浙江省Z20名校联考2025-2026学年下学期高二开学考试数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 浙江省Z20名校联考2025-2026学年下学期高二开学考试数学试卷（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 82.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-06 00:00:00 | ||
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文档简介
浙江省 名校联盟 2025 学年第二学期创新班联考 高二数学试题卷
考生须知:
1. 本试题卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
3. 选择题的答案须用 2B 铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑, 如要改动, 需将原填涂处用橡皮擦净。
4. 非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，答写在本试题卷上无效。
第 I 卷
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的.
1. 若 ,则 的取值可以为
A. B. C. D.
2. 已知向量 满足， ， ，若 为 在 上的投影向量，则向量 夹角的余弦值为
A. B. C. D.
3. 设 是两个不同的平面, 是两条不同的直线,且 则 “ ”,是“ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知圆 ,直线 ,则圆 上到直线 的距离等于 的点的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 已知正项等比数列 的前 项和为 ,若 ,则
A. 8 B. 12 C. 14 D. 16
6. 已知双曲线 的两条渐近线分别为 ,点 为 右支上任意一点,它到 的距离分别为 ,到右焦点的距离为 ,则
A. 的取值范围为 B. 的取值范围为
C. 的取值范围为 D. 的取值范围为
7. 一个几何体 垂直投影到平面 上,形成图形 ,我们就称 为 在平面 上的正投影. 在长方体 中， ， ， ， ， 的中点分别是 ， ， ，则长方体 在平面 上的正投影的面积为
A. B. 2
C. D. 3
8. 已知 ,则
A. B. C. D.
二、选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 某同学掷骰子 5 次, 记录每次骰子出现的点数, 统计后发现平均数为 2 , 方差为 0.8 , 则
A. 一定没有出现点数 6 B. 中位数可能为 2
C. 众数可以是 1 和 3 D. 可能出现 4 点
10. 已知抛物线 的焦点为 ,若 上存在 个互不重合的点 满足 ,下列结论中正确的有
A. 若 ,则 的最小值为 4 B. 若 ,则
C. 若 ，则 D. 若 ，则 的最小值为 16
11. 莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用. 所有大于 1 的正整数 都可以被唯一表示为有限个质数 (质数是指大于 1 的自然数中,只有 1 和它本身两个因数的数) 的乘积形式: ( 为 的质因数个数, 为质数, ),例如: ,对应 . 现对任意 ，定义莫比乌斯函数 则下列说法正确的是
A.
B. 对正整数
C.
D. 若 且 .
第 II 卷
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 把答案填在答题卡中的横线上.
12. 已知 则 _____
13. 已知等差数列 中， ，公差 ， ， 为数列 的前 项和， 则 _____▲_____
14. 设正实数 满足 ，则 _____▲_____ 四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本题满分 13 分) 为了解观看“浙 BA”联赛与性别是否有关系, 某机构随机抽取了部分市民, 调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格:
性别 不关注赛事 关注赛事 合计
男性 25 150 175
.女性 50 75 125
合计 75 225 300
(1)对照 列联表，根据小概率值 的独立性检验，分析关注“浙 BA”赛事是否与性别有关.
(2)现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取 6 名市民参加“浙 BA”赛事知识问答，再从这 6 名市民中抽取 3 人参加抽奖活动，记这 3 人中女性人数为 ,求 的分布列和期望.
附: .
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
16. (本题满分 15 分) 在 中,内角 所对的边分别为 ,已知 ,
(1)若 ，求 面积的最大值；
(2)若 ，求 .
17. (本题满分 15 分) 如图,已知四棱锥 的底面为正方形,平面 底面 .
(1)若侧面 为正三角形，求二面角 的余弦值；
(2)若 ，以正方形 为底面作正方体 ， 求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值.
18. (本题满分 17 分) 已知函数 .
(1)讨论函数 的极值点个数；
(2)当 时，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)若 ，证明 .
