人教版选修4—5不等式选讲：课题：用数学归纳法证明不等式

人教版选修4—5不等式选讲
课题：用数学归纳法证明不等式
教学目标：
1、牢固掌握数学归纳法的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明的过程。
2、通过事例，学生掌握运用数学归纳法，证明不等式的思想方法。
3、培养学生的逻辑思维能力，运算能力和分析问题，解决问题的能力。
重点、 难点：
1、巩固对数学归纳法意义和有效性的理解，并能正确表达解题过程，以及掌握用数学归纳法证明不等式的基本思路。
2、应用数学归纳法证明的不同方法的选择和解题技巧。
教学过程：
一、复习导入：
1、上节课学习了数学归纳法及运用数学归纳法解题的步骤，请同学们回顾，说出数学归纳法的步骤？
（1）数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法。
（2）步骤：1）归纳奠基;
2）归纳递推。
2、作业讲评：（出示小黑板）
习题：用数学归纳法证明：2+4+6+8+……+2n=n(n+1)
如采用下面的证法，对吗？
证明：①当n=1时，左边=2=右边，则等式成立。
②假设n=k时，（k∈N，k≥1）等式成立，
即2+4+6+8+……+2k=k(k+1)
当n=k+1时，
2+4+6+8+……+2k+2(k+1)
∴ n=k+1时，等式成立。
由①②可知，对于任意自然数n，原等式都成立。
（1）学生思考讨论。
（2）师生总结： 1）不正确
2）因为在证明n=k+1时，未用到归纳假设，直接用等差数列求和公式，违背了数学归纳法本质：递推性。
二、新知探究
明确了数学归纳法本质，我们共同讨论如何用数学归纳法证明不等式。
(出示小黑板)
例1 观察下面两个数列，从第几项起an始终小于bn？证明你的结论。
｛an=n2｝:1,4,9,16,25,36,49,64,81, ……
｛bn=2n｝:2,4,8,16,32,64,128,256,512, ……
（1）学生观察思考
（2）师生分析
（3）解：从第5项起，an ＜ bn ，即 n ＜2n,n∈N+（n≥5）
证明：（1）当 n=5时，有52＜25，命题成立。
（2）假设当n=k（k≥5）时命题成立
即k2＜2k
当n=k+1时，因为
（k+1）2=k2+2k+1＜k2+2k+k=k2+3k＜k2+k2=2k2<2×2k=2k+1
所以，（k+1）2＜2k+1
即n=k+1时，命题成立。
由（1）（2）可知n ＜2n（n∈N+，n≥5）
学生思考、小组讨论：①放缩技巧：k2+2k+1＜k2+2k+k；k2+3k＜k2+k2
②归纳假设：2k2<2×2k
例2 证明不等式│Sin nθ│≤n│Sinθ│(n∈N+)
分析：这是一个涉及正整数n的三角函数问题，又与绝对值有关，在证明递推关系时，应注意利用三角函数的性质及绝对值不等式。
证明：（1）当 n=1时，上式左边=│Sinθ│=右边，不等式成立。
（2）假设当n=k（k≥1）时命题成立，
即有│Sin kθ│≤k│Sinθ│
当n=k+1时，
│Sin （k+1）θ│=│Sin kθCosθ+Cos kθSin θ│
≤│Sin kθCosθ│+│Cos kθSin θ│
=│Sin kθ││Cosθ│+│Cos kθ││Sin θ│
≤│Sin kθ│+│Sin θ│
≤k│Sinθ│+│Sin θ│
=（k+1）│Sinθ│
所以当n=k+1时，不等式也成立。
由（1）（2）可知，不等式对一切正整数n均成立。
学生思考、小组讨论：①绝对值不等式: │a+b│≤ │a│+│b│
②三角函数的有界性：│Sinθ│≤1,│Cosθ│≤1
③三角函数的两角和公式。
（板书）例3 证明贝努力（Bernoulli）不等式:
如果x是实数且x＞-1，x≠0,n为大于1的自然数，那么有（1+x）n＞1+nx
分析：①贝努力不等式中涉几个字母？（两个：x,n）
②哪个字母与自然数有关？ (n是大于1的自然是数)
（板书）证：（1）当n=2时，左边=（1+x）2=1+2x+x2，右边=1+2x，因x2＞0，则原不等式成立．
（在这里，一定要强调之所以左边＞右边，关键在于x2＞0是由已知条件x≠0获得，为下面证明做铺垫）
（2）假设n=k时（k≥2），不等式成立，即（1+x）k＞1+kx．
师：现在要证的目标是（1+x）k+1＞1+（k+1）x，请同学考虑．
生：因为应用数学归纳法，在证明n=k+1命题成立时，一定要运用归纳假设，所以当n=k+1时．应构造出归纳假设适应的条件．所以有：（1+x）k+1=（1+x）k（1+x），因为x＞-1（已知），所以1+x＞0于是（1+x）k（1+x）＞（1+kx）（1+x）．
师：现将命题转化成如何证明不等式
（1+kx）（1+x）≥1+（k+1）x．
显然，上式中“=”不成立．
故只需证：（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x．
提问：证明不等式的基本方法有哪些？
生：证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法．
（提问的目的是使学生明确在第二步证明中，合理运用归纳假设的同时，其本质是不等式证明，因此证明不等式的所有方法、技巧手段都适用）
生：证明不等式（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x，可采用作差比较法．
（1+kx）（1+x）-[1+（k+1）x]
=1+x+kx+kx2-1-kx-x
=kx2＞0（因x≠0，则x2＞0）．
所以，（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x．
生：也可采用综合法的放缩技巧．
（1+kx）（1+x）=1+kx+x+lx2=1+（k+1）x+kx2．
因为kx2＞0，所以1+（k+1）x+kx2＞1+（k+1）x，即（1+kx）（1+x）＞1+（1+k）x成立．
生：……
（学生可能还有其他多种证明方法，这样培养了学生思维品质的广阔性，教师应及时引导总结）
师：这些方法，哪种更简便，更适合数学归纳法的书写格式？学生用放缩技巧证明显然更简便，利于书写．
（板书）将例3的格式完整规范．
证明：（1）当n=2时，由x≠0得 （1+x）2=1+2x+x2＞1+2x,不等式成立。
（2）假设n=k（k≥2）时，不等式成立，
即有（1+x）k＞1+kx
当n=k+1时，
（1+x）k+1=（1+x）（1+x）k＞（1+x）（1+kx）
=1+x+kx+ kx2＞1+x+kx=1+（k+1）x
所以当n=k+1时，不等式成立
由①②可知，贝努力不等式成立。
（通过例题的讲解，在第二步证明过程中，通常要进行合理放缩，以达到转化目的）
三、课堂小结
1．用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的．但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变．
2．用数学归纳法证明不等式是较困难的课题，除运用证明不等式的几种基本方法外，经常使用的方法就是放缩法，针对目标，合理放缩，从而达到目标．
四、课后作业
1．课本P53：1，3，5
2．证明不等式：
你能说出证明中每一步的理由吗？
你能说出证明中每一步的理由吗？