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第四篇 综合与实践
第十章 数学问题探究
第42讲 实验与动态型问题
实验操作型问题是指通过实验操作如测量、作图、剪拼，需要动手操作、实验观察、猜想和验证类问题.动态型问题是指以三角形、四边形、圆等几何图形或函数图象为载体，设计动态变化，并对变化过程中伴随着的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行猜想、归纳、推理的一类问题.
类型一 剪拼操作类问题
例1 如图，将等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，用这四块图形进行拼接，恰能拼成一个没有缝隙的正方形，则正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为（ B ）
B
A. B.
C. D.
【解后感悟】
剪拼类题可根据面积不变解题，也可在等腰三角形中用A字形相似列出方程.把数据标到图上也是解题的重要一环.
1. 在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形ABC（∠A＝90°）硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，G，H分别为DE，BF的中点），小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为 8 ，最大值为 8＋2 .
8
8＋2
类型二 由点运动产生的问题
例2 如图1所示，正方形ABCD的边长为4，E为CD边的中点.动点P从点A出发沿AB→BC匀速运动，运动到点C时停止.设点P的运动路程为x，线段PE的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为（ C ）
A. （4，2 ） B. （4，4）
C. （4，2 ） D. （4，5）
C
【解后感悟】
解题关键是根据图2确定M点的坐标与正方形的边之间的关系.
2. 如图1所示，矩形ABCD中，BD为其对角线，一动点P从点D出发，沿着D→B→C的路径行进，过点P作PQ⊥CD，垂足为Q. 设点P的运动路程为x，PQ－DQ为y，y与x的函数图象如图2所示，则AD的长为（ B ）
A. B.
C. D.
B
类型三 由线运动产生的问题
例3 如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O是坐标原点，点A的坐标为（4，4），点B的坐标为（6，0），动点P从点O开始以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，设运动的时间为t s（0＜t＜4），过点P作PN∥x轴，分别交AO，AB于点M，N.
（1）填空：AO＝ 4 ，AB＝ 2 .
4
2
（2）当t＝1时，求点N的坐标.
【答案】（2）AB：y＝－2x＋12，t＝1时，即yN＝1，将yN＝1代入，得xN＝ ，因此N（ ，1）.
（3）请直接写出MN的长.（用含t的代数式表示）
【答案】（3）∵动点P从O开始以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，运动的时间为t秒，∴MN到OB的距离为t，∴△AMN的高为4－t，∴△AMN与△AOB的高之比为 ，∵MN∥OB，∴△AMN∽△AOB，∴ ＝ ，即MN＝ .
（4）点E是线段MN上一动点（点E不与点M，N重合），△AOE和△ABE的面积分别表示为S1和S2，当t＝ 时，请直接写出S1·S2（即S1与S2的积）的最大值为 16 .
16
【解后感悟】
1. 直接利用勾股定理求解即可.
2. 利用待定系数法求得直线AB的表达式，令y＝1求解即可得到点N的坐标.
3. 根据题意可得△AMN∽△AOB，利用相似三角形的性质即可求解.
4. 根据二次函数最值求解即可.
3. 在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标分别为A（2，－1），B（1，0），将线段AB平移后，点A的对应点A'的坐标为（2，1），则点B的对应点B'的坐标为 （1，2） .
（1，2）
类型四 由图形运动产生的问题
例4 一副三角尺分别记作△ABC和△DEF，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，∠EDF＝30°，AC＝DE. 作BM⊥AC于点M，EN⊥DF于点N，如图1所示.
（1）求证：BM＝EN.
【答案】（1）证明：设AC＝DE＝a，∵∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，∴∠A＝∠C＝45°，∴AB＝BC，∵BM⊥AC，∴BM＝AM＝CM＝ AC＝ a，∵∠EDF＝30°，EN⊥DF，∴EN＝ DE＝ a，∴BM＝EN.
（2）在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点C与点E重合记为C，点A与点D重合，将图2中的△DCF绕C按顺时针方向旋转α后，延长BM交直线DF于点P.
① 当α＝30°时，如图3所示，求证：四边形CNPM为正方形.
【答案】（2）证明：①∵∠D＝30°，CN⊥DF，∴∠CND＝90°，∠DCN＝90°－30°＝60°，∵α＝∠ACD＝30°，∴∠ACN＝90°，∵BM⊥AC，∴∠PMC＝∠BMC＝90°，∴四边形PMCN为矩形，∵BM＝EN，即BM＝CN，而BM＝CM，∴CM＝CN，∴四边形PMCN是正方形；
② 当30°＜α＜60°时，写出线段MP，DP，CD的数量关系，并证明；当60°＜α＜120°时，直接写出线段MP，DP，CD的数量关系.
【答案】②当30°＜α＜60°时， ＝ ；当60°＜α＜120°时， ＝ .
【解后感悟】
α取值不同，考查的问题也有所不同，在第（2）①小题中主要运用30°的条件证明正方形，是特殊值的计算证明问题；第②小题中则要证明α在取值范围内一般性问题.线段的数量关系，要自行构图，同时结合猜想和做题经验进行解题.
【实验操作题】
图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2所示），则图1中所标注的d＝ 6－2 .
方法与对策：根据剪拼两图形面积不变得大正方形边长为2 ，再根据两直角边之比为1∶ ，从而d得解.
6－2
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第四篇 综合与实践
第十章 数学问题探究
第41讲 开放与探索型问题
所谓开放题，即为答案不唯一的问题，其主要特征是答案的多样性和多层次性.
1. 条件开放型问题：从结论出发，执果索因，逆向推理，逐步探求结论成立的条件或把可能产生结论的条件一一列出，逐个分析.
2. 结论开放型问题：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想类比、猜测等，从而获得所求的结论.
