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第二篇 图形与几何
第六章 圆与图形投影
第23讲 直线与圆的位置关系
1. 了解直线与圆的位置关系.
2. 掌握切线的性质及切线长定理.
3. 掌握三角形外接圆与内切圆.
类型一 直线与圆位置关系的判断
例1 在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O在对角线AC上，☉O的半径为2，如果☉O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是 .
【解后感悟】
判断直线和圆的位置关系要厘清d与r.
＜AO＜
类型二 圆的切线性质的运用
例2 如图，已知△ABC的边AB是☉O的切线，切点为B. AC经过圆心O并与圆相交于点D，C，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E.
（1）求证：CB平分∠ACE.
【答案】（1）如图1，连结OB，∵AB是☉O的切线，∴OB⊥AB，∵CE⊥AB，∴OB∥CE，∴∠1＝∠3，∵OB＝OC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴CB平分∠ACE.
（2）若BE＝3，CE＝4，求☉O的半径.
【答案】（2）如图2，连结BD，∵CE⊥AB，∴∠E＝90°，∴BC＝ ＝ ＝5，∵CD是☉O的直径，∴∠DBC＝90°，∴∠E＝∠DBC，∵∠ACB＝∠BCE，∴△DBC∽△BEC，∴ ＝ ，∴BC2＝CD·CE，∴CD＝ ＝ ，∴OC＝ CD＝ ，∴☉O的半径为 .
【解后感悟】
见了切点常连结圆心.因此本题连结OB，或过点O作OH⊥CE于点H，在△OCH中有r2＝32＋（4－r）2，亦可解决.
如图，量角器的零刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A，D，量得AD＝12 cm，点D在量角器上的读数为60°，则该直尺的宽度为 2 cm.
2
类型三 三角形的外接圆与内切圆
例3 （1）如左下图所示，△ABC外接圆的圆心坐标是 （5，2） .
（2）如右上图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A，B，C在直角坐标系中的坐标分别为（3，6），（－3，3），（7，－2），则△ABC内心的坐标为 （2，3） .
（5，2）
（2，3）
【解后感悟】
1. 网格中确定外心，要充分利用网格特点，不必用圆规.
2. 内心是三角形三条角平分线的交点，在网格中要善于观察，确定角平分线经过的格点，再确定内心.
【探索研究题】
在平面直角坐标系中，给出如下定义：P是图形W外一点，点Q在PO的延长线上，使得 ＝ ，如果点Q在图形W上，则称点P是图形W的“延长2分点”.例如，如图1所示，A（2，4），B（2，2），P（－1，－ ）是线段AB外一点，点Q（2，3）在PO的延长线上，且 ＝ ，因为点Q在线段AB上，所以点P是线段AB的“延长2分点”.
（1）如图1所示，已知图形W1：线段AB，A（2，4），B（2，2），在P1（－ ，－1），P2（－1，－1），P3（－1，－2）中， P2，P3 是图形W1的“延长2分点”.
P2，P3
（2）如图2所示，已知图形W2：线段BC，B（2，2），C（5，2），若直线MN：y＝－x＋b上存在点P是图形W2的“延长2分点”，求b的最小值.
【答案】（2）作BC以原点为位似中心，位似比为2∶1的位似图形B'C'，如图.∵B（2，2），C（5，2），∴B'（－1，－1），C'（－ ，－1），∵直线MN：y＝－x＋b上存在点P是图形W2的“延长2分点”，∴直线MN：y＝－x＋b与B'C'有交点，∴当MN：y＝－x＋b过点C'时，b值最小，把C'（－ ，－1）代入y＝－x＋b，得b＝－ ，∴b的最小值为－ .
（3）如图3所示，已知图形W3：以T（t，1）为圆心，半径为1的☉T，若以D（－1，－2），E（－1，1），F（2，1）为顶点的等腰直角三角形DEF上存在点P，使得点P是图形W3的“延长2分点”.请直接写出t的取值范围.
【答案】（3）1≤t≤3或－1－ ≤t≤ －1.
方法与对策：本题考查切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.
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第二篇 图形与几何
第六章 圆与图形投影
第24讲 圆的有关计算
1. 了解正多边形与圆的相关概念.
2. 掌握弧长和扇形的面积公式.
类型一 弧长的计算
例1 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在 上，∠BAC＝22.5°，则 的长为
.
【解后感悟】
本题的关键是先确定圆心和半径的长，再利用弧长公式求解.
