北师大版九年级上第四章《图形的相似》
《相似多边形》教案
【教学目标】
1.知识与技能
使学生理解相似多边形的定义，掌握定义中的两个条件，理解相似比的意义．
2.过程与方法
经历相似多边形概念的形成过程，进一步发展学生归纳、类比、交流等方面的能力. 21世纪教育网
3.情感态度和价值观
经历自主探究、合作交流等学习方式的学习及激励评价，让学生在学习中锻炼能力.
【教学重点】
理解相似多边形的定义，掌握定义中的两个条件.
【教学难点】
利用定义判断两个多边形是否相似.
【教学方法】
合作、探究
【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
复习导入
请找出形状相同的图形.
二、探究新知
相似多边形
探究1：在幻灯片上任意画一多边形ABCDEF.它与投影在银幕上的多边形的形状相同吗？
这两个多边形中，是否有相等的内角？相等内角的两边是否成比例？设法验证你的猜想.
方法1：叠合法
由叠合法得到：两个六边形的对应的角相等.
方法2：度量法：
由度量法得到：两六边形的对应角相等，对应边成比例.
在上图中，六边形ABCDEF与六边形是形状相同的多边形，其中∠A与∠A1，∠B与∠B1，∠C与∠C1，∠D与∠D1，∠E与∠E1，∠F与∠F1，分别相等，称为对应角；21cnjy.com
AB与A1B1，BC与B1C1，CD与C1D1，DE与D1E1，EF与E1F1，FA与F1 A1的比都相等，称为对应边．21·世纪*教育网
归纳总结，相似多边形的概念：
各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.例如，在上图中六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1相似，记作六边形ABCDEF∽六边形,“∽”读作“相似于”．www-2-1-cnjy-com
注意：记两个多边形相似时，要把对应顶点的字母写在对应的位置.
相似比的概念：相似多边形对应边的比叫做相似比
例：六边形ABCDEF∽六边形,
∴六边形ABCDEF与六边形的相似比为；六边形与六边形ABCDEF的相似比为2.
注：相似比与叙述的顺序的有关。
例 ：下列每组图形形状相同，它们的对应角有怎样的关系？对应边呢？
（1）正三角形ABC与正三角形DEF；（2）正方形ABCD和正方形EFGH.
解：（1）由于正三角形每个角都等于600，
所以∠A=∠D= 60°，∠B=∠E= 60°， ∠C=∠F= 60°
由于正三角形三边都相等，所以
∴正△ABC∽正△DEF
由于正方形每个角都是直角，
∴∠A=∠E= 90°， ∠B=∠F= 90°， ∠C=∠G= 90°， ∠D=∠H= 90° ；
由于正方形四边相等，所以
∴正方形ABCD∽正方形EFGH.
结论：任意两个正n边形都相似。
探究2：想一想：（1）、观察下面两组图形，图4-12（1）中的两个图形相似吗？为什么？图4-12（2）中的两个图形呢？与同桌交流.21世纪教育网版权所有
解：不相似，因为它们的对应边不成比例.
（2）、如果两个多边形不相似，那么它们的各角可能对应相等吗？它们的各边可能对应成比例吗？
如图（1）可得，如果两多边形不相似，对应边是可以成比例的；
由图（2）可得，如果两多边形不相似，对应边是可以相等的．
巩固练习：
1．如果四边形ABCD∽ 四边形相似，且∠A=68°,则___ ．
分析：两四边形相似，对应角相等，故
2．一个多边形的边长分别是2、3、4、5、6，另一个和它相似的多边形的最短边长为6，则这个多边形的最长边为___18___ ．21教育网
3．下列说法中正确的是（ B ）
A、所有的矩形都相似 B、所有的正方形都相似
C、所有的菱形都相似 D、所有的正多边形都相似
4．如图所示的两个矩形相似吗？为什么？如果相似，相似比是多少？
解：
又∵四边形ABCD和四边形EFGH都是矩形
∴∠A=∠E=90°，∠B=∠F=90°，∠C=∠G=90°，∠D=∠H=90°
∴四边形ABCD∽四边形EFGH，且四边形ABCD与四边形EFGH的相似比为2.
