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第一篇 数与代数
第二章 方程与不等式
第9讲 一元一次不等式（组）及其应用
1. 了解不等式、不等式（组）的解集、不等式的基本性质等概念.
2. 会解一元一次不等式（组）.
3. 会用一元一次不等式解决实际问题.
类型一 不等式的基本性质
例1 （1）已知四个实数a，b，c，d，若a＞b，c＞d，则（ A ）
A. a＋c＞b＋d B. a－c＞b－d
C. ac＞bd D. ＞
（2）若实数a，b，c在数轴上对应位置如图所示，则下列不等式成立的是（ B ）
A. ac＞bc
B. ab＞cb
C. a＋c＞b＋c
D. a＋b＞c＋b
A
B
【解后感悟】
1. 选择题可以用特殊值法进行初步筛选.
2. 天平是不等式和方程的很好媒介.在天平两边同加或减去相同的质量，天平仍保持不变.
类型二 一元一次不等式的解法
例2 解不等式1＋2（x－1）≤3，并在数轴上表示解集.
【答案】1＋2（x－1）≤3，
去括号，得：1＋2x－2≤3，
移项，得：2x≤3－1＋2，
合并同类项，得：2x≤4，
化系数为1，得：x≤2.
解集表示在数轴上：
【解后感悟】
解一元一次不等式的过程与解一元一次方程极为相似，只是最后一步把系数化为1时，需要看清未知数的系数是正数还是负数.
1. 若关于x，y的二元一次方程组 的解满足x＋y≤0，则m的取值范围是 m≤－2 .
m≤－2
类型三 一元一次不等式组的解法
例3 解不等式组 并把它的解集在数轴上表示出来.
【答案】由①得7x≤14，则x≤2，由②得2x＋6＞x＋4，则x＞－2，故原不等式组的解集为：－2＜x≤2，在数轴上表示其解集如图所示.
【解后感悟】
求不等式组的解集，先分别求解每一个不等式，再利用口诀“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”或利用数轴求出各个不等式的解的公共部分.注意不等式中整数解问题.
2. 若关于x的不等式组 的解集是x＜2，则a的取值范围是（ A ）
A. a≥2 B. a＜－2 C. a＞2 D. a≤2
A
类型四 一元一次不等式应用
例4 为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1 h”的文件精神.某校利用课后服务时间，在八年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共16个班级参加.
（1）比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分.某班级在15场比赛中获得总积分为41分，问该班级胜负场数分别是多少？
【答案】（1）设该班级胜了x场，负了y场，根据题意得 解得 答：该班级胜负场数分别是13场和2场.
（2）投篮得分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分.某班级在其中一场比赛中，共投中26个球（只有2分球和3分球），所得总分不少于56分，问该班级这场比赛中至少投中了多少个3分球？
【答案】（2）设该班级这场比赛中投中了m个3分球，则投中了（26－m）个2分球，根据题意得：3m＋2（26－m）≥56，解得m≥4，答：该班级这场比赛中至少投中了4个3分球.
【解后感悟】
一元一次不等式的运用，关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系.
【课本改编题】
素材 如图所示为某商场购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长度1 m，每增加一辆购物车，叠放长度增加0.2 m.
问题解决 任务1 若某商场采购了n辆购物车，求叠放总长L与购物车辆数n的表达式.
【答案】任务1：∵一辆购物车车身长1 m，每增加一辆购物车，叠放长度增加0.2 m，∴L＝（0.8＋0.2n）m.
【答案】任务1：∵一辆购物车车身长1 m，每增加一辆购物车，叠
放长度增加0.2 m，∴L＝（0.8＋0.2n）m.
问题解决 任务2 若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为2.6 m，且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？
【答案】任务2：依题意，∵已知该商场的直立电梯长为2.6 m，且一次可以运输两列购物车，令2.6≥0.8＋0.2n，解得n≤9，∴一次性最多可以运输18辆购物车.
【答案】任务2：依题意，∵已知该商场的直立电梯长为2.6 m，且
一次可以运输两列购物车，令2.6≥0.8＋0.2n，解得n≤9，∴一
次性最多可以运输18辆购物车.
问题解决 任务3 若该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次，求：共有多少种运输方案（直立电梯和扶手电梯都使用）？
【答案】任务3：设x次扶手电梯，则（5－x）次直立电梯，由题意，∵该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次，可列方程为24x＋18（5－x）≥100，解得x≥ ，∵x为整数，∴x＝2，3，4.方案一：直立电梯3次，扶手电梯2次；方案二：直立电梯2次，扶手电梯3次；方案三：直立电梯1次，扶手电梯4次.答：共有三种方案.
