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第四篇 综合与实践
第九章 数学思想方法运用
第36讲 方程与函数思想
1. 解决函数综合问题时，注意数形结合，以及在函数、方程、不等式之间的灵活转化.
2. 解决几何综合问题时，常从面积关系、勾股定理、相似性质寻求关系列方程、函数求解.
3. 解决生活中实际问题时，从一些常见数量关系模型入手，建立方程、函数求解.
4. 对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质，运用函数基本性质和方法，从而更快更好地解决问题.
类型一 运用方程、函数思想求解三角形、四边形与圆问题
例1 如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF＝2，△DEF的周长为3 ，则AD＝ ＋1 .
【解后感悟】
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是构造直角三角形.
＋1
1. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是边BC上一点，以CD为直径的☉O与边AC交于点E，连结BE，AB＝BE，tan∠ACB＝ ，☉O的直径为4，则BD＝ .
类型二 运用函数思想求解方程、不等式问题
例2 在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝（x＋a）（x－a－1），其中a≠0.
（1）若函数y1的图象经过点（1，－2），求函数y1的表达式.
【答案】（1）函数y1的图象经过点（1，－2），得（a＋1）（－a）＝－2，解得a1＝－2，a2＝1，函数y1的表达式为y1＝（x－2）（x＋2－1），化简，得y1＝x2－x－2；或函数y1的表达式为y1＝（x＋1）（x－2），化简，得y1＝x2－x－2，综上所述：函数y1的表达式为y1＝x2－x－2.
（2）若一次函数y2＝ax＋b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式.
【答案】（2）当y＝0时，（x＋a）（x－a－1）＝0，解得x1＝－a，x2＝a＋1，y1的图象与x轴的交点是（－a，0），（a＋1，0），当y2＝ax＋b经过（－a，0）时，－a2＋b＝0，即b＝a2；当y2＝ax＋b经过（a＋1，0）时，a2＋a＋b＝0，即b＝－a2－a.综上所述，b＝a2或b＝－a2－a.
（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围.
【答案】（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝ ＝ ，∴当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而减小，（1，n）与（0，n）关于对称轴对称，由m＜n，得0＜x0≤ ；当P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，由m＜n，得 ＜x0＜1，综上所述：x0的取值范围为0＜x0＜1.
【解后感悟】
二次函数关系式转化为方程，解第（1）题的关键是利用待定系数法；解第（2）题的关键是把点的坐标代入函数表达式；解第（3）题的关键是利用二次函数的性质，解不等量关系，同时要分类讨论，以防遗漏.
类型三 运用方程思想求解几何动点问题
例3 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以5 cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以4 cm/s的速度向点B匀速运动，运动时间为t（s）（0＜t＜2），连结PQ.
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值.
【答案】据勾股定理得BA＝ ＝10.（1）分两种情况讨论：①当△BPQ∽△BAC时， ＝ ，∵BP＝5t，QC＝4t，AB＝10，BC＝8，∴ ＝ ，解得t＝1；②当△BPQ∽△BCA时， ＝ ，∴ ＝ ，解得t＝ ；∴t值为1或 时，△BPQ与△ABC相似.
（2）连结AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值.
【答案】据勾股定理得BA＝ ＝10.（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图所示，则PB＝5t，PM＝3t，MC＝8－4t，∵∠NAC＋∠NCA＝90°，∠PCM＋∠NCA＝90°，∴∠NAC＝∠PCM，易证△ACQ∽△CMP，∴ ＝ ，∴ ＝ ，解得t＝ .
【解后感悟】
由相似三角形的对应边成比例，可列出分式方程，从而求解；在已知一个角对应相等的前提下考虑两个三角形相似时，有两种情况，不可遗漏.
2. 如图，在菱形ABCD中，AB＝10 cm，∠ABC＝60°，E为对角线AC上一动点，以DE为一边作∠DEF＝60°，EF交射线BC于点F，连结BE，DF. 点E从点C出发，沿CA方向以2 cm/s的速度运动至点A处停止.设△BEF的面积为y（cm2），点E的运动时间为x（s）.
