(共13张PPT)
第二十二章 函数
第2课 函数自变量的取值范围
新知探究
知识点
求函数自变量的取值范围
求下列函数中自变量x的取值范围:
(1)y＝2x2＋1;(2)y＝;(3)y＝;(4)y＝.
解:(1)y＝2x2＋1的自变量的取值范围是全体实数.
(2)由题意,得x－2≠0,解得x≠2.
(3)由题意,得2x－1≥0,解得x≥.
(4)由题意,得3－x≠0,解得x≠3.
经典
例题
1
求下列函数中自变量x的取值范围:
(1)y＝; (2)y＝;
(3)y＝;(4)y＝(x－1)0＋.
解:(1)由题意,得x＋3≠0,解得x≠－3.
(2)由题意,得x≥0且1－x≠0,解得x≥0且x≠1.
(3)由题意,得x－2≥0且x－3≠0,解得x≥2且x≠3.
(4)由题意,得x－1≥0且x－1≠0,解得x＞1.
变式
训练
2
注意:若函数包含上表中的多种形式,则须同时满足.
形式 整式 分式 二次根式 0次幂
自变量的取值范围 全体实数 分母≠0 被开方数≥0 底数≠0
实例 y＝2x＋1 (x取全体实数) y＝ (x≠0) y＝ (x≥0) y＝(x－1)0
(x≠1)
知识点
求函数的解析式
表示函数与自变量之间的关系的关于自变量的数学式子叫作函数的解析式.
(教材P94改编)小明和父母一起开车去景点旅游.出发前,汽车油箱内储油45 L,行驶150 km时,发现油箱剩余油量30 L(假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的).
(1)该车剩余油量Q(L)与行驶路程x(km)之间的函数关系式为_________________,自变量x的取值范围为_______________;
(2)若x＝280,则剩余油量Q的值为________L.
母题
演变
3
Q＝45－0.1x
0≤x≤450
17
某市出租车车费标准如下:3 km以内(含3 km)收费8元;超过3 km的部分每千米收费1.6元.
(1)应收费y(元)与出租车行驶路程x(km)之间的关系式为_______ _____________(其中x≥3).
(2)小亮乘出租车行驶4 km,应付_______元.
(3)如果小波付车费16元,那么出租车行驶了______km.
变式
训练
4
y＝
1.6x＋3.2
9.6
8
我要闯关
基础过关
1.(2025·汕头二模)函数y＝的自变量x的取值范围是( )
A.x≠－3且x≠1
B.x＞－3且x≠1
C.x＞－3
D.x≥－3且x≠1
B
2.用每张长6 cm的纸片,重叠1 cm粘贴成一条纸带,如图,纸带的长度y(cm)与纸片的张数x之间的函数关系式是( )
A.y＝6x－1
B.y＝6x＋1
C.y＝5x＋2
D.y＝5x＋1
D
能力过关
3.一水池的容积是90 m3,现蓄水10 m3,用水管以5 m3/h的速度向水池注水,直到注满为止.
(1)写出蓄水量V(m3)与注水时间t(h)之间的关系式,并指出自变量t的取值范围;
(2)当t＝10时,V的值为________m3.
解:(1)由蓄水量等于现蓄水量加注水量,得V＝5t＋10.
由5t＋10≤90,解得t≤16.
∴自变量t的取值范围为0≤t≤16.
60
4.已知等腰三角形的周长为6 cm,底边长y(cm)是腰长x(cm)的函数.
(1)求y(cm)关于x(cm)的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(2)当底边长y为2 cm时,腰长x为_________.
解:(1)由题意,得2x＋y＝6,∴y＝6－2x.
由三角形的三边关系,可知6－2x＋x＞x且x＋x＞6－2x.解得＜x＜3.
∴自变量x的取值范围为＜x＜3.
2 cm
思维过关
5.(跨学科命题)科学家实验发现,声音在不同气温下传播的速度不同,声音在空气中的传播速度随温度的变化而有规律的变化,八(1)班社团通过查阅资料发现,声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系:
气温t/℃ 0 1 2 3 4 5
声音在空气中的传播速度v/(m/s) 331 331.6 332.2 332.8 333.4 334
(1)当t＝6 ℃时,声音在空气中的传播速度为__________m/s.