拓展提高
一块长3m、宽1.5m的矩形黑板,镶在其外围的木质边框宽7.5cm.边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？2·1·c·n·j·y
分析:要判断两个图形是否相似，需满足：(1) 对应角分别对应相等；(2) 对应边的比相等
注意因为求两条线段的比时，两条线段的长度单位必须是一致的，所以把a线段的长度换成毫米(或把b的长度换成厘米)，就可求出a与b的比．【来源：21·世纪·教育·网】
解:∵四边形ABCD与矩形均为矩形
∴∠A =∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，∠D=∠D1，
由题意得AB=315，BC=165
∴,
∴
∴矩形ABCD和矩形A1B1C1D1不相似
结论：直观有时候是不可靠的.
想一想：在上题中，如果镶的纵向边框宽7.5cm，那么当镶的横向边框宽为多少时，边框的内外边缘所成的矩形相似？. 21·cn·jy·com
解：设镶的横向边框宽为xcm.
由题意得
解得x=30.
经检验符合题意.
答当镶的横向边框宽为30cm时，边框的内外边缘所成的矩形相似.
课堂总结
相似多边形的概念：各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形；
相似比的概念：相似多边形对应边的比叫做相似比
两个多边形相似的表示方法：若有五边ABCDE与五边形相似，则记做五边形ABCDE∽五边形.
六、作业布置
习题4.4：知识技能第1，3两题
【板书设计】
§4.3 相似的多边形
相似的多边形的概念 相似比的概念 例1例2 练习
【教学反思】
这个年龄阶段的学生有很强的好奇心，并且有较强的观察能力，因而教学过程中尽可能多给学生表现的机会，激发学生探究意识。www.21-cn-jy.com
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 1 页 （共 1 页） 版权所有@21世纪教育网相似多边形练习
一、选择题(本大题共8小题)
1.如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（ ）
A. B. C. D.www.21-cn-jy.com
2.已知两个五边形相似，其中一个五边形的最长边为20，最短边为4，另一个五边形的最短边为3，则它的最长边为（ ）
A.15 B.12 C.9 D.6www-2-1-cnjy-com
3.把矩形对折后，和原来的矩形相似，那么这个矩形的长、宽之比为（ ）
A.2：1 B.4：1 C.：1 D.：1
4.如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到．矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于（ ）
A.0.618 B. C. D.2【来源：21cnj*y.co*m】
（第3题） （第4题） （第5题）
5.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F两点分别在AB、DC上．若AE=4，EB=6，DF=2，FC=3，且梯形AEFD与梯形EBCF相似，则AD与BC的长度比为何？（ ）
A.1：2 B.2：3 C.2：5 D.4：9
6.下列各组图形不一定相似的是（ ）
A.两个等腰直角三角形 B.各有一个角是100°的两个等腰三角形
C.各有一个角是50°的两个直角三角形 D.两个矩形
7.如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似比为（ ）
A.1：25 B.1：5 C.1：2.5 D.1：
8.如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，AB=12，CD=15，A1B1=9，则边C1D1的长是（ ）
A.10 B.12 C. D.【版权所有：21教育】
二、填空题(本大题共4小题，共12.0分)
图中的两个四边形相似，则x+y= ______ ，a= ______ ．
10.在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为2cm2图案的一条边由原来的1cm变成3cm，则这次复印出来的图案的面积是 ______ cm2．21世纪教育网版权所有
11.把一个矩形剪去一个正方形，若所剩矩形与原矩形相似，则原矩形长边与短边的比为 ______ ．
12.将一个矩形沿着一条对称轴翻折，如果所得到的矩形与这个矩形相似，那么我们就将这样的矩形定义为“白银矩形”．事实上，“白银矩形”在日常生活中随处可见．如，我们常见的A4纸就是一个“白银矩形”．请根据上述信息求A4纸的较长边与较短边的比值．这个比值是 ______ ．21cnjy.com
三、解答题(本大题共6小题，共48.0分)