（1）求证：BE＝EF.
【答案】（1）证明：设CD与EF相交于点M，如图1，∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCE，AB∥CD，∵∠ABC＝60°∴∠DCF＝60°，在△BCE和△DCE中，∵
∴△BCE≌△DCE（SAS），∴∠CBE＝∠CDE，
BE＝DE，∵∠DMF＝∠DEF＋∠CDE＝∠DCF＋∠CFE，又∵∠DEF＝∠DCF＝60°，∴∠CDE＝∠CFE，∴∠CBE＝∠CFE，∴BE＝EF.
（2）求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围.
【答案】（2）过点E作EN⊥BC于点N，如图2，则∠ENC＝90°，∵BE＝EF，∴BF＝2BN，∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，∴BC＝AB＝10 cm，∠ACB＝ ∠BCD＝60°，即∠ECN＝60°，∵CE＝2x cm，∴EN＝CE· sin 60°＝2x· ＝ x（cm），CN＝CE· cos 60°＝2x· ＝x（cm），∴BN＝BC－CN＝（10－x）cm，∴BF＝2（10－x）cm，∴y＝ BF·EN＝ ×2（10－x）× x＝－ x2＋10 x，∵0＜2x≤10，∴0＜x≤5，∴y＝－ x2＋10 x（0＜x≤5）.
（3）当x＝ 时，线段DF的长度最短.
在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有如下问题：如图，AC是 ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝105°，则∠BAC＝ 25° .
25°
方法与对策：本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，运用平行四边形知识结合已知条件判定等腰三角形是解答本题的关键.
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第四篇 综合与实践
第九章 数学思想方法运用
第38讲 整体思想
整体思想就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题思想.
整体思想的利用能使问题变繁为简，变难为易. 整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等.
类型一 数与式运算中的整体思想
例1 先化简，再求值：
÷ ，其中a满足a2－2a－1＝0.
【答案】原式＝ · ＝ · ＝ .∵a2－2a－1＝0，∴a2－2a＝1，∴原式＝ ＝1.
【解后感悟】
对分式进行化简，结果为 ，如果先把a的值求出再代入计算，显得烦琐，但如果把a2－2a看成一个整体，则由已知可得其值为1.
1. 已知x－y＝ －1，xy＝ ，则代数式（x－1）（y＋1）的值等于
（ B ）
A. 2 ＋2 B. 2 －2
C. 2 D. 2
B
2. 阅读解方程的途径.
（1）按照图 1 所示的途径，填写图 2 内空格.
① x－1＝2 ；② x＝3 .
x－1＝2
x＝3
（2）已知关于x的方程 ＋c＝ 的解是x＝1或x＝2（a，b，c 均为常数），求关于x的方程 ＋c＝ （k，m为常数，k≠0）的解（用含 k，m的代数式表示）.
【答案】（2）由题意得 kx＋m＝1或kx＋m＝2，解得 x1＝ ，x2＝ .
类型二 方程（组）或不等式（组）中的整体思想
例2 若关于x，y的二元一次方程组 的解是 则关于x，y的二元一次方程组 的解是 .
【解后感悟】
通过整体加减既避免了求复杂的未知数的值，又简化了方程组（不等式组），解答变得直接简便.
3. 关于x，y的方程组 的解满足x＋y＝1，则4m÷2n的值是（ D ）
A. 1 B. 2
C. 4 D. 8
D
类型三 几何图形中的整体思想
例3 如图，FA，GB，HC，ID，JE是五边形ABCDE的外接圆的切线，求∠BAF＋∠CBG＋∠DCH＋∠EDI＋∠AEJ的度数.
【答案】180°.