19. (本题满分 17 分) 已知椭圆的标准方程为 分别为椭圆的左、右焦点,点 为椭圆上一动点,且在 轴上方,延长 分别交椭圆于点 .
(1)证明: 的周长大于 8;
(2)若 ，求直线 的方程；
(3)求 面积的最大值.
浙江省 名校联盟 2025 学年第二学期创新班联考 高二数学参考答案
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B A C B C D A
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
题号 9 10 11
答案 ABC ACD AD
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 2
13. 14.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13 分)
(1)零假设 : 关注“浙 BA”赛事与性别无关，
根据小概率值 的 独立性检验,我们推断 不成立,即认为关注“浙 BA”赛事与性别有关联, 此推断犯错误的概率不超过 0.001 . .6 分
(2)关注赛事的市民中，男性 150 人，女性 75 人，
由分层抽样知, 抽取男性市民 4 人，女性市民 2 人，
的取值为 0,1,2,
0 1 2
1 5 3 5 1 5
所以 .13 分
16. (本小题满分 15 分)
(1)当 时， 是 的中点，所以 ，
两边同时平方,得 ,
即 ,即 . .4 分
又由基本不等式可得 ,
当且仅当 时等号成立,所以 .
所以 ,即 面积的最大值为 . .7 分
(2)设 ，则 ， .
在 中,由正弦定理得 ,
即 . ①. 9 分
在 中,由正弦定理得 ,
即 . 11 分
当 时， ，
又 ， ，代入①②中，化简得 ，
所以 ,得 ,
即 . .15 分
17.
(1)取 中点 ，记 ， 的交点为 ，连接 .
因为 为正方形，所以 ；
又因为平面 底面 ,平面 底面 ,所以 平面 ,
所以 . 因为 为正三角形,所以 , 且
所以 平面 平面
所以 而 ,所以二面角 的平面角为 ，
所以 .6 分
(2)以 为 轴， 为 轴，过点 的平面 的垂线为 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设 ,则 .
设 ,则 .
因为 ，所以 . ①
由( 1 )可知， ，所以 ，即 . ② 9 分以正方形 为底面作正方体 ,
不妨取 ,则 . 设平面 的法向量为 ,
因为 ,
所以 ,取 . 11 分
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，平方得 ，
又因为 ,所以 ,
当且仅当 时等号成立,此时可取 ,符合题意,
故 的最大值为 . 15 分
18.
(1)由条件得 ，令 ，则 .
① 当 时， ， 单调递增，且 ， 是 的极小值点，无极大值点.
② 当 时,令 ,则 在 单调递减,在 单调递增
(i) 当 时, 而 在 有唯一零点 是 的极大值点, 是 的极小值点.
(ii) 当 时, ,即 恒成立, 无极值点;
(iii) 当 ,而 在 有唯一零点 是 的极小值点, 是 的极大值点…… .7 分
(2)由(1)得①当 时，在 上， ， 单调递增
,即 ,
在 上为增函数, 时满足条件.
② 当 时，在 上， ， 单调递减，
当 时,有 ,即 ,
在 上为减函数, ,不合题意.
综上实数 的取值范围为 . 12 分
(3) 由 (1) 得,当 时, ,即 ,
要证不等式 ,只需证明 ,只需证明 ,
只需证 ,设 ,
则 ,
当 时, 恒成立,故 在 上单调递增,
又 恒成立. 原不等式成立. 17 分
19.
(1)连接 ，注意到 ，
故 的周长为 3 分
(2)设 ，
由 ,且 ,故 ,
又 ,即 ,
因此 ,故直线 的方程为: ,即 ,
联立 ,得 ,
则 ,即 ,因此 ,
而 ,因此 ,
故直线 的方程为: ,即 .8 分
(3)因为点 在 轴上方，所以直线 斜率不为 0，
设直线 ,直线 ,
联立 ,可得 ,则 ,
注意到 ,
故 10 分
联立 ,可得 ,则 ,
注意到 ,故 .
