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课题：应用二元一次方程组——鸡兔同笼
教学目标：
知识与技能目标：
通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，初步掌握列二元一次方程组解应用题．初步体会解二元一次方程组的基本思想“消元”。21教育网
培养学生列方程组解决实际问题的意识，增强学生的数学应用能力。
过程与方法目标：
经历和体验列方程组解决实际问题的过程，进一步体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型。
情感态度与价值观目标：
1. 进一步丰富学生数学学习的成功体验，激发学生对数学学习的好奇心，进一步形成积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意识. 21·cn·jy·com
2． 通过"鸡兔同笼"，把同学们带入古代的数学问题情景，学生体会到数学中的"趣"；进一步强调课堂与生活的联系，突出显示数学教学的实际价值，培养学生的人文精神。重点：2·1·c·n·j·y
经历和体验列方程组解决实际问题的过程；增强学生的数学应用能力。
难点：
确立等量关系，列出正确的二元一次方程组。
教学流程：
课前回顾
复习：列一元一次方程解应用题的一般步骤
情境引入
探究1：今有鸡兔同笼，
上有三十五头，
下有九十四足，
问鸡兔各几何？
“雉兔同笼”题：今有雉（鸡）兔同笼，上有35头，下有94足，问雉兔各几何？
（1）画图法
用 表示头，先画35个头
将所有头都看作鸡的，用 表示腿，画出了70只腿
还剩24只腿，在每个头上在加两只腿，共12个头加了两只腿
四条腿的是兔子(12只），两条腿的是鸡（23只）
（2）一元一次方程法：
鸡头＋兔头＝35
鸡脚＋兔脚＝94
设鸡有x只，则兔有(35－x)只，据题意得：
2x＋4（35－x）＝94
比算术法容易理解
想一想：那我们能不能用更简单的方法来解决这些问题呢？
回顾上节课学习过的二元一次方程，能不能解决这一问题
（3）二元一次方程法
今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？
（1）上有三十五头的意思是 鸡、兔共有头35个，
下有九十四足的意思是鸡、兔共有脚94只.
（2）如设鸡有x只，兔有y只，那么鸡兔共有（x+y）只；
鸡足有 2x只；兔足有 4y 只.
解： 设笼中有鸡x只，有兔y只，由题意可得：
鸡 兔 合计
头 x y 35
足 2x 4y 94
解此方程组得：
练习1:
1.设甲数为x，乙数为y，则“甲数的二倍与乙数的一半的和是15”，列出方程为_2x+05y=15
2.小刚有5角硬币和1元硬币各若干枚，币值共有六元五角，设5角有x枚，1元有y枚，列出方程为 05x+y=65.21cnjy.com
三、合作探究
探究2：以绳测井。若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺。绳长、井深各几何？
题目大意：用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺。问绳长、井深各是多少尺？
找出等量关系：
解：设绳长x尺，井深y尺，则由题意得
x =48
将x=48代入①，得y=11。
所以绳长48尺，井深11尺。
想一想：找出一种更简单的创新解法吗？
引导学生逐步得出更简单的方法：
找出等量关系：
（井深+5）× 3=绳长
（井深+1）× 4=绳长
解：设绳长x尺，井深y尺，则由题意得
3(y+5)=x
4(y+1)=x
x=48
y=11
所以绳长48尺，井深11尺。
练习2： 甲、乙两人赛跑，若乙先跑10米，甲跑5秒即可追上乙；若乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙.设甲速为x米/秒，乙速为y米/秒，则可列方程组为( B ).