【解后感悟】
过圆心O连结五边形的各顶点，利用三角形的内角和定理，可求出∠OAB＋∠OBC＋∠OCD＋∠ODE＋∠OEA；再利用切线的性质可求出∠BAF＋∠CBG＋∠DCH＋∠EDI＋∠AEJ的值.若本题作为填空题，也可考虑用特殊值法求解.
4. 如图1所示，由两个相同的小长方形组成的图形周长为10，图2中在长方形ABCD内放置了若干个相同的小长方形，则长方形ABCD的周长为 30 .
30
【整体思想在生活中的应用】
产品的价格是由市场价格波动产生的，而每种产品价格在当天是固定的.某采购商欲购入A产品80件，B产品100件.甲供应商捆绑销售2件A产品和3件B产品，报价在400～500元之间.乙供应商也捆绑销售3件A产品和2件B产品，报价在500～600元之间.采购商打算从甲、乙供应商购进A产品80件，B产品100件，所要准备的资金为（ B ）
A. 12 600～15 200元之间
B. 15 200～18 800元之间
C. 18 800～21 600元之间
D. 21 600～33 000元之间
B
方法与对策：本题主要理解“捆绑销售”，即将甲的2A，3B看作一个整体，乙的3A，2B看作一个整体.
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第四篇 综合与实践
第九章 数学思想方法运用
第34讲 分类讨论思想
很多数学问题很难从整体上去解决，若将其划分为所包含的各个局部问题，就可以逐个予以解决.分类讨论在解题策略上就是分而治之，各个击破.具体是：
1. 确定分类对象.
2. 合理分类（厘清分类“界限”，选择分类标准，并做到不重复、不遗漏）.
3. 逐类进行讨论.
类型一 计算化简时，由法则、定理和原理的限制引起的讨论
例1 若关于x的函数y＝kx2＋2x－1与x轴仅有一个公共点，则实数k＝ 0或－1 .
【解后感悟】
审题时注意“k＝0”的可能性.
0
或－1
1. 在数轴上，点A所对应的数用2a＋1表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为（ A ）
A. －2或1 B. －2或2
C. －2 D. 1
A
类型二 在一个动态变化过程中，出现不同情况引起的讨论
例2 如图，AB是☉O的直径，AB＝2，点C在线段AB上运动，过点C的弦DE⊥AB，将 沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为 2－ 或2 .
2－ 或2＋ 或2
【解后感悟】
关于圆中弦长问题的探究，要注意探究圆对称的两面的两种情况，再通过垂径定理进行计算.
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 ，D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连结AQ，DQ. 当∠ADQ＝90°时，AQ＝ .
或
类型三 由三角形的形状、关系不确定性引起的讨论
例3 如图，△ABC中，AB＝AC，☉O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D.
（1）求证：∠BAC＝2∠ABD.
【答案】（1）证明：如图1，连结OA. ∵AB＝AC，∴ ＝ ，∴OA⊥BC，∴∠BAO＝∠CAO，∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠BAO，∴∠BAC＝2∠ABD.
图1
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的度数.
【答案】（2）如图2，延长AO交BC于点H. ①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD＋∠BAC＝3∠ABD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠DBC＝2∠ABD，∵∠DBC＋∠C＋∠BDC＝180°，∴8∠ABD＝180°，∴∠C＝3∠ABD＝67.5°.②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD，∴∠C＝4∠ABD，∵∠DBC＋∠C＋∠CDB＝180°，∴10∠ABD＝180°，∴∠BCD＝4∠ABD＝72°.③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在.综上所述，∠BCD为67.5°或72°.
图2
【解后感悟】
等腰三角形没有边、角固定，需分三种情况依次讨论.
3. 如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝4，点B为边AN上一动点，连结BC，△A'BC与△ABC关于BC所在直线对称，D，E分别为AC，BC的中点，连结DE并延长交A'B所在直线于点F，连结A'E. 当△A'EF为直角三角形时，AB＝ 4 或4 .
