9.3.1 分式方程及其解法 课件(共29张PPT) 2025-2026学年沪科版数学七年级下册

(共29张PPT)
9.3.1 分式方程及其解法
导入新课
一艘轮船在静水中的最大航速为 30 千米/时，它沿江以最大航速顺流航行 90 千米所用时间，与以最大航速逆流航行 60 千米所用时间相等. 设江水的流速为 x 千米/时，根据题意可列方程
这个方程是我们以前学过的方程吗？它与一元一次
方程有什么区别？
.
新知探究
定义：
像这样，分母中含未知数的方程叫作分式方程.
分式方程的概念
知识要点
1
判一判 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
整式方程
分式方程
方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π 是常数，不是未知数).
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母
都约去？
（4）这样做的依据是什么？
解分式方程最关键的问题是什么？
（1）如何把它转化为整式方程呢？
如何去分母
你能试着解这个分式方程吗？
分式方程的解法
2
去分母
在方程两边同时乘以一个合适的式子
最简公分母
分式的基本性质
方程的最简公分母是：(30 + x)(30 - x)
解：方程两边同时乘以 (30 + x)(30 - x)，得
检验：将 x = 6 代入原分式方程中，左边 = = 右边，
因此 x = 6 是原分式方程的解.
90(30 - x) = 60(30 + x)，
解得 x = 6.
x = 6 是原分式方程的解吗？
解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同时乘以最简公分母. 这也是解分式方程的一般方法.
归纳
下面我们再解一个分式方程：
解：方程两边同时乘以最简公分母 (x + 5)(x - 5)，得
x + 5 = 10，
解得 x = 5.
x = 5 是原分式方程的解吗？
检验：将 x = 5 代入原方程中，分母 x - 5 和 x2 - 25的值都为 0，相应的分式无意义.
因此 x = 5 虽是整式方程 x + 5 = 10 的解，但不是原分式方程 的解.实际上，这个分式方程无解.
想一想：
上面两个分式方程中，为什么
去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，
而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？
真相揭秘：分式两边同时乘以不为 0 的式子，所得整式方程的解与分式方程的解相同.
我们再来观察去分母的过程：
90(30-x)=60(30+x)
两边同乘以(30+x)(30-x)
当x=6时，(30+x)(30-x)≠0
真相揭秘：分式两边同时乘以等于 0 的式子，所得整式方程的解使分母为 0，这个整式方程的解就不是原分式方程的解.
x + 5 = 10
两边同乘以(x + 5)(x - 5)
当 x=5 时，(x + 5)(x - 5)=0
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为 0，所以分式方程的解必须检验．
分式方程解的检验——必不可少的步骤
检验方法：
将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
1. 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；
2. 解这个整式方程；
3. 把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则该解须舍去；
4. 写出原方程的根.
简记为：“一化二解三检验”
“去分母法”解分式方程的步骤
要点归纳
例1 解方程：
解：方程两边同乘以最简公分母 x(x - 2)，得
解这个一元一次方程，得 x = -3.
检验：把 x = -3 代入 x(x - 2)，得 x(x - 2) ≠ 0.
因此 x = -3 是原方程的解.
典例精析
解：方程两边同乘以最简公分母(x + 3)(x - 3)，得
展开，得
解方程，得
所以，原方程的根是 x = 21.
例1 解方程：
(x - 1)(x - 3) - 2(x + 3)(x - 3)= -x(x + 3).
x2 - 4x + 3 - 2x2 + 18 = -x2 - 3x.
x = 21.
检验：当 x = 21 时，(x + 3)(x - 3)≠0.
典例精析
解：两边都乘以最简公分母 (x + 2)(x - 2)，得
x + 2 = 4.
解得 x = 2.
检验：把 x = 2 代入 (x + 2)(x - 2)，得 (x + 2)(x - 2) = 0.
因此 x = 2 不是原分式方程的解，原方程无解.
提醒：解分式方程时，通常要在方程两边同乘以最简公分母，验根时，只要把求得的根代入最简公分母，看它的值是否为零，使它不为零的根才是原方程的根，使它为零的根即为增根，应舍去.
用框图的方式总结为：
分式方程
整式方程
去分母
解整式方程
x = a
检验
x = a 是分式
方程的解
该分式
方程无解
当 x = a 时
最简公分母是
否为零？
否
是
例2 关于 x 的方程 的解是正数，则 a 的取值范围是_______________．
解析：去分母得 2x＋a＝x - 1，解得 x＝-a - 1.
因为关于 x 的方程 的解是正数，
所以 x＞0 且 x≠1.
所以 -a -1＞0 且 -a -1≠1，
解得 a＜-1 且 a≠-2.
a＜-1 且 a≠-2
例3 若关于 x 的分式方程 无解，求 m 的值．
分析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：整式方程无解与分式方程有增根．
方法总结：先求出方程的解 (用未知字母表示)，然后根据其解的相关条件，列出关于未知字母的不等式求解，特别注意要使分母不为 0.
解：方程两边都乘以 (x＋2)(x－2) 得
2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即 (m－1)x＝-10.
① 当 m－1＝0 时，此方程无解，此时 m＝1；
② 方程有增根，则 x＝2 或 x＝－2，
当 x＝2 时，代入 (m－1)x＝－10，得
(m－1)×2＝－10，m＝－4；
当 x＝－2时，代入(m－1)x＝－10，得
(m－1)×(－2)＝－10，解得 m＝6.
所以 m 的值是 1或－4 或 6.
分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为 0 的数；分式方程无解不但包括使最简公分母为 0 的数（增根），而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．
方法归纳
课本练习
1.解方程.
解：(1)去分母，得
5(x－2) = 3x
解得
x = 5
经检验，
x = 5 是原方程的根.
(2) 去分母，得
x－4－1 = 3－x
解得
x = 4
经检验，x = 4 是原方程的增根，
因而原方程无解.
2. 防汛期间，县指挥部组织人力到 30 km 远的堤上抢修堤坝，2 人骑摩托车先走，15 min 后，大部队乘汽车装载着所需材料出发，结果他们同时到达. 已知汽车速度是摩托车速度的 1.5 倍，求这两种车的速度.
解：设摩托车的速度为 x km/h，则汽车的速度为 1.5x km/h.
解得 x = 40
汽车速度：1.5×40 = 60 km/h.
答：摩托车速度为 40 km/h，汽车速度为 60 km/h.
中考考法
核心必知
1.分母中含有________的方程叫作分式方程.
2.解分式方程时，由于去分母时将方程两边同时乘以最简公
分母，该最简公分母的值可能为____，因此解分式方程一定要______.验根时，只要把求得的根代入最简公分母，看它的值是否为零，使它不为零的根才是原方程的根，使它为零的根即为增根，应舍去.
未知数
零
验根
课堂小结
分式
方程
误区
(1) 去分母时，原方程的整式部分漏乘；
步骤
(去分
母法)
一化 (分式方程转化为整式方程)；
二解 (整式方程)；
三检验 (把解代入到最简公分母，看是否为零)
(2) 去分母后，分子是多项式时，没有添括号 (因分数线有括号的作用)；
(3)忘记检验.
定义
分母中含未知数的方程叫做分式方程
下 课
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