13.图①，②，③，④都是由24个边长为1的小正方形组成的4×6的网格，请你分别在图②，③，④的网格中只用直尺各画一个三角形．
要求：
（1）都与图①中的三角形相似，但四个三角形任何两个都不全等．
（2）三角形顶点都是网格中小正方形的顶点．
2·1·c·n·j·y
14.如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，求∠α、∠β 的大小和EH的长度．
15.下面是5×5的正方形网格，请你在图2、图3中分别作出一个与图1中三角形相似的三角形，要求所作三角形的顶点都在格点上，并且相似比不同．（相似比不为1）
【来源：21·世纪·教育·网】
16.如图，如图用一根铁丝分成两段可以分别围成两个相似的五边形，已知它们的面积比是1：4，其中小五边形的边长为（x2-4）cm，大五边形的边长为（x2+2x）cm（其中x＞0）．求这这根铁丝的总长．
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学生会举办一个校园摄影艺术展览会，小华和小刚准备将矩形的作品四周镶上一圈等宽的纸边，如图所示．两人在设计时发生了争执：小华要使内外两个矩形相似，感到这样视觉效果较好；小刚试了几次不能办到，表示这是不可能的．小红和小莉了解情况后，小红说这一要求只有当矩形是黄金矩形时才能做到，小莉则坚持只有当矩形是正方形时才能做到．请你动手试一试，说一说你的看法．
21教育网
如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．
（1）求证：EB=GD；
（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．
21·cn·jy·com
相似多边形练习参考答案
一、选择题：
1. B
解：由题意得，A中三角形对应角相等，对应边成比例，两三角形相似；
C，D中正方形，菱形四条边均相等，所以对应边成比例，又角也相等，所以正方形，菱形相似；
而B中矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，所以B中矩形不是相似多边形
故选B．
2. A 21*cnjy*com
解：∵两个五边形相似，其中一个五边形的最长边为20，最短边为4，另一个五边形的最短边为3，设它的最长边为x，
∴=，
解得：x=15．
故选：A．
3. C【出处：21教育名师】
解：由题意得四边形ABEF∽四边形DABC，
∴=，即=，
∴AD2=2AB2，
∴=，
故选：C．
4. B21教育名师原创作品
解：∵矩形ABCD∽矩形BFEA，
∴AB：BF=AD：AB，
∴AD BF=AB AB，
又∵BF=AD，
∴AD2=AB2，
∴=． 21*cnjy*com
5. D
解：∵梯形AEFD∽梯形EBCF，且DF：FC=2：3∴AD：EF=EF：BC=2：3∴AD=EF，BC=EF，
∴AD：EF：BC=：1：=4：6：9，
∴AD：BC=4：9．
故选D．
6. D
解：A、两个等腰直角三角形，对应边成比例，对应角相等，符合定义，一定相似，故本选项正确；
B、各有一个角是100°的两个等腰三角形，100°的角一定是顶角，一定相似，故本选项正确；
C、各有一个角是50°的两个直角三角形，都有一个直角，根据两角对应相等，两三角形相似，故本选项正确；
D、两个矩形，四个角都是直角，但四条边不一定对应成比例，不一定相似，故本选项错误．
故选D．
7. D
解：∵两个相似多边形面积的比为1：5，
∴它们的相似比为1：．
故选：D．
8. C
解：∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，
∴=，
∵AB=12，CD=15，A1B1=9，
∴C1D1==．
故选C．
二、填空题：
解：由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，
所以 18：4=x：8=y：6，解得x=36，y=27，则x+y=36+27=63．
a=360°-（77°+83°+115°）=85°．
故答案为63，85°．
10. 解：∵在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为2cm2图案的一条边由原来的1cm变成3cm，
∴相似比=1：3，
∴面积比=（1：3）2=1：9，
∴这次复印出来的图案的面积=2×9=18（cm2）．
故答案为18．
11. 解：根据题意，一个矩形剪去一个正方形，若所剩矩形与原矩形相似，
∴得=，
整理得--1=0设=t则原方程可化为：
t--1=0，
即t2-t-1=0，
解得，t=（负值舍去）或t=．
∴原矩形长边与短边的比为
=t=（1+）：2．
故答案为：（1+）：2．
12. 解：由题意得，四边形ABFE∽四边形ADCB，
∴=，
∴AB2=，
∴=．
故答案为：．
三、解答题：2-1-c-n-j-y
解：如图所示：
