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第一篇 数与代数
第三章 函数及其图象
第11讲 一次函数
1. 了解一次函数的定义，能根据条件确定一次函数的表达式.
2. 掌握一次函数的图象与性质.
3. 运用一次函数的图象解决不等式、方程的问题.
4. 运用一次函数解决简单的实际问题.
类型一 求一次函数的表达式
例1 （1）已知y是x的一次函数，当x＝3时，y＝1；当x＝－2时，y＝－4，则这个一次函数的表达式是 y＝x－2 .
（2）一次函数y＝2x＋6向右平移4个单位长度的函数表达式为 y＝2x .
（3）一次函数y＝kx＋6与坐标轴交于A，B两点，且△AOB的面积为9，则k＝ ±2 .
y＝x－2
y＝2x－2
±2
【解后感悟】
直线平移，k不变；注意数形结合、分类讨论思想的运用.
类型二 一次函数的图象和性质
例2 一次函数y＝2x＋6.
（1）图象经过第 一、二、三 象限.
（2）图象与x轴的交点坐标为 （－3，0） ，与y轴的交点坐标为 （0，6 .
（3）当－1＜x≤1时，y的取值范围是 4＜y≤8 .
（4）当点A（－5，y1）和B（－2，y2）都在图象上，则y1与y2的关系是 y1＜y2 .
（5）图象与两坐标轴围成的三角形面积是 9 .
【解后感悟】
一次函数的图象与性质问题，数形结合思想是解题的关键.
一、二、三
（－3，0）
（0，6）
4＜y≤8
y1＜y2
9
1. 一次函数y＝kx＋b，当－1＜x＜1时，4＜y＜8，则此函数的表达式为 y＝2x＋6或y＝－2x＋6 .
2. 如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点与原点重合，AB＝2，AD＝1，过定点Q（0，2）和动点P（a，0）的直线与矩形ABCD的边有公共点，则：
y＝2x＋6或y＝－2x＋6
（1）a的取值范围是 －2≤a≤2 .
（2）若设直线PQ为y＝kx＋2（k≠0），则此时k的取值范围是 k≤－1或k≥1 .
－2≤a≤2
k≤－1
或k≥1
类型三 一次函数与一次方程（组）及一元一次不等式（组）
例3 若直线y＝2x＋6与直线y＝x＋b的交点在第二象限，则b的取值范围为 3＜b＜6 .
【解后感悟】
注意画图，数形结合.
3＜b＜6
类型四 一次函数的应用
例4 某工厂计划生产甲、乙两种产品共2 500 t，每生产1 t甲产品可获得利润0.3万元，每生产1 t乙产品可获得利润0.4万元.设该工厂生产了甲产品x t，生产甲、乙两种产品获得的总利润为y万元.
（1）求y与x之间的函数表达式.
【答案】（1）y＝x×0.3＋（2 500－x）×0.4＝－0.1x＋1 000.
（2）若每生产1 t甲产品需要A原料0.25 t，每生产1 t乙产品需要A原料0.5 t.受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1 000 t，其他原料充足.求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润.
【答案】（2）由题意，得x×0.25＋（2 500－x）×0.5≤1 000，解得x≥
1 000.又∵x≤2 500，∴1 000≤x≤2 500.由（1）可知，－0.1＜0，∴y的值随着x的增大而减小.∴当x＝1 000时，y取最大值，此时生产乙产品2 500－1 000＝1 500（t）.答：工厂生产甲产品1 000 t，乙产品1 500 t时，能获得最大利润.
【解后感悟】
一次函数在实际应用中受自变量范围影响，函数值有最大或最小值.一次函数最值要理清两要素：
1. k的正负，函数的增减性.
2. 自变量的范围，点明x取何值时，函数有最值.
【图表信息题】
区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度.小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20 km的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶 h，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100 km/h.汽车在区间测速路段行驶的路程y（km）与在此路段行驶的时间x（h）之间的函数图象如图所示.
（1）a＝ .
