正方形的性质与判定
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课件33张PPT。19.2.3 正方形定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形一个角是直角定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形一组邻边相等第十九章 四边形复习：你会折这种纸鹤吗?思考以下问题1、正方形四条边有什么关系？四个角呢？2、正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？3、我们应该怎样给正方形下定义呢？4、正方形具有哪些性质？BACD正方形四条边相等，四个角都为直角。它的边与角有什么关系?它是矩形吗?它同时也是菱形吗？四条边相等的四边形是菱形四个角为直角的四边形是矩形那什么叫做正方形？有一组邻边相等的平行四边形有一角是直角的平行四边形有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形叫做正方形定义：一.正方形的定义:矩形正方形∴有一组邻边相等
+有一个角是 直角
+平行四边形 有一组邻边相等的矩形是正方形第十九章 四边形有一个角是直角的菱形是正方形有一组邻边相等有一个角是直角有一组邻边相等有一个角是直角平行四边形有一个角是直角有一组邻边相等平行四边形矩形菱形正
方
形平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系正方形有哪些性质呢 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。二.合作探究：正方形的性质．几种特殊四边形的性质平 行
四边形矩 形菱 形边对边平行
且相等对边平行
且相等对边平行，四边都相等角对角相等，
邻角互补 四个角
都是直角对角相等，
邻角互补对 角 线对角线互相平分对角线相等
且互相平分对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角对称性中心对称图形 轴对称图形、
中心对称图形 轴对称图形、
中心对称图形对称性特征正方形是中心对称图形它也是轴对称图形(1)它具有平行四边形的一切性质两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分(2)具有矩形的一切性质四个角都是直角，对角线相等(3)具有菱形的一切性质四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角(A)(B)(C)(D)正方形的性质边对角线对边平行四边相等对角线相等 互相垂直平分每条对角线平分一组对角四个角相等且都是直角角: 正方形性质
∴八年级 数学第十九章 四边形∵正方形不仅是平行四边形，还是矩形、菱形正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A、四个角相等.
B、对角线互相垂直.
C、对角互补.
D、对角线相等.选一选2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）
A、四条边相等.
B、对角线互相垂直.
C、对角线平分一组对角.
D、对角线相等. BD3、如图，四边形ABCD是正方形，两条对角线相交于点O。
（1）一条对角线把它分成_______个全等的________ 三角形；
（2）图中一共有________个等腰直角三角形;两条对角线把它分成_______个全等的___________三角形；
（3）∠AOB＝_____度，∠OAB＝_____度．
二等腰直角四等腰直角八4590（4）求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。合作探究已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）．
求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．证明：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AC=BD， AC⊥BD，
AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）．
∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，
并且 △ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO．（4）求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。4. 怎么用两条直线把一个正方形分成面积相等的四部分？ 怎么用两条直线把一个正方形分成面积相等的四部分？5.如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BM＝CN。 练一练:6.已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M， 求证：∠MFD＝45°CN⊥BM ?7、正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F
求证：(1)OE = OF EABCDOGF综合运用:(2)若E是OB的延长线上的一点,OE = OF还成立吗? EABCDOGF 你觉得什么样的平行四边形是正方形呢?动
脑
想
一
想三.正方形的判定:矩形菱形正方形一组邻边相等一个角是直角平行四边形一组邻边相等、一个角是直角正方形的判定:1、判断以下说法是否正确，并说明理由：②对角线互相垂直的矩形是正方形③对角线相等的菱形是正方形④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形想一想① 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形判断对错1. 四边相等的四边形是正方形
2．四角相等的四边形是正方形
3．对角线垂直的平行四边形是正方形
4．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
5．四条边相等且有一个角是直角的四边形是正方形例:已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．
求证：四边形CFDE是正方形．证明：∵ DE⊥BC，DF⊥AC， ∠C=90°
∴ 四边形CFDE是矩形
∵ CD平分∠ACB且 ∠ACB=90°
∴ 直角三角形DFC是等腰直角三角形
∴ CF=DF
∴ 四边形CFDE是正方形你做对了吗？一 展 身 手总结定义性质有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形叫做正方形正方形的 两条对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角正方形的对边平行且相等正方形的四个角都是直角边对角线角对边平等且相等，四个角都是直角，两条结角线互相垂直一部分且相等，每条对角线平分一组对角。判定1、有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形。
2、有一组邻边相等的矩形是正方形。
3、有一个角是直角的菱形是正方形。总结平行四边形矩形菱形正
方
形正方形与矩形、菱形、平行四边形的关系相互关系．几种特殊四边形的性质平 行
四边形矩 形菱 形正方形边对边平行
且相等对边平行
且相等对边平行，四边都相等对边平行，
四`条边
都相等角对角相等，
邻角互补 四个角
都是直角对角相等，
邻角互补 四个角
都是直角对 角 线对角线互相平分对角线相等
且互相平分对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角对称性中心对称图形 轴对称图形、
中心对称图形 轴对称图形、
中心对称图形 轴对称图形、
中心对称图形 如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案,其中四边形ABCD和EFGH都是正方形．求证：△ABF≌△DAE． 思考题证明：∵四边形EFGH是正方形，