(2)声音在空气中的传播速度v与气温t之间的函数关系式为_____ _____________.
(3)某日的气温为20 ℃,小乐看到烟花燃放5 s后才听到声响,那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远
解:当气温为20 ℃时,声音在空气中的传播速度为0.6×20＋331＝343(m/s).
343×5＝1 715(m).
答:小乐与燃放烟花所在地大约相距1 715 m.
334.6
v＝
0.6t＋331(共11张PPT)
第二十二章 函数
第4课 函数的应用
新知探究
在升旗仪式上,国旗冉冉上升,下列函数图象能近似地刻画上升的国旗离旗杆顶端的距离与时间的关系的是( )
知识点
函数的应用
经典
例题
1
A
“乌鸦喝水”的故事耳熟能详.如图,乌鸦看到一个水位比较低的瓶子,此时水位高度为a,喝不着水,沉思了一会后聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中,水位上升至瓶口b处,乌鸦喝到了水.设乌鸦衔来的石子个数为x,水位高度为y,假设石子的体积一样,下列图象中最符合故事情境的大致图象是( )
变式
训练
2
A
(教材P103改编)小红星期天骑车从家里出发去舅舅家做客.当她骑了一段路时,想起要买个礼物送给表弟,于是又折回到刚才经过的一家商店,买好礼物后又继续骑车去舅舅家.她本次去舅舅家所用的时间与小红离家的距离的关系如图所示.
母题
演变
3
根据图中提供的信息解答下列各题:
(1)小红家到舅舅家的路程是____________m,小红在商店停留了______min;
(2)小红在整个骑车去舅舅家的途中,最快的速度是______m/min,最慢的速度是______m/min;
(3)本次去舅舅家的行程中,小红一共行驶了_______m,一共用了_____min.
1 500
4
450
150
2 700
14
小王家、食堂、图书馆在同一条直线上,小王从家去食堂吃早餐,接着去图书馆读报,然后回家,如图反映小王离家的距离与时间之间的对应关系,下列说法正确的是( )
A.小王读报用了58 min
B.小王吃早餐用了25 min
C.小王从图书馆回家的平
均速度是0.08 km/min
D.小王家离食堂0.8 km
变式
训练
4
C
我要闯关
基础过关
1.均匀地向一个如图所示的容器中注水,最后把容器注满,在注水过程中水面高度h随时间变化的函数图象大致是( )
A
2.一辆公共汽车从车站开出,加速行驶一段时间后开始匀速行驶,过了一段时间,汽车到达下一车站,乘客上、下车后汽车开始加速,一段时间后又开始匀速行驶.如图中近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是( )
D
能力过关
3.火车匀速通过隧道时,火车在隧道内的长度y(m)与火车行驶时间x(s)之间的关系用图象描述如图所示,有下列结论:①火车的速度为30 m/s;②火车的长度为100 m;③火车整体都在隧道内的时间为30 s;④隧道长度为1 200 m.正确的结论是( )
A.①②③
B.①③
C.①④
D.③④
C
思维过关
4.【应用意识、抽象能力】人的大脑所能记忆的内容是有限的,随着时间的推移,记忆的东西会逐渐被遗忘,德国心理学家艾宾浩斯第一个发现了记忆遗忘规律.他根据自己得到的测试数据描绘了一条曲线(如图所示),这就是非常有名的艾宾浩斯遗忘曲线,观察图象并回答下列问题:
(1)其中自变量是________,因变量是______________;
(2)在以下哪个时间段内遗忘的速度最快
填序号______;
①0－2 h ②2－4 h ③4－6 h ④6－8 h
(3)图中B点表示的意义是_________________________________ ________________________;
(4)老师要求我们“堂堂清”“日日清”,请结合艾宾浩斯遗忘曲线谈谈你的看法.
解:如不复习,会很快忘掉很多,只能保持大约30%的记忆保持量;老师要求学生“堂堂清”“日日清”,提示我们学习后要及时复习.
