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北师大版九年级上第一章《特殊平行四边形》
《菱形的性质与判定》(第1课时)教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）.理解菱形的概念，了解它与平行四边形之间的关系．
（2）.经历菱形概念的抽象过程，以及它的性质的探索、猜测与证明的过程，丰富数学活动 经验，进一步发展合情推理能力和演绎推理能力．21世纪教育网版权所有
2.过程与方法
在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究结果。
3.情感态度和价值观
体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.
【教学重点】
菱形的性质定理的证明
【教学难点】
菱形的性质定理的证明
【教学方法】
合作、探究
【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
一、导入新课
导语：在我们现实生活中，平行四边形的形象无处不在，请同学们观察下列图片中的平行四边形.
这些平行四边形的邻边相等，像这样的平行四边形叫菱形。
二、探究新知
1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形在生活中随处可见，你能举出一些生活中菱形的例子吗？与同伴交流。
（1）菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质 吗？ （菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。中心对称图形）
你认为菱形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流。
2.活动内容1：请同学们用你手中的菱形纸片折一折，回答下列问题：
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
（2）结合手中的折纸得到的菱形ABCD，找出图中相等的角和线段。
由折纸过程和对称轴的性质可得相等的角有：∠1=∠2；∠3=∠4；∠5=∠6；∠7=∠8；
相等的线段有：AB=BC=CD=DA.
处理方式：让学生利用课前准备的菱形纸片进行折叠，折叠的过程中，让学生回顾轴对称图形的意义及轴对称图形的性质，从而发现菱形的“特殊”性质，感受折纸过程对性质的初步验证.
设计意图：通过折纸这一过程，引导学生发现菱形的对称性，即菱形不只是中心对称图形，还是轴对称图形，在操作过程中验证菱形的特殊性质，鼓励学生通过多种方法验证发现的结论.
活动内容2：菱形性质定理的证明
如何推理证明“菱形的四条边相等，对角线互相垂直”这两个性质呢？
已知：如图，在菱形ABCD中， AB＝AD，对角线AC与BD相交于点O.求证：（1）AB＝BC＝CD＝AD；（2）AC⊥BD．21cnjy.com
处理方式：让学生从平行四边形的性质出发，独立思考、分析证明思路.第（2）题多数学生可能会应用全等三角形的性质，想不到利用“等腰三角形的三线合一”性质，教师引导学生互相交流、确定证明思路，最后找一名学生板书证明过程，教师规范解题过程的书写.21·cn·jy·com
证明：（1）∵ 四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AD=BC（菱形的对边相等）．
又∵AB=AD，
∴ AB=BC=CD=AD．
（2）∵AB=AD，
∴△ABD是等腰三角形．
又∵ 四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）．
在等腰三角形ABD中，
∵OB=OD，
∴ AO⊥BD．
即 AC⊥BD．
设计意图：通过对性质的分析与证明，一方面让学生养成独立思考问题的习惯，对于不能独立解决的问题，引导学生发挥小组合作的作用，提高学生的交流能力；另一方面通过解题过程的板书提高学生的书写能力，养成规范书写的习惯.www.21-cn-jy.com
教师强调：菱形的性质定理
1、对角线互相垂直且平分,并且每条对角线平分一组对角；
2、四条边都相等,对边平行且相等；
3、对角相等,邻角互补；
4、菱形既是轴对称图形,对称轴是两条对角线所在直线,也是中心对称图形,
5、菱形是特殊的平行四边形,它具备平行四边形的一切性质.
例题讲解
例1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是( B )
A．AB//DC B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．OA＝OC
解析：根据菱形的性质：对角线互相垂直且平分得到C，D是正确的，再根据菱形的对边平行得到A是正确的，故选B。2·1·c·n·j·y
例2.已知如图，菱形ABCD的两条对角线BD，AC分别为6cm和8cm，则菱形的边长是（ C ）www-2-1-cnjy-com
A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cm
解析：∵ABCD是菱形
∴AC⊥BD， AO=4 , BO=3
∴在Rt△AOB中，
∴菱形的边长为5cm,
故选C.
例3. 在菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长.2-1-c-n-j-y
处理方式：教师引导学生根据已知条件说出菱形的性质，发现本题线段和角的有关结论，再独立组织本题的解题过程.然后让一名学生板演解题过程，师生共同评价．学生还有可能会应用“菱形的每条对角线平分一组对角”结合直角三角形的其它知识解决此题，教师都应给与肯定.
解：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD（菱形的四条边相等），
AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），
（菱形的对角线互相平分）.
在等腰三角形ABD中，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形.
∴AB=BD=6.
在Rt△AOB中，由勾股定理得
,
∴.
∴AC=2OA=（菱形的对角线互相平分）.
设计意图：让学生通过此例题的思考与分析，初步应用菱形的性质定理解决有关问题，在应用的过程中明确菱形与平行四边形的关系，同时鼓励学生一题多解，理解菱形的性质定理.
四、巩固练习：
1.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是____3___.
2.如下图：菱形ABCD中∠BAD＝60°，则∠ABD＝___60°.
3.如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4 cm，则点P到BC的距离是___4__cm.