3. 条件和结论都开放型：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，需将已知的信息集中进行分析，探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得出事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性.
类型一 条件开放与探索型问题
例1 如图，E是 ABCD的边CD的中点，连结AE并延长，交BC的延长线于点F.
（1）若AD的长为2，求CF的长.
【答案】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CF，∴∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE，∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，在△ADE和△FCE中，
∴△ADE≌△FCE（AAS），∴CF＝AD＝2.
（2）若∠BAF＝90°，试添加一个条件，并写出∠F的度数.
【答案】（2）添加一个条件：当∠B＝60°时，∠F＝90°－60°＝30°（答案不唯一）.
【解后感悟】
运用发散思维，探究问题在不同条件下的结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件.
1. 在①AD＝AE；②∠ABE＝∠ACD；③FB＝FC这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答.
问题：如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在AB边上（不与点A，B重合），点E在AC边上（不与点A，C重合），连结BE，CD，BE与CD相交于点F. 若 ，求证：BE＝CD.
（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分）
【答案】若选择条件①，利用∠ABC＝∠ACB得到AB＝AC，则可根据“SAS”判断△ABE≌△ACD，从而得到BE＝CD；若选择条件②，利用∠ABC＝∠ACB得到AB＝AC，则可根据“ASA”判断△ABE≌△ACD，从而得到BE＝CD；若选择条件③，利用∠ABC＝∠ACB得到AB＝AC，再证明∠ABE＝∠ACD，则可根据“ASA”判断△ABE≌△ACD，从而得到BE＝CD.
类型二 结论开放与探索型问题
例2 某日一港口的潮水高度y（cm）和时间x（h）的部分数据及函数图象如下：
x/h … 11 12 13 14 15 16 17 18 …
y/cm … 189 137 103 80 101 133 202 260 …
（数据来自某海洋研究所）
（1）【数学活动】
①根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象；
【答案】（1）①如图：
②观察函数图象，当x＝4时，y的值为多少？当y的值最大时，x的值为多少？
【答案】②通过观察函数图象，当x＝4时，y＝200，当y值最大时，x＝21.
（2）【数学思考】请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论.
【答案】（2）该函数的两条性质如下（答案不唯一）：
①当3≤x≤7时，y随x的增大而增大.
②当x＝14时，y有最小值为80.
（3）【数学应用】根据研究，当潮水高度超过260 cm时，货轮能够安全进出该港口.请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？
【答案】（3）由图象，当y＝260时，x＝5或x＝10或x＝18或x＝23，∴当5＜x＜10或18＜x＜23时，y＞260，即当5＜x＜10或18＜x＜23时，适合货轮进出此港口.
【解后感悟】
理解题意，准确识图，利用数形结合思想确定关键点是解题关键.（1）①先描点，然后画出函数图象；②利用数形结合思想分析求解.（2）结合函数图象增减性及最值进行分析说明.（3）结合函数图象确定关键点，从而求得取值范围.
2. 小明和同学们玩扑克牌游戏.游戏规则：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24.小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式 2×3×5－6（答案不唯一） .
2×3×5－6（答案不唯一）
类型三 条件、结论开放与探索型问题
例3 如图，在☉O中，直径AB⊥CD于点E，连结CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD，求∠DCF的度数.
（1）请解答本题.
【答案】（1）连结OD，有OA＝OD＝OC，可证∠A＝∠C，设∠A＝∠ODA＝∠ODC＝∠C＝x，在Rt△CFD中，x＋2x＝90°，解得x＝30°，即∠DCF＝30°.
（2）解完本题后，小芳对本题作进一步思考.她认为：如果去掉“CF⊥AD”这一条件，而增加条件“∠CDA＝60°”，则有CF⊥AD. 你认为小芳的观点正确吗？如果正确，请给出证明；如果不正确，请说明理由.
【答案】（2）小芳观点正确.理由：连结OD，由题意易证∠ODA＝∠A＝30°，∠C＝∠ODC＝30°，∴∠ADC＋∠C＝90°，即CF⊥AD.
（3）解完本题后，小颖也对本题进行了反思.她认为：在图中所有的线段中，若已知某一条线段的长度，则能求出扇形AOC的面积.请你在“CD，EB，DF”这三条线段中，选择其中一条并给出长度，然后计算扇形AOC的面积.
【答案】（3）设CD＝2 ，则r＝2，S扇形AOC＝ π·22＝ π（答案不唯一）.
【解后感悟】
本题第（3）题通过条件局限开放，让学生的探究有方向性，当找到CD，EB，DF三条线段与半径r之间的关系时，就可对三条线段赋出合理的值求得结果.
3. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE＝EF＝FD，∠BAF＝∠DCE＝90°.
（1）求证：△ABF≌△CDE.
【答案】（1）证明：∵BE＝FD，∴BE＋EF＝FD＋EF，即BF＝DE，∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠CDE，又∵∠BAF＝∠DCE＝90°，∴△ABF≌△CDE（AAS）.
（2）连结AE，CF，已知 （从以下两个条件中选择一个作为已知条件，填写序号），请判断四边形AECF的形状，并证明你的结论.
条件：①∠ABD＝30°；②AB＝BC（注：如果选择条件①和条件②分别进行解答，按第一个解答计分）.
【答案】（2）若选择条件①，四边形AECF是菱形.证明：如图1，由（1）得△ABF≌△CDE，∴AF＝CE，∠AFB＝∠CED，∴AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠BAF＝90°，BE＝EF，∴AE＝ BF，∵∠BAF＝90°，∠ABD＝30°，∴AF＝ BF，∴AE＝AF，∴平行四边形AECF是菱形.