归纳：
列二元一次方程解决实际问题的一般步骤：
审：审清题目中的等量关系．
设：设未知数．
列：根据等量关系，列出方程组．
解：解方程组，求出未知数．
答：检验所求出未知数是否符合题意，写出答案．
四、自主思考
探究3：用长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图中竖式和横式的两种无盖纸盒。现在仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少只，恰好使库存的纸板用完？21世纪教育网版权所有
解：设做竖式纸盒X个，横式纸盒y个。根据题意，得
x +2y=1000
4x +3y=2000
解这个方程组得 x=200
y=400
答:设做竖式纸盒200个，横式纸盒400个，恰好使库存的纸板用完。
练习3：上题中如果改为库存正方形纸板500，长方形纸板1001张，那么，能否做成若干只竖式纸盒和若干只横式纸盒后，恰好把库存纸板用完？www.21-cn-jy.com
解：设做竖式纸盒x个，做横式纸盒y个，根据题意
y不是自然数，不合题意，所以不可能做成若干个纸盒，恰好不库存的纸板用完．
归纳：
五、达标测评
1.解下列应用题
（1）买一些4分和8分的邮票，共花6元8角，已知8分的邮票比4分的邮票多40张，那么两种邮票各买了多少张？【来源：21·世纪·教育·网】
解：设4分邮票x张，8分邮票y张，由题意得：
4x+8y=6800 ①
y-x=40 ②
所以，4分邮票540张，8分邮票580张
（2）一项工程，如果全是晴天，15天可以完成，倘若下雨，雨天一天只能完成晴天
的工作量。现在知道在施工期间雨天比晴天多3天。问这项工程要多少天才能完成
分析：由于工作总量未知，我们将其设为单位1
晴天一天可完成
雨天一天可完成
解：设晴天x天，雨天y天，工作总量为单位1，由题意得：
总天数：7+10=17
所以，共17天可完成任务
六、应用提高
学校买铅笔、圆珠笔和钢笔共232支，共花了300元。其中铅笔数量是圆珠笔的4倍。已知铅笔每支0.60元，圆珠笔每支2.7元，钢笔每支6.3元。问三种笔各有多少支？
分析：铅笔数量+圆珠笔数量+钢笔数量=232
铅笔数量=圆珠笔数量×4
铅笔价格+圆珠笔价格+钢笔价格=300
解：设铅笔x支，圆珠笔y支，钢笔z支，根据题意，可得三元一次方程组：
将②代入①和③中，得二元一次方程组
4y+y+z=232 ④
0.6×4y+2.7x+6.3z=300 ⑤
解得
所以，铅笔175支，圆珠笔44支，钢笔12支
七、体验收获
1.解决鸡兔同笼问题
2.解决以绳测井问题
3.解应用题的一般步骤
七、布置作业
教材116页习题第2、3题。
x+y=35
2x+4y=94
x=23
y=12
绳长的三分之一 - 井深=5
绳长的四分之一 - 井深=1
-y=5 ①
①-②，得
-y=1 ②
-y=5 ①
-y=5 ①
-y=5 ①
X=540
Y=580
y-x=3 ②
x=7
y=10
x+y+z=232 ①
x=4y ②
0.6x+2.7y+6.3z=300 ③
X=176
Y=44
Z=12
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应用二元一次方程---鸡兔同笼
班级：___________姓名：___________得分：__________
一．选择题（每小题4分，40分）
1．某校课外小组的学生准备分组外出活动，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则少5人，求课外小组的人数x和应分成的组数y．依题意得（ ）www.21-cn-jy.com
A． B．
C． D．
2．一批宿舍，若每间住1人，有10人无处住，若每间住3人，则有10间无人住，则这批宿舍的房间数为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．20 B．15
C．12 D．10
3．现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，而一个盒身与两个盒底配成一个盒子．设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
4．根据右图提供的信息，可知一个杯子的价格是（ ）
A．51元 B．35元
C．8元 D．7.5元
二、解答题（每小题15分，60分）
1、甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50﹪的利润定价，乙服装按40﹪的利润定价。在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？www-2-1-cnjy-com
2、初三（2）班的一个综合实践活动小组去A，B两个超市调查去年和今年“五一节”期间的销售情况，下图是调查后小敏与其他两位同学交流的情况.根据他们的对话，请你分别求出A，B两个超市今年“五一节” 期间的销售额.2-1-c-n-j-y
3、某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元。
（1）求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？
（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？21世纪教育网版权所有
4、某玩具工厂广告称：“本厂工人工作时间：每天工作8小时，每月工作25天；待遇：熟练工人按计件付工资，多劳多得，计件工资不少于800元，每月另加福利工资100元，按月结算；……”该厂只生产两种玩具：小狗和小汽车。熟练工人晓云元月份领工资900多元，她记录了如下表的一些数据：21教育网
小狗件数（单位：个） 小汽车个数（单位：个） 总时间（单位：分） 总工资（单位：元）
1 1 35 2.15
2 2 70 4.30
3 2 85 5.05
元月份作小狗和小汽车的数目没有限制，从二月分开始，厂方从销售方面考虑逐月调整为：k月份每个工人每月生产的小狗的个数不少于生产的小汽车的个数的k倍（k＝2,3,4,……，12），假设晓云的工作效率不变，且服从工厂的安排，请运用所学数学知识说明厂家广告是否有欺诈行为？21cnjy.com
参考答案
一．选择题
1．C
【解析】等量关系：（1）总人数=7*组数+3人 （2）总人数=8*组数-5
2．A
【解析】设总人数为x，房间数为y，可列出方程
3．A
【解析】等量关系：（1）盒身铁皮+盒底铁皮=190 （2）2*8个盒身*做盒身的铁皮数=22* 做盒底的铁皮数 21·cn·jy·com
4．C
【解析】设水壶x元，杯子y元，由图中信息可得
二、解答题
1. 解：设甲服装的成本是x元，乙服装的成本是y元，
依题意得。解得x=300，y=200
答：甲、乙两件服装的成本分别为300元、200元
2．解: 设去年A超市销售额为x万元，B 超市销售额为y万元，
由题意得
解得
100（1+15%）=115（万元），50（1+10%）=55（万元）.