4 或4
类型四 由特殊四边形的形状不确定性引起的讨论
例4 在平面直角坐标系中，点A，B，C，D的坐标依次为（－1，0），（m，n），（－1，10），（－7，p），且p≤n.若以A，B，C，D四个点为顶点的四边形是菱形，则n＝ 2或5或18 .
【解后感悟】
两顶点固定的平行四边形分类讨论：两顶点所连线段为边，两顶点所连线段为对角线.
2或5或18
【压轴把关题】
如图1所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6.AC的垂直平分线分别交AC，AB于点M，O，CO平分∠ACB.
（1）求证：△ABC∽△CBO.
【答案】（1）证明：∵MO垂直平分AC，∴OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∵CO平分∠ACB，∴∠ACO＝∠OCB，
∴∠A＝∠OCB，又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBO.
（2）如图2所示，将△AOC绕点O逆时针旋转得到△A'OC'，旋转角为α（0°＜α＜360°）.连结A'M，C'M.
① 求△A'MC'面积的最大值及此时旋转角α的度数，并说明理由；
【答案】（2）①△A'MC'面积的最大值为8 ，此时旋转角α＝180°.理由如下：∵∠B＝90°，∴∠A＋∠ACO＋∠OCB＝90°，易得∠A＝∠ACO＝∠OCB＝30°，∴BO＝ CO＝ AO，又∵AB＝AO＋BO＝6，∴BO＝2，AO＝4，∵MO垂直平分AC，∴OM＝ AO＝2，AC＝2AM， ∴AM＝ ＝2 ，∴AC＝4 ，如图，取A'C'中点M'，连结OM'，MM'，作MN⊥A'C'于点N，由旋转的性质知△AOC≌△A'OC'，OM'为OM旋转α所得线段，
∴ OM'⊥A'C'，A'C'＝AC＝4 ，OM'＝OM＝2，根据垂线段最
短知MN≤MM'，又∵MM'≤OM＋OM'，∴当M，O，M'三点共
线，且点O在线段MM'上时，MN取最大值，最大值为2＋2＝4，
此时α＝180°，∴△A'MC'面积的最大值为 ×4 ×4＝8 ；
【答案】 ②旋转角α的度数为120°或240°时，△A'MC'为直角三角形.
② 当△A'MC'是直角三角形时，请直接写出旋转角α的度数.
方法与对策：本题第（2）小题中的第②问首先由条件可知只能是∠A'MC'＝90°，由特殊三角形和旋转的性质大胆猜测，当点C'与点A重合时和当点A'与点C重合时满足∠A'MC'＝90°，进而求旋转角即可.
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第四篇 综合与实践
第九章 数学思想方法运用
第37讲 转化与化归思想
转化与化归思想：将一个问题由难化易，由繁化简，由复杂化简单的过程.
一般我们采用的化归方向是：化未知为已知、化难为易、化繁为简、化一般为特殊、化抽象为具体、正难则化反、化新知识到旧知识、化不熟悉到熟悉等等.
类型一 化抽象为具体
例1 自主学习，请阅读下列解题过程.
解一元二次不等式x2－5x＞0.
解：设x2－5x＝0，解得x1＝0，x2＝5，则抛物线y＝x2－5x与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）.画出二次函数y＝x2－5x的大致图象如图所示，由图象可知，当x＜0或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2－5x＞0，因此一元二次不等式x2－5x＞0的解集为x＜0或x＞5.
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的 ① 和 ③ （只填序号）.
①转化思想；②分类讨论思想；③数形结合思想.
（2）一元二次不等式x2－5x＜0的解集为 0＜x＜5 .
①
③
0＜x＜5
（3）用类似的方法解一元二次不等式x2－2x－3＞0.
【答案】（3）画出二次函数y＝x2－2x－3的大致图象（如图所示）.由图象可知：当x＜－1或x＞3时函数图象位于x轴上方，此时x2－2x－3＞0.
