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第二篇 图形与几何
第四章 三角形
第17讲 三角形与全等三角形
1. 了解三角形的定义及有关概念.
2. 掌握三角形的性质、中位线定理.
3. 掌握两个三角形全等的判定与性质及应用（线段垂直平分线性质定理和角平分线性质定理）.
类型一 三角形的三边关系
例1 （1）若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ C ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 8
（2）如图，王师傅用4根木条钉成一个四边形木架.要使这个木架不变形，他至少还要再钉上木条（ B ）
C
B
A. 0根 B. 1根
C. 2根 D. 3根
【解后感悟】
三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.三角形具有稳定性.
1. 长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为 5 .
5
类型二 三角形的内角、外角的性质
例2 如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC. 已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连结AP，求证：∠APC＝2∠B.
【答案】证明：∵点P在AB的垂直平分线上，∴PA＝PB，∴∠PAB＝∠B，∴∠APC＝∠PAB＋∠B＝2∠B.
【解后感悟】
1. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
2. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
2. 如图，在△ABC中，AE1，BE1分别是内角∠CAB、外角∠CBD的三等分线，且∠E1AD＝ ∠CAB，∠E1BD＝ ∠CBD；在△ABE1中，AE2，BE2分别是内角∠E1AB 、外角∠E1BD的三等分线，且∠E2AD＝ ∠E1AB，∠E2BD＝ ∠E1BD……以此规律作下去，若∠C＝m°，则∠En的度数为 （ m）° .
（ m）°
类型三 三角形的角平分线、中线、高线和中位线
例3 如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高线，∠B＝30°，∠C＝80°，BE＝2，AF＝3，填空：
（1）AB＝ 6 .
（2）∠BAD＝ 35° .
（3）∠DAF＝ 25° .
（4）S△AEC＝ 3 .
6
35°
25°
3
【解后感悟】
理解三角形的角平分线、中线和高线；三角形内角和定理.揭示三线构建图形之间的联系.
3. 如图，已知∠BAC＝60°，AD是角平分线且AD＝10，作AD的垂直平分线交AC于点F，作DE⊥AC，则△DEF周长为 5＋5 .
5＋5
4. 如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，点C，D分别是OA，OB的中点，若CD＝4 cm，则该工件内槽宽AB＝ 8 cm.
8
类型四 三角形全等的判定
例4 下列各图中a，b，c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和△ABC全等的是 乙和丙 .
【解后感悟】
1. 三角形全等判定的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，HL.
2. 注意：AAA，SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.
乙和丙
5. 【活动探究】我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，如已知△ABC中，∠A＝30°， AC＝3，∠A所对的边为 ，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为 2 .
2 或
类型五 三角形全等的性质
例5 如图，已知A，B，C三点在同一条直线上，△ABD≌△EBC，AB＝12，BC＝5，则下列结论中：①CD⊥AE；②AD⊥CE；③ ＝ ；④∠EAD＝∠ECD. 其中正确的是（ B ）
B
A. ①②③
B. ①②④
C. ①③④
D. ②③④
【解后感悟】
全等三角形对应边、对应角相等.
【反思研究题】
模型建立
（1）如图1所示，已知△ABE和△BCD，AB⊥BC，AB＝BC，CD⊥BD，AE⊥BD. 用等式写出线段AE，DE，CD的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）DE＋CD＝AE. 理由如下：∵CD⊥BD，AE⊥BD，AB⊥BC，∴∠ABC＝∠D＝∠AEB＝90°，∴∠ABE＋∠CBD＝∠C＋∠CBD＝90°，∴∠ABE＝∠C. ∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCD，∴BE＝CD，AE＝BD，∴DE＝BD－BE＝AE－CD，∴DE＋CD＝AE.
模型应用
（2）如图2所示，在正方形ABCD中，点E，F分别在对角线BD和边CD上，AE⊥EF，AE＝EF. 用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由.
【答案】（2）AD＝ BE＋DF. 理由如下：过点E作EM⊥AD于点M，过点E作EN⊥CD于点N，如图2，∵四边形ABCD是正方形，BD是正方形的对角线，∴∠ADB＝∠CDB＝45°，BD平分∠ADC，∠ADC＝90°，∴ AD＝ CD＝BD，即DE＝BD－BE＝ AD－BE. ∵EN⊥CD，EM⊥AD，∴EM＝EN.