∴∠AFB＝∠DEA＝90， 且 ∠ABF＋∠BAF＝90，
又∵∠BAF＋∠DAE＝90， ∴∠ABF＝∠DAE．
又∵AB＝DA， ∴△ABF≌△DAE（AAS）． 作 业
1、课本103页第13题
2、课本104页第15题再见 在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）
思维拓展如何设计花坛？第十九章 四边形数一数图中正方形的个数，你发现了什么？多多多 （ ）个（ ）个 （ ）个 （ ）个第n个图中正方形有 个3n-1长见识八年级 数学第十九章 四边形
+有一个角是 直角
+平行四边形 有一组邻边相等的矩形是正方形第十九章 四边形有一个角是直角的菱形是正方形有一组邻边相等有一个角是直角有一组邻边相等有一个角是直角平行四边形有一个角是直角有一组邻边相等平行四边形矩形菱形正
方
形平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系正方形有哪些性质呢 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。二.合作探究：正方形的性质．几种特殊四边形的性质平 行
四边形矩 形菱 形边对边平行
且相等对边平行
且相等对边平行，四边都相等角对角相等，
邻角互补 四个角
都是直角对角相等，
邻角互补对 角 线对角线互相平分对角线相等
且互相平分对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角对称性中心对称图形 轴对称图形、
中心对称图形 轴对称图形、
中心对称图形对称性特征正方形是中心对称图形它也是轴对称图形(1)它具有平行四边形的一切性质两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分(2)具有矩形的一切性质四个角都是直角，对角线相等(3)具有菱形的一切性质四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角(A)(B)(C)(D)正方形的性质边对角线对边平行四边相等对角线相等 互相垂直平分每条对角线平分一组对角四个角相等且都是直角角: 正方形性质
∴八年级 数学第十九章 四边形∵正方形不仅是平行四边形，还是矩形、菱形正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A、四个角相等.
B、对角线互相垂直.
C、对角互补.
D、对角线相等.选一选2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）
A、四条边相等.
B、对角线互相垂直.
C、对角线平分一组对角.
D、对角线相等. BD3、如图，四边形ABCD是正方形，两条对角线相交于点O。
（1）一条对角线把它分成_______个全等的________ 三角形；
（2）图中一共有________个等腰直角三角形;两条对角线把它分成_______个全等的___________三角形；
（3）∠AOB＝_____度，∠OAB＝_____度．
二等腰直角四等腰直角八4590（4）求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。合作探究已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）．
求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．证明：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AC=BD， AC⊥BD，
AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）．
∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，
并且 △ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO．（4）求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。4. 怎么用两条直线把一个正方形分成面积相等的四部分？ 怎么用两条直线把一个正方形分成面积相等的四部分？5.如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BM＝CN。 练一练:6.已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M， 求证：∠MFD＝45°CN⊥BM ?7、正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F
求证：(1)OE = OF EABCDOGF综合运用:(2)若E是OB的延长线上的一点,OE = OF还成立吗? EABCDOGF 你觉得什么样的平行四边形是正方形呢?动
脑
想
一
想三.正方形的判定:矩形菱形正方形一组邻边相等一个角是直角平行四边形一组邻边相等、一个角是直角正方形的判定:1、判断以下说法是否正确，并说明理由：②对角线互相垂直的矩形是正方形③对角线相等的菱形是正方形④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形想一想① 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形判断对错1. 四边相等的四边形是正方形
2．四角相等的四边形是正方形
3．对角线垂直的平行四边形是正方形
4．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
5．四条边相等且有一个角是直角的四边形是正方形例:已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．
求证：四边形CFDE是正方形．证明：∵ DE⊥BC，DF⊥AC， ∠C=90°
∴ 四边形CFDE是矩形
∵ CD平分∠ACB且 ∠ACB=90°
∴ 直角三角形DFC是等腰直角三角形
∴ CF=DF
∴ 四边形CFDE是正方形你做对了吗？一 展 身 手总结定义性质有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形叫做正方形正方形的 两条对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角正方形的对边平行且相等正方形的四个角都是直角边对角线角对边平等且相等，四个角都是直角，两条结角线互相垂直一部分且相等，每条对角线平分一组对角。判定1、有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形。
2、有一组邻边相等的矩形是正方形。
3、有一个角是直角的菱形是正方形。总结平行四边形矩形菱形正
方
形正方形与矩形、菱形、平行四边形的关系相互关系．几种特殊四边形的性质平 行
四边形矩 形菱 形正方形边对边平行
且相等对边平行
且相等对边平行，四边都相等对边平行，
四`条边
都相等角对角相等，
邻角互补 四个角
都是直角对角相等，
邻角互补 四个角
都是直角对 角 线对角线互相平分对角线相等
且互相平分对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角对称性中心对称图形 轴对称图形、
中心对称图形 轴对称图形、
中心对称图形 轴对称图形、
中心对称图形 如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案,其中四边形ABCD和EFGH都是正方形．求证：△ABF≌△DAE． 思考题证明：∵四边形EFGH是正方形，
∴∠AFB＝∠DEA＝90， 且 ∠ABF＋∠BAF＝90，
又∵∠BAF＋∠DAE＝90， ∴∠ABF＝∠DAE．
又∵AB＝DA， ∴△ABF≌△DAE（AAS）． 作 业
1、课本103页第13题
2、课本104页第15题再见 在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）
思维拓展如何设计花坛？第十九章 四边形数一数图中正方形的个数，你发现了什么？多多多 （ ）个（ ）个 （ ）个 （ ）个第n个图中正方形有 个3n-1长见识八年级 数学第十九章 四边形