【解后感悟】
根据转化思想将一元二次不等式解集的问题转化成一元二次方程与二次函数的问题，再根据数形结合的思想求解集是本题的关键.
1. 某数学研究性学习小组制作了如图所示的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转.图中所示的图尺可读出 sin ∠AOB的值是（ A ）
A. B. C. D.
A
类型二 化未知为已知
例2 如图，曲线l是由函数y＝ 在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的，过点A（－4 ，4 ），B（2 ，2 ）的直线与曲线l相交于点M，N，则△OMN的面积为 8 .
8
【解后感悟】
双曲线旋转45°后的图象无从下手，我们可将双曲线、直线AB顺时针方向旋转45°进行还原，化未知为已知，即可求得点M，N的坐标.
2. 已知某函数的图象C与函数y＝ 的图象关于直线y＝2对称.下列命题：①图象C与函数y＝ 的图象交于点 ；②点 在图象C上；③图象C上的点的纵坐标都小于4；④A（x1，y1），B（x2，y2）是图象C上任意两点，若x1＞x2，则y1＞y2.其中是真命题的是 ①② .
①②
类型三 化空间为平面
例3 如图1所示，排球场长为18 m，宽为9 m，网高为2.24 m.队员站在底线点O处发球，球从点O的正上方1.9 m的点C发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88 m.即BA＝2.88 m.这时水平距离OB＝7 m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2所示.
（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）.并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由.
【答案】（1）设抛物线的表达式为y＝a（x－7）2＋2.88，将x＝0，y＝1.9代入上式并解得a＝－ ，故抛物线的表达式为y＝－ （x－7）2＋2.88；当x＝9时，y＝－ （x－7）2＋2.88＝2.8＞2.24，当x＝18时，y＝－ （x－7）2＋2.88＝0.46＞0，故这次发球过网，但是出界了.
（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1所示，点P距底线1 m，边线0.5 m），问发球点O在底线上的哪个位置（参考数据： 取1.4）？
【答案】（2）如图，分别过O点，P点作底线、边线的平行线PQ，OQ交于点Q，在Rt△OPQ中，OQ＝18－1＝17（m），当y＝0时，y＝－ （x－7）2＋2.88＝0，解得x＝19或x＝－5（舍去），因此OP＝19 m，而OQ＝17 m，故PQ＝6 ≈8.4（m），∵9－8.4－0.5＝0.1（m），∴发球点O在底线上且距右边线0.1 m处.
【解后感悟】
本题考查二次函数的综合运用及学生空间想象能力.注意审题，第（1）（2）两小题是在同一支抛物线.球落地即y＝0，求得OP＝19，进而以OP为斜边构造直角三角形来解题.
3. 小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值 叫作介质的“绝对折射率”，简称“折射率”.它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征.
（1）若光从真空射入某介质，入射角为α，折射角为β，且 cos α＝ ，β＝30°，求该介质的折射率.
【答案】（1）∵ cos α＝ ，∴如图，设b＝ x，则c＝4x，由勾股定理得，a＝ ＝3x，∴ sin α＝ ＝ ＝ ，又∵β＝30°，∴ sin β＝ sin 30°＝ ，∴折射率为 ＝ ＝ .
（2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图1所示，A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形A1D1D2A2对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出.如图2所示，已知α＝60°，CD＝10 cm，求截面ABCD的面积.
（2）根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为 ，∵α＝60°，∴ ＝ ＝ ，∴ sin β＝ .∵四边形ABCD是矩形，O是AD中点，∴AD＝2OD，∠D＝90°，又∵∠OCD＝β，∴ sin ∠OCD＝ sin β＝ ，在Rt△ODC中，设OD＝ x，OC＝3x，由勾股定理得CD＝ ＝ x，∴tanβ＝ ＝ ＝ .又∵CD＝10 cm，∴ ＝ ，∴OD＝5 cm，∴AD＝10 cm，∴截面ABCD的面积为10 ×10＝100 （cm2）.