时间
记忆保持量
①
记忆9 h后记忆保持量约为38%(答案不唯一,35%－38%均可)(共19张PPT)
第二十二章 函数
第3课 函数的表示
新知探究
(教材P101改编)在直角坐标系中画出函数y＝2x的图象.
列表:
知识点
函数的表示
母题
演变
1
x －2 －1 0 1 2
y －4 ____ ___ ___ ___
(x,y) ________ ________ _____ _____ _____
－2
0
2
4
(－2,－4)
(－1,－2)
(0,0)
(1,2)
(2,4)
解:画出函数y＝2x的图象如图所示.
拓展提问:点(0.5,1),(－3,－5),(1.5,3)中,在函数y＝2x的图象上的有______个.
2
在直角坐标系中画出函数y＝－x＋1的图象.
列表:
变式
训练
2
x －2 －1 0 1 2
y ____ ____ ____ ____ ______
(x,y) ________ ________ _______ _______ ________
3
2
1
0
－1
(－2,3)
(－1,2)
(0,1)
(1,0)
(2,－1)
解:画出函数y＝－x＋1的图象如图所示.
已知等腰三角形的周长是20 cm,设腰长为x cm,底边长为y cm.
(1)求y关于x的函数关系式,并求出自变量x的取值范围;
(2)画出函数的图象.
经典
例题
3
解:(1)根据题意,得 2x＋y＝20.
∴y＝20－2x.
由x＋x＞20－2x,得x＞5.
由x＋(20－2x)＞x,得x＜10.
故5＜x＜10.
∴y关于x的函数关系式为
y＝20－2x(5＜x＜10).
(2)画出函数的图象如图所示.
已知一个矩形的面积为6,长为x,宽为y.
(1)y与x之间的函数解析式为__________________(写出自变量的取值范围);
(2)列表:
上面表格中m的值是______;
变式
训练
4
x … 1 2 3 4 6 …
y … 6 3 m 1.5 1 …
y＝(x＞0)
2
(3)描点并在图中画出该函数的图象;
(4)若点A(a,b)与点B(a＋1,c)是该函数图象上的两点,则b和c的大小关系为__________.
b＞c
解:(3)画出函数的图象如图所示.
(1)画函数图象的步骤:①列表;②描点;③连线.
(2)画函数图象时的注意事项:①确定自变量的取值范围;②取点尽量取整点,方便描点.
(3)函数的三种表示方法:①解析式法;②列表法;③图象法.
我要闯关
基础过关
1.“利用描点法画出函数图象,探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式,请试着探究函数y＝－x3,其图象经过( )
A.第一、二象限
B.第三、四象限
C.第一、三象限
D.第二、四象限
D
2.小明在画函数y＝(x＞0)的图象时,首先进行列表,下表是小明所列的表格,由于不认真列错了一个不在该函数图象上的点,这个点是( )
A.(1,6) B.(2,3)
C.(3,2) D.(4,1)
x … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 5 6 …
y … 6 3 2 1 …
D
能力过关
3.在平面直角坐标系中画出函数y＝－x＋3的图象.在图象上标出横坐标为－4的点A,并写出它的坐标.
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … …
6
5
4
3
2
1
0
解:列表如表.
函数y＝－x＋3的图象如图所示.点A的坐标为(－4,7).
思维过关
4.【几何直观】对于函数y＝－1.
(1)请用你喜欢的方法在给出的平面直角坐标系中,直接画出函数y＝－1的图象.
(2)小明同学通过图象得到了以下性质,其中正确的有_______(填序号).
①x＝2时的函数值与x＝－2时的函数值相等;
②当x＝0时,此函数有最大值为－1;
③此函数的图象关于y轴对称.
(3)已知点A(－3,－1),B(4,－1),那么在函数y＝－1的图象上是否存在一点P,使得△ABP的面积为14 若存在,求出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
①③
解:(1)列表:
函数y＝－1的图象如图所示.
(3)∵点A(－3,－1),B(4,－1),
∴AB＝7.
