北师大版九年级上第一章《特殊平行四边形》
《正方形的性质与判定》(第1课时)教案
【教学目标】
1.知识与技能
了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质定理．
2.过程与方法
经历探索正方形有关性质的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法．www-2-1-cnjy-com
3.情感态度和价值观
培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值．
【教学重点】
探索正方形的性质定理．
【教学难点】
掌握正方形的性质的应用方法．
【教学方法】
合作、探究
【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
复习回顾
(1)平行四边形有哪些性质 矩形与平行四边形比较有哪些特殊的性质 菱形的性质有哪些呢？
让学生分别从边、角、对角线等方面回忆它们的性质.
二、探究新知
1.正方形的定义
活动1：
满足什么条件的菱形是正方形？
有一个角是直角
问题: 从这个图形中你能得到什么？你是怎样想到的？
当=90°时,这个四边形还是菱形,但它是特殊的菱形是一个内角为直角的菱形也是正方形.
定义1.有一个角是直角的菱形叫做正方形。
活动2：满足什么条件的矩形是正方形？
邻边相等
定义2.邻边相等的矩形叫做正方形。
活动3：满足什么条件的平行四边形是正方形？
邻边相等且有一个角是直角
定义3.有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
正方形在生活中随处可见，你能举出一些生活中正方形的例子吗？与同伴交流。
2.正方形的性质：
活动4.
正方形是矩形吗？正方形是菱形吗？
正方形既是矩形，也是菱形，它具有矩形和菱形的所有性质。
1.对称性：
正方形是中心对称图形,对称中心为点O，它也是轴对称图形,有4条对称轴.
性质：
它具有平行四边形的一切性质：两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分.
具有矩形的一切性质：四个角都是直角，对角线相等.
具有菱形的一切性质：四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角.
活动5：
证明定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等。
已知：正方形ABCD，求证:AB=BC=CD=AD ,∠A=∠B=∠C=∠D.
分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证.
证明:∵四边形ABCD是正方形
∴四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=AD ,
∵四边形ABCD是正方形
∴四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=∠C=∠D.
证明定理：正方形的对角线相等且互相垂直.
已知ABCD是正方形，AC、BD分别是正方形的两条对角线，且交于点O，求证：AC=BD，AC⊥BD.21cnjy.com
证明：∵ABCD是正方形,
∴AB=CD,∠ABC=∠DCB,
∵BC=BC.
∴ΔABC≌ΔDCB,
∴AC=BD.
∵OB=OD,AB=AD,OA=OA,
∴ΔAOB≌ΔAOD,
∴∠AOB=∠AOD,
又∠AOB+∠AOD=90°,
∴∠AOB=90°,
∴AC⊥BD,
即对角线互相垂直且相等.
例题讲解
例1．正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O，且AB＝2cm，则AC=_______.
解析：∵四边形ABCD是正方形
∴BC=AB=2,∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，.
例2.已知正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AC=10,P是AB上一点,PE⊥AC于E，PF⊥BD于F,则PE+PF=______________.
分析：由正方形的性质可推理出PE=AE，PF=OE，PE＋PF＝OA.
解：∵ABCD是正方形
∴AO=AC=5 ,∠BAC=45°,AC⊥BD 又∵PE⊥AC, PF⊥BD
∴四边形PEOF为矩形
∴PF=OE
∴ 在△APE中,∠PAE=45°
∴AE=PE
∴PE+PF=AE+OE=AO=5.
例3：如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.21·cn·jy·com
分析：(1)由正方形的性质得到∠BCD=∠DCF=90°，BC=CD，结合CE=CF，可证△BCE≌△DCF，从而有BE=CF;www.21-cn-jy.com
(2)延长BE交DE于点M,由全等可知∠CBE=∠CDF，借助等量代换得到∠BMF=90°，从而有BE⊥CF.2·1·c·n·j·y
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
（1）∵四边形ABCD是正方形.
∴BC=DC,∠BCE=90°
∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.
∴∠BCE=∠DCF.
又∵CE=CF.
∴△BCE≌△DCF.
∴BE=DF.
(2)如图，延长BE交DE于点M，
∵△BCE≌△DCF.
∴∠CBE=∠CDF.
∵∠DCF=90°.
∴∠CDF+∠F=90°.
∴∠CBE+∠F=90°.
∴∠BMF=90°.
∴BE⊥DF.
四、巩固练习：
1.判断题：
（1）四个角都相等的四边形是正方形. （ × ）
(2)四条边都相等的四边形是正方形. （ × ）
（3）对角线相等的菱形是正方形. ( √ )
(4)对角线互相垂直的矩形是正方形. （ √ ）
（5）对角线垂直相等的四边形是正方形. ( × )
(6)四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形. ( √ )
2.以正方形ABCD的一边DC向外作等边△DCE,
则∠AEB=_____.
