北师大版九年级上第四章《图形的相似》
《平行线分线段成比例》教案
【教学目标】
1.知识与技能
①了解平行线分线段成比例定理及推论
②会用平行线分线段成比例定理解决实际问题
2.过程与方法
掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力21世纪教育网
3.情感态度和价值观
在学生解决问题的过程中，激发学生的创新意识，培养学生坚忍不拔、勇于探索的学习品质；在合作学习及相互交流中，培养学生团队精神。21世纪教育网版权所有
【教学重点】
平行线分线段成比例定理及推论
【教学难点】
平行线分线段成比例定理的推导
【教学方法】
合作、探究
【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
情境导入
下图是一架梯子的示意图,由生活常识可以知道:互相平行，且若AB=BC,你能猜想出什么结果呢？
二、探究新知
1.对应线段
如图， ,m被所截生成哪些线段？n被所截，生成哪些线段？
其中AD,CE是对应线段；BD，EF是对应线段；AB，CF是对应线段.
2.平行线分线段成比例及推论
探究1：如图（1）小方格的边长都是1，直线 a ∥b∥ c ,分别交直线m,n于。
（1）计算 的值，你有什么发现？
21世纪教育网
（2）将向下平移到如图3-7的位置，直线m,n 与的交点分别为 你在问题（1）中发现结论还成立吗？如果将平移到其它位置呢？
（3）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？
分组讨论，得出结论
平行线分线段成比例定理：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
例1：如图，已知，下列比例式中错误的是( D )
A.B.C.D.
例2.已知两条直线被三条平行线所截，截得线段的长度如图所示，求 x 的值．
解:∵ a∥b∥c
探究2：
如果把图1中两条直线相交，交点A刚落到上，如图2（2）所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？ 21教育网
根据平行线分线段成比例，所得的线段的比相等。
平行线分线段成比例的推论：
平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的对应线段成比例.
例3、如图:DE∥BC,已知,则.
分析：由平行线分线段成比例定理的推论可得：
例4.已知：DE//BC, AB=15,AC=9,BD=4 .求AE的长.
解:∵ DE∥BC,
,
例5、如图，在△ABC中，E、F分别是AB和AC上的点，且 EF∥BC,1）已知AE=7,EB=5,FC=4，求AF的长是多少？ 2）已知：AB=10,AE=6，AF=5，求FC的长是多少？21·cn·jy·com
解:(1)∵EF//BC,
∴
;
∵EF//BC
巩固练习：
1.如右图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若AD∶AB＝3∶4，AE=6，则AC等于（ D ）www.21-cn-jy.com
A. 3 B. 4 C. 6 D.8
2、如右图，在△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，下列不能成立的比例式一定是（ D ）2·1·c·n·j·y
A． B．C．D．
3.如图: 已知AB⊥BD，ED⊥BD，垂足分别为B、D，求证：
证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD
∴AB//DE
∴
四、拓展提高
1.如图,△ABC中,DE//BC,DF//AC,AE=4,EC=2, BC=8.求BF和CF的长.
分析:运用平行线分线段成比例定理的推论分别列出比例式求解.
解：∵DE//BC
∵DF//AC
2.如图，在△ABC中，DE//BC，DF//BE，求证：
又∵DF//BE,
3.如图，点E为AC的中点，点F在AB上,且AF：AB=2：5，FE与BC的延长线交于点D，求EF:ED的值.21cnjy.com
解：作EG//BC交AB于点G，
∵点E为AC的中点，EG//BC，
∴AG=BG,
又∵AF:AB=2：5
又∵EG//BC，
课堂总结
平行线分线段成比例的定理及推论
六、作业布置
习题4.2：知识技能第1，2两题
【板书设计】
§4.2 平行线分线段成比例
对应线段 平行线分线段成比例的定理 平行线分线段成比例的推论 例1例2
【教学反思】
通过今天的教学，我觉得，这节课学生学的还是比较轻松的：无论从学生学习新知的状态，还是参与程度，都很好的体现了学生的主体性，尤其是一些概念性东西的总结环节，学生学的很主动，我在教学中对于重点的把握还是可以的，只是在这节课中还有一点遗憾，就是感觉到对于教材的拓展方面还有一些欠缺，所以在这方面还需努力，而且对于一些后进生来说，知识点多，理解起来比较慢，掌握起来还有些难度．所以，学生在计算过程中，教师要不断强调有关注意事项，不断加深学生的印象，让学生形成良好的计算习惯．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 1 页 （共 1 页） 版权所有@21世纪教育网平行线分线段成比例练习
一、选择题(本大题共7小题)
1.如图，在6×6的正方形网格中，连结两格点A，B，线段AB与网格线的交点为M、N，则AM：MN：NB为（ ）
A.3：5：4 B.1：3：2 C.1：4：2 D.3：6：52-1-c-n-j-y
2.如图，△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，且DE∥BC，如果，AC=6，那么AE的长为（ ）
A.3 B.4 C.9 D.12
（第1题） （第2题） （第3题）
3.如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若=，则=（ ）
A. B. C. D.121世纪教育网版权所有
4.如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若AB=4.5，BC=3，EF=2，则DE的长度是（ ）
A. B.3 C.5 D.21cnjy.com
5.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，若DE∥BC，EF∥AB，则下面所列比例式中正确的是（ ）