4．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF等于多少？21教育网
解：连接FB，∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝AB，
又∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB＝40°，
又∵EF为AB的垂直平分线，
∴AF＝FB，
∴∠ABF＝40°，
易证△ADF≌△ABF，
∴∠ADF＝∠ABF＝40°，
∴∠CDF＝∠CDA－∠ADF＝100°－40°＝60°
5.已知菱形ABCD的两条对角线的长分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值为___5___.21·世纪*教育网
解析：当P点为AC与BD的交点时，
PM+PN的值最小，为菱形的边长
∵两条对角线分别为6和8,
∴此菱形的边长为5，
故PM+PN的最小值为5.
五、课堂总结
定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
性质：定理1： 菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直。
菱形具有平行四边形的所有，应用菱形的性质可以进行计算和推理。
六、作业布置
1.习题1.1：知识技能第1，2两题
2.预习第二课时.
【板书设计】
§1.1 菱形的性质与判定(1)
菱形的定义： 菱形的性质定理：1.2. 例1 例2
【教学反思】
本节课出示多媒体图片引导学生，从而板书课题，演示让生观察得菱形定义，在掌握定义的基础上探究并证明菱形的性质，然后学习菱形性质的应用。同时，也为知识间的迁移作了伏笔。《课标》强调学生数学学习的过程是建立在经验基础上的一个主动建构的过程。注重数学思想方法，让学生受到数学思想的熏陶与启迪。这节课在教学过程中渗透了“变与不变”、转化、数形结合等数学思想。通过课堂检测，当堂评价学生，了解学生学习效果。【来源：21·世纪·教育·网】
A
C
D
B
O
A
C
D
B
O
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北师大版九年级上第一章《特殊平行四边形》
《菱形的性质与判定》(第3课时)教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）. 理解菱形的定义， 掌握菱形的性质和判定
（2）. 能运用菱形的性质和判定进行简单的计算与证明．
2.过程与方法
经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法。
3.情感态度和价值观
在学习过程中感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识；在学习过程中通过 小组合作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力。21教育网
【教学重点】
菱形的性质、判定的理解和掌握
【教学难点】
菱形的性质、判定的综合应用.
【教学方法】
合作、探究
【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
复习引入
菱形的定义；（2）菱形的性质；（3）菱形的判定；
二、探究新知
1.菱形的周长的计算公式
（1）菱形被它的一条对角线分成两个什么三角形？它们之间有什么关系？ （两个全等的等腰三角形）
（2）菱形被它的两条对角线分成四个什么三角形？它们有什么关系？
（四个全等的直角三角形）
活动内容：菱形面积的计算
（1）尝试: 已知菱形的周长是12cm,一边上的高是6cm，它的边长是____cm,面积是_______cm2
（2）.如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm. 求 (1)对角线AC的长度； (2)菱形ABCD的面积。21·cn·jy·com
处理方式：先留给学生5分钟的时间自行思考，然后小组之间交流，最后找学生代表发言.在处理这道例题时，教师可引导学生从以下三个方面来分析：①审清题意，如何求平行四边形的面积，菱形是不是平行四边形？需要求那些量；②菱形对角线有哪些性质？③注意板书的规范性。
在讲解时教师可设置问题串来引导学生分解难点：
（1）如何求平行四边形的面积？
（2）菱形的对角线有什么性质？如应用勾股定理？
（3）菱形面积如何分割成直角三角形计算？三角形面积如何计算？
（4）谁能规范的写出求解过程？
学生在问题串的引导下，逐层分析，在分组讨论后找出题目中的关键问题：
一般菱形求出底边和高的前提下，直接，S菱形=底×高
知道对角线长度可以利用菱形对角线的性质,在直角三角形中应用勾股定理,分割成两个或者四个直角三角形求整个菱形的面积,并让学生展示解答过程.www.21-cn-jy.com
学生分析后展示解答过程：
解:(1) ∵四边形ABCD是菱形,AC与BD相较于点E
∴BO＝BD＝×10＝5cm(菱形的对角线互相平分)
∴AE===12cm
∴AC=2AE=2×12=24(cm)
(2)菱形ABCD的面积＝△ABD的面积+△CBD的面积
＝2×△ABD的面积
＝2××BD×AE
＝ 2××10×12
＝120(cm2)
设计意图：让学生通过比较，总结菱形的面积计算方法，一是按平行四边形的面积计算方法，二是分割法。让学生通过分析总结归纳，能够轻松的求菱形的面积.21cnjy.com
三、例题讲解：
例1.如图所示，已知菱形ABCD的周长为40cm,两条对角线AC、BD之比为3：4，
求（1）两条对角线的长；（2）菱形ABCD的面积。
分析：（1）AC:BD=3：4，即OA:OB=3：4,利用勾股定理求出OA、OB的长，就求出了AC和BD的长；（2）对角线乘积的一半即为菱形的面积。2·1·c·n·j·y
解：（1）∵菱形的周长为40cm,
∴AB=10cm，
∵AC:BD=3:4
∴OA：OB=3:4
∵AC⊥BD
∴在Rt△AOB中，有
设OA=3x，OB=4x
即
∴x=2,
∴OA=6cm,OB=8cm,
∴AC=12cm,BD=16cm
(2)
四、巩固练习：
已知菱形的周长是12，那么它的边长是( 3 )；