1. 如图，四边形ABCD内接于☉O，☉O的半径为3，∠D＝120°，则 的长是（ C ）
A. π B. π C. 2π D. 4π
C
类型二 扇形面积的计算
例2 （1）已知扇形的圆心角为120°，半径为3 cm，则这个扇形的弧长为 2π cm，面积为 3π cm2.
2π
3π
（2）如图，扇形AOB的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为 .
－
（3）如图，正方形ABCD对角线AC所在直线上有一点O，OA＝AC＝2，将正方形绕点O顺时针旋转60°，在旋转过程中，正方形扫过的面积是 2π＋2 .
2π
＋2
【解后感悟】
求实际问题的面积往往需要扇形面积与三角形面积的组合计算.图形扫过的面积可举学生常见雨刮器为例.
2. 如图，在矩形ABCD中，分别以点A和C为圆心，AD长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点.若AD＝4，则图中阴影部分的面积为（ D ）
A. 32－8π
B. 16 －4π
C. 32－4π
D. 16 －8π
D
类型三 圆与正多边形的计算
例3 如图，☉O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（ A ）
A. 144°
B. 130°
C. 159°
D. 108°
A
【解后感悟】
本题考查了正五边形的内角和、内角的度数、切线的性质，本题的五边形内角也可通过外角来求：180°－360°÷5＝108°.
3. 蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形.如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，P，Q，M均为正六边形的顶点.若点P，Q的坐标分别为（－2 ，3），（0，－3），则点M的坐标为（ A ）
A. （3 ，－2） B. （3 ，2）
C. （2，－3 ） D. （－2，－3 ）
A
类型四 圆锥侧面展开图的计算
例4 如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）.若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ D ）
A. B. 1 C. D.
D
【解后感悟】
本题也可用θ＝ ·360°求解.
4. 如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，以点F为圆心，FB的长为半径作 ，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 .
【不规则图形面积的计算】
（1）两个半径相等的半圆按如图所示的方式放置，半圆O'的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ A ）
A. π－ B. π
C. π－ D. π－
A
（2）如图，直径AB＝6的半圆，绕点B顺时针旋转30°，此时点A到了点A'，则图中阴影部分的面积是（ D ）
A. B. C. π D. 3π
D
方法与对策：求不规则图形的面积，通常有两条思路，一是转化成规则图形面积的和、差；二是进行图形的割补.
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第二篇 图形与几何
第六章 圆与图形投影
第22讲 圆的基本性质
1. 了解圆的定义及有关概念（弦、弧、弦心距、圆心角、圆周角）.
2. 掌握垂径定理.
3. 掌握圆心角定理、圆周角定理及推论.
4. 会判断点与圆的位置关系.
类型一 点与圆的位置关系
例1 如图，☉O中，弦AB的长为4 ，点C在☉O上，OC⊥AB，∠ABC＝30°.☉O所在的平面内有一点P，若OP＝5，则点P与☉O的位置关系是（ C ）
C
A. 点P在☉O上
B. 点P在☉O内
C. 点P在☉O外
D. 无法确定
【解后感悟】
点与圆的位置关系要厘清d与r.
1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，tan B＝2.D是AB的中点.以点D为圆心，R为半径作☉D. 如果点B在☉D内，点C在☉D外，试求R的取值范围.
【答案】如图，过点A作AE⊥BC于点E，连结CD，过点D作DF⊥BC于点F. ∵AB＝AC，BC＝4，∴BE＝ BC＝2，∵tan B＝ ＝2，∴AE＝4，AB＝2 .∵D是AB中点，易得DF是△ABE的中位线，∴DF＝ AE＝2，BF＝ BE＝1，∴CF＝3，∴CD＝ ＝ ，又∵DB＝ AB＝ ，∴R的取值范围是 ＜R＜ .
类型二 圆心角、圆周角与弧之间的关系
例2 如图，点A，B，C，D，E均在☉O上.∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为（ D ）
D
A. 45°
B. 60°
C. 75°
D. 90°
【解后感悟】
1°圆心角所对的弧叫作1°的弧，圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
2. 如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连结OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD，则∠CBD的度数是（ A ）
A. 25° B. 30° C. 35° D. 40°
A
类型三 垂径定理
例3 如图，△ABC内接于☉O，AB为☉O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中E是AD的中点.
（1）求证：∠CAD＝∠CBA.
【答案】（1）证明：∵AE＝DE，OC是半径，∴ ＝ .∴∠CAD＝∠CBA.
（2）求OE的长.
