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课题：为什么要证明
教学目标：
知识与技能目标：
1．通过观察、猜测得到的结论不一定正确；
2．让学生初步了解，要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理．
过程与方法目标：
1．通过小组合作的活动，培养学生的合作意识和能力．
2．运用实验验证、举反例验证、推理论证等方法验证.
情感态度与价值观目标：
1．通过解决身边的实际问题，让学生初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.
2．培养学生言之有据的人生观，明白眼睛有时也会骗自己.
重点：
1．判定一个结论正确与否需进行推理；
2．初步了解要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理.
难点：
理解数学推理的重要性.
教学流程：
情境引入
1.你能判断线段a与线段b长度的大小吗
通过______，发现_______.
解：测量、a=b
2.如图，观察圆中各图形的边是线段吗
解：图形的边都是线段.
3.如图，竖线是弯曲的还是直的
通过______，发现_______.
解：测量、竖线是笔直的
4.四边形是正方形吗
解：红色线围成的图形是正方形.
5.正方形内的红色线段是平行的吗？
解：正方形内的红色线平行.
目的：
让学生初步了解，要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理，明白眼睛有时也会骗自己.
自主探究
探究1：
把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1 米的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大 你能放进一个拳头吗？先凭感觉想象一下，再具体算一算，看看你的感觉是否一致，并进行交流.21教育网
解：设赤道的周长为xm，则铁丝与赤道的间隙为：
所以能放进一个拳头.
做一做：
有3000个硬币，甲乙两位同学轮流取，规定一次只能取2k（k=0，1，2，…）个，取到最后一个的算赢，问谁会赢，写出必胜策略．21·cn·jy·com
解：谁第2个取硬币，谁一定能获胜，
理由：利用3000是3的倍数，根据第1个人无论怎样取，余下的硬币数总不是3的倍数，只有是3的倍数，这时谁取到最后一枚硬币谁胜，这时第2个人便可通过选择1枚或2枚使得余下的硬币是3的倍数，于是第1个人甲只能再使硬币数不是3的倍数，第2个人又可使它是3的倍数，因为0是3的倍数，故第1个人总不可能获胜，又游戏显然要在若干步后终止，故第2个人将获得胜利.21cnjy.com
探究2：
代数式n2－n＋11的值是质数吗 取n＝0，1，2，3，4，5试一试
解：当n＝0，1，2，3，4，5时，代数式n2－n＋11的值都是质数.
对于所有自然数n，代数式n2－n+11的值都是质数吗？
结论：对于所有自然数n，代数式n2－n+11的值不一定都是质数.
做一做：
三个口袋里，一个口袋装有两个红球，一个口袋装有两个白球，一个口袋装一红一白两个球，但口袋外面贴的标签都是错的．现在请你从其中一个口袋里取出一个球，使你能根据这个球的颜色判断出这三个口袋里球的颜色．写出你的过程和结论．
解：从贴有一红一白标签的口袋里取出一球，如果是白球，则由题设可推出这个口袋里的球是两个白球，贴红标签的口袋里必是一红一白，否则，若是两红，就与标签贴错矛盾，而贴两白标签的口袋里必是两个红球．如果取出的是红球，类似可以判断．
三、合作探究
探究3：
在 ABC中，点D，E分别是AB,AC的中点，连接DE，DE与BC有怎样的位置和数量关系？先猜一猜，再设法验证你的猜想. 你能肯定对所有的 ABC都成立吗？ www.21-cn-jy.com
解：通过度量，可以猜测：DE与BC平行，DE= 1/2BC
做一做：
有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同，请你从中挑选若干个小孩排成一个圆圈，使任意两个相邻小孩的号码数的乘积小于100，你最多能挑选适出多少小孩？2·1·c·n·j·y
解：100的算术平方根是10，先把1﹣10挑出来，再在每两个中间插一个合适的数最后应该是1﹣49﹣2﹣33﹣3﹣24﹣4﹣19﹣5﹣16﹣6﹣14﹣7﹣12﹣8﹣11﹣9﹣10，共 18个数；2个不同两位数乘积大于100，因此不能相邻，把1位数和两位数相间排列，所以最多可以排18个数．又例如：1﹣18﹣2﹣17﹣3﹣16﹣4﹣15﹣5﹣14﹣6﹣13﹣7﹣12﹣8﹣11﹣9﹣10排成圆圈．21世纪教育网版权所有
四、合作探究
观察、实验、归纳是人们认识事物的重要手段，通过实验、观察、归纳得到的结论都正确吗？在上面问题中，你是怎样判断一个结论是否正确的？说说你的经验与困惑.