A.= B.= C.= D.=www.21-cn-jy.com
（第4题） （第5题） （第6题）
6.如图，若DC∥FE∥AB，则有（ ）
A. B. C. D.
7.如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AD∥BC，BE的延长线交AD于点G，且BG∥DF，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.21·世纪*教育网
二、填空题(本大题共5小题)
8.如图，已知AD∥BE∥CF，，DE=3，则DF的长为 ______ ．
9.如图，AD∥EF∥GH∥PQ∥BC，AE=EG=GP=PB，AD=2，BC=10，则EF+PQ长为 ______ ．
10.如图，直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、B、C、D、E、F，若AB=6，DE=3，EF=4，则BC= ______ ．【版权所有：21教育】
11.如图，已知直线a∥b∥c，直线d分别于直线a、b、c相交于点A、B、C，直线e分别与直线a、b、c相交于点D、E、F．若AB=2，BC=3，DE=3，则DF的长为 ______ ．
（第8题） （第9题） （第10题）
12.如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC．若BD=4，DA=2，BE=3，则EC= ______ ．21教育名师原创作品
（第11题） （第12题）
三、计算题(本大题共5小题)
13.如图，在△ABC中，AB=7，AC=6，BC=8，点M是AB上的一个动点，MN∥BC交AC于点N，若点M从点B处开始向点A方向运动，速度为每秒2个单位．
（1）当运动2秒时，求AM的长；
（2）如果记运动的时间为x秒，MN的长度为y个单位，请你写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
【来源：21·世纪·教育·网】
如图，△ABC中，AD⊥BC，∠B=2∠C，E，F分别是BC，AC的中点，若DE=3，求线段AB的长．
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15.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=12，CD=9，过对角线交点O作EF∥AB交AD于E，交BC于F．求EF的长．
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如图，已知在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AE=2CE，AB=6，BC=9．求：四边形BDEF的周长．
【来源：21cnj*y.co*m】
17.在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y 轴上，线段OA、OB的长（OA＜OB）是关于x的方程x2-（2m+6）x+2m2=0的两个实数根，C是线段AB的中点，OC=3，D在线段OC上，OD=2CD．
（1）求OA、OB的长；
（2）求直线AD的解析式；
（3）P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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四、解答题(本大题共3小题)
18.对于平行线，我们有这样的结论：如图1，AB∥CD，AD，BC交于点O，则=．
请利用该结论解答下面的问题：
如图2，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．
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19.如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，点F是DE延长线上的点，，联结FC，若，求的值．
20.如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3．
（1）求EC的值；
（2）求证：AD AG=AF AB．
平行线分线段成比例练习参考答案
一、选择题：
1. B．
解：过A点作AE⊥BE，交于点E，连接MC、ND、BE，
∵是一个正方形，
∴MC∥ND∥BE，
∴AM：MN：NB=AC：CD：DE=1：3：2，
∴AM：MN：NB=1：3：2．
故选：B．
2. B．21教育网
解：∵DE∥BC，
∴=，又AC=6，
∴AE=4，
故选：B．
3. B
解：∵a∥b∥c，
∴==．
故选B．
4. B
解：∵AD∥BE∥CF，
∴，
即：，
∴DE=3，
故选B．
5. C
解：∵DE∥BC，
∴，BD≠BC，
∴，选项A不正确；
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴，EF=BD，，
∵≠，
∴，选项B不正确；
∵EF∥AB，
∴，选项C正确；
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴，=，CE≠AE，
∴，选项D不正确；
故选：C．
6. D2·1·c·n·j·y
解：∵DC∥FE∥AB，
∴OD：OE=OC：OF（A错误）；
OF：OE=OC：OD（B错误）；
OA：OC=OB：OD（C错误）；
CD：EF=OD：OE（D正确）．
故选D．
7. C【出处：21教育名师】
解：∵BG∥DF，∴=，A正确，C错误；
∴=，B 正确；
∵AD∥BC，∴∠A=∠C，
∵BG∥DF，∴∠BEC=∠DFA，
∴△BEC∽△DFA，
∴=，D正确，
故选：C．
二、填空题.