.已知如图，菱形ABCD的边长和一条对角线AC的长均为2cm，则菱形的面积为（ ）。
菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线长10cm,（1）求这个菱形的每一个内角的度数；（2）求这个菱形另一条对角线的长.【来源：21·世纪·教育·网】
解：由题意知AC=10cm，
（1）菱形周长为40cm，则AB=BC=10cm，
∵AC=10cm，
∴△ABC为等边三角形，
∠ABC=60°，
∠BAD=180°-60°=120°，
（2）在Rt△ABO中，AB=10cm,
则
另一条对角线长
菱形的对角线长分别为10cm,；
则菱形的面积。
4.已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=60°，BC的垂直平分线分别交BC和AB于点D、E，点F在DE的延长线上，且AF=CE,求证：四边形ACEF是菱形.21世纪教育网版权所有
证明：∵∠ACE=90°，DE垂直平分BC，
∴DF∥AC，BE=CE，
∴∠B=∠BCE，
∵∠B+∠BAC=90°，∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠BAC=∠ACE，
∴AE=CE=AE，
∵∠BAC=60°，
∴ΔACE是等边三角形，
∴∠AEF=∠CAE=60°，
∵AF=CE=AE，
∴ΔAEF是等边三角形，
∴EF=AE=AF=AC=CE，
∴四边形ACEF是菱形
拓展提高：
如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分ABCD是菱形吗？为什么？
解：依题意可知AB//CD，AD//BC
∴四边形ABCD是平行四边形
分别作AB，BC边上的高为AF，AE，
∵两纸条相同，
∴纸条宽度AE=AF．
∵平行四边形的面积为AE×CD=BC×AF，
∴CD=BC．
∴平行四边形ABCD为菱形．
课堂总结
菱形的有关计算：菱形的周长=4×边长
菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半
七、作业布置
习题1.3第3、4题．
【板书设计】
1.1.3菱形的性质和判定
菱形的性质：菱形的判定： 例题板书 投影区
学生板演区
【教学反思】
本节课是菱形的性质与判定的第三课时，通过前两节课的学习，学生已经经历了对菱形的性质及判定的探究及验证过程，基本掌握了菱形的各项性质及判别方法。在前两节课的学习中教师引导学生通过动手操作、小组合作等方式探究发现了菱形的性质及判别方法，并对这些发现进行了严格的推理证明。在探究过程中学生积累了许多关于菱形的活动经验，同时在学习中倡导学生进行合作学习，因此学生具有了一定的合作学习经验，也具备了合作交流的能力。
菱形的周长=4×边长
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北师大版九年级上第一章《特殊平行四边形》
《菱形的性质与判定》(第2课时)教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）.经历菱形判定定理的探索过程，进一步发展合情推理能力.
（2）.能够用综合法证明菱形的判定定理，进一步发展演绎推理能力.
2.过程与方法
在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究结果。
3.情感态度和价值观
体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.
【教学重点】
菱形判定定理的发现与证明.
【教学难点】
菱形判定定理的应用.
【教学方法】
合作、探究
【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
复习引入
菱形的定义；（2）菱形的特征；（3）菱形的性质；
提出问题引入新课：想一想我们可以怎样判定一个四边形是菱形？
二、探究新知
1.菱形的判定1：定义法（有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形）
数学语言：∵四边形ABCD是平行四边形且AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
2.菱形的判定2的探究：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
活动内容1：根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形，先想一想，再与同伴交流.21世纪教育网版权所有
处理方式：先由学生独立思考，尝试解答，再采取小组合作的方式，交流讨论，进而得到结论:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.21教育网
活动内容2：通过思考、交流，我们可以发现，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，你能证明这个命题吗？
处理方式：鼓励学生积极探索，大胆猜想，在此基础上再进行严格地证明.证明过程中，学生可能会有一定的困难，教师要及时予以指导和规范.此处可安排学生板演证明过程.但是要帮助引导学生写出已知、求证，并以本题为例，规范证明命题的一般步骤，即：先将命题改写为“如果···，那么···.”的形式，分析命题的条件和结论，再根据条件和结论画出图形，写出已知、求证，最后再规范证明.同时，本题可能会有学生用证明△AOB ≌△COB的方法证明BA=BC，对此，教师可引导学生思考，AC和BD的关系，即互相垂直平分,因而可以利用线段垂直平分线定理来证明BA=BC.并对两种方法进行比较.21cnjy.com
已知: ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC ⊥BD.
求证: ABCD是菱形
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO
又∵AC ⊥BD
∴BD是线段AC的垂直平分线.
∴BA=BC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.