∵△ABP的面积为14,
∴AB·(yP＋1)＝14,即×7×(yP＋1)＝14.
∴yP＝3.令－1＝3.解得x＝±4.
∴存在点P,使得△ABP的面积为14,此时点P的坐标为(－4,3)或(4,3).
x … －2 －1 0 1 2 …
y … 1 0 －1 0 1 …(共16张PPT)
第二十二章 函数
第5课 第二十二章复习
双基复习
知识点
函数的概念
1.假设汽车匀速行驶在高速公路上,那么在下列各量中,变量的个数是( )
①行驶速度;②行驶时间;③行驶路程;④汽车油箱中的剩余油量.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
C
2.下列图象中,表示y不是x的函数的是( )
D
3.(2025·深圳一模)函数y＝的自变量x的取值范围是( )
A.x≥0 B.x≠1
C.x≥0且x≠1 D.x＞1
C
知识点
函数的表示
4.去学校食堂就餐,学生经常会在窗口前等待,经调查发现,学生的舒适度指数y与等待时间x(min)的关系如下表,下列可以反映y与x之间的关系的式子是( )
A.y＝100x B.y＝
C.xy＝100 D.x＋y＝100
等待时间x/min 1 2 5 10 20
舒适度指数y 100 50 20 10 5
C
5.下表是随机抽取的7对母女的身高数据.
母亲身高/cm 154 157 158 159 161 163 164
女儿身高/cm 155 156 159 162 164 167 168
请在图中用趋势图描述女儿身高与母亲身高的关系,并根据你作的趋势图,估计当母亲身高为165 cm时女儿的身高.
解:根据表格信息画趋势图如图.
根据趋势图,估计当母亲身高为165 cm时女儿的身高为169 cm.
知识点
函数的应用
6.在足球比赛中,门将大脚开出去的球的高度与球在空中运行时间的关系,用图象描述大致可以是( )
A
7.化学实验小组查阅资料了解到:某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降,从而达到净水的目的.实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示,下列说法正确的是( )
A.加入絮凝剂的体积越大,净水率越高
B.未加入絮凝剂时,净水率为0
C.絮凝剂的体积每增加0.1 mL,净水率的增加量相等
D.加入絮凝剂的体积是0.2 mL时,净水率达到76.54%
D
思维提升
8.(2025·贵州)如图,用一根管子向图中容器注水,若单位时间内注水量保持不变,则从开始到注满容器的过程中,容器内水面升高的速度( )
A.越来越慢 B.越来越快
C.保持不变 D.快慢交替变化
B
9.如图①,一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内,现以一定的速度往水槽中注水,28 s时注满水槽,水槽内水面的高度y(cm)与注水时间x(s)之间的函数图象如图②所示.如果将正方体铁块取出,那么又经过______s恰好将水槽注满.
4
10.(2025·北京)某企业研发并生产了一种新设备,计划分配给A, B,C,D四家经销商销售.当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后,企业从该经销商处获得的利润(单位:万元)与n的对应关系如下:
n＝1 n＝2 n＝3 n＝4 n＝5 n＝6
A 40 60 / / / /
B 30 55 75 90 100 105
C 20 40 60 70 80 90
D 14 38 62 86 110 134
(1)如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售,且每家经销商至少分配到1台设备,为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大,应向经销商______分配2台设备(填“A”“B”“C”或“D”);
(2)如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售,那么6台设备都售出后,企业可获得的总利润的最大值为_______万元.
B
157
11.某地举行龙舟赛,甲、乙两队在比赛时,路程y(m)与时间x(min)的函数图象如图所示,根据函数图象填空和解答问题:
(1)最先到达终点的是______队,比另一队领先______min到达.
(2)在比赛过程中,甲队的速度始终保持为__________m/min;而乙队在第_______分钟后第一次加速,速度变为__________m/min,在第________分钟后第二次加速.
(3)假设乙队在第一次加速后,始终保持这个速度继续前进,那么甲、乙两队谁先到达终点 请说明理由.