解：∵AD∥BE∥CF，
∴=，
即=，
解得：EF=4.5，
∴DF=DE+EF=3+4.5=7.5．
故答案为：7.5．
9. 解：∵AD∥EF∥GH∥PQ∥BC，AE=EG=GP=PB，
∴GH是梯形ABCD的中位线，EF是梯形AGHD的中位线，PQ是梯形GBCH的中位线，
∵AD=2，BC=10，
∴GH=（AD+BC）=6，
∴EF=（AD+GH）=4，PQ=（GH+BC）=8，
∴EF+PQ=12．
故答案为：12．
10. 解：∵a∥b∥c，
∴，
即，
∴BC=8，
故答案为：8．
11. 解：∵a∥b∥c，
∴=，又AB=2，BC=3，DE=3，
∴EF=，
DF=DE+EF=3+=，
故答案为：．
12. 解：∵DE∥AC，
∴，
即，
解得：EC=．
故答案为：．
三、计算题：
13.解：（1）当运动2秒时，BM=4，
所以AM=AB-BM=7-4=3；
（2）记运动的时间为x秒，则BM=2x，则AM=7-2x，
∵MN∥BC，
∴=，即=，
∴y=-x+8（0＜y＜）．
14.解：作BH平分∠ABC交AC于H，连结HE，如图，
∵BH平分∠ABC，
∴∠CBH=∠ABC，
∵∠B=2∠C，
∴∠CBH=∠C，
∴△HBC为等腰三角形，
∵点E为BC的中点，
∴HE⊥BC，
∵AD⊥BC，
∴HE∥AD，
∴=，
∵BH为∠ABC的平分线，
∴=，
∴=，即=，
∴AB=6．
15.解：∵AB∥CD，AB=12，CD=9，
∴，
∴，
∵EF∥AB，
∴， ==，
∴，
∴．
16.解：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∴EF=BD，DE=BF，
∵DE∥BC，
∴==，
∵AE=2CE，
∴===，
∴DE=6，AD=4，即BD=2，
∴四边形BDEF的周长=2（BD+DE）=2×（6+2）=16．
17.解：（1）∵AB=2OC=6，
∴OA2+OB2=AB2==180，
∵OA+OB=2m+6，OA×OB=2m2，
∴（OA+OB）2-2OA×OB=180，
即（2m+6）2-4m2=180，
∴m=6，
即方程为x2-18x+72=0，
∴x1=12，x2=6，
∵OA＜OB，
∴OA=6，OB=12．
（2）过C作CM⊥OA于M，过D作DN⊥OA于N，
∵CM∥OB，
∴===，
∵OA=6，OB=12，
∴CM=6，AM=3，OM=3，
∴C（3，6），
∵OD=2CD，
∴===，
∴DN=4，ON=2，
∴D（2，4），
设直线AD的解析式是y=kx+b，
∵A（6，0），
代入得：，
解得：k=-1，b=6，
∴直线AD的解析式是y=-x+6．
（3）设直线y=-x+6交y轴于F，
把x=0代入y=-x+6得：y=6，
∴F（0，6），OF=6=OA，
由勾股定理得：AF=6，
分为两种情况：
①以OA为一边时，如图，共有3个点，如图，AP=OA=AP′=6，RT∥OA∥KG，
点Q在点T、K点时，以O、A、P（P′）、Q为顶点的四边形是菱形，
∵A（6，0），OP=OA，
∴OP=6=PR=PT，
∴此时Q的坐标是（6，6），
过P′作P′H⊥OA于H，
AP′=6，
由勾股定理得：P′H=AH=3，
K（3，-3），
K点在直线AD上关于O点对称的点（-3，3）也可以．
②以OA为对角线，作OA的垂直平分线交AD于P，交OA于M，在OA的下方，MP=MQ，以O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形，
把x=3代入y=-x+6得：y=3，
此时Q的坐标是（3，-3），
综合上述：P是直线AD上的点，在平面内存在点Q，使以O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形，点Q的坐标是（6，6）或
（3，-3）或（-3，3）或（3，-3）．
四、解答题:
18.解：过点C作CE∥AB交AD的延长线于E，
则=，又BD=2DC，AD=2，
∴DE=1，
∵CE∥AB，
∴∠E=∠BAD=75°，又∠CAD=30°，
∠ACE=75°，
∴AC=AE=3．
19.解：∵DE∥BC，
∴，
又∵，
∴，
∴AB∥CF，
∴=，
∵，
∴=2，
∴=2．
20.（1）解：
∵DE∥BC，
∴=，
又=，AE=3，
∴=，
解得AC=9，
∴EC=AC-AE=9-3=6；
（2）证明：
∵DE∥BC，EF∥CG，
∴==，
∴AD AG=AF AB．
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北师大版九年级上册
第二节：平行线分线段成比例
第四章：图形的相似
观察与思考
下图是一架梯子的示意图,由生活常识可以知道:AA1,BB1,CC1互相平行，且若AB=BC,你能猜想出什么结果呢？