∵AE＝EF，∴Rt△AEM≌Rt△FEN，∴AM＝NF，EM＝EN. ∵EN⊥CD，EM⊥AD，∠ADC＝90°，∴四边形EMDN是正方形，∴ED是正方形EMDN的对角线，MD＝ND，∴MD＝DN＝ DE， NF＝ND－DF＝MD－DF，∴NF＝AM＝AD－MD＝AD－ DE，NF＝ DE－DF，∴AD－ DE＝ DE－DF，即AD＝ DE－DF. ∵DE＝ AD－BE， ∴AD＝ （ AD－BE）－DF，即有AD＝ BE＋DF.
模型迁移
（3）如图3所示，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD的延长线上，AE⊥EF，AE＝EF. 用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由.
【答案】（3）AD＝ BE－DF. 理由如下：过点A作AH⊥BD于点H，过点F作FG⊥BD，交BD的延长线于点G，如图3，∵AH⊥BD，FG⊥BD，AE⊥EF，∴∠AHE＝∠G＝∠AEF＝90°，∴∠AEH＋∠HAE＝∠AEH＋∠FEG＝90°，∴∠HAE＝∠FEG. 又∵AE＝EF，∴△HAE≌△GEF，∴HE＝FG.
∵在正方形ABCD中，∠BDC＝45°，∴∠FDG＝∠BDC＝45°，∴∠DFG＝45°，∴△DFG是等腰直角三角形，∴FG＝ DF，∴HE＝FG＝ DF. ∵∠ADB＝45°，AH⊥HD，∴△ADH是等腰直角三角形，∴HD＝ AD，∴DE＝HD－HE＝ AD－ DF，∴BD－BE＝DE＝ AD－ DF. ∵BD＝ AD，∴ AD－BE＝ AD－ DF，∴AD＝ BE－DF.
方法与对策：运用全等三角形的判定与性质等，注意对比信息，尝试着用前一题的结论与方法去完成下一题，构造全等是本题难点.
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第二篇 图形与几何
第四章 三角形
第16讲 线段、角、相交线和平行线
1. 了解直线、线段、射线、角的定义及有关概念.
2. 了解命题与证明的有关概念.
3. 掌握平行线的判定与性质.
类型一 线段、角的计算
例1 （1）如图，已知E，F两点把线段AB分成2∶3∶4三部分，D是线段AB的中点，FB＝12，求DF的长及AE∶AD.
【答案】设AE＝2x，EF＝3x，FB＝4x，则AB＝9x.∵D是AB的中点，∴AD＝BD＝4.5x.∵FB＝12，∴4x＝12，x＝3.又∵AF＝2x＋3x＝5x，∴DF＝5x－4.5x＝0.5x＝0.5×3＝1.5.∴AE∶AD＝（2x）∶（4.5x）＝2∶4.5＝4∶9.
（2）在同一平面上，若∠AOB＝71°，∠BOC＝15°，OE是∠AOC的平分线，则∠AOE＝ 28°或43° .
【解后感悟】
在解答有关线段、角的计算问题时，一般要注意以下几个方面：
1. 按照题中已知条件画出符合题意的图形是正确解题的前提条件.
2. 学会观察图形，找出线段或角之间的关系，列算式或方程来解答.
28°或43°
1. 将两把三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若∠AOD＝108°，则∠COB＝ 72° .
72°
类型二 相交线
例2 （1）如图所示的仪器中，OD＝OE，CD＝CE. 小州把这个仪器往直线l上一放，使点D，E落在直线l上，作直线OC，则OC⊥l，他这样判断的理由是（ C ）
C
A. 到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上
B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C. 到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
（2）在如图所示的Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是 15 .
【解后感悟】
1. 思考问题要全面是正确解答本题的关键.
2. 角平分线性质和三角形面积公式的应用.注意：角平分线上的点到角两边的距离相等.
15
2. 如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA＝6 cm，PB＝5 cm，PC＝7 cm，则点P到直线l的距离是 5 cm.
3. 如图，两直线交于点O，若∠1＋∠2＝76°，则∠1＝ 38 °.