【答案】任务3：设x次扶手电梯，则（5－x）次直立电梯，由题
意，∵该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆
购物车，且最多只能使用电梯5次，可列方程为24x＋18（5－x）
≥100，解得x≥ ，∵x为整数，∴x＝2，3，4.方案一：直立电梯
3次，扶手电梯2次；方案二：直立电梯2次，扶手电梯3次；方案
三：直立电梯1次，扶手电梯4次.答：共有三种方案.
方法与对策：解决项目化相关的问题，既要将已知信息转化为数学条件，又要将需要求解的问题逐一用数学问题代替.本题中用一次函数解决实际问题.
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第一篇 数与代数
第二章 方程与不等式
第6讲 一元一次方程与分式方程及其应用
1. 了解等式的基本性质.
2. 了解方程（一元一次方程、分式方程），方程解的概念.
3. 会解一元一次方程和分式方程，理解分式方程的增根产生的原因.
4. 会用一元一次方程和分式方程解决实际问题.
类型一 等式性质和方程的解的含义
例1 下列说法不一定成立的是（ D ）
A. 若a＝b，则a－3＝b－3
B. 若a＝3，则a2＝3a
C. 若3a＝2b，则 ＝
D. 若a＝b，则 ＝
【解后感悟】
1. 等式性质要考虑0的特殊情况.
2. 增根产生的原因：去分母时，两边所乘的最简公分母值为0.
D
1. 若关于x的分式方程 ＋ ＝2有增根，则m＝ －1 .
－1
类型二 解一元一次方程、分式方程
例2 解方程：x－ ＝2－ .
【答案】6x－3（x－1）＝12－2（x＋2），6x－3x＋3＝12－2x－4，3x＋3＝8－2x，3x＋2x＝8－3，5x＝5，x＝1.
【解后感悟】
解一元一次方程要注意：
1. 去分母时，不要漏乘.
2. 去括号时，注意符号.
3. 移项要变号.
解分式方程要注意：第一步应去分母，解完后要检验.
2. 解方程： ＋1＝ .
【答案】由题意得最简公分母为2（x－1），∴原方程可化为：2＋2x－2＝3.∴x＝ .检验：把x＝ 代入2（x－1）＝1≠0，且原方程左边＝右边.∴原方程的解为x＝ .
类型三 一元一次方程和分式方程的应用
例3 某粮食生产基地为了落实在适宜地区开展双季稻中间季节再种一季油菜的号召，积极扩大粮食生产规模，计划用基地的甲、乙两区农田进行油菜试种，甲区的农田比乙区的农田多10 000亩，甲区80％的农田和乙区全部农田均适宜试种，且两区适宜试种农田的面积刚好相同.
（1）求甲、乙两区各有农田多少亩？
【答案】（1）设乙区有农田x亩，则甲区有农田（x＋10 000）亩，根据题意得：80％（x＋10 000）＝x，解得x＝40 000，∴x＋10 000＝40 000＋
10 000＝50 000.答：甲区有农田50 000亩，乙区有农田40 000亩.
（2）在甲、乙两区适宜试种的农田全部种上油菜后，为加强油菜的虫害治理，基地派出一批性能相同的无人机，对试种农田喷洒除虫药，由于两区地势差别，派往乙区的无人机架次是甲区的1.2倍（每架次无人机喷洒时间相同），喷洒任务完成后，发现派往甲区的每架次无人机比乙区的平均多喷洒 亩，求派往甲区每架次无人机平均喷洒多少亩？
【答案】（2）设派往甲区每架次无人机平均喷洒y亩，则派往乙区每架次无人机平均喷洒（y－ ）亩，根据题意得： ＝ ×1.2，解得y＝100，经检验，y＝100是所列分式方程的解，且符合题意.答：派往甲区每架次无人机平均喷洒100亩.
【解后感悟】
此题关键是正确理解题意，找到合适的等量关系，列出方程.注意不要忘记检验.
3. 已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树.设男生有x人，则可列方程为 3x＋2（30－x）＝72 .
3x＋2（30－x）＝72
【阅读理解题】
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略.
洗衣过程
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干.
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干.重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标.
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2％，每次拧干后校服上都残留0.5 kg水.浓度关系式：d后＝ .其中d前，d后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：kg）.
洗衣目标
经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01％.
动手操作
请按要求完成下列任务：
（1）如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01％，需要多少千克清水？
【答案】（1）把d后＝0.01％，d前＝0.2％代入d后＝ ，得0.01％＝ ，解得w＝9.5.经检验符合题意；∴只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01％，需要9.5 kg清水.
（2）如果把4 kg清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？
【答案】（2）第一次漂洗：把w＝2 kg，d前＝0.2％代入d后＝ ，∴d后＝ ＝0.04％，第二次漂洗：把w＝2 kg，d前＝0.04％代入d后＝ ，∴d后＝ ＝0.008％，而0.008％＜0.01％，∴把4 kg清水均分，进行两次漂洗，能达到洗衣目标.
（3）比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法.