设计意图：由于要判定的是一个平行四边形，因此，若要考虑边，则容易想到定义，若要考虑对角线，则可能受到性质的启发，想到对角线互相垂直的平行四边形是菱形，进而对这一命题进行严格证明，得到结论.21·cn·jy·com
3.菱形的判定3的探究：四边相等的四边形是菱形
活动内容1：已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？你是怎么做的？思考并独立完成后，与同伴交流.21·世纪*教育网
处理方式：学生独立完成作图后可与课本作法进行对比，通过思考作法的正确性，探索得到菱形的另一种判定方法：四条边都相等的四边形是菱形.并对这一判定方法加以证明. 这里可能会有一个问题：对于作图要求，学生可能会不太明确，教师要及时点拨，作图要求是要使已知线段为对角线，因而可以借助菱形的对角线互相垂直且平分这一性质，通过作线段AC的垂直平分线来完成作图.如还是无法完成，可借鉴课本作法.www-2-1-cnjy-com
活动内容2：你所做的四边形是菱形吗？你能得到怎样的结论？你能证明这个结论吗？
处理方式：根据作图过程，学生能猜想出所在在四边形为菱形，进而猜想出菱形的另一种判定方法：四条边都相等的四边形是菱形.对于学生作法的正确性的证明，可以先证明所做四边形为平行四边形，再利用定义，证明是菱形.由此得出结论：四条边都相等的四边形是菱形.
已知: 在四边形 ABCD中,AB=BC=CD=AD
求证: 四边形 ABCD是菱形
证明：∵AB=CD，BC=AD
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AB=BC
∴四边形 ABCD是菱形
归纳：菱形的三个判定：
1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.有四条边相等的四边形是菱形.
三、例题讲解
例1.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是（ C ）
Ａ. AC⊥BD ，AC与BD互相平分
Ｂ. AB=BC=CD=DA
Ｃ. AB=BC，AD=CD，且AC ⊥BD
Ｄ. AB=CD，AD=BC，AC ⊥BD
解析：根据菱形的三个判定可得C是错误的.
例2、如图， ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=8，DB=6， 求证:四边形ABCD是菱形.【来源：21·世纪·教育·网】
证明:∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC=4 OB=OD=3
又∵AB=5
∴
∴∠AOB=90°
∴AC⊥BD
又∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是菱形.
四、巩固练习：
1.判断下列说法是否正确？为什么？
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形； （ ×）
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（ √ ）
(3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等的四边形是菱形； （ × ）
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形． （ × ）
2.对角线互相垂直且平分的四边形是（ C ）
A.矩形 B.一般的平行四边形
C.菱形 D.以上都不对
3.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，边BC，CA，AB的中点分别是点D，E，F，则四边形AFDE是( A )www.21-cn-jy.com
菱形 B．正方形 C．平行四边形 D．梯形
4.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是( A )2-1-c-n-j-y
A．AB＝BC B．AC＝BC
C．∠B＝60° D．∠ACB＝60°
拓展提高
1.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形，求证：四边形ABCD是菱形。 21*cnjy*com
分析：根据平行四边形的性质得出对角线互相平分，再根据等边三角形“三线合一”的性质得出垂直关系即可判定四边形ABCD为菱形。【来源：21cnj*y.co*m】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=CD
∵△ACE是等边三角形
∴EO⊥AC
即DB⊥AC
∴四边形ABCD是菱形
2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AE平分∠BAC，分别与BC,CD交于点E,F.EH⊥AB于点H，连接FH，求证：四边形CFHE是菱形.2·1·c·n·j·y
分析：根据角平分线的性质可得CE=EH，根据“等角的余角相等”可知∠CEF=∠CFE，即CE=CF，再证明EH//CF，于是得到四边形CFHE是菱形。【出处：21教育名师】
证明：∵AE平分∠BAC,EH⊥AB，EC⊥AC,
∴EH=EC，∠CAE=∠EAB，
∵∠CAE+∠AEC=90°，∠EAB+∠AFD=90°，
∴∠AEC=∠AFD,
又∵∠AFD=∠CFE，
∴∠CEF=∠CFE,
∴EC=CF,
∴EH=CF,
又∵CD⊥AB,EH⊥AB，
∴CD//EH,
∴四边形CFHE是平行四边形
又∵EH=EC
∴平行四边形CFHE是菱形
六、课堂总结
菱形的三个判定方法：
1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.有四条边相等的四边形是菱形.
七、作业布置
1.习题1.2：知识技能第1，2两题
2.预习第三课时.
【板书设计】
【教学反思】
本节课可以分为三部分，第一部分是用复习和问题导入新课，复习菱形的性质，学生很容易可以猜想出菱形的判定。第二部分是合作探究证明菱形的判定。根据学生的猜想，让学生用菱形的定义来证明菱形的判定。第三部分是应用和检测。应用菱形的判定解决问题。
A
B
D
C
O
B
C
A
D
1.1.2菱形的性质与判定（二）
一、判定定理1： 判定定理2： 例1：
证明 证明
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菱形的性质与判定练习
一、选择题：
1．已知四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为菱形，还需要添加一个条件，这个条件是( )
A．AB＝CD B．AB＝BC
C．AD＝BC D．AC＝BD
2．若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为( )
A．20 B．16 C．12 D．10
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是( )
A．AB//DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC
4．菱形的一个内角为120°，边长为8，那么它较长的对角线长是( )
A．3 B．4 C．8 D．8
5．在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则△ABD的周长是( )
A．10 B．12 C．15 D．20
6．如图，下列条件之一能使 ABCD是菱形的是( )
①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④BD平分∠ABC.