若选择条件②，四边形AECF是菱形.证明：如图2，连结AC交BD于点O，由（1）得△ABF≌△CDE，∴AF＝CE，∠AFB＝∠CED，∴AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形，∴AO＝CO，∵AB＝BC，∴BO⊥AC，即EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形.
【经验积累题】
已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β.
（1）如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上.
①如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝ 20 °，β＝ 10 °；
②求α，β之间的关系式.
20
10
【答案】（1）②设∠ABC＝x，∠AED＝y，则∠ACB＝x，∠ADE＝y，在△DEC中，y＝β＋x，在△ABD中，α＋x＝y＋β＝β＋x＋β，因此α＝2β.
（2）是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，请说明理由.
【答案】（2）存在；答案不唯一，如：①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，如图1，设∠ABC＝x，∠ADE＝y，则∠ACB＝x，∠AED＝y，在△ABD中，x＋α＝β－y，在△DEC中，x＋y＋β＝180°，即α＝2β－180°；②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，如图2，同①的方法可得α＝180°－2β.
方法与对策：本题注重学习过程和经验的积累，在方法上经历从特殊到一般.第（2）小题思考“若点D不在线段BC上，点E不在线段AC上”时，经历画图，测量，若α≠2β，再进一步研究其数量关系.
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第四篇 综合与实践
第十章 数学问题探究
第39讲 方案设计型问题
方案设计与决策型问题既考查动手操作的实践能力，又培养创新品质.主要利用图案设计或经济决策来解决实际问题.题型主要包括：
1. 根据实际问题拼接或分割图形.
2. 利用方程（组）、不等式（组）、函数等知识对实际问题中的方案进行比较等.
类型一 利用方程（组）的方案设计
例1 河大附中初一年级有350名同学去春游，已知2辆A型车和1辆B型车可以载学生100人；1辆A型车和2辆B型车可以载学生110人.
（1）A，B型车每辆可分别载学生多少人？
【答案】（1）设A，B型车每辆可分别载学生x，y人，可得 解得 答：A，B型车每辆可分别载学生30人，40人.
（2）若租一辆A型车需要100元，租一辆B型车需要120元，请你设计租车方案，使得恰好运送完学生并且租车费用最少.
【答案】（2）设租用A型a辆，B型b辆，可得30a＋40b＝350，∵a，b为正整数，∴方程的解为 或 或 方案一：A型1辆，B型8辆，费用为100×1＋120×8＝1 060（元）；方案二：A型5辆，B型5辆，费用为100×5＋120×5＝1 100（元）；方案三：A型9辆，B型2辆，费用为100×9＋120×2＝1 140（元）；因此租用1辆A型车，8辆B型车，花费最少，为1 060元.
【解后感悟】
费用最少也可这样理解：A型车30人100元，每人约需3.33元；B型车40人120元，每人需3元.因此尽可能多租B型车.
类型二 利用不等式的方案设计
例2 牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的50％以上.某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进特级鲜品猴头菇3箱、特级干品猴头菇2箱需420元，购进特级鲜品猴头菇4箱、特级干品猴头菇5箱需910元.请解答下列问题：
（1）特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？
【答案】（1）设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元，则 解得 故特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元.
（2）某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1 560元，其中特级干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？
【答案】（2）设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇（80－m）箱，则 解得40≤m≤42，∵m为正整数，∴m＝40，41，42，故该商店有三种进货方案，分别为：①购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱；②购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱；③购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱.
（3）在（2）的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a（a为正整数）折售出，最终获利1 577元，请直接写出商店的进货方案.
【答案】（3）商店的进货方案是特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱.
【解后感悟】
先通过未知数x表示出题中未知量的代数式，再通过题中提到的不等关系列不等式并计算.同时也要注意实际问题下x的取值范围.
类型三 利用函数的方案设计
例3 问题情境
有一堵长为a m的墙，利用这堵墙和长为60 m的篱笆围成一个矩形养鸡场，怎样围面积最大？最大面积是多少？
题意理解
根据题意，有两种设计方案：一边靠墙（如图1所示）和一边“包含”墙（如图2所示）.
特例分析
（1）当a＝12时，若按图1的方案设计，则该方案中养鸡场的最大面积是
288 m2.若按图2的方案设计，则该方案中养鸡场的最大面积是 324 m2.
288
324
（2）当a＝20时，解决“问题情境”中的问题.
【答案】（2）如图1，设AB＝xm，则BC＝（60－2x）m.∴S矩形ABCD＝x（60－2x）＝－2（x－15）2＋450.根据题意，得20≤x＜30.∵－2＜0，
∴当20≤x＜30时，S矩形ABCD随x的增大而减小.即当x＝20时，S矩形ABCD有最大值，最大值是400 m2.如图2，设AB＝x（m），则BC＝（40－x）m.∴S矩形ABCD＝x（40－x）＝－（x－20）2＋400.根据题意，得0＜x≤20.因为－1＜0，所以当x＝20时，S矩形ABCD有最大值，最大值是400 m2.综上，当a＝20时，该养鸡场围成一个边长为20 m的正方形时面积最大，最大面积是400 m2.
解决问题
（3）直接写出“问题情境”中的问题的答案.
【答案】（3）设AB＝x，①按图1围：S＝（60－2x）x＝－2（x－15）2＋450，x＞0且0＜60－2x≤a，即 ≤x＜30，（Ⅰ）当 ＞15，即a＜30时，当x＝ （60－a）时，Smax＝ （－a2＋60a）；（Ⅱ）当 ≤15，即a≥30时，x＝15，Smax＝450；
②按图2围：S＝ x，x＞0且 （60＋a）－x＞a，即0＜x＜30－ a，（Ⅰ）当 （60－a）≤ 时，即a≥20，当x＝0时，S＝0，当x＝ （60－a）时，Smax＝ （－a2＋60a）；（Ⅱ）当 （60－a）＞ （60＋a）时，即a＜20，当x＝ 时，Smax＝ ；综上，当0＜a＜20时，围成边长为 （m）的正方形面积最大，最大面积是 （m2）.当20≤a＜30时，围成两邻边长分别为a（m）， （m）的养鸡场面积最大，最大面积为 （m2）.当a≥30时，围成矩形的长为30 m，
宽为15 m时的养鸡场面积最大，最大面积为450 m2.