【答案】（3）由（1）（2）的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水，∴从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习.
方法与对策：实际应用题最重要的就是用代数式表示出未知量，再用这些代数式根据题意去列等式或不等式，而列式的关键是生活实际中的等量关系，或题目中给到的等量关系.
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第一篇 数与代数
第二章 方程与不等式
第7讲 二元一次方程组及其应用
1. 了解二元一次方程（组）及相关概念.
2. 会解二元一次方程组.
3. 会用二元一次方程组解决实际问题.
类型一 二元一次方程（组）的有关概念
例1 （1）已知 是关于x，y的二元一次方程x－ay＝3的一个解，则a的值为（ B ）
A. 1 B. －1 C. 2 D. －2
（2）已知方程组 则2x＋6y的值为（ C ）
A. －2 B. 2 C. －4 D. 4
B
C
【解后感悟】
第（1）题解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数a为未知数的方程.
第（2）题解题的关键是观察两方程的系数，从而求出2x＋6y的值.
1. 已知方程3x－4y＝5，用含x的式子表示y正确的是（ D ）
A. x＝ B. y＝
C. x＝ D. y＝
D
类型二 二元一次方程（组）的解法
例2 解方程（组）：
（1）
【答案】（1） ①＋②得，5x＝15.解得x＝3，将x＝3代入①得，3×3＋y＝8，解得y＝－1，故原方程组的解为
（2）
【答案】（2）方程组可化为 由②得，x＝5y－3③，③代入①得，5（5y－3）－11y＝－1，解得y＝1，把y＝1代入③得，x＝5－3＝2，因此原方程组的解是
【解后感悟】
二元一次方程组的解法，消元是关键.对于二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入消元法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单.
类型三 二元一次方程组的应用
例3 为打造古运河风光带，现有一段长为180 m的河道整治任务由A，B 两个工程队先后接力完成.A工程队每天整治12 m，B工程队每天整治8 m，共用时20天.
（1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出了尚不完整的方程组：
甲：
乙：
根据甲、乙两名同学所列的方程组，分别指出未知数x，y所表示的意义，然后补全方程组方框中的信息：
甲：x表示 A工程队工作的天数 ，
y表示 B工程队工作的天数 ；
乙：x表示 A工程队整治的河道长度 ，
y表示 B工程队整治的河道长度 .
A工程队工作的天数
B工程队工作的天数
A工程队整治的河道长度
B工程队整治的河道长度
（2）求A，B两个工程队分别整治河道多少米（写出完整的解答过程）.
【答案】若解甲的方程组 ①×8，得8x＋8y＝160 ③，②－③，得4x＝20，所以x＝5，把x＝5代入①得y＝15，所以12x＝60，8y＝120，答：A，B两工程队分别整治河道60 m和120 m.
若解乙的方程组 ②×12，得x＋1.5y＝240 ③，③－①，得0.5y＝60，所以y＝120，把y＝120代入①，得x＝60，答：A，B两工程队分别整治河道60 m和120 m.
【解后感悟】
本题为二元一次方程组相关的工程问题，甲、乙两人设了不同的x和y的含义，分别表示出了各自的工作总量并相加.注意等量关系：工作总量＝工作效率×工作时间.
2. 国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动.班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则购买方案共有（ B ）
A. 5种 B. 4种 C. 3种 D. 2种
B
【整体思想求值】
阅读感悟
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x，y满足3x－y＝5 ①，2x＋3y＝7 ②，求x－4y和7x＋5y的值.
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得x－4y＝－2，由①＋②×2可得7x＋5y＝19.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.
解决问题
（1）已知二元一次方程组 则x－y＝ －1 ，x＋y＝ 5 .
－1
5
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
【答案】（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，由题意得 2×①－②，得m＋n＋p＝6，因此5m＋5n＋5p＝5×6＝30（元）.即购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元.
（3）对于实数x，y，定义新运算：x*y＝ax＋by＋c，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算.若3*5＝15，4*7＝28，则1*1＝ －11 .
－11
方法与对策：本题的关键是运用“整体思想”求代数式的值，不追求求每一个未知数的值.遇到多个未知数，也可用消元，用一个未知数去表示另一个未知数，代入求解.
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第一篇 数与代数
第二章 方程与不等式
第8讲 一元二次方程及其应用
1. 了解一元二次方程的概念.
2. 会解一元二次方程；利用根的判别式判别方程根的情况.
3. 会用一元二次方程解决实际问题（增长率、利润、面积问题）.
类型一 一元二次方程的有关概念
例1 （1）若关于x的方程x2－kx－12＝0的一个根为3，则k＝ －1 .
（2）（a－6）x2－8x＋a2－36＝0是关于x的一元二次方程，它有一根为0，则a＝ －6 .
【解后感悟】
不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件.