乙
1
150
2
150
4
解:甲先到达终点.理由如下:
乙队在第一次加速后,始终保持这个速度继续前进行驶完余下路程需要的时间为
900－200＝700(m),700÷150＝(min),
∴乙队行驶完全程的时间为2＋(min).
∵甲队行驶完全程需要的时间是6 min,且＞6,
∴甲队先到达终点.(共17张PPT)
第二十二章 函数
第1课 函数的概念
新知探究
知识点
常量与变量
在一个变化过程中,数值始终不变的量为________,数值发生变化的量为________.
常量
变量
在公式S＝－t＋20中,关于变量和常量,下列说法正确的是( )
A.常量有－1和20,变量有S和t
B.常量仅有20,变量有S和t
C.常量仅有－1,变量有S和t
D.常量有－1和20,变量仅有S
经典
例题
1
A
已知某汽车耗油量为0.1 L/km,油箱中现有汽油50 L.若不再加油,记此后汽车行驶的路程为x km,油箱中的油量为y L,则此问题中的常量和变量是( )
A.常量仅有50;变量仅有x
B.常量仅有0.1;变量仅有y
C.常量有0.1,50;变量有x,y
D.常量有x,y;变量有0.1,50
变式
训练
2
C
知识点
函数
在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值,y都有____________的值与其对应,那么就称x是自变量,y是因变量,且称______是______的函数.
唯一确定
y
x
(2025·深圳期中)下列图象中,y是x的函数的是( )
经典
例题
3
D
下列图形中的曲线不能表示y是x的函数的是( )
变式
训练
4
D
知识点
函数值
如果当x＝a时y＝b,那么b叫作当自变量的值为a时的函数值.
已知变量s与t的关系式是s＝3t＋2t2,则当t＝－2时,s＝____.
经典
例题
5
变式
训练
6
已知变量x与y之间的关系式是y＝2x＋1,则当y＝5时,自变量x的值是( )
A.13 B.5
C.2 D.3.5
2
C
我要闯关
基础过关
1.小明上学时以每小时5 km的速度行走,他所走的路程s(km)与时间t(h)之间的关系可用s＝5t来表示,则下列说法正确的是( )
A.s,t和5都是变量
B.s是常量,5和t是变量
C.5是常量,s和t是变量
D.t是常量,5和s是变量
C
2.下列各关系式中,y不是x的函数的是( )
A.
B.x
C.y＝3x＋1
D.y＝
A
3.【应用意识】如图是体检时的心电图,其中横坐标x表示时间,纵坐标y表示心脏部位的生物电流,它们是两个变量.在心电图中,y ______(填“是”或“不是”)x的函数.
是
4.小亮爸爸到加油站加油,如图是所用的加油机上的数据显示牌,金额随着数量的变化而变化,则下列判断正确的是( )
A.单价是自变量
B.7.76和31是常量
C.金额是数量的函数
D.金额是随着数量的增大而减少
C
能力过关
5.已知每千克化工原料的售价为120元,若x(元)表示购买m kg化工原料的总价钱.
(1)写出x与m的关系式;
(2)说出其中的变量与常量.
解:(1)x＝120m.
(2)变量为m,x,常量为120.
6.(跨学科命题)若物体从离地面为h(单位:m)的高处自由下落,落到地面所用的时间t(单位:s)与h的关系式为t＝(k为常数),并且当h＝80时,t＝4.则从高度为100 m的空中自由下落的物体,其落到地面所需的时间为( )
A. B. s
C.2 D. s
D
思维过关
7.【数据观念】某市从2017年到2024年的常住人口统计数据如下:
时间x/年 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
常住人口y/千万人 1.59 1.67 1.71 1.76 1.77 1.77 1.78 1.80
请你根据表格回答下列问题:
(1)表格中反映了________和____________两个变量之间的关系,其中________是自变量,____________是因变量.
(2)2020年,该市的常住人口是_______千万人.
(3)哪段时间的常住人口增长较快
(4)随着x的变化,y的变化趋势是什么
解:(3)2017年至2018年.
(4)随着x的增加,y先是逐渐增加,然后逐渐趋于不变,最后又开始增加.
时间
常住人口
时间
常住人口
1.76