【解后感悟】
栅栏问题是二次函数常见问题，但“包含墙”的设计令人产生新意.“包含墙”即把墙也当作栅栏的一部分.而平常的“靠墙”，墙长起到约束自变量的作用.
类型四 利用图形的方案设计
例4 如图，在7×5的方格纸ABCD中，请按要求画图，且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点A，B，C，D重合.
（1）在图1中画一个格点△EFG，使点E，F，G分别落在边AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°.
【答案】（1）满足条件的△EFG，如图1所示.（答案不唯一）
（2）在图2中画一个格点四边形MNPQ，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且MP＝NQ.
【答案】（2）满足条件的四边形MNPQ如图2所示.（答案不唯一）
【解后感悟】
本题考查作图——应用与设计，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型.
甲、乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品. 春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按八折出售，乙商场对一次购物中价格超过200元的部分打七折.设x（元）表示商品原价，y（元）表示购物金额.
（1）根据题意，填写下表（单位：元）：
商品原价 120 180 200
甲商场购物金额 96 160 208
乙商场购物金额 120 180 200
【答案】（1）
商品原价 120 180 200 260
甲商场购物金额 96 144 160 208
乙商场购物金额 120 180 200 242
（2）分别就两家商场的让利方式，写出y关于x的函数表达式.
【答案】（2）甲商场：y＝0.8x（x≥0）；
乙商场：y＝
（3）春节期间，当在同一商场累计购物超过200元时，哪家商场的实际花费少？
【答案】（3）∵x≥200，∴由0.8x＝0.7x＋60，得x＝600.∴当购物金额按原价大于200元而小于600元时，在甲商场购物省钱；当购物金额按原价等于600元时，在两商场购物花钱一样多；当购物金额按原价大于600元时，在乙商场购物省钱.
方法与对策：本题第（3）小题可先求甲、乙两家商场花费相等时购物费用，再按大于该费用、小于该费用且大于200元、等于该费用，共三种情况进行分类讨论即可.
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第四篇 综合与实践
第十章 数学问题探究
第44讲 课本题改编型问题
课本中例题、习题是针对教材内容而设置，具有示范性、典型性和代表性，例题、习题是学业考试试题和模拟试题编制的题源，这种“源于课本，又高于课本”的考题，既立足教材，又迁移了教材中解决问题的基本思想和方法，对教材中问题的适当拓展或延伸，改变题目的原有呈现形式，实现问题的推陈出新.通过课本中例题、习题的基本解题思路和改编后问题的结构去进一步探索，结合纵向、横向思考，特殊到一般等数学方法.
类型一 以题改题——情景不变，内容改变
例1 课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法.我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法.
定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫作这个三角形的三分线.
（1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）.
【答案】（1）如图1作图.（答案不唯一）
（2）△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，设∠C＝x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值.
【答案】（2）如图2作图.
①当AD＝AE时，∵2x＋x＝30＋30，∴x＝20；②当AD＝DE时，∵30＋30＋2x＋x＝180，∴x＝40.
（3）如图3所示，在△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠C＝2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长.
【答案】（3）如图3，CD，AE就是所求的三分线.设∠B＝α，则∠DCB＝∠DCA＝∠EAC＝α，∠ADE＝∠AED＝2α，此时△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，设AE＝AD＝x，BD＝CD＝y，∵△AEC∽△BDC，∴x∶y＝2∶3.∵△ACD∽△ABC，∴2∶x＝（x＋y）∶2，∴联立得方程组 解得 即三分线的长分别是 和 .
【解后感悟】
本题通过对课本母题再赋予新的定义，进行了类比探究，丰富问题内涵.考查了学生学习的理解能力及动手创新能力，知识方面重点考查三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，是一道体现能力的题目.
1. 问题：如图，在 ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长.
答案：EF＝2.
探究：（1）把“问题”中的条件“AB＝8”去掉，其余条件不变.
①当点E与点F重合时，求AB的长；
【答案】（1）①如图1所示，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，BC＝AD＝5，∴∠DEA＝∠BAE，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠DEA＝∠DAE，∴DE＝AD＝5，同理：BC＝CF＝5，∵点E与点F重合，∴AB＝CD＝DE＋CF＝10；
②当点E与点C重合时，求EF的长.
【答案】②如图2所示，∵点E与点C重合，∴DE＝DC＝5，∵CF＝BC＝5，∴点F与点D重合，∴EF＝DC＝5.
（2）把“问题”中的条件“AB＝8，AD＝5”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求 的值.
【答案】（2）分三种情况：①如图3所示，同（1）得：AD＝DE，∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，∴AD＝DE＝EF＝CF，∴ ＝ ；②如图4所示，同（1）得：AD＝DE＝CF，∵DF＝FE＝CE，∴ ＝ ；③如图5所示，同（1）得：AD＝DE＝CF，∵DF＝DC＝CE，∴ ＝2.综上所述， 的值为 或 或2.
类型二 以题生题——借助习题，拓展问题
例2 追本溯源
题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）.
（1）如图1所示，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由.
【答案】（1）△BDE是等腰三角形.理由如下：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵DE∥BC，∴∠BDE＝∠CBD，∴∠BDE＝∠ABD，∴EB＝ED，∴△BDE是等腰三角形.
方法应用
（2）如图2所示，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F，交BC于点G.