A．①③ B．②③ C．③④ D．①③④
(第6题图) (第7题图)
7．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A<90°，BC，CA，AB的中点分别为点D，F，E，则四边形AFDE是( )21cnjy.com
A．菱形 B．长方形 C．正方形 D．以上都不对
8．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是( )2·1·c·n·j·y
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
(第8题图)
9．若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是( )
A．长方形 B．对角线相等的梯形
C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形
10.已知菱形的周长为52cm，两条对角线的长的比是5:12，则它的面积是（ ）
B. C. D.
11.已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，则菱形的面积为（ ）
A. B. C. D.
12.如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6，若过点A作AE⊥BC，垂足为E,则AE的长为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A.4 B. C. D.5
填空题：
13.如图，已知菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝____．21·世纪*教育网
（第13题图) （第14题）
14．如图，四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为___．21·cn·jy·com
15.菱形的周长为20 cm，两个相邻的内角的度数之比为1∶2，则较长的对角线长度是___cm.
16.如果菱形的两条对角线的长a和b，且a，b满足那么菱形的面积等于_______.
三、解答题：
17．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AO＝4，求BD的长．
28．如图，已知四边形ABCD是菱形，点E，F分别是边CD，AD的中点．求证：AE＝CF.
19．已知：如图，在 ABCD中，点O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连接BE，DF.21世纪教育网版权所有
(1)求证：△DOE≌△BOF；
(2)当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由．
20．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，过点E作EF∥AB交BC于点F.
(1)求证：四边形DBFE是平行四边形；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？
21.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．2-1-c-n-j-y
22．如图，在菱形ABCD中，点F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.
(1)求证：AE＝EC；
(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．
菱形的性质与判定第1课时练习题答案
选择题：
B
解析：由对角线互相平分得到四边形ABCD是平行四边形，再添加AB=BC，则得到平行四边形ABCD是菱形。www.21-cn-jy.com
2.A
解析：由菱形的对角线互相垂直和平分，得到两条对角线的一半分别是3,4，再由勾股定理得到菱形的边长为5.www-2-1-cnjy-com
3.B
解析：由菱形的性质可得：A,C,D正确，菱形的对角线不相等，故选B.
C
解析：连接对角线,得到4个全等的直角三角形，解直角三角形,得：较长对角线的一半为，所以较长的对角线为。 21*cnjy*com
5.C
解析：菱形的邻边相等,∠A=60°,可得△ABD为正三角形.周长为5x3=15 .
D
解析：由菱形的判定可得，，④正确.
A
解析：∵边BC、CA的中点分别是D、E，
∴线段DE是△ABC的中位线，
∴DE=，DE∥AC．
同理，DF=，DF∥AC．
又AB=AC，∠A＜90°，
∴DE∥AF，DF∥AE，DE=DF，
∴四边形AFDE是菱形．
故选A．
B
解析：由作图痕迹可知，四边形ABCD的边AD=BC=CD=AB，根据四边相等的四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形．故选B．21教育网
C
解析：由三角形中线定理得：各边中点连线等于与其平行的四边形ABCD对角线长的一半,因为是四边相等的菱形,则ABCD对角线仅满足长度相等即可,位置关系无所谓.
B
解析：设菱形边长为x厘米,则依题意可得：
4×x=52
x=13
设菱形为ABCD对角线的交点为O,
因为菱形对角线互相垂直平分,
即AC垂直于BD,且AO=OC,BO=OD.
所以在RT△ABO中,AO：BO=5：12,
则可设AO=5a,BO=10a,有勾股定理可得
∴a=1
∴对角线的长分别为5,12
∴菱形的面积=5×12=60.
11.D
解析：根据题意画出图形，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=2cm，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，
又∵菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，
∴AB=AD=BD=2cm，
∴OB=1cm，
∴OA=cm，
∴AC=cm，
∴菱形的面积为.
C.
解析：连接BD，交AC于O点，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=5，
∴AC⊥BD，AO=，BD=2BO，
∴∠AOB=90°，
∵AC=6，
∴AO=3，
∴
∴DB=8，
∴菱形ABCD的面积是=×AC DB=24，
∴BC AE=24，
AE=，
故选：C．
填空题：
13.5;
解析：：∵菱形ABCD,其顶点A,B在数轴上对应的数分别为-4和1,则AB=1-（-4）=5,
∴AB=BC=5．
14.12；
解析：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，
∴菱形的面积=×6×8=24，
∵O是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积=．
15.5_
解析：由条件可知,菱形的边长为5厘米
菱形相邻的两个内角之和为180度,180÷3=60,菱形的两个相邻内角为60°、120°,
菱形长对角线=厘米
16.2
解析：根据题意得：a=1,b=4,∴其面积为2.
解答题：
17.解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD且BO＝DO.
在Rt△AOB中，∵AB＝5，AO＝4，
由勾股定理，得BO＝3，
∴BD＝6
18.证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD.
∵点E，F分别是CD，AD的中点，
∴DE＝CD，DF＝AD，
∴DE＝DF.
