质推出∠5+∠4＝180°，由对顶角的性质得到∠4＝∠1＝140°，求出∠5＝40°，由三角形的外角性质得到∠3＝∠2+∠5＝70°．
【解答】解：∵m∥n，
∴∠5+∠4＝180°，
∵∠4＝∠1＝140°，
∴∠5＝40°，
∵∠2＝30°，
∴∠3＝∠2+∠5＝70°．
故选：B．
本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠5+∠4＝180°．
6．（2025 城北区校级模拟）如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB＝20°，∠FED＝60°，则∠GFH的度数为（ ）
A．20° B．40° C．60° D．80°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】B
先利用平行线的性质可得∠FED＝∠GFB＝60°，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：∵AB∥CD，∠FED＝60°，
∴∠FED＝∠GFB＝60°，
∵∠HFB＝20°，
∴∠GFH＝∠GFB﹣∠HFB＝40°，
故选：B．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
7．（2025 江阳区模拟）某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中，当∠ABC＝150°时，∠BCD的度数为（ ）
A．110° B．120° C．130° D．150°
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
过点B作BG∥AE，则AE∥CD∥BG，由两直线平行，同旁内角互补推出∠BAE+∠ABG＝180°，∠BCD+∠CBG＝180°，再由垂直的定义得到∠BAE＝90°，结合∠ABC＝150°，即可求解．
【解答】解：如图，过点B作BG∥AE，
∵AE∥CD，
∴AE∥CD∥BG，
∴∠BAE+∠ABG＝180°，∠BCD+∠CBG＝180°，
∵BA⊥AE，
∴∠BAE＝∠ABG＝90°，
又∵∠ABC＝150°，
∴∠CBG＝∠ABC﹣∠ABG＝150°﹣90°＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣∠CBG＝180°﹣60°＝120°，
故选：B．
本题主要考查了平行线的性质与判定，熟记平行线的性质与判定是解题的关键．
8．（2025 碑林区校级四模）如图，直线m∥n，直尺ABCD的顶点A、D分别落在直线m和直线n上，BC与直线n交于点P，若∠1＝30°，则∠BPD的度数为（ ）
A．120° B．150° C．135° D．130°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】B
在图中标记字母M，N，由BM∥DP，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出∠BPN的度数，结合∠BPN与∠BPD互补，即可求出∠BPD的度数．
【解答】解：在图中标记字母M，N，如图所示．
∵BM∥DP，∠1＝30°，
∴∠BPN＝∠1＝30°．
∵∠BPN与∠BPD互补，
∴∠BPD＝180°﹣30°＝150°．
故选：B．
本题主要考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
9．（2025 扬州一模）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数为（ ）
A．130° B．140° C．150° D．160°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
过∠2顶点作直线l∥支撑平台，直线l将∠2分成两个角即∠4、∠5，根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：如图所示，过∠2顶点作直线l∥支撑平台，直线l将∠（2分）成两个角∠4和∠5，
∵工作篮底部与支撑平台平行、直线l∥支撑平台，
∴直线l∥支撑平台∥工作篮底部，
∴∠1＝∠4＝30°、∠5+∠3＝180°，
∵∠4+∠5＝∠2＝50°，
∴∠5＝50°﹣∠4＝20°，
∴∠3＝180°﹣∠5＝160°，
故选：D．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
10．（2025 东莞市二模）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知AB∥DE，AD∥EF，∠BCE＝67°，∠CEF＝133°，则∠ADE的度数为（ ）
A．57° B．66° C．67° D．74°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
根据两直线平行，内错角相等得出∠BCE＝∠DEC＝67°，即可求出∠DEF的度数，再根据两直线平行，内错角相等得出∠ADE＝∠DEF＝66°即可．
【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠BCE＝∠DEC，
∵∠BCE＝67°，
∴∠DEC＝67°，
∵∠CEF＝133°，
∴∠DEF＝∠CEF﹣∠DEC＝133°﹣67°＝66°，
∵AD∥EF，
∴∠ADE＝∠DEF＝66°，
故选：B．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 江西模拟）如图，直线a与直线b平行，将三角板的直角顶点放在直线a上，若∠1＝40°，则∠2＝ 50 °．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】50．
根据平行线的性质可得∠2＝∠3，结合∠1+∠3＝90°可求解∠3的度数．
【解答】解：∵a∥b