,因为 ,
所以 ,
则 , 13 分
设 ,则 ,
则 单调递增,故 ,则 面积的最大值为 15 分
考生须知:
1. 本试题卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
3. 选择题的答案须用 2B 铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑, 如要改动, 需将原填涂处用橡皮擦净。
4. 非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，答写在本试题卷上无效。
第 I 卷
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的.
1. 若 ,则 的取值可以为
A. B. C. D.
2. 已知向量 满足， ， ，若 为 在 上的投影向量，则向量 夹角的余弦值为
A. B. C. D.
3. 设 是两个不同的平面, 是两条不同的直线,且 则 “ ”,是“ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知圆 ,直线 ,则圆 上到直线 的距离等于 的点的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 已知正项等比数列 的前 项和为 ,若 ,则
A. 8 B. 12 C. 14 D. 16
6. 已知双曲线 的两条渐近线分别为 ,点 为 右支上任意一点,它到 的距离分别为 ,到右焦点的距离为 ,则
A. 的取值范围为 B. 的取值范围为
C. 的取值范围为 D. 的取值范围为
7. 一个几何体 垂直投影到平面 上,形成图形 ,我们就称 为 在平面 上的正投影. 在长方体 中， ， ， ， ， 的中点分别是 ， ， ，则长方体 在平面 上的正投影的面积为
A. B. 2
C. D. 3
8. 已知 ,则
A. B. C. D.
二、选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 某同学掷骰子 5 次, 记录每次骰子出现的点数, 统计后发现平均数为 2 , 方差为 0.8 , 则
A. 一定没有出现点数 6 B. 中位数可能为 2
C. 众数可以是 1 和 3 D. 可能出现 4 点
10. 已知抛物线 的焦点为 ,若 上存在 个互不重合的点 满足 ,下列结论中正确的有
A. 若 ,则 的最小值为 4 B. 若 ,则
C. 若 ，则 D. 若 ，则 的最小值为 16
11. 莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用. 所有大于 1 的正整数 都可以被唯一表示为有限个质数 (质数是指大于 1 的自然数中,只有 1 和它本身两个因数的数) 的乘积形式: ( 为 的质因数个数, 为质数, ),例如: ,对应 . 现对任意 ，定义莫比乌斯函数 则下列说法正确的是
A.
B. 对正整数
C.
D. 若 且 .
第 II 卷
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 把答案填在答题卡中的横线上.
12. 已知 则 _____
13. 已知等差数列 中， ，公差 ， ， 为数列 的前 项和， 则 _____▲_____
14. 设正实数 满足 ，则 _____▲_____ 四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本题满分 13 分) 为了解观看“浙 BA”联赛与性别是否有关系, 某机构随机抽取了部分市民, 调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格:
性别 不关注赛事 关注赛事 合计
男性 25 150 175
.女性 50 75 125
合计 75 225 300
(1)对照 列联表，根据小概率值 的独立性检验，分析关注“浙 BA”赛事是否与性别有关.
(2)现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取 6 名市民参加“浙 BA”赛事知识问答，再从这 6 名市民中抽取 3 人参加抽奖活动，记这 3 人中女性人数为 ,求 的分布列和期望.
附: .
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
16. (本题满分 15 分) 在 中,内角 所对的边分别为 ,已知 ,
(1)若 ，求 面积的最大值；
(2)若 ，求 .
17. (本题满分 15 分) 如图,已知四棱锥 的底面为正方形,平面 底面 .
(1)若侧面 为正三角形，求二面角 的余弦值；
(2)若 ，以正方形 为底面作正方体 ， 求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值.
18. (本题满分 17 分) 已知函数 .
(1)讨论函数 的极值点个数；
(2)当 时，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)若 ，证明 .
19. (本题满分 17 分) 已知椭圆的标准方程为 分别为椭圆的左、右焦点,点 为椭圆上一动点,且在 轴上方,延长 分别交椭圆于点 .