【答案】（2）∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AE＝DE，∴OC⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ACB，∵∠CAE＝∠CBA，∴△AEC∽
△BCA，∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴CE＝3.6，∵OC＝ AB＝5，∴OE＝OC－EC＝5－3.6＝1.4.
【解后感悟】
1. 垂径定理四要素：垂直弦，过圆心，平分弦，平分弧，只要满足两个即可推得另两个.
2. 有关垂径定理的计算常用勾股定理求相似，如第（2）题中可设OE＝x，有25－x2＝36－（5－x）2得解.
3. 数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是在工件圆弧上任取两点A，B，连结AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交 于点C，测出AB＝40 cm，CD＝10 cm，则该残缺圆形工件的半径为（ C ）
A. 50 cm B. 35 cm
C. 25 cm D. 20 cm
C
类型四 圆心角定理与圆周角定理
例4 如图，已知等腰直角三角形ABC，P是斜边BC上一点（不与点B，C重合），PE是△ABP的外接圆☉O的直径.
（1）求证：△APE是等腰直角三角形.
【答案】（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠C＝∠ABC＝45°，∴∠AEP＝∠ABP＝45°，∵PE是直径，∴∠PAE＝90°，∴∠APE＝∠AEP＝45°，∴AP＝AE，∴△APE是等腰直角三角形.
（2）若☉O的直径为2，求PC2＋PB2的值.
【答案】（2）如图，作PM⊥AC于点M，PN⊥AB于点N，则四边形PMAN是矩形，∴PM＝AN，∵△PCM，△PNB都是等腰直角三角形，∴PC＝ PM，PB＝ PN，∴PC2＋PB2＝2（PM2＋PN2）＝2（AN2＋PN2）＝2PA2＝PE2＝22＝4.
【解后感悟】
1. 圆心角定理有四个要素：在同圆或等圆中，等弧、等弦、等弦心距、等圆心角，只要一对量相等，那么其余各对量都相等.
2. 圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半.
圆周角定理推论：（1）直径所对的圆周角是直角.（2）在同圆或等圆中，等圆周角 等弧.
4. 如图，AB，AC是☉O的弦，OB，OC是☉O的半径，P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连结CP. 若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是（ D ）
A. 70° B. 105° C. 125° D. 155°
D
【探索研究题】
如图，已知△ABC内接于☉O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与☉O交于点G，设∠GAB＝α，∠ACB＝β，∠EAG＋∠EBA＝γ，
（1）点点通过画图和测量得到下表的近似数据：
α 30° 40° 50° 60°
β 120° 130° 140° 150°
γ 150° 140° 130° 120°
猜想：β关于α的函数表达式，γ关于α的函数表达式，并给出证明.
【答案】（1）猜想：β＝α＋90°，γ＝－α＋180°.如图1，连结OB，则由圆周角定理可知2∠ACB＝360°－∠BOA，∵OB＝OA，∴∠OBA＝∠OAB＝α，∴∠BOA＝180°－2α，∴2β＝360°－（180°－2α），∴β＝α＋90°，∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴OE是线段BC的垂直平分线，∴BE＝CE，∠BED＝∠CED，∠EDC＝90°，∵∠BCA＝∠EDC＋∠CED，∴β＝90°＋∠CED，∴∠CED＝α，∠BED＝∠CED＝α，在△EBA中，∠AEB＋∠EBA＋∠EAB＝180°，即2α＋∠EBA＋∠EAG－α＝180°，∴2α＋γ－α＝180°，即γ＋α＝180°.∴γ＝－α＋180°.
图1
（2）若γ＝135°，CD＝3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求☉O半径的长.
【答案】（2）当γ＝135°时，此时图形如图2所示，则α＝45°，β＝135°，即∠BOA＝90°，∠BCE＝45°，∵∠CED＝∠BED＝α＝45°，∴∠BEC＝90°，∵△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，∴ ＝4，∴ ＝3，设CE＝3x，AC＝x，由（1）可知BC＝2CD＝6，∵∠BCE＝45°，∴CE＝BE＝3x，∴由勾股定理可知（3x）2＋（3x）2＝62，x＝ ，∴BE＝CE＝3 ，AC＝ ，∴AE＝AC＋CE＝4 ，在Rt△ABE中，由勾股定理可知AB2＝（3 ）2＋（4 ）2，∴AB＝5 ，∵∠BAO＝45°，∠AOB＝90°，在Rt△AOB中，设半径为r，由勾股定理可知AB2＝2r2，∴r＝5，∴☉O半径的长为5.