解∵四边形ABCD是正方形,△CDE是等边三角形
∴∠BCE=90+60=150°,CB=CE
∴∠CEB=15°
同理∠AED=15°
∴∠AEB=60-15-15=30°
3.正方形ABCD中，M为AD中点，ME⊥BD于E，MF⊥AC于F,若ME+MF =8cm，则AC=________.21教育网
提示：AC=2OA=2(ME+MF)=16cm.
4.如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F。试说明：AP=EF【来源：21·世纪·教育·网】
解：连接PC
∵PE⊥BC ， PF⊥DC
而四边形ABCD是正方形
∴∠FCE=90°
∴四边形PECF是矩形
∴PC=EF
又∵四边形BAPC是以BD为轴的轴对称图形
∴AP=PC
∴AP=EF
5.正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，且CE=AC, AE交DC于点F,试求∠E, ∠AFC的度数21世纪教育网版权所有
解：∵正方形ABCD的四个角均为直角，且对角线平分一组对角
∵CE=AC
∴∠E=∠CAE
∵∠ABC是△ACE的一个外角
∴∠ACB=∠E+∠CAE=2∠E
∵∠AFC是△CEF的一个外角
∴∠AFC=∠E+∠FCE=22.5°+90°=112.5°
∴∠E=22.5°, ∠AFC=112.5°
五、课堂总结
正方形既是菱形，又是矩形，因此正方形有下列性质：
1.正方形的四条边都相等，四个角都是直角
2.正方形的对角线相等，且互相垂直平分；每条对角线平分一组对角．
3.正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
4.正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组中点的直线都是它的对称轴.
六、作业布置
1.习题1.7：知识技能第2，3两题
2.预习第二课时.
【板书设计】
§1.3 正方形的性质与判定(1)
正方形的定义： 正方形的性质定理：1.2. 例1 例2
【教学反思】
本节课由回忆平行四边形、矩形、菱形的性质引入正方形的概念，从而板书课题，演示让学生观察得正方形的3中定义方法，在掌握定义的基础上探究并证明正方形的性质，然后学习正方形性质的应用。同时，也为知识间的迁移作了伏笔。《课标》强调学生数学学习的过程是建立在经验基础上的一个主动建构的过程。注重数学思想方法，让学生受到数学思想的熏陶与启迪。这节课在教学过程中渗透了“变与不变”、转化、数形结合等数学思想。通过课堂检测，当堂评价学生，了解学生学习效果。21·世纪*教育网
90°
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《正方形的性质与判定》(第2课时)教案
【教学目标】
1.知识与技能
知道正方形的判定方法，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的论证和计算.21·cn·jy·com
2.过程与方法
经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法.21教育网
3.情感态度和价值观
理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点.
【教学重点】
掌握正方形的判定条件.
【教学难点】
合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算.
【教学方法】
合作、探究
【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
复习回顾
我们学行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？请填入下图中.2·1·c·n·j·y
通过填写让学生形象地看到正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，还是特殊的平行四边形；而正方形、矩形、菱形都是平行四边形；矩形、菱形都是特殊的平行四边形. 21*cnjy*com
1.怎样判断一个四边形是平行四边形？
2.怎样判断一个四边形是矩形？
3.怎样判断一个四边形是菱形？
4.怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形？
议一议:你有什么方法判定一个四边形是正方形？
二、探究新知
正方形的判定1.矩形法
活动1：满足什么条件的矩形是正方形？
操作1.你能否利用手中的矩形白纸裁出一个正方形呢？请你与同学交流一下，你能说说矩形与正方形的关系吗？【来源：21cnj*y.co*m】
有一组邻边相等
或对角线垂直
你能从这个变化过程中总结出正方形的判定方法吗？
有一组邻边相等的矩形是正方形.
几何语言：∵在矩形ABCD中，AB=AD
∴矩形四边形ABCD是正方形
对角线互相垂直的矩形是正方形.
几何语言：∵在矩形ABCD中，AC⊥BD
∴矩形四边形ABCD是正方形
正方形的判定2：菱形法
活动2：满足什么条件的菱形是正方形？
操作2 .你能否利用手中的可以活动的菱形模型变成一个正方形吗？如何变？
有一个角是直角
或对角线相等
你能从这个变化过程中总结出正方形的判定方法吗？
有一个角是直角的菱形是正方形.
几何语言：∵在菱形ABCD中，∠BAC=90°
∴菱形四边形ABCD是正方形
对角线相等的菱形是正方形.