①图中一定是等腰三角形的有（ B ）
A. 3个 B. 4个
C. 5个 D. 6个
②已知AB＝3，BC＝5，求CF的长.
【答案】（2）②∵平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝5，由①易证DA＝DF，∴CF＝DF－CD＝5－3＝2.
B
【解后感悟】
本题（1）为学分线时比较经典的平分线＋平行线→等腰三角形的模型，本模型显然在平行四边形中也非常常见，因此第（2）小题就在平行四边形中进行了考查.
类型三 借景编题——利用材料，设置问题
例3 如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为1 200 N，阻力臂长为0.5 m.设动力为y（N），动力臂长为x（m）.杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂（图中撬棍本身所受的重力略去不计）.
（1）求y关于x的函数表达式.
【答案】（1）由题意，得xy＝1 200×0.5，则y＝ ，即y关于x的函数表达式为y＝ .
（2）当动力臂长为1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力？
【答案】（2）∵y＝ ，∴当x＝1.5时，y＝ ＝400，故当动力臂长为1.5 m时，撬动石头至少需要400 N的力.
（3）小明若想使动力不超过300 N，在动力臂最大为1.8 m的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由.
【答案】（3）他不能撬动这块石头.理由：∵y＝ ，∴x＝ ，∵0＜x≤1.8，∴0＜ ≤1.8，∴y≥333 ，∵333 ＞300，∴他不能撬动这块石头.
【解后感悟】
本题主要考查了反比例函数的应用，利用生活经验和知识融合是解题关键.
2. 如图的一座拱桥，当水面宽AB为12 m时，桥洞顶部离水面4 m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线表达式是y＝－ （x－6）2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线表达式是 y＝－ （x＋6）2＋4 .
y＝－ （x＋6）2＋4
类型四 多题联题——利用习题，组合编题
例4 某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）.第一班车上午8：00发车，以后每隔10 min有一班车从入口处发车.小聪周末到该风景区游玩，上午7：40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25 min后到达塔林.离入口处的路程y（m）与时间x（min）的函数关系如图2所示.
（1）求第一班车离入口处的路程y（m）与时间x（min）的函数表达式.
【答案】（1）由题意可设函数表达式为y＝kx＋b（k≠0）.把（20，0），（38，2 700）代入y＝kx＋b，得 解得 因此第一班车离入口处的路程y（m）与时间x（min）的函数表达式为y＝150x－3 000（20≤x≤38）.
（2）求第一班车从入口处到达塔林所需的时间.
【答案】（2）把y＝1 500代入y＝150x－3 000，解得x＝30，30－20＝10（min）.因此第一班车到塔林所需时间为10 min.
（3）小聪在塔林游玩40 min后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变）？
【答案】（3）设小聪坐上第n班车.30－25＋10（n－1）≥40，解得n≥4.5，则小聪最早坐上第5班车.等班车时间为5 min，坐班车所需时间为
1 200÷150＝8（min），步行所需时间为1 200÷（1 500÷25）＝20（min），
20－（8＋5）＝7（min），因此小聪坐班车去草甸比他游玩结束后立即步行到达草甸提早7 min.
【解后感悟】
本题考查利用一次函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，准确识图并获取信息是解题的关键.
3. 锐角三角形ABC中，BC＝6，S△ABC＝12，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y ＞0），当x＝ 3 ，公共部分面积y最大，最大值是 6 .
3
6
类型五 以题换题——结构不变，情景改变
例5 课本中有一个例题：有一个窗户形状如图1所示，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6 m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35 m时，透光面积最大值约为1.05 m2.我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2所示，材料总长仍为6 m，利用图3，解答下列问题：
（1）若AB为1 m，求此时窗户的透光面积？
【答案】（1）由已知，可得AD＝ ＝ （m），则S＝1× ＝ （m2）.
（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明.
【答案】（2）设AB＝x（m），则AD＝ m，∵3－ x＞0，∴0＜x＜ ，设窗户面积为S（m2），由已知，得S＝AB·AD＝x ＝－ x2＋3x＝
－ ＋ ，当x＝ 时，且x＝ 在0＜x＜ 的范围内，S最大值＝ m2＞1.05 m2，∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大.
【解后感悟】
此题主要通过例题的方法去解决新问题，正确表示出函数表达式是解题关键.
【课本改编题】
数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力、创新能力的一种手段.小强在学习“相似”一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1所示）产生了如下问题，请同学们帮他解决.
在△ABC中，D为边AB上一点，连结CD.
初步探究
（1）如图2所示，若∠ACD＝∠B，求证：AC2＝AD·AB.
【答案】（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴ ＝ ，∴AC2＝AD·AB.
尝试应用
（2）如图3所示，在（1）的条件下，若D为AB中点，BC＝4，求CD的长.
【答案】（2）∵D为AB中点，∴设AD＝BD＝m，由（1）知△ACD∽△ABC，∴AC2＝AD·AB＝m·2m＝2m2，∴AC＝ m，∴△ACD与△ABC的相似比为 ＝ ，∴ ＝ ，∵BC＝4，∴CD＝2 .
创新提升
（3）如图4所示，E为CD中点，连结BE，若∠CDB＝∠CBD＝30°，∠ACD＝∠EBD，AC＝2 ，求BE的长.