又∵∠ADE＝∠CDF，
∴△AED≌△CFD(SAS)，
∴AE＝CF
19..解：(1)证明：∵ ABCD中，点O为对角线BD的中点，
∴BO＝DO，∠EDB＝∠FBO，
在△EOD和△FOB中
∴△DOE≌△BOF(ASA)
(2)当∠DOE＝90°时，四边形BFDE为菱形，理由：
∵△DOE≌△BOF，
∴BF＝DE，
又∵BF//DE，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵BO＝DO，∠EOD＝90°，
∴EB＝DE，
∴四边形BFDE为菱形
20.(1)证明：∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
又∵EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形
(2)当AB＝BC时，四边形是菱形．理由如下：
∵点D是AB的中点，
∴BD＝AB，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，
∵AB＝BC，
∴BD＝DE，
又∵四边形DBFE是平行四边形，
∴四边形DBFE是菱形
21.解：（1）∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE//BC且2DE=BC,
又BE=2DE,EF=BE,
∴EF=BC,EF//BC,
∴四边形BCFE是平行四边形，
又∵BE=EF,
∴四边形BCFE是菱形；
（2）∵∠BCF=120°，
∴∠EBC=60°，
又BE=BC,
∴△EBC是等边三角形，
∴菱形的边长为4,可求其高为
∴菱形的面积为
22.解：(1)证明：连接AC.∵BD是菱形ABCD的对角线，
∴BD垂直平分AC.
∴AE＝EC
(2)点F是线段BC的中点．理由：
∵ABCD是菱形，
∴AB＝CB.
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴∠BAC＝60°.
∵AE＝EC，
∴∠EAC＝∠ACE.
∵∠CEF＝60°，
∴∠EAC＝30°.
∴AF是△ABC的角平分线．
又∵△ABC是等边三角形，
∴BF＝CF.
∴点F是线段BC的中点
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北师大版九年级上册
第一节：菱形的性质与判定
第一章：特殊平行四边形
第一课时
菱形的性质
问题导入
下面几幅图片中都含有一些平行四边形。观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？与下图相比较，这些平行四边形特殊在哪里？
这些平行四边形的邻边相等，像这样的平行四边形叫菱形。
探究新知
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形在生活中随处可见，你能举出一些生活中菱形的例子吗？与同伴交流。。
菱形具有工整,匀称,美观等许多优点,常被人们用在图案设计上.
（1）菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗？
菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。中心对称图形。
（2）你认为菱形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流。
想一想
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
用菱形纸片折一折，回答下列问题：
菱形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线，两条对称轴互相垂直。
菱形的四条边相等。
探究性质
(2)结合手中的折纸得到的菱形ABCD，找出图中相等的角和线段。
由折纸过程和对称轴的性质可得
相等的角有：∠1=∠2；
∠3=∠4；
∠5=∠6；
∠7=∠8；
相等的线段有：
AB=BC=CD=DA.
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相交于点O.
求证：（1）AB=BC=CD=AD；（2）AC⊥BD.
菱形四边相等，对角线互相垂直的证明：
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = CD，AD= BC
（菱形的对边相等）
又∵AB=AD
∴AB=BC=CD=AD
（2）∵AB=AD
∴△ABD是等腰三角形
又∵四边形ABCD是菱形
∴OB=OD
（菱形的对角线互相平分）
在等腰三角形ABD中，
∵OB=OD
∴AO⊥BD
即AC⊥BD
菱形的性质：
1、对角线互相垂直且平分,并且每条对角线平分一组对角；
2、四条边都相等,对边平行且相等；
3、对角相等,邻角互补；
4、菱形既是轴对称图形,对称轴是两条对角线所在直线,也是中心对称图形,
5、菱形是特殊的平行四边形,它具备平行四边形的一切性质.
例题讲解
例1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是( )
A．AB//DC B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．OA＝OC
解析：根据菱形的性质：对角线互相垂直且平分得到C，D是正确的，再根据菱形的对边平行得到A是正确的，故选B。
B
例2.已知如图，菱形ABCD的两条对角线BD，AC分别为6cm和8cm，则菱形的边长是（ ）
A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cm
C
解析：∵ABCD是菱形
∴AC⊥BD，
AO=4 , BO=3
∴在Rt△AOB中，
∴菱形的边长为5cm,
故选C.
例3. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长。
分析：由菱形的性质得到AC⊥BD,AB=AD,结合题意，得到△ABD是等边三角形从而求出AB的长，再借助勾股定理求出AC的长。
解：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD（菱形的四条边都相等）
AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）
OB=OD= (菱形的对角线互相平分）
在等腰△ABC中
∵∠BAD=60°
∴△ABD是等边三角形
∴AB=BD=6
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
∴
∴
3cm
600
１.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是_______.
２.如下图：菱形ABCD中∠BAD＝60°，则∠ABD＝_______.
巩固练习
解析：根据菱形的四边相等，得到边长为3.
解析：根据菱形的四边相等，得到AB=AD,再因为∠BAD=60°，得到△ABD是等边三角形，所以有∠ABD=60°.
3．如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4 cm，则点P到BC的距离是______cm.
4
解析：在菱形ABCD中，BD是∠ABC的平分线，
∵PE⊥AB于点E，PE=4cm，
∴点P到BC的距=PE=4cm．
故答案为：4．
拓展提高
1．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF等于多少？
解：连接FB，∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝AB，
又∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB＝40°，
又∵EF为AB的垂直平分线，
∴AF＝FB，
∴∠ABF＝40°，
易证△ADF≌△ABF，
∴∠ADF＝∠ABF＝40°，
∴∠CDF＝∠CDA－∠ADF＝100°－40°＝60°
5
2.已知菱形ABCD的两条对角线的长分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值为_____.