14.解：∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，
∴∠α=∠B=83°，∠D=∠H=118°，∠β=360°-（83°+78°+118°）=81°，EH：AD=HG：DC，
∴=，
∴EH=28（cm）．
答：∠α=83°，∠β=81°，EH=28cm．
15.解：如图2所示：相似比为：1：2，如图3所示：相似比为：1：．
16.解，∵两个五边形相似，面积比是1：4，
∴相似比为1：2，
由题意得，2（x2-4）=x2+2x，
整理得，x2-2x-8=0，
解得，x1=4，x2=-2（舍去），
则铁丝长为12×5+24×5=180cm．
17.解：只有正方形才能做到，理由：
设矩形的一边为a，另一边为b，等宽的纸边宽c，
如果要两矩形相似，则a：b=（a-2c）：（b-2c），
解得a=b，
∴只能是正方形了．
18.（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，
∴∠EAG=∠BAD，
∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，
∴∠EAB=∠GAD，
∵AE=AG，AB=AD，
∴△AEB≌△AGD，
∴EB=GD；
（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，
∵∠DAB=60°，
∴∠PAB=30°，
∴BP=AB=1，
AP==，AE=AG=，
∴EP=2，
∴EB===，
∴GD=．
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北师大版九年级上册
第三节：相似多边形
第四章：图形的相似
B
C
A
D
E
F
请找出形状相同的图形.
回顾交流
找出形状相同的图形
游戏
（1）
B
C
D
E
F
A
B1
C1
D1
E1
F1
A1
（2）
在幻灯片上任意画一多边形ABCDEF.
它与投影在银幕上的多边形A1B1C1D1E1F1的形状相同吗？
探究新知
这两个多边形中，是否有相等的内角？相等内角的两边是否成比例？设法验证你的猜想.
把你的猜想、观察变成结论并整理出来！
（1）
B
C
D
E
F
A
B1
C1
D1
E1
F1
A1
（1）
图4-11
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
由叠合法得到：两个六边形各内角中有相等的角。
方法1：叠合法
（1）
B
C
D
E
F
A
B1
C1
D1
E1
F1
A1
（2）
图4-11
利用量角器将各内角的角度量出来，再用直尺将各边的长度量出来，观察各内角有什么关系，多边形的相等内角的两边是否成比例？
方法2：度量法
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
通过度量可得：
对应角
通过测量计算有：
对应边
在上图中，六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1是形状相同的多边形，其中∠A与∠A1，∠B与∠B1，∠C与∠C1，∠D与∠D1，∠E与∠E1，∠F与∠F1，分别相等，称为对应角；
AB与A1B1，BC与B1C1，CD与C1D1，DE与D1E1，EF与E1F1，FA与F1 A1的比都相等，称为对应边．
强调说明
回忆一下我们刚才探究过的每一组多边形，你能发现它们的共同特点吗？
相似多边形的概念：
各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.例如，在上图中六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1相似，记作六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1,“∽”读作“相似于”．
注意：记两个多边形相似时，要把对应顶
点的字母写在对应的位置.
探究新知
相似比的概念：
相似多边形对应边的比叫做相似比
例：六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1,
∴六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1
的相似比
六边形A1B1C1D1E1F1
与六边形ABCDEF的相似比
你注意到没有，相似比与叙述的顺序的有关。
例 ：下列每组图形形状相同，它们的对应角有怎样的关系？对应边呢？
从例题的解答中，你获得了那些信息？
（1）正三角形ABC与正三角形DEF；
解：（1）由于正三角形每个角都等于600，所以∠A=∠D= 600，∠B=∠E= 600， ∠C=∠F= 600；
（1）
B
C
D
E
F
A
由于正三角形三边都相等，所以
任意两个正三角形相似
∴正三角形ABC∽正三角形DEF
例题讲解
两题过后，你又有什么收获？
（2）正方形ABCD和正方形EFGH.