【答案】（3）过点C作EB的平行线交AB的延长线于点H，过点C作CY⊥AB于点Y，如图1，∵E为CD中点，∴设CE＝DE＝a，∵∠CDB＝∠CBD＝30°，∴CB＝CD＝2a，∠DCB＝120°，在Rt△BCY中，CY＝ CD＝a，则由勾股定理可得BD＝2 a，过点B作BF⊥EC于点F，如图2，∴∠FCB＝60°，∴∠CBF＝30°，∴CF＝ BC，∴CF＝a，BF＝ a，∴EF＝2a，∴BE＝ a，∵CH∥BE，E为CD中点，∴CH＝2BE＝2 a，DH＝2DB＝4 a，∠EBD＝∠H，又∵∠ACD＝∠EBD，∴∠ACD＝∠H，△ACD∽△AHC，∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ，又∵AC＝2 ，∴AD＝2，AH＝14，∴DH＝12，即4 a＝12，∴a＝ ，∴BE＝ a＝ .
方法与对策：本题考查了三角形的综合知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识是解题的关键.综合性较强，难度较大.
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第四篇 综合与实践
第十章 数学问题探究
第43讲 几何中的最值与定值问题
几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本策略：①单线段最值主要考虑“两点之间线段最短”“垂线段最短”；②双线段最值主要考虑“将军饮马”模型或“胡不归模型”；③当图形中有相似，建立函数模型求线段最值.
几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题.有些几何图形有着天生的不变性，如反比例函数中的面积不变性，同弧所对的圆周角不变，等腰三角形底边上一点到两腰距离和为定值.解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置、直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明.
类型一 线段的最值
例1 如图，在边长为6的正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足AE＝BF，AF与DE交于点O，M是DF的中点，G是边AB上的点，AG＝2GB，则OM＋ FG的最小值是（ B ）
A. 4 B. 5 C. 8 D. 10
B
【解后感悟】
本题解决的核心是要将线段“OM＋ FG”结合在一起，分别求最值是非常困难的，我们要在图中找到与“OM＋ FG”的值相关的线段，再解决问题.需要作图拼接还是通过等量关系替换，要具体看已知条件.
类型二 建立函数模型求最值
例2 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝ ，则其面积S＝ .该公式也被称海伦－秦九韶公式.若p＝5，c＝4，则此三角形面积的最大值为
（ C ）
A. B. 4 C. 2 D. 5
C
【解后感悟】
考查秦九韶公式的变形处理技巧以及二次函数的配方技巧.
类型三 几何定值
例3 如图，AB，CD是☉O的两条直径，AB⊥CD，E是 上一动点（点E不与点B，D重合）.连结AE，CE，分别交OD，OB于点F，G，连结AC. 设☉O的半径为r，∠OAF＝α.
（1）∠OCG＝ 45°－α （结果用含α的代数式表示）.
45°－α
（2）当α＝30°时，求证：AF＝2FE.
【答案】（2）连结OE，如图，∵∠OAF＝α＝30°.∴∠OCG＝45°－30°＝15°，∠AFO＝60°，∴∠DOE＝30°，∵∠AFO＝60°＝∠DOE＋∠OEF＝30°＋∠OEF，∴∠OEF＝30°，∴OF＝EF，∵∠OAF＝30°，CD⊥AB，∴AF＝2OF＝2FE.
（3）判断AG·CF是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（3）AG·CF是定值，AG·CF＝2r2.理由：连结AD，由题意知，∠ACG＝∠ACD＋∠DCE＝45°＋∠DCE，∠AFC＝∠D＋∠DAE＝45°＋∠DAE，∵∠DCE＝∠DAE，∴∠ACG＝∠AFC，又∵∠ACF＝∠CAG＝45°，∴△ACF∽△GAC，∴ ＝ ，∴AG·CF＝AC2，∵OA＝OC＝r，∴AC＝ r，∴AC2＝2r2，即AG·CF＝AC2＝2r2.
【解后感悟】
对于（3），解题的关键是从基本图形中揭示数量关系，由△ACF∽△GAC，得出 ＝ ，即可求解.
【转化思想探究图形相关的等量关系】
问题情境
（1）如图1所示，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2所示），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 2 倍.由此可见，图形变化是解决问题的有效策略.
2
操作实践
（2）如图3所示，①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a，b，c，d之间存在某种数量关系.小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4.请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系.
【答案】（2）如图2，∵EG⊥FH，∴a2＝OF2＋OE2，c2＝OG2＋OH2，d2＝OE2＋OH2，b2＝OF2＋OG2，∴a2＋c2＝b2＋d2，结合图形变换可得PA2＋PC2＝PB2＋PD2.
探究应用
（3）如图5所示，在图3中“④”的基础上，小昕将△PDC绕点P逆时针旋转，他发现旋转过程中∠DAP存在最大值.若PE＝8，PF＝5，当∠DAP最大时，求AD的长.
【答案】 （3）如图3，∵将△PDC绕点P逆时针旋转，∴点D在以点P为圆心，PD为半径的圆上运动，∵A为圆外一个定点，∴当AD与☉P相切时，∠DAP最大，∴PD⊥AD，∴AD2＝AP2－PD2，由（2）可得AE＝DF，∵PE＝8，PF＝5，∴AD2＝AP2－PD2＝PE2＋AE2－PF2－DF2＝82－52＝39，∴AD＝ .
方法与对策：通过本题我们发现，图形的转化思想很多体现在对图形的变换操作之下，第（1）小题中运用旋转，第（2）小题运用平移.
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第四篇 综合与实践
第十章 数学问题探究
第45讲 选择填空解题策略
1. 直接法，直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理或运算，得出结论.
2. 代入法，由题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正确答案，亦可将供选择的答案代入条件中去验证，找出正确答案，此法称为验证法（也称代入法）.当遇到定量命题时，常用此法.
3. 特殊化法，用合适的特殊元素（如特殊值、特殊函数、特殊角、图形的特殊位置、特殊点、特殊模型等）代入题设条件或结论中去，从而获得解答.
4. 排除（筛选）法，对于正确答案有且只有一个的选择题，根据数学知识或推理、演算，把不正确的结论排除，余下的结论再经筛选，从而得出正确的结论.