答：A，B两个超市今年“五一节” 期间的销售额分别为115万元。
3. 解：（1）解法一：设书包的单价为元，则随身听的单价为元
根据题意，得
解这个方程，得
答：该同学看中的随身听单价为360元，书包单价为92元。
解法二：设书包的单价为x元，随身听的单价为y元
根据题意，得
解这个方程组，得
答：该同学看中的随身听单价为360元，书包单价为92元。
（2）在超市A购买随身听与书包各一件需花费现金：
（元）
因为，所以可以选择超市A购买。
在超市B可先花费现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，总计共花费现金：2·1·c·n·j·y
（元）
因为，所以也可以选择在超市B购买。
因为，所以在超市A购买更省钱。
4.解: 设制作一个小狗用时间t1分钟，可得工资x元，制作一辆小汽车用时间t2分钟，可得工资y元。依题意得21·世纪*教育网
解得：
就二月份来讲，设二月份生产汽车玩具a件，则生产小狗2a件，此时可得工资：
M＝
又因为工人每月工作8×25×60＝12000分钟，所以二月份可生产玩具汽车
20a＋15×2a＝12000 解得 a＝240件。
故二月份可领工资796元，小于计件工资的最低额，所以说厂家的广告有欺诈行为。
共43元
共94元
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应用二元一次方程组
【义务教育教科书北师版八年级上册】
学校：________
教师：________
——鸡兔同笼
列一元一次方程解应用题的一般步骤
1、审题
2、找出一个等 量关系式；
3、设元并列出方程
5、写出答案。
4、解方程并求出相关的量
理解问题
制订计划
执行计划
回顾
课前回顾
鸡兔同笼
今有鸡兔同笼，
上有三十五头，
下有九十四足，
问鸡兔各几何？
情境引入
今有雉（鸡）兔同笼，上有35头，下有94足，问雉兔各几何？
⑴画图法：
探究1
……
用 表示头，先画35个头
将所有头都看作鸡的，用 表示腿，画出了70只腿
还剩24只腿，在每个头上在加两只腿，共12个头加了两只腿
四条腿的是兔子(12只），两条腿的是鸡（23只）
数一数
（2）一元一次方程法：
鸡头＋兔头＝35
比算术法容易理解
鸡脚＋兔脚＝94
鸡头：x ， 兔头：35－x
鸡脚：2x
+ =94
兔脚：4（35－x）
设鸡有x只，则兔有(35－x)只，据题意得：
2x＋4（35－x）＝94
探究1
回顾上节课学习过的二元一次方程，能不能解决这一问题
探究1
那我们能不能用更简单的方法来解决这些问题呢？
今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？
（1）上有三十五头的意思是 ，
下有九十四足的意思是 .
（2）如设鸡有x只，兔有y只，那么鸡兔共有 只；
鸡足有 只；兔足有 只.
（x+y）
2x
4y
鸡、兔共有头35个
鸡、兔共有脚94只
探究1
（3）二元一次方程法
鸡 兔 合计
头 x y 35
足 2x 4y 94
解：
设笼中有鸡x只，有兔y只，
由题意可得：
x+y=35
2x+4y=94
解此方程组得：
x=23
y=12
答：笼中有鸡23只，兔12只。
探究1
容易理解，更能清晰、直接的表示等量关系。
1.设甲数为x，乙数为y，则“甲数的
二倍与乙数的一半的和是15”，列出
方程为____________.
2.小刚有5角硬币和1元硬币各若干
枚，币值共有六元五角，设5角有x
枚，1元有y枚，列出方程为
_____________.
0.5x+y=6.5
2x+0.5y=15
练习1
以绳测井。若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺。绳长、井深各几何？
题目大意是：
探究2
用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺。问绳长、井深各是多少尺？
3(y+5)=x 4(y+1)=x
探究2
（井深+5）× 3=绳长
（井深+1）× 4=绳长
解：设绳长x尺，井深y尺，则由题意得
绳长的 - 井深=5
绳长的 - 井深=1
1
3
1
4
- y=5
- y=1
x
3
x
4
所以绳长48尺，井深11尺。
等量关系
甲、乙两人赛跑，若乙先跑10米，甲跑5秒即可追上乙；若乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙.设甲速为x米/秒，乙速为y米/秒，则可列方程组为( ).