解析：当P点为AC与BD的交点时，
PM+PN的值最小，为菱形的边长
∵两条对角线分别为6和8,
∴此菱形的边长为5，
故PM+PN的最小值为5.
课堂总结
请各位同学回忆一下菱形的性质有哪些？请从边，角，对角线和对称性的角度进行分析.
边
角
对角线
对称性
菱形的两组对边平行
菱形的四边相等
菱形的两组对角相等
菱形的邻角互补
菱形的对角线互相平分，且每一组对角线平分一组对角
菱形的对角线互相垂直
菱形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点
菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线
课后作业
1.习题1.1：知识技能第1，2两题
2.预习第二课时.
第二课时
菱形的判定
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
3.菱形的性质
1.菱形的定义
（Ａ）菱形的四条边都相等
（Ｂ）菱形的对角线互相垂直
2.菱形的特征
菱形是一个轴对称图形
我们可以怎样判定一个四边形是菱形？
复习引入
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
探究新知
数学语言：
∵四边形ABCD是平行四边形且AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
菱形的判定：定义法
菱形的性质“两条对角线互相垂直平分”中，“对角线互相平分”是平行四边形所具有的一般性质，而“对角线垂直”是菱形所特有的性质。
由此，可以得到一个猜想：“如果一个平行四边形
的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是一个菱
形。”
除定义法之外，还能找到其他的判定方法吗？
如图，取两根长度不等的细木棒，让两个木
棒的中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出木棒四个
端点的连线。我们知道，这样得到的四边形是一个平行
四边形．若转动其中一个木棒，重复上面的做法，当两
个木棒之间的夹角等于90°时，得到的图形是什么图形
呢？
探究一
如图，你还可以作一个两条对角线互相垂直的平行四边形．
和你的同伴交换一下，
看看是否成了一个菱形．
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD互相垂直，证明： 四边形ABCD是菱形．
证明
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ OA＝OC
又∵AC⊥BD
∴ BD所在直线是线段AC的垂直平分线
∴ AB＝BC
∴ 四边形ABCD是菱形
验证猜想
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
A
B
C
D
∵在□ABCD中，AC⊥BD
∴ □ABCD是菱形
菱形的判定2：
数学语言：
先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？
根据画图，你能得到还有什么方法能判定一个四边形是菱形吗？
A
B
C
D
O
探究二
有四条边相等的四边形是菱形。
已知：在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.
求证：四边形ABCD是菱形
D
A
B
C
证明：
∵AB=CD,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形
验证猜想
四条边都相等的四边形是菱形.
AB=BC=CD=DA
A
B
C
D
菱形ABCD
∵在四边形ABCD中AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
四边形ABCD
A
B
C
D
菱形的判定3：
数学语言：
菱形常用的判定方法：
1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.有四条边相等的四边形是菱形.
例题讲解
1.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
Ａ. AC⊥BD ，AC与BD互相平分
Ｂ. AB=BC=CD=DA
Ｃ. AB=BC，AD=CD，且AC ⊥BD
Ｄ. AB=CD，AD=BC，AC ⊥BD
C
解析：根据菱形的三个判定可得C是错误的.
A
B
C
D
O
2、如图， ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=8，DB=6
求证:四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
∴四边形ABCD是菱形.
∴OA=OC=4 OB=OD=3
证明:
又∵AB=5
∴AC⊥BD
∴∠AOB=90°
又∵ 四边形ABCD是平行四边形
∵ 四边形ABCD是平行四边形
巩固练习
1.判断下列说法是否正确？为什么？
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形； （ ）
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（ ）
(3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等的四边形是菱形； （ ）
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形． （ ）
×
√
×
×
2.对角线互相垂直且平分的四边形是（ ）
A.矩形 B.一般的平行四边形
C.菱形 D.以上都不对
C
3.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，边BC，CA，AB的中点分别是点D，E，F，则四边形AFDE是( )
A．菱形 B．正方形
C．平行四边形 D．梯形
A
解：∵边BC、CA的中点分别是D、E，
∴线段DE是△ABC的中位线，
∴DE= AB，DE∥AC．
同理，DF= AC，DF∥AC．
又AB=AC，∠A＜90°，
∴DE∥AF，DF∥AE，DE=DF，
∴四边形AFDE是菱形．
故选A．
4.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是( )
A．AB＝BC B．AC＝BC
C．∠B＝60° D．∠ACB＝60°
A
分析：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，
∴AB//CD且AB=CD,
∴四边形ABCD为平行四边形
∴当AB=BC时，
平行四边形ABCD是菱形。故选A。
拓展提高
例1.在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形,求证：四边形ABCD是菱形.
分析：根据平行四边形的性质得出对角线互相平分，再根据等边三角形“三线合一”的性质得出垂直关系即可判定四边形ABCD为菱形。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO,
∵△ACE是等边三角形，
∴EO⊥AC，
即DB⊥AC，
∴平行四边形ABCD是菱形.