5
38
类型三 平行线
例3 （1）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿AB折叠，量得∠1＝∠2＝59°；小铁把纸带②沿GH折叠，发现GD与GC重合，HF与HE重合，且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上，则下列判断正确的是（ D ）
D
A. 纸带①②的边线都平行
B. 纸带①②的边线都不平行
C. 纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行
D. 纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行
（2）如图，下列条件中：①∠B＋∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5.其中一定能判定AB∥CD的条件有 ①③④ （填写所有正确的序号）.
（3）如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2＝ 140° .
①③④
140°
【解后感悟】
第（1）（2）题根据图形联想平行线的判定.
第（3）题两平行线＋折线，往往通过折点添加平行线，利用平行线的性质解决问题.
4. 一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角α＝15°.顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β＝45°，则EF与FG所成锐角的度数为（ A ）
A. 60° B. 55°
C. 50° D. 45°
A
类型四 命题与证明
例4 （1）对于命题“如果∠1＋∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（ D ）
A. ∠1＝50°，∠2＝40°
B. ∠1＝50°，∠2＝50°
C. ∠1＝40°，∠2＝40°
D. ∠1＝45°，∠2＝45°
D
（2）命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是 有两个角相等的三角形是等腰三角形 .
有两个角相等的三角形是
等腰三角形
【解后感悟】
第（1）题举反例就是要满足条件，但与结论相反的例子.
第（2）题说逆命题时要注意底角、腰、斜边等专业术语.
5. 选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C＝90°，求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°”时，应先假设（ D ）
A. ∠A≤45°，∠B≤45°
B. ∠A≥45°，∠B≥45°
C. ∠A＜45°，∠B＜45°
D. ∠A＞45°，∠B＞45°
D
【动手操作题】
一副三角尺如图放置，将三角尺ADE绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），使得三角尺ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α＝ 15°或60° .
15°或60°
方法与对策：本题主要考查了垂直的定义、旋转的定义以及一副三角尺的各个角的度数，厘清定义是解答本题的关键.
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第二篇 图形与几何
第四章 三角形
第18讲 等腰三角形
1. 了解等腰三角形的定义及有关概念.
2. 掌握等腰三角形的判定与性质.
3. 掌握等边三角形的判定与性质.
类型一 等腰三角形的性质与判定
例1 如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC上.
（1）若顶角为40°，则一个底角的度数为 70° .
（2）若一个内角为50°，则顶角的度数为 80°或50° .
（3）若一个外角为100°，则顶角的度数为 80°或20° .
（4）若AD⊥BC，AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是 20 .
70°
80°或50°
80°或20°
20
（5）若BD＝DC，∠B＝50°，则∠DAC＝ 40° .
（6）若△ABC的两条边长为7 cm和14 cm，则它的底边长为 7 cm.
40°
7
【解后感悟】
等腰三角形遇边、遇角常需分类讨论.
1. 四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化.当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（ B ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
B
类型二 等边三角形的性质与判定
例2 （1）等边三角形ABC中，AB＝4，则它的高为 2 ，△ABC的面积为 4 .
2
4
（2）如图，以△ABC的三边为边分别作等边三角形ACD、等边三角形ABE、等边三角形BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB＝AC，∠BAC＝120°时，四边形AEFD是正方形.其中正确的结论是 ①② （请写出正确结论的序号）.
①②
【解后感悟】
等边三角形常涉及计算.若遇共顶点的两个等边三角形，常伴有全等.
2. 如图，等边三角形ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12 m.现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°，则新钢架减少用钢（ D ）
A. （24－12 ）m
B. （24－8 ）m
C. （24－6 ）m
D. （24－4 ）m
D
3. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F.
（1）求证：AD＝CE.
【答案】（1）略.
（2）求∠DFC的度数.
【答案】（2）60°.
类型三 等腰三角形构造的分类讨论
例3 如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP＝4，∠PBC＝60°，Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有 5 个.
【解后感悟】
当一边固定，常作“两圆一线”.
5
4. 有一三角形纸片ABC，∠A＝80°，D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是 25°或40°或10° .
25°
或40°或10°
【探索研究题】
追本溯源
题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）.
（1）如图1所示，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由.
【答案】（1）△BDE是等腰三角形.理由如下：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD. ∵DE∥BC，∴∠BDE＝∠CBD，∴∠BDE＝∠ABD，∴EB＝ED，∴△BDE是等腰三角形.