几何语言：∵在菱形ABCD中，AC=BD
∴菱形四边形ABCD是正方形
正方形的判定3：定义法
活动3：满足什么条件的平行四边形是正方形？
有一组邻边相等 有一个角是直角
有一个角是直角 有一组邻边相等
对角线相 对角线垂直
等
对角线垂对角线相等
直
你能从这个变化过程中总结出正方形的判定方法吗？
有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.
几何语言：∵在平行四边形ABCD中，∠A=90°，AB=AD
∴平行四边形ABCD是正方形
对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形.
几何语言：∵在平行四边形ABCD中，AC=BD，AC⊥BD
∴平行四边形ABCD是正方形
正方形的判定4：四边形法
（1）四条边相等，四个角都是直角
（2）对角线互相垂直、平分且相等
既是菱形又是矩形的四边形是正方形.
总结：正方形常用的判定方法：
1.有一组邻边相等的矩形是正方形.
2.对角线互相垂直的矩形是正方形.
3.有一个角是直角的菱形是正方形.
4.对角线相等的菱形是正方形.
5.有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.
6.对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形.
7.既是菱形又是矩形的四边形是正方形.
三、例题讲解
例1.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正 方形的是（ ）
A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD B．AD∥BC ∠A＝∠C
C．AO＝CO BO＝DO AB＝BC
D．AC＝BD
解析：由正方形的判定，对角线互相平分且相等，互相垂直的四边形是正方形，故选A.
例2.如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是_________.www.21-cn-jy.com
分析：由AB=BC=CD=DA，得到四边形ABCD是菱形，要使菱形ABCD是正方形，根据正方形的判定，则只需AC=BD.21·世纪*教育网
例3. 已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF//CE，CF//BE，求证：四边形BECF是正方形.www-2-1-cnjy-com
分析：先由BF∥CE，CF∥BE得出四边形BECF是平行四边形，又因为∠BEC=90°得出四边形BECF是矩形，BE=CE邻边相等的2-1-c-n-j-y
矩形是正方形．
证明：∵BF∥CE，CF∥BE
∴四边形BECF是平行四边形，
又∵在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB
∴∠EBA=∠ECB=45°
∴∠BEC=90°，BE=CE
∴四边形BECF是正方形．
四、巩固练习：
1.已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ D ）【来源：21·世纪·教育·网】
A.∠D=90° B.AB=CD C.AD=BC D.BC=CD
分析：由∠A=∠B=∠C=90°可判定为矩形，因此再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形，故选D．【出处：21教育名师】
2.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使 ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（ B ）【版权所有：21教育】
①② B.②③ C.①③ D.②④
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，当△ABC满足条件 ______ 时，四边形DECF是正方形．（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）21教育名师原创作品
解：设AC=BC，即△ABC为等腰直角三角形，
∵∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，
∴∠C=∠CED=∠EDF=∠DFC=90°，
DF= AC=CE，，DE=BC=CF，
∴DF=CE=DE=CF，
∴四边形DECF是正方形，
故答案为：AC=BC．
4.如图，在矩形ABCD中，∠ABC的角平分线交对角线AC于点M，ME⊥AB，MF⊥BC，垂足分别是E，F．判定四边形EBFM的形状，并证明你的结论．21世纪教育网版权所有
首先证得四边形EBFM为矩形，再进一步利用角平分线的性质得出ME=MF，证得结论成立即可．
解：四边形EBFM是正方形．理由如下：
∵矩形ABCD，
∴∠ABC=90°，
∵MF⊥BC，ME⊥AB，
∴∠BFM=∠MEB=90°，
∵∠ABC=∠BFM=∠MEB=90°，
∴四边形EBFM为矩形，
∵BM平分∠ABC，
∴ME=MF，
∴四边形EBFM为正方形
五、拓展提高
已知D、E、F、G分别是四边形AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形DEFG四平行四边形。
证明：如图，连接BD
∵D、G分别是AB、AD的中点
∴DG是△ABD的中位线
∴DG//BD,,
∵E、F分别是BC、CD的中点
∴EF是△BCD的中位线
∴EF//BD,
∴DG=EF,DG//EF
∴四边形DEFG是平行四边形.
若四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？
归纳：特殊四边形的中点四边形：
◆平行四边形的中点四边形是平行四边形
◆矩形的中点四边形是菱形
◆菱形的中点四边形是矩形
◆正方形的中点四边形是正方形
◆等腰梯形的中点四边形是菱形
◆直角梯形的中点四边形是平行四边形
◆梯形的中点四边形是平行四边形
六、课堂总结
正方形常用的判定方法：
1.有一组邻边相等的矩形是正方形.
2.对角线互相垂直的矩形是正方形.
3.有一个角是直角的菱形是正方形.
4.对角线相等的菱形是正方形.
5.有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.
6.对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形.