五、小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
1.要说明一个数学结论是否正确，无论验证多少个特殊的例子，也无法保证其正确性.
2.要确定一个数学结论的正确性，必须进行一步一步、有根有据的推理.
六、达标测评
1.图中三条线段a，b，c，哪一条和线段d在同一直线上？
请先观察，再用直尺验证一下.
解：线段b和线段d在同一直线上.
2.图中两条线段a与b的长度相等吗？
解：线段a与b相等.
3.当n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数
解：当n为1，2，3，4，5时，n2+3n+1的值分别为5，7，19，29，41，
但是当n等于6时， n2+3n+1的值为55，
55是合数，所以，当n为正整数时，n2+3n+1的值不总是质数.
4.某班同学出去野营，其中n个人围成一圈，其余的人做观众．这几个人按顺时针方向依次编为1至n号，从1号开始表演节目，以后每隔1个人表演，某人表演完后就退出圈子作观众，当n为下列各值时，求最后一个表演节目的人是几号？
（1）n=32；（2）n=39．
解：（1）由题意，知：经过n轮后（n为正整数），剩下同学的编号为2n；∵2n≤32，即n≤5，
∴当圆圈只剩一个人时，n=5，这个同学的编号为2n=25=32．
（2）根据一圈后留下的人是2的倍数的号；两圈后留下的人分别是4的倍数的号；
得出三圈后留下的人的编号为：4，12，20，28，36，
∴四圈后留下的人的编号为：12，28，
∴五圈后留下的人的编号为：12．
七、拓展延伸
当n=0，1，2，3，4时，= 3，5，17，257，65537都是质数
结论：对于所有自然数n，的值都是质数.
当n=5时，= 4294967297=641×6700417是合数，不是质数.
八、布置作业
教材164页习题第1、2题.
费 马
欧 拉
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7.1为什么要证明
班级：___________姓名：___________得分：__________
一．选择题(每小题5分，共35分)
1．甲、乙、丙、丁四人商量周末出游．甲说：“乙去，我就肯定去．”乙说：“丙去我就不去．”丙说：“无论丁去不去，我都去．”丁说：“甲乙中至少有一人去，我就去．”以下结论可能正确的是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．甲一个人去了 B．乙、丙两个人去了
C．甲、丙、丁三个人去了 D．四个人都去了
2．某校八年级四个班的代表队准备举行篮球友谊赛．甲、乙、丙三位同学预测比赛的结果如下：
甲说：“802班得冠军，804班得第三”；
乙说：“801班得第四，803班得亚军”；
丙说：“803班得第三，804班得冠军”．
赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是（ ）
A．801班 B．802班 C．803班 D．804班
3．在足球、篮球、网球和垒球中，小张、小王、小李和小刘分别喜欢其中的一种，根据下面的提示，判断小刘喜欢的是（ ）21·cn·jy·com
①小张不喜欢网球；
②小王不喜欢足球；
③小王和小李都是既不喜欢篮球也不喜欢网球．
A．足球 B．篮球 C．网球 D．垒球
4．在甲组图形的四个图中，每个图是由四种图形A，B，C，D（不同的线段或圆）中的某两个图形组成的，例如由A，B组成的图形记为A*B，在乙组图形的（a），（b），（c），（d）四个图形中，表示“A*D”和“A*C”的是（ ）www.21-cn-jy.com
A．（a），（b） B．（b），（c） C．（c），（d） D．（b），（d）
5．甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，规则是：两人比赛，另一人当裁判，输者将在下一局中担任裁判，每一局比赛没有平局．已知甲、乙各比赛了4局，丙当了3次裁判．则第二局的输者是（ ）21·世纪*教育网
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．如图游戏：人从格外只能进入第1格，在格中，每次可向前跳1格或2格，那么人从格外跳到第6格可以有（ ）种方法．2·1·c·n·j·y
A．6 B．7 C．8 D．9
7．现有数学、木工和音乐三个专业，甲，乙，丙三位同学各喜欢其中一个，且喜欢的专业互不相同．已知他们的特征如下：21教育网