例2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,AE平分∠BAC,分别与BC，CD交于点E,F.EH⊥AB于点H,连接FH，求证：四边形CFHE是菱形.
分析：根据角平分线的性质可得CE=EH，根据“等角的余角相等”可知∠CEF=∠CFE，即CE=CF，再证明EH//CF，于是得到四边形CFHE是菱形.
证明：∵AE平分∠BAC,EH⊥AB，EC⊥AC,
∴EH=EC，∠CAE=∠EAB，
∵∠CAE+∠AEC=90°，∠EAB+∠AFD=90°，
∴∠AEC=∠AFD,
又∵∠AFD=∠CFE，
∴∠CEF=∠CFE,
∴EC=CF,
∴EH=CF,
又∵CD⊥AB,EH⊥AB，
∴CD//EH,
∴四边形CFHE是平行四边形
又∵EH=EC
∴平行四边形CFHE是菱形
一组邻边相等
对角线互相垂直
四条边相等
五种判定方法
四边形
平行四边形
菱形
菱形的判定方法：
课堂总结
课后作业
1.习题1.2：知识技能第1，2两题
2.预习第三课时.
第三课时
菱形的有关计算
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2.菱形的性质
1.菱形的定义
（Ａ）菱形的四条边都相等
（Ｂ）菱形的对角线互相垂直
复习引入
3.菱形的判定
(A).有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
(B).对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
(C).有四条边相等的四边形是菱形.
菱形被它的一条对角线分成两个什么三角形？它们之间有什么关系？
菱形被它的两条对角线分成
四个什么三角形？它们有什么关系？
菱形的周长=4×边长
探究新知
两个全等的等腰三角形
四个全等的直角三角形
O
【菱形的面积公式】
菱形是特殊的平行四边形,
那么能否利用平行四边形
面积公式计算菱形的面积吗
菱形
A
B
C
D
O
E
S菱形=BC× AE
想一想:已知菱形的两条对角线的长，能求出它的面积吗
= S△ABD+S△BCD = AC×BD
S菱形ABCD
菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半
菱形的有关计算
菱形的有关计算
菱形的周长=4×边长
菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半
例1：已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.求:(1).对角线AC的长度;(2).菱形ABCD的面积解:(1)∵四边形ABCD是菱形,AC和BD相交于点E∴∠AED=900∴AC=2AE=2×12=24(cm).DBCAE（菱形对角线互相垂直）.（菱形对角线互相平分）.例题讲解=2×△ABD的面积(2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积DBCAE例2.如图所示，已知菱形ABCD的周长为40cm,两条对角线AC、BD之比为3：4，
求（1）两条对角线的长；（2）菱形ABCD的面积。
分析：
（1）AC:BD=3：4，即OA:OB=3：4,利用勾股定理求出OA、OB的长，就求出了AC和BD的长；
（2）对角线乘积的一半即为菱形的面积
解：（1）∵菱形的周长为40cm,
∴AB=10cm，
∵AC:BD=3:4
∴OA：OB=3:4
∵AC⊥BD
∴在Rt△AOB中，有
设OA=3x，OB=4x
即
∴x=2,
∴OA=6cm,OB=8cm,
∴AC=12cm,BD=16cm
(2)
1.已知菱形的周长是12，那么它的边长是( ).
2.已知如图，菱形ABCD的边长和一条对角线AC的长均为2cm，则菱形的面积为（ ）.
巩固练习
3
利用勾股定理求出菱形的边长，再求出其周长，根据菱形的面积等于对角线的一半求出菱形的面积
小提示：有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决
3.菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线长10cm,（1）求这个菱形的每一个内角的度数；
（2）求这个菱形另一条对角线的长.
解：由题意知AC=10cm，
（1）菱形周长为40cm，则 AB=BC=10cm，
∵AC=10cm，
∴△ABC为等边三角形，
∠ABC=60°，
∠BAD=180°-60°=120°，
（2）在Rt△ABO中，AB=10cm,
则
另一条对角线长
菱形的对角线长分别为10cm,
则菱形的面积
4.已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=60°，BC的垂直平分线分别交BC和AB于点D、E，点F在DE的延长线上，且AF=CE,求证：四边形ACEF是菱形.
证明：∵∠ACE=90°，DE垂直平分BC，
∴DF∥AC，BE=CE，
∴∠B=∠BCE，
∵∠B+∠BAC=90°，∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠BAC=∠ACE，
∴AE=CE=AE，
∵∠BAC=60°，
∴ΔACE是等边三角形，
∴∠AEF=∠CAE=60°，
∵AF=CE=AE，
∴ΔAEF是等边三角形，
∴EF=AE=AF=AC=CE，
∴四边形ACEF是菱形
如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分ABCD是菱形吗？为什么？
巩固提高
解：依题意可知AB//CD，AD//BC
∴四边形ABCD是平行四边形
分别作AB，BC边上的高为AF，AE，
∵两纸条相同，
∴纸条宽度AE=AF．
∵平行四边形的面积为 AE×CD=BC×AF，
∴CD=BC．
∴平行四边形ABCD为菱形．
课堂总结
菱形的周长=4×边长
菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半
菱形的有关计算
课后作业
习题1.3：知识技能第3，4两题
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