图2
方法与对策：本题涉及圆周角定理，勾股定理，解方程，垂直平分线的性质等知识，这需要联想，并及时调整图形，揭示数量关系特征，从而解决问题，这是中考命题的热点.
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第二篇 图形与几何
第六章 圆与图形投影
第25讲 尺规作图与图形投影
1. 了解尺规作图的原理和尺规作图的步骤描述.
2. 了解中心投影与平行投影，三视图基本概念.
3. 掌握基本尺规作图.
4. 掌握棱柱（正方体、长方体、三棱柱、六棱柱），圆柱和圆锥的表面展开图.
类型一 基本尺规作图
例1 如图1所示，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线.
如图2所示，步骤如下，第一步：以点B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；第二步：分别以点D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；第三步：画射线BP，射线BP即为所求.
下列正确的是（ B ）
B
A. a，b均无限制
B. a＞0，b＞ DE的长
C. a有最小限制，b无限制
D. a≥0，b＜ DE的长
【解后感悟】
基本尺规作图包括作一个角等于已知角，角平分线，线段垂直平分线，过一点作已知直线的垂线，作三角形，作三角形外接圆等.
1. 如图，在△ABC中，∠A＝45°，AC＞BC.
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l，分别交AB，AC于点D，E（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）.
【答案】（1）作图如图所示，直线l即为所求作.
（2）在（1）所作的图中，连结BE，若AB＝8，求BE的长.
【答案】（2）∵DE垂直平分线段AB，∴EB＝EA，∴∠EBA＝∠A＝45°，∴∠BEA＝90°.∵BD＝DA，∴DE＝DB＝DA＝ AB＝4，∴BE＝ BD＝4 .
类型二 中心投影与平行投影
例2 如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（ D ）
A. B. C. D.
D
【解后感悟】
投影线交于一点的投影为中心投影，如路灯下的投影；投影线相互平行的投影称为平行投影，如太阳光线下的投影.
2. 下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（ C ）
A. B. C. D.
C
类型三 几何体的三视图
例3 如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（ A ）
A. B. C. D.
A
【解后感悟】
掌握简单几何体的三视图，并会根据三视图判断几何体.在画三视图时注意线段虚实.三视图中有圆，联想圆柱、圆锥或球体，三视图中有三角形，联想三棱锥或三棱柱.
3. 图1是2023年6月11日吉林市全程马拉松男子组颁奖现场.图2是领奖台的示意图，则此领奖台的主视图是（ A ）
A. B. C. D.
A
4. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是（ B ）
A. 39π
B. 45π
C. 48π
D. 54π
B
类型四 立体图形的展开与折叠
例4 如图，矩形纸片ABCD中，AD＝6 cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（ B ）
A. 3.5 cm B. 4 cm
C. 4.5 cm D. 5 cm
B
【解后感悟】
常见几何体的展开与折叠.
1. 正方体的表面展开图：一四一（6种），二三一（3种），三三，二二二.
2. 圆柱的平面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形组成的.
3. 圆锥的平面展开图是由一个圆形和一个扇形组成的.扇形的弧长＝圆形的底面周长，扇形的半径＝圆锥母线.
S圆锥侧＝ πrl ，θ＝ ×360° .
πrl
×360°
5. 如图所示是4×3的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（ B ）
A. 1种 B. 2种
C. 3种 D. 4种
B
【网格作图题】
如图所示是由小正方形组成的3×4网格，每个小正方形的顶点叫作格点，△ABC的三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条.
（1）在图1中，画射线AD交BC于点D，使AD平分△ABC的面积.
【答案】（1）如图1，作线段HI，使四边形HBIC是矩形，HI交BC于点D，作射线AD，点D即为所求作.
（2）在（1）的基础上，在射线AD上画点E，使∠ECB＝∠ACB.
【答案】（2）如图2，作OP∥BC，作AR⊥OP于点Q，连结CQ交AD于点E，点E即为所求作.
（3）在图2中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转90°到点C，再画射线AF交BC于点G.
【答案】（3）如图3，在AC下方取点F，使AF＝CF＝ ，连结CF，连结并延长AF，AF交BC于点G，点F，G即为所求作.
（4）在（3）的基础上，将线段AB绕点G旋转180°，画对应线段MN（点A与点M对应，点B与点N对应）.
【答案】（4）如图4，作OP∥BC，交射线AG于点M，作ST∥AG，交BC于点N，连结MN，线段MN即为所求作.
方法与对策：本题作图多了网格背景，但少了圆规工具.在网格中作线段中点可考虑平行四边形对角线互相平分，在网格中作垂线，可考虑构造直角三角形.
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