①丙是女生，她的年龄最小；
②甲讨厌木材和铁钉；
③本校只有男生才喜欢木工；
④喜欢音乐的同学年龄最大．
则喜欢数学的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断
二．填空题(每小题5分，共20分)
1．字母a，b，c，d各代表正方形、线段、正三角形、圆四个图形中的一种，将它们两两组合，并用字母连接表示，如表是三种组合与连接的对应表，由此可推断图形的连接方式为 ．2-1-c-n-j-y
2．好久未见的A，B，C，D，E五位同学欢聚一堂，他们相互握手一次，中途统计各位同学握手次数为：A同学握手4次，B同学握手3次，C同学握手2次，D同学握手1次，那么此时E同学握手 次． 21*cnjy*com
3．A、B、C、D、E、F六足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A、B、C、D、E、五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球，则还没与B队比赛的球队是 ．
4．一个黑暗的房间里有3盏关着的电灯，每次都按下其中的2个开关，最后 将3盏电灯都开亮．（填“能”或“不能”）【出处：21教育名师】
三．解答题(每小题15分，共45分)
1．某班参加校运动会的19名运动员的运动服号码恰是1～19号，这些运动员随意地站成一个圆圈，则一定有顺次相邻的某3名运动员，他们运动服号码数之和不小于32，请你说明理由．【来源：21cnj*y.co*m】
2．有一座三层楼房不幸起火，一个消防员搭梯子爬往三楼去救一个小孩子，当他爬到梯子正中1级时，二楼窗口喷出了火，他就往下退了3级，等到火过了，他又爬了7级，这时屋顶有两块杂物掉下来，他又往下退了2级，幸好没有打中他．他又向上爬了8级，这时他距离梯子最高层还有1级，问这个梯子共有几级？【版权所有：21教育】
3．在学习中，小明发现：当n=1，2，3时，n2﹣6n的值都是负数．于是小明猜想：当n为任意正整数时，n2﹣6n的值都是负数．小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由．
参考答案
一．选择题(每小题5分，共35分)
1．C
【解析】A、∵丙说：“无论丁去不去，我都去．”
∴丙一定去出游，故A选项错误；
B、∵乙说：“丙去我就不去．”，
∴由选项A可知，乙一定没去，故选项B错误；
C、∵丁说：“甲乙中至少有一人去，我就去．”
∴由选项B可知，甲、丁一定都出游，故甲、丙、丁三个人去了，此选项正确；
D、∵乙说：“丙去我就不去．”
∴四个人不可能都去出游，故此选项错误．
故选：C．
2．B
【解析】假设甲说的“902班得冠军”是正确的，那么丙说的“904班得冠军”是错误的，
“903班得第三”就是正确的，那么乙说的“903班得亚军”是错误的，
“901班得第四”是正确的，这样三人都猜对了一半，且没矛盾．
故猜测是正确的．
故选B．
3．C
【解析】由小王和小李都是既不喜欢篮球也不喜欢网球，得
小王喜欢足球、垒球；
小王不喜欢足球，得小王喜欢垒球，小李喜欢足球．
由小张不喜欢网球，得小张喜欢篮球，
只剩下网球，故小刘喜欢网球，
故选：C．
4．D
【解析】如图
由甲组的A*B B*C B*D可知
B是稍大一点的圆，
C为横线段，
D为稍小一点的圆，
A为竖线段．
所以“A*D”应当选（b），“A*C”应当选（d）．
故选：D．
5．C
【解答】由题意，知：由丙当了3次裁判知有三场比赛是甲乙比赛，丙当裁判，且这三场比赛分别是第一局，第三局，第五局：21cnjy.com
第一局：甲VS乙，丙当裁判；
第三局：甲VS乙，丙当裁判；
第五局：甲VS乙，丙当裁判；
由于输球的人下局当裁判，因此第二场输的人是丙．
故选：C．
6．C
【解析】每次向前跳l格，有唯一的跳法；
仅有一次跳2格，其余每次向前跳l格，有4种的跳法；
有两次跳2格，其余每次向前跳l格，有3种的跳法．
则共有1+4+3=8种．
故选：C．
7．C
【解析】∵丙是女生，她的年龄最小，且喜欢音乐的同学年龄最大，
∴丙同学一定不喜欢音乐，
∵甲讨厌木材和铁钉，
∴甲同学一定不喜欢木工，
∵本校只有男生才喜欢木工，
∴丙同学也不喜欢木工，
故丙同学喜欢数学．
则可得甲一定喜欢音乐，乙喜欢木工．
故选：C．
二．填空题(每小题5分，共20分)
1．a c．
【解析】结合前两个图可以看出：b代表正方形；
结合后两个图可以看出：d代表圆；