（2）当 ≤x≤a时，求y与x之间的函数关系式.
【答案】（2）设当 ≤x≤ 时，y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0），则 解得 ∴y＝90x＋2 .
（3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120 km/h）.
【答案】（3）当x＝ 时，y＝90× ＋2＝9.5，∴先匀速行驶 h的速度为9.5÷ ＝114（km/h），∵114＜120，∴该辆汽车减速前没有超速.
方法与对策：用一次函数解决行程问题，图象非常关键.图象中的起点、终点、拐点和交点的含义要明确，有一些是表示题目中的已知信息，要对应好；有一些是表示题目所要求的问题，要明确.1c
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第一篇 数与代数
第三章 函数及其图象
第13讲 二次函数的图象与性质（一）
1. 了解二次函数的定义，能根据条件确定二次函数表达式（三种表达式）.
2. 掌握二次函数的图象与性质（增减性、最值）.
3. 掌握抛物线的平移与对称变换.
类型一 二次函数的表达式
例1 （1）已知抛物线的顶点坐标为（－1，－8），且过点（0，－6），则该抛物线的表达式为 y＝2（x＋1）2－8 .
（2）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A（－1，－1），B（0，2），C（1，3），则二次函数的表达式为 y＝－x2＋2x＋2 .
（3）已知抛物线过点A（2，0），B（－1，0），与y轴交于点C，且OC＝2.则这条抛物线的表达式为 y＝x2－x－2或y＝－x2＋x＋2 .
y＝2（x＋1）2－8
y＝－x2＋2x＋2
y＝x2－x－2或y＝－x2＋x＋2
【解后感悟】
当已知抛物线上三点求二次函数的关系式时，采用一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）；当已知抛物线顶点坐标（或对称轴及最大或最小值）求关系式时，一般采用顶点式y＝a（x－h）2＋k；当已知抛物线与x轴的交点坐标求二次函数的关系式时，一般采用交点式y＝a（x－x1）（x－x2）.
1. 如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为（3，0），那么它对应的函数表达式是 y＝－x2＋2x＋3 .
y＝－x2＋2x＋3
类型二 二次函数的图象与性质
例2 如图，已知二次函数y＝x2＋ax＋3的图象经过点P（－2，3）.
（1）求a的值和图象的顶点坐标.
【答案】（1）把P（－2，3）代入y＝x2＋ax＋3，得3＝（－2）2－2a＋3，解得a＝2.∵y＝x2＋2x＋3＝（x＋1）2＋2，∴顶点坐标为（－1，2）.
【答案】（2）①把x＝2代入y＝x2＋2x＋3，求得y＝11，
∴当m＝2时，n＝11
【解后感悟】
本题最后一问与前面几问有联系，可借助函数图形解决问题.
（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上.
①当m＝2时，求n的值；
【答案②2≤n＜11.
②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围.
2. 已知一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的几组对应值见下表：
x … －4 －2 0 3 5 …
y … －24 －8 0 －3 －15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ D ）
A. 图象的开口向上
B. 当x＞0时，y的值随x的值增大而增大
C. 图象经过第二、三、四象限
D. 图象的对称轴是直线x＝1
D
类型三 二次函数的图象变换
例3 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋4x－3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D. 点B的坐标是（1，0）.
（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围.
【答案】（1）把B（1，0）代入y＝ax2＋4x－3，得0＝a＋4－3，解得a＝－1，因此y＝－x2＋4x－3＝－（x－2）2＋1，即A（2，1），∵对称轴为直线x＝2，点B，C关于直线x＝2对称，∴C（3，0），∴当y＞0时，1＜x＜3.
（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式.
【答案】（2）∵D（0，－3），∴点D平移到点A，抛物线向右平移2个单位长度，向上平移4个单位长度，可得抛物线的表达式为y＝－（x－4）2＋5.
【解后感悟】
二次函数的图象变换要紧盯顶点的变化和开口方向.
3. 已知抛物线y＝2（x－4）2－1.