－1
－6
1. 关于x的方程a（x＋m）2＋b＝0的解是x1＝－2，x2＝1（a，m，b均为常数，a≠0），则关于x的方程a（x＋m＋2）2＋b＝0的解是 x1＝－4，x2＝－1 .
x1＝－4，
x2＝－1
类型二 一元二次方程的解法
例2 用适当的方法解下列方程：
（1）2（x－2）2＝18.
【答案】x1＝5，x2＝－1.
（2）2x（x－3）＋x＝3.
【答案】x1＝3，x2＝－ .
（3）x2－2x－15＝0.
【答案】x1＝5，x2＝－3.
（4）x2－7x＋2＝0.
【答案】x1＝ ，x2＝ .
【解后感悟】
解一元二次方程要根据方程的特点选择合适的方法解题.方程（1）用直接开平方法；方程（2）提公因式x－3；方程（3）用十字相乘法或配方法；方程（4）用公式法.
2. 解方程：
（1）x（x－2）＋x－2＝0.
【答案】x1＝2，x2＝－1.
（2）x2－2 x＋7＝0.
【答案】x1＝x2＝ .
类型三 一元二次方程根的判别式
例3 关于x的一元二次方程x2－3x＋k＝0有实数根.
（1）求k的取值范围.
【答案】（1）根据题意，得b2－4ac＝（－3）2－4k≥0，解得k≤ .
（2）如果k是符合条件的最大整数，且该方程与一元二次方程（m－1）x2＋x＋m－3＝0有一个相同的根，求此时m的值.
【答案】（2）k的最大整数为2，方程x2－3x＋k＝0变形为x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2，∵一元二次方程（m－1）x2＋x＋m－3＝0与方程x2－3x＋k＝0有一个相同的根，∴当x＝1时，m－1＋1＋m－3＝0，解得m＝ ；当x＝2时，4（m－1）＋2＋m－3＝0，解得m＝1，而m－1≠0，∴m的值为 .
【解后感悟】
本题考查了根的判别式.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2－4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根.
3. 若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0没有实数根，则m的值可以是
（ D ）
A. －1 B. 0
C. 1 D.
D
类型四 市场营销问题
例4 如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门（建在EF处，另用其他材料）.
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m2的羊圈？
【答案】（1）设矩形ABCD的边AB＝x m，则边BC＝70－2x＋2＝（72－2x） m.根据题意，得x（72－2x）＝640，化简，得 x2－36x＋320＝0 解得 x1＝16，x2＝20，当x＝16时，72－2x＝72－32＝40；当x＝20时，72－2x＝72－40＝32.答：当羊圈的长为40 m，宽为16 m或长为32 m，宽为20 m时，能围成一个面积为640 m2 的羊圈.
（2）羊圈的面积能达到650 m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.
【答案】（2）不能.理由：由题意，得x（72－2x）＝650，化简，得 x2－36x＋325＝0，Δ＝（－36）2－4×325＝－4＜0，故该一元二次方程没有实数根.所以羊圈的面积不能达到 650 m2.
【解后感悟】
找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.在列出方程后不妨用特殊值代入检验，保证方程准确.
4. 如图，要设计一幅宽20 cm、长30 cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，那么横彩条和竖彩条的宽度分别是（ C ）
A. 2 cm和3 cm
B. cm和 cm
C. cm和 cm
D. cm和 cm
C
5. 我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程x2＋5x－14＝0即x（x＋5）＝14为例加以说明，构造如图1所示，大正方形的面积是（x＋x＋5）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14＋52，据此易得x＝2.那么图2是方程 x2＋3x－10＝0（答案不唯一） 的几何解法.
x2＋3x－10＝0（答案不唯一）
【探索研究题】
如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是全等的Rt△ABC和Rt△BED的边长，易知AE＝ c，这时我们把关于x的形如ax2＋ cx＋b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.请解决下列问题：
（1）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2＋ cx＋b＝0必有实数根.
【答案】（1）只要证明Δ＝b2－4ac≥0即可.Δ＝ －4ab＝2c2－4ab，∵a2＋b2＝c2，∴2c2－4ab＝2（a2＋b2）－4ab＝2（a－b）2≥0，∴关于x的“勾系一元二次方程”ax2＋ cx＋b＝0必有实数根.
（2）若x＝－1是“勾系一元二次方程”ax2＋ cx＋b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC的面积.
【答案】（2）当x＝－1时，有a－ c＋b＝0，即a＋b＝ c，由2a＋2b＋ c＝12，即2（a＋b）＋ c＝12，解得c＝2 ，解得a2＋b2＝c2＝8，a＋b＝4，由（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，可得ab＝4，因此S△ABC＝ ab＝2.
方法与对策：本题从常见图形出发，综合考查勾股定理、一元二次方程的根的判别式、一元二次方程的解、完全平方公式等知识.解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.
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