a
b
c
情境导入
Ａ
Ｄ
Ｂ
l1
l2
l3
m
F
E
Ｃ
n
ＡD
ＤB
AB
CE
EF
CF
对应线段
一、对应线段
如图， l1 ∥ l2∥l3 ,m被l1 、 l2、l3所截生成哪些线段？n被l1 、 l2、l3所截，生成哪些线段？
探究新知
探究一
如图（1）小方格的边长都是1，直线 a ∥b∥ c ,分别交直线m,n于 。
根据勾股定理可得： A1A2= B1B2=___
A2A3= B2B3= A1A3= B1B3= ___
（1）分别计算 ， ，从而得出什么结论？
探究一
（2）分别计算 ， ，从而得出什么结论？
探究一
（3）分别计算 ， ，从而得出什么结论？
探究一
(2)将l2向下平移到如下图的位置，直线ｍ，ｎ与直线l2的交点分别为A2，B2 。你在问题（１）中发现的结论还成立吗？如果将l2 平移到其他位置呢？
探究二
（1）分别计算 ， ，从而得出什么结论？
探究二
（2）分别计算 ， ，从而得出什么结论？
探究二
（3）分别计算 ， ，从而得出什么结论？
探究二
探究新知
思考
（3）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？
归纳
平行线分线段成比例定理：
两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
探究新知
例1.如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的
是( )
A. B.
C. D.
D
解:
∵ a∥b∥c
∴
＝
即
4x
3×7
例2.已知两条直线被三条平行线所截，截得线段的长度如图所示，求 x 的值．
a
b
c
如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l4上，如图2（2）所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？
A
B
C
D
E
F
l3
l4
l5
l1
l2
A
B
C
E
D
图1
图2（2）
根据平行线分线段成比例，可以得到
探究新知
l2
l3
l1
l3
l
l
平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的对应线段成比例.
A
B
C
D
E
l2
A
B
C
D
E
l1
l
l
推 论
数学符号语言
A
E
C
D
B
∵DB∥EC
A
B
C
E
D
例3、
如图:DE∥BC,
已知:
则
________
分析：由平行线分线段成比例定理的推论可得：
A
B
C
D
E
例4.已知：DE//BC, AB=15,AC=9,BD=4 .求AE的长.
解:
∵ DE∥BC,
∴
.（推论）
即
例5、如图，在△ABC中，E、F分别是AB和AC上的点，且 EF∥BC,
1）已知：AE=7,EB=5,FC=4，求AF的长是多少？
2）已知：AB=10,AE=6，AF=5，求FC的长是多少？
A
B
C
E
F
解:(1)∵EF//BC,
∴
(2)∵EF//BC
1.如右图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若AD∶AB＝3∶4，AE=6，则AC等于（ ）
A. 3 B. 4
C. 6 D.8
2、如右图，在△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，下列不能成立的比例式一定是（ ）
A． B． C． D．
D
D
巩固练习
3、如图: 已知AB⊥BD，ED⊥BD，垂足分别为B、D，求证：
B
C
D
E
A
证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD
∴AB//DE
∴
1.如图,△ABC中,DE//BC,DF//AC,AE=4,EC=2, BC=8.求BF和CF的长.
F
A
C
B
分析:运用平行线分线段成比例定理的推论分别列出比例式求解.
解
∵DE//BC
∵DF//AC
D
E
拓展提升
2.如图，在△ABC中，DE//BC，DF//BE，求证：
又∵DF//BE,
等量代换
3.如图，点E为AC的中点，点F在AB上,且AF：AB=2：5，FE与BC的延长线交于点D，求EF:ED的值.
G
解：作EG//BC交AB于点G，
∵点E为AC的中点，EG//BC，
∴AG=BG,
又∵AF:AB=2：5
又∵EG//BC，
平行线分线
段成比例
平行于三角形一边的直线与其他
两边相交，截得的对应线段成比例.
基本事实
推论
两条直线被一组平行线所截，
所得的对应线段成比例.
课堂小结
习题4.2：知识技能第1，2两题
课后作业