B
4y=6x
4x=6y
4y=6x
5y+10=5x,
5x=5y+10,
5x+10=5y,
4x=6y
5y=5x+10,
(A)
(B)
(C)
(D)
{
{
{
{
练习2
列二元一次方程解决实际问题的一般 步骤：
审：
设：
列：
解：
答：
审清题目中的等量关系．
设未知数．
根据等量关系，列出方程组．
解方程组，求出未知数．
检验所求出未知数是否符合题意，写出答案．
归纳
图1
图2
做一个竖式盒子要用几张长方形纸板和几张正方形纸板？
里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少只，恰好使库存的纸板用完？
竖式纸盒展开图
横式纸盒展开图
用长方形和正方形纸板作侧面和底面，
做成如图
中竖式和横式的两种无盖纸盒。现在仓库
分析：
正方形纸板张数
长方形纸板张数
x只竖式纸盒中
1000
2000
y只横式纸盒中
合计
x
2y
4x
3y
自主探究
解：设做竖式纸盒X个，横式纸盒y个。根据题意，得
解这个方程组得 x=200
y=400
答:设做竖式纸盒200个，横式纸盒400个，恰好使库存的纸板用完。
x +2y=1000
4x +3y=2000
上题中如果改为库存正方形纸板500，长方形纸板1001张，那么，能否做成若干只竖式纸盒和若干只横式纸盒后，恰好把库存纸板用完？
正方形纸板张数
长方形纸板张数
x只竖式纸盒中
500
1001
y只横式纸盒中
合计
x
2y
4x
3y
竖式纸盒展开图
横式纸盒展开图
图1
图2
练习3
解：设做竖式纸盒x个，做横式纸盒y个，根据题意
y不是自然数，不合题意，所以不可能做成若干个纸盒，恰好不库存的纸板用完．
归纳
图解
1.解决鸡兔同笼问题
2.解决以绳测井问题
3.解应用题的一般步骤
体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1.甲、乙两人参加植树活动，两人共植树20棵，已知甲植树数是乙的1.5倍。如果设甲植树x棵，乙植树y棵，那么可列方程组为（ ）
x+y=20 x=20+y
x=2.5y x=1.5y
x+y=20 x+y=20
x=1.5y x=y+1.5
(A)
(B)
(C)
(D)
C
达标测试
2.游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗？
思考下面几个问题：
1.问题中的未知数有几个？
2.有哪些等量关系？
3.怎样设未知数？可以列几个方程？
4.本题能列一元一次方程吗？
用列二元一次方程组的方法求解，有什么优点？
男孩人数－１＝女孩人数；
男孩人数＝２（女孩人数－１）
x=2(x-1 -1 )
2(y-1) -1=y
假如设男孩有x人，可根据每位男孩看到蓝色与红色的太阳帽一样多，得出方程
假如设女孩有y人，可根据每位女孩看到蓝色的太阳帽比红色的多一倍，得出方程
解：设男孩x人，女孩y人，则由题意得：
x-1=y
x=2(y-1)
整理得
x-y=1
x-2y=-2
解得
x=4
y=3
答：男孩有４人，女孩有３人．
.
应用提高
学校买铅笔、圆珠笔和钢笔共232支，共花了300元。其中铅笔数量是圆珠笔的4倍。已知铅笔每支0.60元，圆珠笔每支2.7元，钢笔每支6.3元。问三种笔各有多少支？
有三个未知量，应该怎么办呢？
三个未知量 需要三个方程 三个等量关系
学校买铅笔、圆珠笔和钢笔共232支，共花了300元。其中铅笔数量是圆珠笔的4倍。已知铅笔每支0.60元，圆珠笔每支2.7元，钢笔每支6.3元。问三种笔各有多少支？
铅笔数量+圆珠笔数量+钢笔数量=232
铅笔数量=圆珠笔数量×4
铅笔价格+圆珠笔价格+钢笔价格=300
解：设铅笔x支，圆珠笔y支，钢笔z支
根据题意，可得三元一次方程组：
x+y+z=232 ①
x=4y ②
0.6x+2.7y+6.3z=300 ③
将②代入①和③中，得二元一次方程组
4y+y+z=232 ④
0.6×4y+2.7x+6.3z=300 ⑤
解得：
X=176
Y=44
Z=12
所以，铅笔175支，圆珠笔44支，钢笔12支
布置作业
教材116页习题第2、3题。