∴∠2＝∠3，
∵∠1+∠3＝90°，∠1＝40°，
∴∠3＝90°﹣40°＝50°，
∴∠2＝50°．
故答案为50．
本题主要考查平行线的性质，求解∠3的度数是解题的关键．
12．（2025 商河县一模）如图，直线a∥b，∠1＝75°，∠2＝35°，则∠3的度数是 40° ．
【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【答案】40°
根据两直线平行，同位角相等可得∠4＝∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：如图，∵直线a∥b，
∴∠4＝∠1＝75°，
由三角形的外角性质得，∠3＝∠4﹣∠2＝75°﹣35°＝40°．
故答案为：40°．
本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．
13．（2025 芗城区校级模拟）相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．如图所示的风筝骨架中，AB∥CD，若∠1＝141°，则∠2＝ 39° ．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】39°．
先证明∠3＝∠1＝141°，再利用邻补角的含义求解即可．
【解答】解：如图，
∵AB∥CD，∠1＝141°，
∴∠3＝∠1＝141°（两直线平行，内错角相等），
∴∠2＝180°﹣141°＝39°，
即∠2的度数为39°．
故答案为：39°．
本题考查的是平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握．
14．（2025 海州区校级模拟）一副直角三角尺如图摆放，点D在BC的延长线上，EF∥BC，则∠CED的度数是 15° ．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】15°．
根据题意可知∠ACB＝60°，∠DEF＝45°，再利用平行线性质可得∠ACB＝60°＝∠CEF，继而求得本题答案．
【解答】解：∵一副直角三角尺，
∴∠ACB＝60°，∠DEF＝45°，
∵EF∥BC，
∴∠ACB＝60°＝∠CEF（两直线平行，内错角相等），
∴∠CED＝60°﹣45°＝15°，
则∠CED的度数为15°，
故答案为：15°．
本题考查平行线性质，关键是平行线性质的熟练掌握．
15．（2025 新抚区四模）光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线AB与表示水底的直线CD平行，光线EF从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，FH是EF的延长线，若∠1＝42°，∠2＝16°，则∠CGF的度数是 58° ．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】58°
由平行线的性质推出∠CGF+∠AFG＝180°，由平角定义得到∠2+∠1+∠AFG＝180°，于是得到∠CGF＝∠1+∠2＝42°+I6°＝58°．
【解答】解∵AB∥CD，
∴∠CGF+∠AFG＝180°，
∵∠2+∠1+∠AFG＝180°，
∴∠CGF＝∠1+∠2＝42°+I6°＝58°．
故答案为：58°．
本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠CGF+∠AFG＝180°．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 巴中）如图，已知∠1＝40°，∠B＝50°，AB⊥AC，AD＝BC．
（1）求证：AD∥BC；
（2）求∠D的度数．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】（1）∵AB⊥AC，∠B＝50°，
∴∠ACB＝90°﹣50°＝40°．
又∵∠1＝40°，
∴∠1＝∠ACB，
∴AD∥BC；
（2）50°．
（1）先求出∠ACB的度数，再结合平行线的判定即可解决问题；
（2）根据题意，得出四边形ABCD是平行四边形，据此可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AB⊥AC，∠B＝50°，
∴∠ACB＝90°﹣50°＝40°．
又∵∠1＝40°，
∴∠1＝∠ACB，
∴AD∥BC；
（2）解：∵AD＝BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝50°．
本题主要考查了平行线的判定与性质，熟知平行线的判定与性质是解题的关键．
17．（2025 洞口县校级模拟）如图，点D，H分别在AB，AC上，点E，F都在BC上，DE交FH于点G，AG平分∠BAC，∠BED＝∠C，∠1+∠2＝90°．
（1）求证：FH⊥DE；
（2）若∠3＝∠4，∠BAC＝68°，求∠DFH的度数．
【考点】平行线的判定与性质；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】见试题解答内容
（1）由∠BED＝∠C，得到DE∥AC，由角平分线定义得到∠1＝∠GAH，又∠1+∠2＝90°，因此∠2+∠GAH＝90°，得到GH⊥AC，即可证明HF⊥DE；
（2）由角平分线定义得到∠GAH∠BAC＝34°，即可求出∠2的度数，由条件可以证明DF∥AG，得到∠DFH＝∠2．
【解答】（1）证明：∵∠BED＝∠C，
∴DE∥AC，
∵AG平分∠BAC，
∴∠1＝∠GAH，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠2+∠GAH＝90°，
∴GH⊥AC，
∴HF⊥DE；
（2）解：∵AG平分∠BAC，
∴∠GAH∠BAC＝34°，
∴∠2＝90°﹣34°＝56°，
∵DE∥AC，
∴∠3＝∠GAH，
∵∠1＝∠GAH，
∴∠1＝∠3，
∵∠3＝∠4，
∴∠3＝∠4，
∴DF∥AG，
