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第二篇 图形与几何
第五章 四边形
第21讲 矩形、菱形与正方形
1. 了解矩形、菱形、正方形的定义及与平行四边形的内在关系.
2. 掌握矩形、菱形、正方形的判定与性质.
类型一 矩形的性质与判定
例1 （1）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为O.
①求证：△AOM≌△CON；
【答案】（1）①证明：∵MN是AC的垂直平分线，∴AO＝CO. ∵矩形ABCD，∴AB∥CD即AM∥CN，∴∠AMO＝∠CNO，∠MAO＝∠NCO. 在△AOM和△CON中， ∴△AOM≌△CON.
②若AB＝3，AD＝6，请直接写出AE＝ .
（2）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ B ）
A. AB＝CD
B. AC＝BD
C. AB＝BC
D. AC⊥BD
B
【解后感悟】
1. 矩形的判定有三条：①三个角是直角的四边形；②有一个角是直角的平行四边形；③对角线相等的平行四边形.
2. 由已知中的垂直与矩形的直角构成基本图形.
1. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝BC＝4，P是AB上的一个动点（点P与点A，B不重合），过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，连结EF.
（1）四边形PECF的形状是 矩形 .
（2）线段EF的最小值为 .
矩形
2
类型二 菱形的性质与判定
例2 如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，连结OE.
（1）若菱形的边长是10，一条对角线长是12，则此菱形的另一条对角线长是 16 .
（2）若OE＝3，则菱形的周长是 24 .
（3）若∠ABC＝60°，菱形周长是16，则菱形的面积是 8 .
16
24
8
【解后感悟】
熟记各种特殊几何图形，利用性质揭示图形的数量关系是解题关键.
2. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， ＝ .线段AB与A'B'关于过点O的直线l对称，点B的对应点B'在线段OC上，A'B'交CD于点E，则△B'CE与四边形OB'ED的面积比为 1∶3 .
1∶3
类型三 正方形的性质与判定
例3 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，能证明四边形BECF为正方形的是 ①②③ .
①BC＝AC；
②CF⊥BF；
③BD＝DF；
①②③
④AC＝BF.
【解后感悟】
正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，因此正方形具有这些图形的所有性质.正方形的判定方法有两条道路：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是正方形；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是正方形.
3. 如图，边长为5的正方形ABCD，E，F，G，H分别为各边中点，连结AG，BH，CE，DF，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形MNPQ的面积为（ C ）
A. 1 B. 2 C. 5 D. 10
C
【课本改编题】
把一张矩形纸片按如图1所示折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？
问题解决：如图1所示，已知矩形纸片ABCD（AB＞AD），将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边DC上，点A的对应点为A'，折痕为DE，点E在AB上.求证：四边形AEA'D是正方形.
【答案】【问题解决】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADA'＝90°，由翻折可知，∠DA'E＝∠A＝90°，∴∠A＝∠ADA'＝∠DA'E＝90°，∴四边形AEA'D是矩形，∵DA＝DA'，∴四边形AEA'D是正方形.
规律探索：由“问题解决”可知，图1中的△A'DE为等腰三角形.现将图1中的点A'沿DC向右平移至点Q处（点Q在点C的左侧），如图2所示，折痕为PF，点F在DC上，点P在AB上，那么△PQF还是等腰三角形吗？请说明理由.
【答案】【规律探索】△PQF是等腰三角形.理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠QFP＝∠APF，由翻折可知，∠APF＝∠FPQ，∴∠QFP＝∠FPQ，∴QF＝QP，∴△PFQ是等腰三角形.
结论应用：在图2中，当QC＝QP时，将矩形纸片继续折叠（如图3所示），使点C与点P重合，折痕为QG，点G在AB上.要使四边形PGQF为菱形，则 ＝ .
方法与对策：本题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解翻折含义，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.
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第二篇 图形与几何
第五章 四边形
第20讲 多边形与平行四边形
1. 了解多边形和平行四边形的定义及有关概念.
2. 掌握多边形内角和、外角和定理.
3. 掌握平行四边形的判定与性质.
类型一 多边形的性质
例1 如图，点A，B，C，D，E在同一平面内，连结AB，BC，CD，DE，EA，若∠BCD＝100°，则∠A＋∠B＋∠D＋∠E等于（ D ）
D
A. 220°
B. 240°
C. 260°
D. 280°
【解后感悟】
多边形的内角和常转化为三角形内角和与四边形内角和求解.
类型二 平行四边形的判定
例2 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB上， .请从“①∠B＝∠AED；②AE＝BE，AE＝CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
（1）求证：四边形BCDE为平行四边形.
【答案】（1）选择①，证明：∵∠B＝∠AED，∴DE∥CB. ∵AB∥CD，∴四边形BCDE为平行四边形；选择②，证明：∵AE＝BE，AE＝CD，∴CD＝BE. ∵AB∥CD，∴四边形BCDE为平行四边形.
（2）若AD⊥AB，AD＝8，BC＝10，求线段AE的长.
【答案】（2）由（1）得DE＝BC＝10，∵AD⊥AB，AD＝8，∴AE＝ ＝6.
【解后感悟】
平行四边形的判定可从边、角、对角线来考虑.特别地，一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形.
类型三 平行四边形的性质
例3 在 ABCD中，（1）若∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶2，则∠D＝
108° .
（2）若对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝5，BC＝3，则△BOC的周长是 7.5 .
（3）若∠A的平分线交边BC于点E. 若AB＝10 cm，AD＝14 cm，则BE＝ 10 cm，EC＝ 4 cm.
108°
7.5
10
4
【解后感悟】
利用图形和平行四边形的性质是解题关键.平行四边形的性质分为三类.角的性质：内角和为360°.边的性质：对边相等且平行.对角线的性质：对角线相互平分.
【探索研究题】
问题情境
在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在△ABC中，M，N分别为AB，AC上的动点（不含端点），且AN＝BM.
初步尝试
（1）如图1所示，当△ABC为等边三角形时，小颜发现：将MA绕点M逆时针旋转120°得到MD，连结BD，则MN＝DB，请思考并证明.
【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，AB＝AC. ∵MA绕点M逆时针旋转120°得到MD，∴DM＝AM，∠AMD＝120°，∴∠DMB＝60°.∵AN＝BM，∠DMB＝∠A＝60°，∴△ANM≌△MBD（SAS），∴MN＝DB.
类比探究
（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE⊥MN于点E，交BC于点F，将MA绕点M逆时针旋转90°得到MD，连结DA，DB. 试猜想四边形AFBD的形状，并说明理由.
【答案】（2）四边形AFBD为平行四边形.理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°.∵MA绕点M逆时针旋转90°得到MD，∴MA＝MD，∠MAD＝∠MDA＝45°，∠DMA＝∠DMB＝90°，∴∠MAD＝∠ABF＝45°，则AD∥BF. 在△ANM和△MBD中， ∴△ANM≌△MBD（SAS），∴∠AMN＝∠MDB. ∵AE⊥MN，∴∠AMN＋∠MAE＝90°.∵∠MDB＋∠MBD＝90°，∴∠DBM＝∠MAF，∴DB∥AF，则四边形AFBD为平行四边形.
拓展延伸
（3）孙老师提出新的探究方向：如图3所示，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，连结BN，CM，请直接写出BN＋CM的最小值.
【答案】（3）BN＋CM的最小值为4 .
方法与对策：本题有两个解决问题的核心要点：①对等边三角形中常见的全等模型比较熟悉，这样已知条件AN＝BM才能马上利用起来；②对探究类问题要有从得出结论到使用结论的数学意识，将全等得到的已知条件尽可能地用起来.
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