5. 图解法，借助于符合题设条件的图形或图象的性质、特点来判断，作出正确的选择称为图解法.图解法是解选择题、填空题常用方法之一.
6. 动手操作法，与剪、折和度量操作有关或者有些关于图形变换的试题，处理时要根据剪、折顺序动手实践操作一下.动手可以直观得到答案，往往能达到快速求解的目的.
类型一 直接法
例1 如图，AB是☉O的直径，AC是☉O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若∠A＝∠D，CD＝3，则图中阴影部分的面积为 .
【解后感悟】
见了切点连半径得垂直，直接根据已知求解.
类型二 代入法
例2 在直角坐标系中，点M，N在同一个正比例函数图象上的是（ A ）
A. M（2，－3），N（－4，6）
B. M（－2，3），N（4，6）
C. M（－2，－3），N（4，－6）
D. M（2，3），N（－4，6）
A
【解后感悟】
将供选择的答案代入条件中去验证，找出正确答案.
类型三 特殊化法
例3 小明使用图形计算器探究函数y＝ 的图象，他输入了一组a，b的值，得到了下面的函数图象，由学习函数的经验，可以推断出小明输入的a，b的值满足（ A ）
A
A. a＞0，b＞0
B. a＞0，b＜0
C. a＜0，b＞0
D. a＜0，b＜0
【解后感悟】
当题目陌生，关系较复杂时，可用合适的特殊元素（如特殊值、特殊函数、特殊角、图形的特殊位置、特殊点、特殊模型等）代入题设条件或结论中去，从而获得解答.
1. 当0＜x＜1时，x， ，x2的大小顺序是 x2＜x＜ .
x2＜x＜
类型四 排除（筛选）法
例4 已知一次函数y1＝ax＋b和y2＝bx＋a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（ A ）
A. B. C. D.
【解后感悟】
对于正确答案有且只有一个的选择题，根据数学知识或推理、演算，把不正确的结论排除，余下的结论再经筛选，从而得出正确的结论.
A
类型五 图解法
例5 足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB的张角大小时，张角越大，射门越好.如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，球员带球沿CD方向进攻，最好的射点在（ C ）
C
A. 点C
B. 点D或点E
C. 线段DE（异于端点）上一点
D. 线段CD（异于端点）上一点
【解后感悟】
借助于符合题设条件的图形或图象的性质、特点来判断，作出正确的选择和解法.
2. 在“探索函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）.同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的最大值为（ A ）
A. B. C. D.
A
【探索研究题】
在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点A（x，y），我们把点B（ ， ）称为点A的“倒数点”.如图，矩形OCDE的顶点C为（3，0），顶点E在y轴上，函数y＝ （x＞0）的图象与DE交于点A. 若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形OCDE的一边上，则△OBC的面积为 .
或
方法与对策：本题通过观察、猜想和动手操作，尝试往问题方向转化，借助于符合题设条件的图形或图象的性质、特点来判断，往往能达到快速求解的目的.
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第四篇 综合与实践
第十章 数学问题探究
第40讲 新定义与阅读理解型问题
解决阅读理解型问题的基本思路是“阅读→分析→理解→解决问题”，具体做法：
1. 认真阅读材料，把握题意，注意一些数据、关键名词.
2. 全面分析，理解材料所蕴含的基本概念、原理、思想和方法，提取有价值的数学信息.
3. 对有关信息进行归纳、整合，并且和方程、不等式、函数或几何等数学模型结合来解答.
类型一 应用型：阅读－理解－建模－应用
例1 定义：有一边长是另一边长的两倍的直角三角形叫作倍边直角三角形.
（1）若倍边直角三角形较短直角边长为1，则斜边的长为 2或 .
（2）如图1所示，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P在线段AD上，连结CP.
2或
【答案】（2）①∵CD＝4，DP＝ ，∴tan∠DCP＝ ，∴∠DCP＝30°，∴∠BCH＝60°，∵∠BHC＝90°，∴BC＝2CH，∴△BCH是倍边直角三角形；
①如图2所示，DP＝ ，作BH⊥CP，垂足为点H，求证：△BCH是倍边直角三角形；
②如图1所示，△PDC是倍边直角三角形，求AP的长.
【答案】②Rt△PDC中，（Ⅰ）PC＝2PD时，得PD＝ ，因此AP＝6－ .（Ⅱ）PC＝2DC时，得PD＝4 ＞6，因此不存在.（Ⅲ）DC＝2PD时，得PD＝2，因此AP＝4.（Ⅳ）PD＝2DC时，得PD＝8＞6，因此不存在.综上所述，AP的长为6－ 或4.
【解后感悟】
本题先考查对“倍边直角三角形的定义”的理解，再考查对此定义的性质应用.题中主要涉及分类讨论.
1. 定义新运算：①在平面直角坐标系中， 表示动点从原点出发，沿着x轴正方向（a≥0）或负方向（a＜0）.平移 个单位长度，再沿着y轴正方向（b≥0）或负方向（b＜0）平移 个单位长度.例如，动点从原点出发，沿着x轴负方向平移2个单位长度，再沿着y轴正方向平移1个单位长度，记作 .②加法运算法则： ＋ ＝ ，其中a，b，c，d为实数.若 ＋ ＝ ，则下列结论正确的是（ B ）
A. m＝2，n＝7 B. m＝－4，n＝－3
C. m＝4，n＝3 D. m＝－4，n＝3
B
类型二 猜想型：阅读－理解－归纳－验证
例2 在平面直角坐标系中，对于点M（x1，y1），给出如下定义：当点N（x2，y2），满足x1＋x2＝y1＋y2时，称点N是点M的“等和点”.
（1）已知点M（1，3），在N1（4，2），N2（3，－1），N3（0，－2）中，是点M的“等和点”的有 N1和N3 .