B
C
D
E
F
A
（2）
H
G
解：（2）由于正方形每个角都是直角，所以∠A=∠E= 900， ∠B=∠F= 900， ∠C=∠G= 900， ∠D=∠H= 900；
由于正方形四边相等，所以
任意两个正n边形都相似
∴正方形ABCD∽正方形EFGH
（1）、观察下面两组图形，图4-12（1）中的两个图形相似吗？为什么？图4-12（2）中的两个图形呢？与同桌交流.
10
10
12
12
10
10
8
12
（1）
（2）
图4-12
不相似，因为它们的对应边不成比例.
想一想
（2）、如果两个多边形不相似，那么它们的各角可能对应相等吗？它们的各边可能对应成比例吗？
解：如图（1）可得，如果两多边形不相似，对应边是可以成比例的；
由图（2）可得，如果两多边形不相似，对应边是可以相等的．
10
10
12
12
10
10
8
12
（1）
（2）
图4-12
1．如果四边形ABCD∽ 四边形 相似，且∠A=68°,则 ．
2．一个多边形的边长分别是2、3、4、5、6，另一个和它相似的多边形的最短边长为6，则这个多边形的最长边为 ．
3．下列说法中正确的是（ ）
A、所有的矩形都相似 B、所有的正方形都相似
C、所有的菱形都相似 D、所有的正多边形都相似
68°
18
B
分析：两四边形相似，对应角相等，故
分析：根据题意得相似比为 ，则可得另一个对边形对长边为18.
巩固练习
4．如图所示的两个矩形相似吗？为什么？如果相似，相似比是多少？
解：∵
又∵四边形ABCD和四边形EFGH都是矩形
∴四边形ABCD∽四边形EFGH，
且四边形ABCD与四边形EFGH的相似比为2.
∴∠A=∠E=90°，∠B=∠F=90°，
∠C=∠G=90°，∠D=∠H=90°
5、如图，五边形ABCDE∽五边形 A B C D E ，∠A=118°，∠E’，且AB=3，A B =6，CD=2，则∠ E＝＿＿ ,∠ A ＝＿＿, C D ＝＿＿，五边形A B C D E 与五边形ABCDE的相似比为_______.
A
E
D
C
B
6
80°
A
E
D
C
B
解：∵五边形ABCDE∽五边形 A B C D E
118°
∴∠E=∠E =80°；
∠A =∠A=118°，
∴五边形A B C D E 与五边形ABCDE的相似比为2.
80°
118°
4
2
例：一块长3m，宽1.5m的矩形黑板镶在其外围的木质边框宽7.5cm.边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？
注： 因为求两条线段的比时，两条线段的长度单位 必须是一致的，所以把a线段的长度换成毫米(或把b的长度换成厘米)，就可求出a与b的比．
（1）对应角
分别对应相等；
（2）对应边的比相等.
分析：要判断两个图
形是否相似，需满足：
巩固提高
解:∵四边形ABCD与矩形 均为矩形
∴∠A =∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，∠D=∠D1，
由题意得AB=315，BC=165
∴
∴ ≠
∴矩形ABCD和矩形 不相似.
直观有时候是不可靠的.
在上题中，如果镶的纵向边框宽7.5cm，那么当镶的横向边框宽为多少时，边框的内外边缘所成的矩形相似？
想一想：
解：设镶的横向边框宽为xcm.
由题意得
.
解得x=30.
经检验符合题意.
答当镶的横向边框宽为30cm时，边框 的内外边缘所成的矩形相似.
2.相似比的概念：相似多边形对应边的比叫做相似比
1.相似多边形的概念：各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形；
3.两个多边形相似的表示方法：若有五边ABCDE与
五边形 相似，则记做五边形ABCDE
∽五边形
课堂总结
习题4.4：知识技能第1，3两题
课后作业
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