如图，抛物线y＝x2＋2与双曲线y＝ 的交点A的横坐标是2，求关于x的不等式 ＋x2＋2＜0的解集.
【答案】－2＜x＜0.
方法与对策：本题先把不等式整理成x2＋2＜－ ，再根据图形找出二次函数图象在反比例函数图象下方部分的x的取值范围即可，解决此类问题，运用数形结合的思想是关键.
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第四篇 综合与实践
第九章 数学思想方法运用
第35讲 数形结合思想
数形结合：就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含以形助数和以数解形两个方面.利用它可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长，是优化解题过程的重要途径之一，是一种基本的数学思想.
数形结合思想的主要内容体现在以下几个方面：
1. 公式、定理和等式的证明（如乘法公式、勾股定理）.
2. 利用图象解方程、不等式.
3. 函数问题.
4. 几何模型问题等.
类型一 公式、定理和等式的证明
例1 我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式.例如图1可以用来解释（a＋b）2－（a－b）2＝4ab.那么通过图2面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是（ C ）
C
A. a2－b2＝（a＋b）（a－b）
B. （a－b）（a＋2b）＝a2＋ab－2b2
C. （a－b）2＝a2－2ab＋b2
D. （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
【解后感悟】
利用拼图过程中面积不变使问题简便.
1. 如图，五个边长为1的小正方形无缝隙、不重合地拼成了一个“十”字形，连结A，B两个顶点，过顶点C作CD⊥AB，垂足为D. “十”字形被分割成了①②③三个部分，这三个部分恰好可以无缝隙、不重合地拼成一个矩形，这个矩形的对角线长为 .
类型二 利用图象解方程和不等式
例2 如图，直线y＝kx＋b过A（－1，2），B（－2，0）两点，则0≤kx＋b≤－2x的解集为 －2≤x≤－1 .
－2≤x≤－1
【解后感悟】
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx＋b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx＋b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合.
2. 如图，抛物线y＝x2＋1与双曲线y＝ 的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式 ＋x2＋1＜0的解集是（ D ）
A. x＞1 B. x＜－1
C. 0＜x＜1 D. －1＜x＜0
D
类型三 用函数解决几何问题
例3 如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝4，线段AB的垂直平分线分别交AB于点D，交AC于点E，则DE＝ .
【解后感悟】
几何问题通过建立直角坐标系后变成函数问题，往往在直角三角形、正方形、网格背景下实现.
3. 如图1所示，平面直角坐标系中，等腰三角形ABC的底边BC在x轴上，BC＝8，顶点A在y的正半轴上，OA＝2，一动点E从（3，0）出发，以每秒1个单位长度的速度沿CB向左运动，到达OB的中点停止.另一动点F从点C出发，以相同的速度沿CB向左运动，到达点O停止.已知点E，F同时出发，以EF为边作正方形EFGH，使正方形EFGH和△ABC在BC的同侧.设运动的时间为t s（t≥0）.
（1）当点H落在边AC上时，求t的值.
【答案】（1）由题意得A（0，2），B（－4，0），C（4，0），设直线AC的函数表达式为y＝kx＋b，将点A，C坐标代入，得 解得 ∴直线AC的函数表达式为y＝－ x＋2，当点H落在AC边上时，点E（3－t，0），点H（3－t，1），将点H代入y＝－ x＋2，得1＝－ （3－t）＋2，解得t＝1.
（2）设正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，请问是否存在t值，使得S＝ ？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由.