（1）将该抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的表达式为 y＝2x2＋1 .
（2）将该抛物线关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的表达式为 y＝－2（x＋4）2＋1 .
（3）将该抛物线绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的表达式是 y＝－2\\（x－4）2－1 .
y＝2x2＋1
y＝－2（x＋4）2
＋1
y＝－2
（x－4）2－1
【分类讨论题】
已知二次函数y＝x2＋bx＋c（b，c为常数）的图象经过点A（－2，5），对称轴为直线x＝－ .
（1）求二次函数的表达式.
【答案】（1）设二次函数的表达式为y＝ ＋k，把A（－2，5）代入得 ＋k＝5，解得k＝ ，∴y＝ ＋ ＝x2＋x＋3.
（2）若点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2＋bx＋c的图象上，求m的值.
【答案】（2）点B平移后的点的坐标为（1－m，9），则9＝（1－m）2＋（1－m）＋3，解得m＝4或m＝－1（舍），∴m的值为4.
（3）当－2≤x≤n时，二次函数y＝x2＋bx＋c的最大值与最小值的差为 ，求n的取值范围.
【答案】（3）当n＜－ 时，∴最大值与最小值的差为5－ ＝ ，解得n1＝n2＝－ ，不符合题意，舍去；当－ ≤n≤1时，∴最大值与最小值的差为5－ ＝ ，符合题意；当n＞1时，最大值与最小值的差为 ＋ － ＝ ，解得n1＝1或n2＝－2，不符合题意；综上所述，n的取值范围为－ ≤n≤1.
方法与对策：本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数表达式及根据数形结合确定函数值的大小.
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第一篇 数与代数
第三章 函数及其图象
第12讲 反比例函数
1. 了解反比例函数的定义，能根据条件确定反比例函数表达式.
2. 掌握反比例函数的图象与性质.
3. 运用反比例函数的图象解决不等式、方程的问题.
4. 运用反比例函数解决简单的实际问题.
类型一 反比例函数的图象与性质
例1 已知反比例函数y＝ （k≠0）.
（1）若该函数的图象经过点A（1，－2），则k＝ －2 .
（2）若k＞0，点A（－1，y1），B（1，y2）和C（2，y3）都在该函数的图象上，则 y1＜y3＜y2 （填y1，y2，y3的大小关系，用“＜”连接）.
（3）若该函数的图象与y＝ 的图象关于y轴成轴对称，则该函数的表达式为 y＝－ .
【解后感悟】
利用函数图象特点解决，如增减性、对称性问题.
－2
y1＜y3＜y2
y＝－
1. 若反比例函数y1＝ ，y2＝－ ，当1≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最大值是b，则ab＝ .
类型二 反比例函数k的几何意义
例2 如图，正比例函数y＝kx与函数y＝ 的图象交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则S△ABC＝ 12 .
12
【解后感悟】
反比例函数y＝ 中k的几何意义：如图，点P是双曲线上任意一点，过点P作PA⊥x轴于点A，作PB⊥y轴于点B，设点P的坐标为（x，y），则PA＝｜y｜，PB＝｜x｜.S矩形PAOB＝｜x｜·｜y｜＝｜xy｜，∵y＝ ，∴xy＝k，∴S矩形PAOB＝｜k｜.
2. 如图，矩形OABC中，点B在反比例函数y＝ 的图象上，BC与反比例函数y＝ （k≠0）交于点D，若△BOD的面积为2，则k＝ 2 .
2
类型三 反比例函数的应用
例3 在实验课上，小明做了一个试验.如图1所示，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5 g.在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡.
图1
托盘B与点C的距离x/cm 30 25 20 15 10
容器与水的总质量y1/g 10 12 15 20 30
加入的水的质量y2/g 5 7 10 15 25
改变托盘B与点C的距离x（cm）（0＜x≤60），记录容器中加入的水的质量，得到下表：
把上表中的x与y1各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连结起来，得到如图2所示的y1关于x的函数图象.
（1）请在该平面直角坐标系中作出y2关于x的函数图象.