七、作业布置
习题1.8：知识技能第2，3两题
【板书设计】
§1.3 正方形的性质与判定(2)
正方形的判定： 例1 例2 练习
【教学反思】
本节课可以分为三部分，第一部分是用复习和问题导入新课，复习正方形与平行四边形和矩形、菱形的关系，从而引出正方形的判定。第二部分是合作探究证明正方形的判定。第三部分是应用和检测。应用正方形的判定解决问题。21cnjy.com
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 1 页 （共 1 页） 版权所有@21世纪教育网正方形的性质与判定练习
一、选择题(本大题共10小题)
1.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的度数是（ ）
A.22.5° B.25° C.23° D.20°
2.如一个四形的两对线互垂直平分且相等那么个四边形是（ ）
A.平行四边形 B.菱形 C.正方形 D.矩形
3.四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD∥BC，AD=BC，使四边形ABCD为正方形，下列条件中：①AC=BD；②AB=AD； ③AB=CD；④AC⊥BD．需要满足（ ）
A.①② B.②③ C.②④ D.①②或①④
4.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA=3，则此正方形的面积为（ ）
A.3 B.12 C.18 D.36
5.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AO=C0=BO=DO，AC⊥BD，则四边形ABCD的形状是（ ）
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 21·世纪*教育网
6.已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥AB交BC于点E，若AD=8cm，则OE的长为（ ）
A.3cm B.4cm C.6cm D.8cm
7.如图，正方形ABCD的边长为x，点E、F分别是对角线BD上的两点，过点E、F作AD、AB的平行线，则图中阴影部分的面积的和为（ ）
A.x2 B.x2 C.x2 D.x2
8.如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面积是（ ）
A.30 B.34 C.36 D.40 21*cnjy*com
9.如图，E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，F、G是垂足，若正方形ABCD周长为a，则EF+EG等于（ ）
A. B. C.a D.2a
10.已知正方形ABCD的一条对角线长为2，则它的面积是（ ）
A.2 B.4 C.6
二、填空题(本大题共6小题)
11.如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，以CE为对角线构造正方形CMEN，点N在正方形ABCD内部，连接AM，与CD边交于点F．若CF=3，DF=2，连接BN，则BN的长为 ______ ．
如图，已知：正方形EFGH的顶点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边DA、AB、BC、CD上．若正方形ABCD的面积为16，AE=1，则正方形EFGH的面积为 ______ ．2-1-c-n-j-y
如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME= ______ ．21教育网
如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，DF∥AB，交BC于点F，当△ABC满足条件 ______ 时，四边形BEDF是正方形．
如图，正方形ABCD的边长为4，线段GH=AB，将GH的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动，如果G点从A点出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止，同时点H从点B出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止，在这个过程中，线段GH的中点P所经过的路线围成的图形的面积为 ______ ．【来源：21·世纪·教育·网】
16.如图，在正方形ABCD中，AB=，点P为边AB上一动点（不与A、B重合），过A、P在正方形内部作正方形APEF，交边AD于F点，连接DE、EC，当△CDE为等腰三角形时，AP= ______ ．www-2-1-cnjy-com
三、解答题(本大题共8小题)
17.已知：P是正方形ABCD对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，E、F分别为垂足．
（1）求证：DP=EF．
（2）试判断DP与EF的位置关系并说明理由．
【出处：21教育名师】
18.如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB、ED．
（1）写出图中所有的全等三角形；
（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB=140°，求∠AFE的度数．
21*cnjy*com
19.已知，在正方形ABCD中，E是CB延长线上一点，且EB=BC，F是AB的中点，请你将F点与图中某一标明字母的点连接成线段，使连成的线段与AE相等．并证明这种相等关系．
20.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，PB∥AC，PC∥BD，PB、PC相交于点P．
（1）猜想四边形PCOB是什么四边形，并说明理由；
（2）当矩形ABCD满足什么条件时，四边形PCOB是正方形．
正方形的性质与判定练习参考答案
选择题。
1.A