方法应用
（2）如图2所示，在 ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F，交BC于点G.
①图中一定是等腰三角形的有（ B ）
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
②已知AB＝3，BC＝5，求CF的长.
【答案】（2）②∵平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝5，由①得DA＝DF，∴CF＝DF－CD＝5－3＝2.
B
方法与对策：角平分线＋平行线可得等腰三角形，在折叠时常伴随此基本图形.熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.
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第二篇 图形与几何
第四章 三角形
第19讲 直角三角形
1. 了解直角三角形的定义及有关概念.
2. 掌握直角三角形的判定与性质.
类型一 直角三角形的性质与判定
例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.
（1）若∠A＝46°，则∠B＝ 44° .
（2）若∠A＝3∠B，则∠B＝ 22.5° .
44°
22.5°
（3）若∠B＝30°，D为线段AB的中点，CD＝6，则∠ACD＝ 60° ；AB＝ 12 ；BC＝ 6 .
【解后感悟】
含30°角的直角三角形三边之比为1∶ ∶2.
60°
12
6
1. 如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D为BC边的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，则四边形AEDF的面积为（ C ）
A. 18 B. 9 C. 9 D. 6
C
类型二 直角三角形的分类讨论
例2 （1）如图，已知∠AON＝40°，OA＝6，P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A＝ 50°或90° .
（2）Rt△ABC中有一个角比另一角的2倍小60°，则直角三角形中最小的角的度数为 40°或15° .
（3）在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则BC＝ 14或4 .
50°或90°
40°或15°
14或4
【解后感悟】
解本题时注意数形结合与分类讨论，易错点在于漏解.第（1）（2）题直角的不确定，第（3）题三角形的形状不确定，故要分类讨论.
2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－x－2过A，B，C三点，在对称轴上存在点P，以P，A，C为顶点的三角形为直角三角形.则点P的坐标是 .
或 或 或
类型三 勾股定理的应用
例3 如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形.设图中AF＝a，DF＝b，连结AE，BE，若△ADE与△BEH的面积相等，则 ＋ ＝ 3 .
【解后感悟】
3
解题的关键是构造关于 的一元二次方程.
3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点E，F，G，H，M，N都在同一个圆上.记该圆面积为S1，△ABC面积为S2，则 的值是（ C ）
A.
B. 3π
C. 5π
D.
C
类型四 直角三角形的探究问题
例4 如图1所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝ ，点D在AC上，点E在BC上，且CD＝CE，连结DE.
（1）线段BE与AD的数量关系是 BE＝AD ，位置关系是 BE⊥AD .
BE＝AD
BE⊥AD
（2）如图2所示，当△CDE绕点C顺时针旋转一定角度α后，第（1）题中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由.
【答案】（2）仍然成立.如图1，延长BE交AD于点M. ∵在△BCE和△ACD中，BC＝AC，∠BCE＝∠ACD＝α，CE＝CD，∴△BCE≌△ACD（SAS）.∴BE＝AD. ∵∠1＝∠2，∠CAD＝∠CBE，∴∠AMB＝∠ACB＝90°.即BE⊥AD.
图1
（3）绕点C继续顺时针旋转△CDE，当90°＜α＜180°时，延长DC交AB于点F，求出当AF＝1＋ 时，旋转角α的度数，并在图3中补全图形.
【答案】（3）如图2，过点C作CN⊥AB于点N，∵AC＝BC＝ ，∠ACB＝90°，∴CN＝AN＝ AB＝1，∠BCN＝45°.∵AF＝1＋ ，∴FN＝AF－AN＝ .在Rt△CNF中，tan∠FCN＝ ＝ ，∴∠FCN＝30°.∴∠BCF＝∠BCN－∠FCN＝15°.∵∠FCE＝90°，∴∠BCE＝∠BCF＋∠FCE＝105°.∴当AF＝1＋ 时，旋转角α为105°.
图2
【解后感悟】
本题主要考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，通过添加适当的辅助线，从而能用第（1）（2）题中积累的经验去解决第（3）题.它是中考的热点题型.
【直角三角形分类讨论】
在如图所示的△ABC中，AB＝BC＝4，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP＝ 2 或2 .
方法与对策：对直角三角形中“角”的分类讨论，可分别对每一个内角是否为直角展开讨论.
2 或2 或2
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