【答案】（1）作出y2关于x的函数图象如图.
图2
图2
（2）观察函数图象，并结合表中的数据：
①猜测y1与x之间的函数关系，并求y1关于x的函数表达式；
【答案】（2）①观察表格可知，y1是x的反比例函数，设y1＝ ，把（30，10）代入得：10＝ ，∴k＝300，∴y1关于x的函数表达式是y1＝ ；
②求y2关于x的函数表达式；
【答案】②∵y1＝y2＋5，∴y2＋5＝ ，∴y2＝ －5.
③当0＜x≤60时，y1随x的增大而 减小 （填“增大”或“减小”），y2随x的增大而 减小 （填“增大”或“减小”），y2的图象可以由y1的图象向 下 （填“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到.
减小
减小
下
（3）若在容器中加入的水的质量y2（g）满足19≤y2≤45，求托盘B与点C的距离x（cm）的取值范围.
【答案】（3）∵y2＝ －5，19≤y2≤45，∴19≤ －5≤45，∴24≤ ≤50，∴6≤x≤12.5.
【解后感悟】
解这类问题既要能根据图象信息理解其实际意义，还要关注一些特殊点的位置和坐标运用等.
【探索研究题】
背景
在一次物理实验中，小冉用一固定电压为12 V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值RL＝2 Ω）亮度的实验（如图1所示），已知串联电路中，电流与电阻R，RL之间关系为I＝ ，通过实验得出如下数据：
R/Ω … 1 a 3 4 6 …
I/A … 4 3 2.4 2 b …
图1
（1）a＝ 2 ，b＝ 1.5 .
2
1.5
探究
（2）根据以上实验，构建出函数y＝ （x≥0），结合表格信息，探究函数y＝ （x≥0）的图象与性质.
①在图2的平面直角坐标系中画出对应函数y＝ （x≥0）的图象；
图2
图2
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是 不断减小 .
不断减小
【答案】（2）①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中画出对应函数y＝ （x≥0）的图象如图2所示.
拓展
（3）结合（2）中函数图象分析，当x≥0时， ≥－ x＋6的解集为 x≥2或x＝0 .
方法与对策：此题是反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，画出函数图象，利用数形结合的思想解决问题.
x≥2或x＝0
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第三章 函数及其图象
第15讲 二次函数的应用
能利用二次函数解决实际问题（抛物线形、实际最值、几何图形结合）.
类型一 利用二次函数解决抛物线形问题
例1 廊桥是我国古老的文化遗产，下图是某座抛物线形的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y＝－ x2＋10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8 m的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是 18 m.
18
【解后感悟】
抛物线形题常见的有篮球的运动路径，抛物线形拱桥等.
类型二 几何图形中的函数应用
例2 在Rt△POQ中，OP＝OQ＝4，M是PQ的中点，将一把三角尺的直角顶点放在点M处，以点M为旋转中心旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A，B.
（1）求证：MA＝MB.
【答案】（1）连结OM，证△PMA和△OMB全等即可.证明略.
（2）连结AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.
【答案】（2）由（1）可知OP＝OA＋PA＝OA＋OB＝4，再令OA＝x，AB＝y，∵在Rt△AOB中，利用勾股定理得y2＝x2＋（4－x）2＝2x2－8x＋16＝2（x－2）2＋8，∴当x＝2时，y2有最小值8，从而y的最小值为2 .∴△AOB的周长存在最小值，其最小值是4＋2 .
【解后感悟】
该题的第（2）题是最小值问题，主要去构建一个函数模型，然后利用性质求最小值.在构造函数模型时注意两个方面：一是揭示基本图形，寻找基本的数量关系；二是确立哪个量作为自变量来构建函数.
类型三 利用二次函数解决营销问题
例3 某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）与销售量y（件）的关系见下表：
x/万元 10 12 14 16
y/件 40 30 20 10
（1）求y与x的函数关系式.