因此a代表线段，c代表三角形，
∴图形的连接方式为a c
故答案为：a c．
2．2
【解析】∵共有5个人，A同学握手4次，则A与B、C、D、E每人握手一次，
∴B、C握手一定不是与D握手，
∵B握手3次，D握手1次，∴B握手3次一定是与A、C、E的握手；
∵C握手2次，是与A和B握手．
∴E一共握手2次，是与A和B握手．
故答案为：2．
3．E．
【解析】A比了5场，
所以A与E比过，
又E只比了1场，
而B比了4场，
所以B与E没比过．
故答案为：E．
4．不能．
【解析】∵一个黑暗的房间里有3盏关着的电灯，每次都按下其中的2个开关，
∴第一次按下后有两盏电灯亮着，有一盏电灯不亮，
这样再继续按两个开关，不论怎样一定会至少有一盏电灯不亮，故最后不能将3盏电灯都开亮．
故答案为：不能．
三．解答题(每小题15分，共45分)
1．他们运动服号码数之和不小于32．
【解析】设在圆周上按逆时针顺序以1号为起点记运动服号码数为a1，a2，a3，…，a18，a19，
显然a1=1，而a2，a3，…，a18，a19就是2，3，4，5，6，…，18，19的一个排列．
令A1=a2+a3+a4；
A2=a5+a6+a7；
A3=a8+a9+a10；
A4=a11+a12+a13；
A5=a14+a15+a16；
A6=a17+a18+a19；
则A1+A2+A3+A4+A5+A6；
=a2+a3+a4+…+a17+a18+a19；
=2+3+4+…+17+18+19；
=189（*）．
如果A1，A2，A3，A4，A5，A6中每一个都≤31，则有A1+A2+A3+A4+A5+A6≤6×31=186，与（*）式矛盾．21世纪教育网版权所有
所以A1，A2，A3，A4，A5，A6中至少有一个大于31．为确定起见，不妨就是A1＞31，即a2+a3+a4＞31，但a2+a3+a4是整数，【来源：21·世纪·教育·网】
所以必有a2+a3+a4≥32成立．
所以，一定有顺次相邻的某三名运动员，他们运动服号码数之和不小于32．
2．则梯子共有23级．
【解析】设消防队员向上爬的方向为正、往下退的方向为负，并设这个楼梯共有x级．
根据题意，我们知道这个楼梯的级数是奇数（因为只有奇数级的楼梯正中间才可以站人），
列得：﹣3+7﹣2+8=x﹣1，
整理得：x+1+20=2x﹣2，
解得：x=23，
则梯子共有23级．
3．不正确．
【解析】不正确．
因为n2﹣6n=n（n﹣6），所以只要n≥6时，该式子的值都表示非负数．
解法一：（利用反例证明）例如：当n=7时，n2﹣6n=7＞0；
解法二：n2﹣6n=n（n﹣6），当n≥6时，n2﹣6n≥0．
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为什么要证明
【义务教育教科书北师版八年级上册】
学校：________
教师：________
情境引入
1.你能判断线段a与线段b长度的大小吗
a
b
测量
a=b
通过______，发现_______.
眼见不一定为实
情境引入
2.如图，观察圆中各图形的边是线段吗
解：图形的边都是线段.
情境引入
3.如图，竖线是弯曲的还是直的
测量
竖线是笔直的
通过______，发现_______________.
情境引入
4.四边形是正方形吗
解：红色线围成的图形是正方形.
情境引入
5.正方形内的红色线段是平行的吗？
解：正方形内的红色线平行.
眼见不一定为实
探究1
把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1 米的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大 你能放进一个拳头吗？先凭感觉想象一下，再具体算一算，看看你的感觉是否一致，并进行交流.
赤道
铁丝
地球
间隙
探究1
解：设赤道的周长为xm，则铁丝与赤道的间隙为：
所以能放进一个拳头.
做一做
有3000个硬币，甲乙两位同学轮流取，规定一次只能取2k（k=0，1，2，…）个，取到最后一个的算赢，问谁会赢，写出必胜策略．
做一做
解：谁第2个取硬币，谁一定能获胜，
理由：利用3000是3的倍数，根据第1个人无论怎样取，余下的硬币数总不是3的倍数，只有是3的倍数，这时谁取到最后一枚硬币谁胜，这时第2个人便可通过选择1枚或2枚使得余下的硬币是3的倍数，于是第1个人甲只能再使硬币数不是3的倍数，第2个人又可使它是3的倍数，因为0是3的倍数，故第1个人总不可能获胜，又游戏显然要在若干步后终止，故第2个人将获得胜利.