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB=∠BCA=45°；
△ACE中，AC=AE，则：
∠ACE=∠AEC=（180°-∠CAE）=67.5°；
∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=22.5°．
故选A． 21世纪教育网版权所有
2. C
解：如果一个边形两对角线相垂直分且相等，那么这个边形正方形，
求证四边形ABC正方形，
∵ACBD，
∴平四边形CD为菱形，
已知：四边ABCD，A⊥，O=O，OBOD，AC=BD，
∴四边形ACD为方形．
边形ABCD为平行四形，
选C．
3.D21cnjy.com
解：∵AD∥BC，AD=BC
∴四边形ABCD为平行四边形
∵AC=BD
∴平行四边形ABCD是矩形
若AB=AD
则四边形ABCD为正方形；
若AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形．
故选D．
因为AD∥BC，AD=BC，所以四边形ABCD为平行四边形，添加①则可根据对角线相等的平行四边形是矩形，证明四边形是矩形，故可根据一组邻边相等的矩形是正方形来添加条件．
本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：
①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；
②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．
4.Cwww.21-cn-jy.com
解：∵正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA=3，
∴AB=BC，OA=OC，
∴AB=，
∴正方形的面积=，
故选C．
5.D2·1·c·n·j·y
解：四边形ABCD的形状是正方形，
理由如下：
∵AO=C0=BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵AO=C0=BO=DO，
∴AC=DB，
∴四边形ABCD是正方形，
故选D．
6.B【版权所有：21教育】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=8cm，OA=OC，
∵OE∥AB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE=AB=4cm，
故选B． 【来源：21cnj*y.co*m】
7. B
解：∵FP∥CD，
∴∠BPF=∠C=90°（同位角相等）；
在△BFP和△BDC中，
，
∴△BFP∽△BDC，
∴=，
同理，得=，
又∵AD=CD，
∴NF=FP，
∵∠BNF=∠BPF=90°，BF=BF，
∴△BNF≌△BPF，
∴S△BNF=S△BPF，
同理，求得多边形NFEM与多边形PFEQ的面积相等，多边形MEDA与多边形QEDC的面积相等， ∴图中阴影部分的面积是正方形ABCD面积的一半，即．
故选B
8. B
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，
∵AE=BF=CG=DH，
∴AH=BE=CF=DG．
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，
，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠BEF+∠AEH=90°，
∴∠HEF=90°，
∴四边形EFGH是正方形，
∵AB=BC=CD=DA=8，AE=BF=CG=DH=5，
∴EH=FE=GF=GH==，
∴四边形EFGH的面积是：×=34，
故选B．
9.A
解：∵E是正方形ABCD对角线AC上一点，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∵EF⊥AB，EG⊥BC，F、G是垂足，
∴EG=CG，EF=AF，
∵正方形ABCD周长为a，
∴BC=，
∴EF+EG等于，
故选A．
10. C.
解：在正方形中，对角线相等，所以正方形ABCD的对角线长均为2，
∵正方形又是菱形，
菱形的面积计算公式是S=ab（a、b是正方形对角线长度）
∴S=××=6， 故选 C．
二、填空题。21·cn·jy·com
11.
解：如图，连接MN，延长AM、BC交于点G，MN与CD交于点H，作NK⊥BC于K．
∵四边形ABCD是正方形，DF=2．CF=3，
∴AD∥BG，AD=BC=CD=5，
∴==，
∴CG=，
∵四边形ENCM是正方形，
∴NH=HM=CH=EH，MN⊥EC，设CH=x，
∴MH∥CG，
∴=，
∴=，
∴x=，
在RT△BNK中，∵∠BKN=90°，NK=CH=，BK=BC-CK=，
∴BN===．
故答案为．
12.解：∵四边形ABCD、EFGH均为正方形，
∴∠A=∠B=90°，∠EFG=90°，EF=FG．
∵∠AFE+∠BFG=90°，∠BFG+∠BGF=90°，
∴∠AFE=∠BGF．
在△AFE和△BGF中，，
∴△AFE≌△BGF（AAS），
∴BF=AE=1．
∵正方形ABCD的面积为16，
∴AB=4，AF=AB-BF=3．
同理可证出△AFE≌△BGF≌△CHG≌△DEH．
∴S正方形EFGH=S正方形ABCD-4S△AFE=16-4××1×3=10．
故答案为：10．
13.解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，∠ACB=45°，
由折叠的性质得：∠AEM=∠B=90°，
∴∠CEM=90°，
∴∠CME=90°-45°=45°；
故答案为：45°．
14. 解：当△ABC满足条件∠ABC=90°，四边形DEBF是正方形．
理由：∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形DEBF是平行四边形
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠EBD=∠FBD，
又∵DE∥BC，
∴∠FBD=∠EDB，