【答案】（1）由表格中数据可知，y与x之间的函数关系是一次函数关系.设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，∵当x＝10时，y＝40，当x＝12时，y＝30，∴ 解得 ∴y与x的函数关系式为y＝－5x＋90.
（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少万元？
【答案】（2）设利润为w万元，∵w＝（x－8）（－5x＋90）＝－5x2＋130x－720＝－5（x－13）2＋125，∴当x＝13时，w有最大值，最大值为125，∴当销售单价为13万元时，有最大利润，最大利润为125万元.
【解后感悟】
本题关键是根据销售利润等于单件的利润与销售件数的乘积，列出函数关系式.在求实际最值时，常需检验抛物线顶点有没有在自变量的取值范围内.
接上例3，若某科技公司计划将进货成本控制在不多于160万元，则当销售单价为 14 万元时，有最大利润，最大利润为 120 万元.
14
120
【抛物线与几何综合】
将一个平行四边形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（3，0），点B，C在第一象限，且OC＝2，∠AOC＝60°.
（1）填空：如图1所示，点C的坐标为 （1 ） ，点B的坐标为 （4， ） .
（1， ）
（4， ）
（2）若P为x轴正半轴上的一动点，过点P作直线l⊥x轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点O'落在x轴的正半轴上，点C的对应点为C'.设OP＝t.
①如图2所示，若直线l与边CB相交于点Q，当折叠后四边形PO'C'Q与 OABC重叠部分为五边形时，O'C'与AB相交于点E. 试用含t的式子表示线段BE的长，并直接写出t的取值范围；
【答案】（2）①∵过点P作直线l⊥x轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点O'落在x轴的正半轴上，∴∠OO'C'＝∠AOC＝60°，O'P＝OP，∴OO'＝2OP＝2t，∵A（3，0），∴OA＝3，∴AO'＝OO'－OA＝2t－3，∵四边形OABC为平行四边形，∴AB＝OC＝2，AB∥OC，∠O'AB＝∠AOC＝60°，∴△EO'A是等边三角形，∴AE＝AO'＝2t－3，∵BE＝AB－AE，∴BE＝AB－AE＝2－（2t－3）＝5－2t，∴BE＝－2t＋5，且t的取值范围为 ＜t＜ .
②设折叠后重叠部分的面积为S，当 ≤t≤ 时，求S的取值范围（直接写出结果即可）.
【答案】② ≤S≤
方法与对策：函数图象与几何综合问题，一般由函数图象的表达式提供坐标等信息；由几何图形提供对应的性质，得到等量关系；一般要考查的也是图象的表达式、坐标点，或者求几何图形的线段与角，以及证明一些特殊性.两者的条件要学会综合运用并转化.
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第一篇 数与代数
第三章 函数及其图象
第10讲 坐标与函数
1. 了解确定物体在平面上位置的方法.
2. 了解平面直角坐标系及有关概念.
3. 了解函数的有关概念（函数定义及表示方法、自变量取值）.
4. 掌握点的坐标特征、平移和对称规律.
类型一 确定物体在平面内的位置
例1 （1）小李、小王、小张、小谢原有位置如图所示（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列.撤走第1排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（ B ）
B
A. 小李现在的位置为第1排第2列
B. 小张现在的位置为第3排第2列
C. 小王现在的位置为第2排第2列
D. 小谢现在的位置为第4排第2列
（2）以水平数轴的原点O为圆心，过正半轴Ox上的每一刻度点画同心圆，将Ox逆时针依次旋转30°，60°，90°，…，330°得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点A，B的坐标分别表示为（5，0°），（4，300°），则点C的坐标表示为 （3，240°） .
（3，240°）
【解后感悟】
常见在平面内确定位置的方法：“有序实数对法”和“方向距离法”.
类型二 点的坐标特征
例2 （1）在平面直角坐标系中，点P（1－m，5－2m）在第二象限，则整数m＝ 2 .
（2）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（－2，3），线段AB∥y轴且AB＝5，则点B的坐标为 （－2，－2）或（－2，8） .