∴∠DFH＝∠2＝56°．
本题考查平行线的判定和性质，垂线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
18．（2025 武威校级模拟）已知AB∥CD，点E在BD连线的右侧，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F．
（1）如图1，若∠1＝65°，∠2＝75°，求∠F的度数．
（2）求证：∠E+2∠F＝360°．
（3）如图2，若∠E＝m°，∠PBF＝n∠ABP，∠PDF＝n∠CDP，求∠P的度数（用m，n的代数式表示）．
【考点】平行线的性质；列代数式；角平分线的定义；平行公理及推论．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）140°；
（2）证明见解答；
（3）∠P．
（1）过点F作直线FG∥AB，根据平行线的性质及平行线公理即可解答；
（2）过点E作直线EH∥AB，根据平行线的性质，角平分线的定义及平行线公理即可得证；
（3）根据角的等量代换表示出∠E，进而表示出∠ABP+∠CDP，过点P作直线PJ∥AB，根据平行线的性质及平行线公理即可解答．
【解答】（1）解：过点F作直线FG∥AB，如图，
∵FG∥AB，
∴∠BFG＝∠1＝65°，
∵FG∥AB，AB∥CD，
∴FG∥CD，
∴∠DFG＝∠2＝75°，
∴∠F＝∠BFG+∠DFG＝65°+75°＝140°；
（2）证明：过点E作直线EH∥AB，如图，
∵EH∥AB，
∴∠ABE+∠BEH＝180°，
∵EH∥AB，AB∥CD，
∴EH∥CD，
∴∠CDE+∠HED＝180°，
∴∠ABE+∠BEH+∠HED+∠CDE＝360°，
∵BF平分∠ABE，FD平分∠CDE，
∴∠ABE＝2∠1，∠CDE＝2∠2，
∴∠E+2∠1+2∠2＝360°，
由（1）得，∠F＝∠1+∠2，
∴∠E+2∠F＝360°．
（3）解：∵∠PBF＝n∠ABP，∠PDF＝n∠CDP，
∴∠ABF＝（n+1）∠ABP，∠CDF＝（n+1）∠CDP，
由（1）得∠F＝∠ABF+∠CDF＝（n+1）（∠ABP+∠CDP），
由（2）得，∠E+2∠F＝360°，
∴∠E＝360°﹣2（n+1）（∠ABP+∠CDP）＝m°，
∴∠ABP+∠CDP，
过点P作直线PJ∥AB，如图，
∵PJ∥AB，
∴∠BPJ＝∠ABP，
∵PJ∥AB，AB∥CD
∴PJ∥CD，
∴∠DPJ＝∠CDP，
∴∠P＝∠ABP+∠CDP．
本题考查平行线的性质，平行线公理，角平分线的定义，列代数式，掌握平行线的性质，平行线公理，角平分线的定义是解题的关键．
19．（2025 长安区校级模拟）如图，三条直线AB，CD，EF相交于点O，且CD⊥EF，∠AOE＝70°，若OG平分∠BOF．求∠DOG的度数．
【考点】垂线；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】55°．
根据对顶角相等可得∠BOF＝∠AOE＝70°，由CD⊥EF可得∠DOF＝90°，再根据角平分线的性质求得∠GOF，进而根据∠DOG＝∠DOF﹣∠GOF计算即可．
【解答】解：∵三条直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOE＝70°，
∴∠BOF＝∠AOE＝70°，
∵CD⊥EF，
∴∠DOF＝90°，
∵OG平分∠BOF，
∴，
∴∠DOG＝∠DOF﹣∠GOF＝90°﹣35°＝55°．
本题考查了几何图形中角的和差计算，对顶角的性质，角平分线的定义，垂线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
20．（2025 南昌二模）近年来，中国机器狗技术发展迅速．图1是某一型号的机器狗正常站立时的实物图，图2是它的侧面示意图，机身AD，大腿AB，DE和小腿BC，EF在它们之间的连接处可以转动调节姿态，调节过程中，机身、大腿、小腿的长度都不会发生变化，但位置、及以各接口处为顶点的角的大小可能发生改变．经测量，AD＝40cm，AB＝DE＝BC＝EF＝20cm．
（1）当机器狗处于正常站立时，机身AD平行于地面CF，∠ABC＝∠DEF＝120°，机器狗的高度可以看成A，C两点间的距离，求此时机器狗的高度．
（2）图3是机器狗坐下时的实物图，图4是其侧面示意图，此时，小腿EF紧贴地面，AB∥DE，BC∥EF，只调节机身AD与小腿EF所在直线形成的锐角，当其超过65°时，机器狗需要重新调整其他部分参数，才能坐得稳．请你通过推理计算，判断当BC与EF之间的距离为时，要使其坐得稳，该机器狗是否需要调整其他部分参数．
【考点】平行线之间的距离；平行四边形的判定与性质；解直角三角形的应用．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）此时机器狗的高度为；
（2）不需要调整其他部分参数．
（1）连接AC，过点B作BG⊥AC于点G，则AC＝2AG，∠ABG＝60°，解直角三角形求出AG的长即可得到答案；
（2）连接BE，过点B作BM⊥EF于点M，可证明四边形ABED是平行四边形．则BE＝AD＝40cm，BE∥AD．解直角三角形得到∠BEM＝60°，即可得到结论．
【解答】解：（1）如图，连接AC，过点B作BG⊥AC于点G，
∵AB＝BC＝20cm，∠ABC＝120°，
∴AC＝2AG，∠ABG＝60°，
∴，
∴．
答：此时机器狗的高度为；
（2）如图，连接BE，过点B作BM⊥EF于点M，
∵AB∥DE，AB＝DE，
∴四边形ABED是平行四边形．
∴BE＝AD＝40cm，BE∥AD．
∴∠BEF的度数就是直线AD与EF的夹角的度数．
∵．
∴．
∴∠BEM＝60°，
∵65°＞60°，
∴不需要调整其他部分参数．
本题主要考查了解直角三角形的实际应用，三线合一定理，平行四边形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．
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