则∠EBD=∠EDB，
∴BE=DE．
故平行四边形DEBF是菱形，
当∠ABC=90°时，
菱形DEBF是正方形．
故答案为：∠ABC=90°．
15.解：根据题意得点M到正方形各顶点的距离都为2，点M所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以2为半径的四个扇形，
∴点P所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD的面积减去4个扇形的面积．
∵正方形ABCD的面积为4×4=16，4个扇形的面积为4×=4π，
∴点P所经过的路线围成的图形的面积为16-4π．
故答案为16-4π．
16. 解：连接AE，
∵四边形ABCD、APEF是正方形，
∴A、E、C共线，
①当CD=CE=时，AE=AC-EC=2-，
∴AP=AE=-1②当ED=EC时，∠DEC=90°，∠EDC=∠ECD=45°，EC=CD=1，
∴AE=AC-EC=1，
∴AP=AE=．
∴当△CDE为等腰三角形时，AP=-1或．
故答案为或． 21教育名师原创作品
解答题。
17.证明：（1）如图1所示：连结PB．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°．
∵在△CBP和△CDP中，，
∴△CBP≌△CDP．
∴DP=BP．
∵PE⊥AB，PF⊥BC，∠B=90°
∴四边形BFPE是矩形．
∴BP=EF．
∴DP=EF．
（2）DP⊥EF．
理由：如图2所示：延长DP交EF于G，延长EP交CD于H，连接PB．
∵△CBP≌△CDP，
∴∠CDP=∠CBP．
∵四边形BFPE是矩形，
∴∠CBP=∠FEP．
∴∠CDP=∠FEP．
又∵∠EPG=∠DPH．
∴∠EGP=∠DHP．
∵PE⊥AB，AB∥DC
∴PH⊥DC．即∠DHP=90°．
∴∠EGP=∠DHP=90°
∴PG⊥EF，即DP⊥EF．
18.解：（1）根据正方形的对称性，正方形ABCD关于直线AC成轴对称，
所以，全等的三角形有：△ADC≌△ABC，△ADE≌△ABE，△DCE≌△BCE；
（2）∵∠DEB=140°，
∴∠BEC=∠DEB=×140°=70°，
又∵正方形对角线AC平分∠BCD，
∴∠ACB=45°，
在△BCE中，∠CBE=180°-∠BEC-∠ACB=180°-70°-45°=65°，
∵AD∥BC，
∴∠AFE=∠CBE=65°．
19.解：如图，连接DF、CF均可得出与AE相等．
证明：∵ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠DAF=∠ABE，
∵F为中点，BE=BC，
∴AF=BE，
∴△ADF≌△BAF，
∴DF=AE．
同理可得CF=AE．
20.解：（1）四边形PCOB是菱形；理由如下：
∵PB∥AC，PC∥BD，
∴四边形PCOB为平行四边形，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OBOD，OA=OC，AC=BD，
∴OB=OC，
∴四边形PCOB为菱形（有一组邻边相等的平行四边形为菱形）；
（2）当AC⊥BD时，四边形PCOB是正方形；理由如下：
∵四边形PCOB为菱形，AC⊥BD，
∴四边形PCOB为正方形（有一个角为90°的菱形为正方形）．
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北师大版九年级上册
第三节：正方形的性质与判定
第一章：特殊平行四边形
第一课时
正方形的性质
复习回顾:
(1)平行四边形的对边__________,对角_____,
对角线________.
(2)菱形的四边_______,对边_____,对角______,
对角线___________________,且每一组对角线平分一组对角.
(3)矩形的对边__________,对角_____,
对角线_______________.
平行且相等
互相平分且相等
相等
互相平分且互相垂直
平行且相等
互相平分
平行
相等
相等
相等
问题:
从这个图形中你能得到什么？
你是怎样想到的？
┓
90°
当 =90°时,这个四边形还是菱形,但它是特殊的菱形是一个内角为直角的菱形也是正方形.
探究新知
探究新知
定义1.有一个角是直角的菱形叫做正方形。
┓
90°
正方形还可以怎样定义呢？
探究新知
定义2.邻边相等的矩形叫做正方形。
边相等
有一组邻
正方形在生活中随处可见，你能举出一些生活中正方形的例子吗？与同伴交流。
探究新知
如何在平行四边形的基础上定义正方形呢？
平行四边形
正方形
一组邻边相等
一内角是直角
定义3.有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
正方形具有工整,匀称,美观等许多优点,常被人们用在图案和工艺品设计上.
平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系
平行四边形
矩形
菱形
正方形
正方形是矩形吗？正方形是菱形吗？
正方形既是矩形，也是菱形，它具有矩形和菱形的所有性质。
想一想
O
A
B
C
D
(A)
(B)
(D)
探究新知
正方形的性质=菱形的性质+矩形性质
边：
对边平行
四边相等
角：
四个角都是直角
对角线：
相等
互相垂直平分
每条对角线平分一组对角
图形的对称性：
既是轴对称图形，又是中心对称图形.
已知：正方形ABCD，
求证:AB=BC=CD=AD ,∠A=∠B=∠C=∠D.
证明:∵四边形ABCD是正方形
∴四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=AD ,
∵四边形ABCD是正方形
∴四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=∠C=∠D.
证明定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等。
分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证.
证明定理：正方形的对角线相等且互相垂直.