(1)证明: 的周长大于 8;
(2)若 ，求直线 的方程；
(3)求 面积的最大值.
浙江省 名校联盟 2025 学年第二学期创新班联考 高二数学参考答案
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B A C B C D A
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
题号 9 10 11
答案 ABC ACD AD
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 2
13. 14.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13 分)
(1)零假设 : 关注“浙 BA”赛事与性别无关，
根据小概率值 的 独立性检验,我们推断 不成立,即认为关注“浙 BA”赛事与性别有关联, 此推断犯错误的概率不超过 0.001 . .6 分
(2)关注赛事的市民中，男性 150 人，女性 75 人，
由分层抽样知, 抽取男性市民 4 人，女性市民 2 人，
的取值为 0,1,2,
0 1 2
1 5 3 5 1 5
所以 .13 分
16. (本小题满分 15 分)
(1)当 时， 是 的中点，所以 ，
两边同时平方,得 ,
即 ,即 . .4 分
又由基本不等式可得 ,
当且仅当 时等号成立,所以 .
所以 ,即 面积的最大值为 . .7 分
(2)设 ，则 ， .
在 中,由正弦定理得 ,
即 . ①. 9 分
在 中,由正弦定理得 ,
即 . 11 分
当 时， ，
又 ， ，代入①②中，化简得 ，
所以 ,得 ,
即 . .15 分
17.
(1)取 中点 ，记 ， 的交点为 ，连接 .
因为 为正方形，所以 ；
又因为平面 底面 ,平面 底面 ,所以 平面 ,
所以 . 因为 为正三角形,所以 , 且
所以 平面 平面
所以 而 ,所以二面角 的平面角为 ，
所以 .6 分
(2)以 为 轴， 为 轴，过点 的平面 的垂线为 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设 ,则 .
设 ,则 .
因为 ，所以 . ①
由( 1 )可知， ，所以 ，即 . ② 9 分以正方形 为底面作正方体 ,
不妨取 ,则 . 设平面 的法向量为 ,
因为 ,
所以 ,取 . 11 分
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，平方得 ，
又因为 ,所以 ,
当且仅当 时等号成立,此时可取 ,符合题意,
故 的最大值为 . 15 分
18.
(1)由条件得 ，令 ，则 .
① 当 时， ， 单调递增，且 ， 是 的极小值点，无极大值点.
② 当 时,令 ,则 在 单调递减,在 单调递增
(i) 当 时, 而 在 有唯一零点 是 的极大值点, 是 的极小值点.
(ii) 当 时, ,即 恒成立, 无极值点;
(iii) 当 ,而 在 有唯一零点 是 的极小值点, 是 的极大值点…… .7 分
(2)由(1)得①当 时，在 上， ， 单调递增
,即 ,
在 上为增函数, 时满足条件.
② 当 时，在 上， ， 单调递减，
当 时,有 ,即 ,
在 上为减函数, ,不合题意.
综上实数 的取值范围为 . 12 分
(3) 由 (1) 得,当 时, ,即 ,
要证不等式 ,只需证明 ,只需证明 ,
只需证 ,设 ,
则 ,
当 时, 恒成立,故 在 上单调递增,
又 恒成立. 原不等式成立. 17 分
19.
(1)连接 ，注意到 ，
故 的周长为 3 分
(2)设 ，
由 ,且 ,故 ,
又 ,即 ,
因此 ,故直线 的方程为: ,即 ,
联立 ,得 ,
则 ,即 ,因此 ,
而 ,因此 ,
故直线 的方程为: ,即 .8 分
(3)因为点 在 轴上方，所以直线 斜率不为 0，
设直线 ,直线 ,
联立 ,可得 ,则 ,
注意到 ,
故 10 分
联立 ,可得 ,则 ,
注意到 ,故 .
,因为 ,
所以 ,
则 , 13 分
设 ,则 ,
则 单调递增,故 ,则 面积的最大值为 15 分
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