探究2
代数式n2－n＋11的值是质数吗
取n＝0，1，2，3，4，5试一试
n 0 1 2 3 4 5
n2－n＋11
11
11
13
17
23
31
解：当n＝0，1，2，3，4，5时，代数式
n2－n＋11的值都是质数.
探究2
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …
n2-n+11 11 11 13 17 23 31 41 53 67 83 101 …
是否为质数 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是
对于所有自然数n，代数式n2－n+11的值都是质数吗？
121
否
结论：对于所有自然数n，代数式n2－n+11的值不一定都是质数.
做一做
三个口袋里，一个口袋装有两个红球，一个口袋装有两个白球，一个口袋装一红一白两个球，但口袋外面贴的标签都是错的．现在请你从其中一个口袋里取出一个球，使你能根据这个球的颜色判断出这三个口袋里球的颜色．写出你的过程和结论．
做一做
解：从贴有一红一白标签的口袋里取出一球，如果是白球，则由题设可推出这个口袋里的球是两个白球，贴红标签的口袋里必是一红一白，否则，若是两红，就与标签贴错矛盾，而贴两白标签的口袋里必是两个红球．如果取出的是红球，类似可以判断．
探究3
在 ABC中，点D，E分别是AB,AC的中点，连接DE，DE与BC有怎样的位置和数量关系？先猜一猜，再设法验证你的猜想. 你能肯定对所有的 ABC都成立吗？
解：通过度量，可以猜测：DE与BC平行，DE= BC
做一做
有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同，请你从中挑选若干个小孩排成一个圆圈，使任意两个相邻小孩的号码数的乘积小于100，你最多能挑选适出多少小孩？
做一做
解：100的算术平方根是10，先把1﹣10挑出来，再在每两个中间插一个合适的数最后应该是1﹣49﹣2﹣33﹣3﹣24﹣4﹣19﹣5﹣16﹣6﹣14﹣7﹣12﹣8﹣11﹣9﹣10，共 18个数；2个不同两位数乘积大于100，因此不能相邻，把1位数和两位数相间排列，所以最多可以排18个数．又例如：1﹣18﹣2﹣17﹣3﹣16﹣4﹣15﹣5﹣14﹣6﹣13﹣7﹣12﹣8﹣11﹣9﹣10排成圆圈．
议一议
观察、实验、归纳是人们认识事物的重要手段，通过实验、观察、归纳得到的结论都正确吗？在上面问题中，你是怎样判断一个结论是否正确的？说说你的经验与困惑.
归纳
观察、实验、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确，因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅靠观察、猜想、实验是不够的；必须进行 有根有据的证明.
小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
要说明一个数学结论是否正确，无论验证多少个特殊的例子，也无法保证其正确性.
要确定一个数学结论的正确性，必须进行一步一步、有根有据的推理.
1.图中三条线段a，b，c，哪一条和线段d在同一直线上？
请先观察，再用直尺验证一下.
a
b
c
d
解：线段b和线段d在同一直线上.
达标测评
2. 图中两条线段a与b的长度相等吗？
a
b
解：线段a与b相等.
达标测评
3.当n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数吗？
解：当n为1，2，3，4，5时，
n2+3n+1的值分别为5，7，19，29，41，
但是当n等于6时， n2+3n+1的值为55，
55是合数， 所以，当n为正整数时，
n2+3n+1的值不总是质数.
达标测评
4.某班同学出去野营，其中n个人围成一圈，其余的人
做观众．这几个人按顺时针方向依次编为1至n号，从1
号开始表演节目，以后每隔1个人表演，某人表演完后
就退出圈子作观众，当n为下列各值时，求最后一个表
演节目的人是几号？
（1）n=32；（2）n=39．
达标测评
解：（1）由题意，知：经过n轮后（n为正整数），剩下同学的编号为2n；∵2n≤32，即n≤5，
∴当圆圈只剩一个人时，n=5，这个同学的编号为2n=25=32．
（2）根据一圈后留下的人是2的倍数的号；两圈后留下的人分别是4的倍数的号；
得出三圈后留下的人的编号为：4，12，20，28，36，
∴四圈后留下的人的编号为：12，28，
∴五圈后留下的人的编号为：12．
达标测评
拓展延伸
费 马
对于所有自然数n， 的值都是质数.
当n=0，1，2，3，4时，
= 3，5，17，257，65537
都是质数
当n=5时，
= 4294967297=641×6700417
举出反例是检验错误数学结论的有效方法.
欧 拉
布置作业
教材164页习题第1、2题