证明：∵ABCD是正方形,
∴AB=CD,∠ABC=∠DCB,
∵BC=BC.
∴ΔABC≌ΔDCB,
∴AC=BD.
∵OB=OD,AB=AD,OA=OA,
∴ΔAOB≌ΔAOD,
∴∠AOB=∠AOD,
又∠AOB+∠AOD=90°,
∴∠AOB=90°,
∴AC⊥BD,
即对角线互相垂直且相等.
已知ABCD是正方形，AC、BD分别是正方形的两条对角线，且交于点O，求证：AC=BD，AC⊥BD.
例题讲解
例1．正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O，且AB＝2cm，则AC=_______.
解析：∵四边形ABCD是正方形
∴BC=AB=2,∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，
例2.已知正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AC=10,P是AB上一点,PE⊥AC于E，PF⊥BD于F,则PE+PF=______________.
P
A
B
C
D
E
F
O
分析：由正方形的性质可推理出PE=AE，PF=OE，PE＋PF＝OA.
解：∵ABCD是正方形
∴AO= AC=5 ,∠BAC=45°,AC⊥BD 又∵PE⊥AC, PF⊥BD
∴四边形PEOF为矩形
∴PF=OE
在△APE中,∠PAE=45°
∴AE=PE
∴PE+PF=AE+OE=AO=5.
5
例3：如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
分析：(1)由正方形的性质得到∠BCD=∠DCF=90°，BC=CD，结合CE=CF，可证△BCE≌△DCF，从而有BE=CF;
(2)延长BE交DE于点M,由全等可知∠CBE=∠CDF，借助等量代换得到∠BMF=90°，从而有BE⊥CF.
（1）∵四边形ABCD是正方形.
∴BC=DC,∠BCE=90°
∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.
∴∠BCE=∠DCF.
又∵CE=CF.
∴△BCE≌△DCF.
∴BE=DF.
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
(2)如图，延长BE交DE于点M，
∵△BCE≌△DCF.
∴∠CBE=∠CDF.
∵∠DCF=90°.
∴∠CDF+∠F=90°.
∴∠CBE+∠F=90°.
∴∠BMF=90°.
∴BE⊥DF.
巩固练习
1.判断题：
（1）四个角都相等的四边形是正方形. （ ）
(2)四条边都相等的四边形是正方形. （ ）
（3）对角线相等的菱形是正方形. ( )
(4)对角线互相垂直的矩形是正方形. （ ）
（5）对角线垂直相等的四边形是正方形. ( )
(6)四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形. ( )
×
×
√
√
×
√
3.正方形ABCD中，M为AD中点，ME⊥BD于E，MF⊥AC于F,若ME+MF =8cm，则AC=________.
30°
16cm
2.以正方形ABCD的一边DC向外作等边△DCE,则∠AEB=_____.
E
A
B
C
D
M
A
B
C
D
E
F
O
解∵四边形ABCD是正方形,△CDE是等边三角形
∴∠BCE=90+60=150°,CB=CE
∴∠CEB=15°
同理∠AED=15°
∴∠AEB=60-15-15=30°
提示：AC=2OA=2(ME+MF)=16cm.
1.如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F。试说明：AP=EF
A
B
C
D
P
E
F
解：连接PC
∵PE⊥BC ， PF⊥DC
而四边形ABCD是正方形
∴∠FCE=90°
∴四边形PECF是矩形
∴PC=EF
又∵四边形BAPC是以BD为轴的轴对称图形
∴AP=PC
∴AP=EF
巩固提高
2.正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，且CE=AC, AE交DC于点F,试求∠E, ∠AFC的度数
解：
∵正方形ABCD的四个角均为直角，且对角线平分一组对角
∵CE=AC
∴∠E=∠CAE
∵∠ACB是⊿ACE的一个外角
∴∠ACB=∠E+∠CAE=2∠E
∵∠AFC是⊿CEF的一个外角
∴∠AFC=∠E+∠FCE=22.5°+90°=112.5°
∴∠E=22.5°, ∠AFC=112.5°
j
F
E
A
B
D
C
平行四边形
菱形
矩形
正方形
一组邻边相等
有一个角是直角
有一个角是直角
一组邻边相等
正方形既是菱形，又是矩形，因此正方形有下列性质：
4.正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组中点的直线都是它的对称轴.
1.正方形的四条边都相等，四个角都是直角
2.正方形的对角线相等，且互相垂直平分；每条对角线平分一组对角．
3.正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
课堂总结
课后作业
1.习题1.7：知识技能第2，3两题
2.预习第二课时.
第二课时
正方形的判定
（1）有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；
（2）有一个角是直角的菱形是正方形；
（3）有一组邻边相等的矩形是正方形.