【答案】（2）存在，t＝ ，使得S＝ .根据已知，当点F运动到点O停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t，使重叠面积为S＝ ，故t＞4，设直线AB的函数表达式为y＝mx＋n，将点A，B坐标代入，得 解得∴直线AC的函数表达式为y＝ x＋2，当t＞4时，点E（3－t，0），H（3－t，t－3），G（0，t－3），当点H落在AB边上时，将点H代入y＝ x＋2，得t－3＝ （3－t）＋2，解得t＝ ；
此时重叠的面积为（t－3）2＝（ －3）2＝ ，∵ ＜ ，
∴ ＜t＜5，如图，设GH交AB于点S，EH交AB于点T，将y＝t－3代入y＝ x＋2得t－3＝ x＋2，解得x＝2t－10，∴点S（2t－10，t－3），将x＝3－t代入y＝ x＋2得y＝ （3－t）＋2＝ － ，∴点T（3－t， － ），∴AG＝5－t，SG＝10－2t，BE＝7－t，ET＝ （7－t），S△BET＝ ·BE·ET＝ （7－t）2，S△ASG＝ ·AG·SG＝（5－t）2，所以重叠面积S＝S△AOB－S△BET－S△ASG＝4－ （7－t）2－（5－t）2＝－ t2＋ t－ ，由－ t2＋ t－ ＝ 得t1＝ ，t2＝ ＞5（舍去），∴t＝ .
（3）如图2所示，取AC的中点D，连结OD，当点E，F开始运动时，点M从点O出发，以每秒2 个单位长度的速度沿OD－DC－CD－DO运动，到达点O停止运动.请问在点E的整个运动过程中，点M可能在正方形EFGH内（含边界）吗？如果可能，求出点M在正方形EFGH内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由.
【答案】（3）可能， s.∵D为AC的中点，且OA＝2，OC＝4，∴点D（2，1），AC＝2 ，OD＝DC＝DA＝ ，易知点M在水平方向以每秒4个单位长度的速度运动.当0＜t＜ 时，点M在线段OD上，点H未到达点D，所以点M与正方形不相遇；当 ＜t＜1时， ＋ ÷（1＋4）＝ （s），∴t＝ 时点M与正方形相遇，经过1÷（1＋4）＝ （s）后，点M不在正方行内部，则 ≤t≤ ；当t＝1时，由（1）知，点F运动到原点E处，点M到达点C处；
当1≤t≤2时，当t＝1＋1÷（4－1）＝ （s）时，点M追上点G，经过1÷（4－1）＝ （s），点M都在正方形EFGH内（含边界）， ≤t≤ ，当t＝2时，点M运动返回到点O处停止运动，当 t＝3时，点E运动到点O处，当 t＝4时，点F运动到点O处，当3≤t≤5时，点M都在正方形EFGH内（含边界），综上，当 ≤t≤ 或 ≤t≤ 或3≤t≤5时，点M可能在正方形EFGH内（含边界），总时长为（ － ）＋（ － ）＋（5－3）＝ ＋ ＋2＝ （s）.
【运用函数图象解决几何问题】
小亮在学习中遇到这样一个问题：
如图，D是 上一动点，线段BC＝8 cm，A是线段BC的中点，过点C作CF∥BD，交DA的延长线于点F. 当△DCF为等腰三角形时，求线段BD的长度.
小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题.请将下面的探究过程补充完整.
（1）根据点D在 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD，CD，FD的长度，得到下表的几组对应值.
BD/cm CD/cm FD/cm
0 8.0 8.0
1.0 7.7 7.4
2.0 7.2 6.9
3.0 6.6 6.5
4.0 5.9 6.1
5.0 a 6.0
6.0 3.9 6.2
7.0 2.4 6.7
8.0 0 8.0
操作中发现：
“当D为 的中点时，BD＝5.0 cm”，则上表中a＝ 5.0 .
5.0
（2）将线段BD的长度作为自变量x，CD和FD的长度都是x的函数，分别记为yCD和yFD，并在平面直角坐标系中画出了函数yFD的图象，如图.请在同一坐标系中画出函数yCD的图象.
【答案】（2）由题意可画出函数图象如图.
方法与对策：本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，动点问题的函数图象探究题，也考查了函数图象的画法，解题关键是数形结合.
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