N1和N3
（2）若点M（3，－2）的“等和点”N在直线y＝x＋b上，求b的值.
【答案】（2）设点N的横坐标为a，∵点N是点M（3，－2）的等和点，∴点N的纵坐标为3＋a－（－2）＝a＋5，∴点N的坐标为（a，a＋5），∵点N在直线y＝x＋b上，∴a＋5＝a＋b，∴b＝5.
（3）已知，双曲线y1＝ 和直线y2＝x－2，满足y1＜y2的x取值范围是x＞4或－2＜x＜0.若点P在双曲线y1＝ 上，点P的等和点Q在直线y2＝x－2上，求点P的坐标.
【答案】（3）由题意可得，k＞0，双曲线分布在第一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点A，B，如图，由y1＜y2时x的取值范围是x＞4或－2＜x＜0，可得点A的横坐标为4，点B的横坐标为－2，把x＝4代入y＝x－2得y＝4－2＝2，∴A（4，2），把A（4，2）代入y1＝ 得2＝ ，∴k＝8，∴反比例函数表达式为y1＝ ，设P（m， ），点Q的横坐标为n，∵点Q是点P的等和点，∴点Q的纵坐标为m＋n－ ，∴Q（n，m＋n－ ），∵点Q在直线y2＝x－2上，∴m＋n－ ＝n－2，整理得m－ ＋2＝0，去分母得m2＋2m－8＝0，解得m1＝－4，m2＝2，经检验，m1＝－4，m2＝2是原方程的解，∴点P的坐标为（－4，－2）或（2，4）.
【解后感悟】
遵循解决此类问题的一般步骤，先阅读了解“等和点”的定义；再理解学会简单计算和运用；最后归纳核心要素，综合运用.
2. 定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫作这个函数图象的“近轴点”.例如，点（0，1）是函数y＝x＋1图象的“近轴点”.
（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是 ③ （填序号）.
① y＝－x＋3；②y＝ ；③y＝－x2＋2x－1.
（2）若一次函数y＝mx－3m图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为 － ≤m＜0或0＜m≤ .
③
－ ≤m＜0或0＜m≤
类型三 概括型：阅读－理解－概括－拓展
例3 定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角.
（1）如图1所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，对角线BD平分∠ADC. 求证：四边形ABCD为邻等四边形.
【答案】（1）在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∴∠ABC＝180°－∠A＝90°，∵对角线BD平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠CBD＝∠CDB，∴CD＝CB，∴四边形ABCD为邻等四边形.
（2）如图2所示，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D.
【答案】（2）如下3个图，点D，D'，D″即为所求.
（3）如图3所示，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB＝∠ABC＝90°，∠BCD为邻等角，连结AC，过点B作BE∥AC交DA的延长线于点E. 若AC＝8，DE＝10，求四边形EBCD的周长.
【答案】（3）如图4，四边形ABCD是邻等四边形，∠BCD为邻等角，∴CD＝CB，∵∠DAB＝∠ABC＝90°，∴AD∥BC，∵BE∥AC，∴四边形AEBC是平行四边形，∴EB＝AC＝8，AE＝BC，∴AE＝BC＝DC，设AE＝BC＝DC＝x，∵DE＝10，∴AD＝DE－AE＝10－x，过点D作DF⊥BC于点F，得矩形ABFD，∴AB＝DF，AD＝BF＝10－x，∴CF＝BC－BF＝x－（10－x）＝2x－10，在Rt△ABE和Rt△DFC中，根据勾股定理得：BE2－AE2＝AB2，CD2－CF2＝DF2，∴BE2－AE2＝CD2－CF2，∴82－x2＝x2－（2x－10）2，整理得x2－20x＋82＝0，
解得x1＝10－3 ，x2＝10＋3 （不符合题意，舍去），
∴CD＝CB＝10－3 ，∴四边形EBCD的周长＝BE＋DE
＋2CD＝8＋10＋2×（10－3 ）＝38－6 .
【解后感悟】
通过前面问题的解答积累经验，再概括，最后拓展解决新问题.
【阅读探究题】
综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究.
定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫作邻等对补四边形.
（1）操作判断.
用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有 ②④ （填序号）.
②④
（2）性质探究.
根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质.下面研究与对角线相关的性质.
如图2所示，四边形ABCD是邻等对补四边形，AB＝AD，AC是它的一条对角线.
①写出图中相等的角，并说明理由；
【答案】（2）①∠ACD＝∠ACB，理由如下：延长CB至点E，使BE＝DC，连结AE，如图1，∵四边形ABCD是邻等对补四边形，∴∠ABC＋∠D＝180°，∵∠ABC＋∠ABE＝180°，∴∠ABE＝∠D，∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADC（SAS），∴∠E＝∠ACD，AE＝AC，∴∠E＝∠ACB，∴∠ACD＝∠ACB；
②若BC＝m，DC＝n，∠BCD＝2θ，求AC的长（用含m，n，θ的式子表示）.
【答案】②过点A作AF⊥EC于点F，如图2，∵AE＝AC，∴CF＝ CE＝ （BC＋BE）＝ （BC＋DC）＝ ，∵∠BCD＝2θ，∴∠ACD＝∠ACB＝θ，在Rt△AFC中， cos θ＝ ，∴AC＝ ＝ .
（3）拓展应用.
如图3所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，分别在边BC，AC上取点M，N，使四边形ABMN是邻等对补四边形.当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BN的长.
【答案】（3）BN的长为 或 .
方法与对策：我们学习过四边形、平行四边形和特殊的平行四边形这些图形及其性质，在理解新的定义概念已经涉及的性质及其运用时，也要举一反三地用同样的方式去学习、理解、运用.
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