【解后感悟】
坐标轴上的点不属于任一象限；x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0.
2
（－2，－2）或（－2，8）
1. 如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为（3，4），则顶点A的坐标为（ C ）
A. （－4，2） B. （－ ，4）
C. （－2，4） D. （－4， ）
C
类型三 点的平移与对称
例3 在平面直角坐标系中，点P（3，－2）关于x轴的对称点是 （3， ，关于y轴的对称点是 （－3，－2） ，关于原点的对称点是 （－3， ，将点P先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后点P的坐标为 （6，－4） .
【解后感悟】
关于平移，根据“横坐标左减，右加；纵坐标上加，下减”的原则进行对坐标的变换；求关于直线x＝a的对称点的坐标用画图方法解决.
（3，2）
（－3，－2）
（－3，2）
（6，－4）
2. 在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”.将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度.
例：“和点”P（2，1）按上述规则连续平移3次后，到达点P3（2，2），其平移过程如下：
P（2，1） P1（3，1） P2（3，2） P3（2，2）
余0
余1
余2
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16（－1，9），则点Q的坐标为（ D ）
A. （6，1）或（7，1）
B. （15，－7）或（8，0）
C. （6，0）或（8，0）
D. （5，1）或（7，1）
D
类型四 函数概念
例4 如图是一种轨道示意图，其中ADC和AB均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且AM＝CN. 现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以相同的速度匀速移动，其路线分别为M→A→D→C→N和N→C→B→A→M. 若移动时间为x，两个机器人之间距离为y，则y与x关系的图象大致是（ D ）
D
A. B. C. D.
【解后感悟】
本题主要考查对函数图象的读图能力、函数与实际问题的结合.要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论.
3. 根据函数的定义：对于每一个确定的x值，存在确定的唯一y值与之对应，则下列各曲线表示的y与x的关系中，y不是x的函数的是（ C ）
A. B. C. D.
C
【探索研究题】
阅读下面材料：
小明想探究函数y＝ 的性质，他借助计算器求出了y与x的几组对应值，并在平面直角坐标系中画出了函数图象：
x … －3 －2 －1 1 2 3 …
y … 2.83 1.73 0 0 1.73 2.83 …
小聪看了一眼就说：“你画的图象肯定是错误的.”
请回答：（1）请说出小聪判断的理由.
【答案】（1）因为函数值不可能为负，所以在x轴下方不会有图象.（答案不唯一）
（2）请指出x的取值范围.
【答案】（2）x≤－1或x≥1.
（3）请写出函数y＝ 的一条性质.
【答案】（3）当x≤－1时，y随x增大而减小；当x≥1时，y随x增大而增大.（答案不唯一）
方法与对策：要善于从表格中发现点的坐标关联，从而想到图象特征，如图象关于y轴对称，最小值是0，等等.
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第一篇 数与代数
第三章 函数及其图象
第14讲 二次函数的图象与性质（二）
1. 掌握二次函数的图象与性质（判a，b，c，b2－4ac符号）.
2. 掌握二次函数与方程、不等式的关系.
类型一 二次函数与方程、不等式的关系
例1 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值见下表：
x … －1 0 1 2 …
y … －5 1 3 1 …
则下列判断中正确的是（ D ）
A. 抛物线开口向上
B. 抛物线与y轴交于负半轴
C. 当x＝3时，y＞0
D. 方程ax2＋bx＋c＝0的正根在2与3之间
D
【解后感悟】
读表时要抓住y相等的两个x的值.描点画图有助于问题的解决.
1. 下表是一组二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值：
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y －1 －0.49 0.04 0.59 1.16
那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是（ C ）
A. 1 B. 1.1
C. 1.2 D. 1.3
C
2. 已知函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c＋3＝0的根的情况是（ B ）
A. 无实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个异号的实数根
D. 有两个同号不等的实数根
B
类型二 二次函数的图象特征与a，b，c之间关系
例2 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2－4ac＞0；③4a＋b＝1；④不等式ax2＋（b－1）x＋c＜0的解集为1＜x＜3.其中正确结论的个数是（ C ）
C
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【解后感悟】
既要熟练从图象判a，b，c，b2－4ac，也要从a，b，c，b2－4ac判断图象的大致位置.
3. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值见下表：
x －4 －3 －1 1 5
y 0 5 9 5 －27
下列结论：①abc＞0；②关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝9有两个相等的实数根；③当－4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5；④若点（m，y1），（－m－2，y2）均在二次函数图象上，则y1＝y2；⑤满足ax2＋（b＋1）x＋c＜2的x的取值范围是x＜－2或x＞3.其中正确结论的序号为 ①②④ .
①②④
类型三 二次函数的综合运用
例3 如图，抛物线过点O（0，0），E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上.设B（t，0），当t＝2时，BC＝4.
（1）求抛物线的函数表达式.
【答案】（1）设抛物线的表达式为y＝ax（x－10），∵当t＝2时，BC＝4，∴点C的坐标为（2，－4）.将点C坐标代入表达式得2a（2－10）＝－4，解得a＝ ，∴抛物线的函数表达式为y＝ x2－ x.
（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？
【答案】（2）由抛物线的对称性得AE＝OB＝t，∴AB＝10－2t，当x＝t时，BC＝－ t2＋ t，∴矩形ABCD的周长＝2（AB＋BC）＝2［（10－2t）＋（－ t2＋ t）］＝－ t2＋t＋20＝－ （t－1）2＋ ，∵－ ＜0，∴当t＝1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为 .
（3）保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离.
【答案】（3）如图，连结AC，BD相交于点P，连结OC，取OC的中点Q，连结PQ，GH，∵t＝2，∴B（2，0），∴A（8，0），∵BC＝4.∴C（2，－4），∵直线GH平分矩形ABCD的面积，∴直线GH过点P，由平移的性质可知，四边形OCHG是平行四边形，∴PQ＝CH，∵四边形ABCD是矩形，∴P是AC的中点，∴P（5，－2），易得Q（1，－2），∴PQ＝4，∴抛物线向右平移的距离是4个单位长度.
【解后感悟】
解题的关键是待定系数法求函数表达式、二次函数的性质及平移变换的性质等知识点.
【探索研究题】
如图，抛物线y＝x2＋mx与直线y＝－x＋b交于点A（2，0）和点B.
（1）求m和b的值.
【答案】（1）∵点A（2，0）同时在y＝x2＋mx与y＝－x＋b上，∴0＝22＋2m，0＝－2＋b，解得m＝－2，b＝2.
（2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2＋mx＞－x＋b的解集.
【答案】（2）由（1）得抛物线的表达式为y＝x2－2x，直线的表达式为y＝－x＋2，解方程x2－2x＝－x＋2，得x1＝2，x2＝－1.因此点B的横坐标为－1，纵坐标为y＝－x＋2＝3，则点B的坐标为（－1，3），观察图形知，当x＜－1或x＞2时，抛物线在直线的上方，因此不等式x2＋mx＞－x＋b的解集为x＜－1或x＞2.
（3）M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标xM的取值范围.
【答案】（3）如图，设A，B向左移3个单位长度得到点A1，B1，∵点A（2，0），点B（－1，3），∴点A1（－1，0），点B1（－4，3），∴AA1＝BB1＝3，且AA1∥BB1，即MN为与AA1，BB1相互平行的线段，对于抛物线y＝x2－2x＝（x－1）2－1，∴顶点为（1，－1），如图，当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线y＝x2－2x只有一个公共点，此时－1≤xM＜2，当线段MN经过抛物线的顶点（1，－1）时，线段MN与抛物线y＝x2－2x也只有一个公共点，即xM＝3.综上－1≤xM＜2或xM＝3.
方法与对策：本题考查的是二次函数综合运用，涉及一次函数的性质、不等式的性质等，其中第（3）题，分类求解确定MN的位置是解题的关键.
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