2.正方形的性质
1.正方形的定义
激 趣 导 入
复习引入
边
角
对角线
正方形的对边平行且相等，四条边相等
正方形的四个角都是直角
正方形的 两条对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角
将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？
创设情境
满足什么条件的矩形是正方形，什么条件的菱形是正方形,什么条件的平行四边形是正方形
你能从这个变化过程中总结出正方形的判定方法吗？
有一组邻边相等
满足什么条件的矩形是正方形？
操作1.你能否利用手中的矩形白纸裁出一个正方形呢？请你与同学交流一下，你能说说矩形与正方形的关系吗？
总结：矩形+（ ）=正方形
1.有一组邻边相等的矩形是正方形.
2.对角线互相垂直的矩形是正方形.
探究1
或对角线互相垂直
有一组邻边相等的矩形是正方形.
∵在矩形ABCD中，AB=AD
∴矩形四边形ABCD是正方形
正方形的判定：矩形法
几何语言：
对角线互相垂直的矩形是正方形.
几何语言：
∵在矩形ABCD中，AC⊥BD
∴矩形四边形ABCD是正方形
3.有一个角是直角的菱形是正方形.
4.对角线相等的菱形是正方形.
有一个角是直角
操作2 .你能否利用手中的可以活动的菱形模型变成一个正方形吗？如何变？
总结：菱形+（ ）=正方形
你能从这个变化过程中总结出正方形的判定方法吗？
探究2
满足什么条件的菱形是正方形？
或对角线相等
有一个角是直角的菱形是正方形.
∵在菱形ABCD中，∠BAC=90°
∴菱形四边形ABCD是正方形
正方形的判定：菱形法
几何语言：
对角线相等的菱形是正方形.
几何语言：
∵在菱形ABCD中，AC=BD
∴菱形四边形ABCD是正方形
边相等
有一组邻
是直角
有一个角
满足什么条件的平行四边形是正方形？
边相等
有一组邻
是直角
有一个角
探究3
相等
对角线
垂直
对角线
垂直
对角线
相等
对角线
（ ）+ （ ）+平行四边形=正方形。
你能从这个变化过程中总结出正方形的判定方法吗？
5.有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.
6.对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形.
有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.
∵在平行四边形ABCD中，∠A=90°，AB=AD
∴平行四边形ABCD是正方形
正方形的判定：定义法
几何语言：
对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形.
∵在平行四边形ABCD中，AC=BD，AC⊥BD
∴平行四边形ABCD是正方形
几何语言：
探究4
（1）四条边相等，四个角都是直角
（2）对角线互相垂直、平分且相等
满足什么条件的四边形是正方形？
既是菱形又是矩形的四边形是正方形.
正方形常用的判定方法：
1.有一组邻边相等的矩形是正方形.
2.对角线互相垂直的矩形是正方形.
3.有一个角是直角的菱形是正方形.
4.对角线相等的菱形是正方形.
5.有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.
6.对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形.
7.既是菱形又是矩形的四边形是正方形.
例1.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正 方形的是（ ）
A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD B．AD∥BC ∠A＝∠C
C．AO＝CO BO＝DO AB＝BC
D．AC＝BD
解析：由正方形的判定，对角线互相平分且相等，互相垂直的四边形是正方形，故选A.
A
例题讲解
例2.如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是__________________．
分析：由AB=BC=CD=DA，得到四边形ABCD是菱形，要使菱形ABCD是正方形，根据正方形的判定，则只需AC=BD.
AC=BD
例3. 已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF//CE，CF//BE，求证：四边形BECF是正方形.
分析：先由BF∥CE，CF∥BE得出四边形
BECF是平行四边形，又因为∠BEC=90°得
出四边形BECF是矩形，BE=CE邻边相等的
矩形是正方形．
证明：∵BF∥CE，CF∥BE
∴四边形BECF是平行四边形，
又∵在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB
∴∠EBA=∠ECB=45°
∴∠BEC=90°，BE=CE
∴四边形BECF是正方形．
巩固练习
1.已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A.∠D=90° B.AB=CD C.AD=BC D.BC=CD
2.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使 ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（ ）
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
由∠A=∠B=∠C=90°可判定为矩形，因此再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形，故选D．
D
B
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，当△ABC满足条件 ______ 时，四边形DECF是正方形．（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）
解：设AC=BC，即△ABC为等腰直角三角形，
∵∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，
∴∠C=∠CED=∠EDF=∠DFC=90°，
DF= AC=CE，，DE= BC=CF，
∴DF=CE=DE=CF，
∴四边形DECF是正方形，
故答案为：AC=BC．
AC=BC
4.如图，在矩形ABCD中，∠ABC的角平分线交对角线AC于点M，ME⊥AB，MF⊥BC，垂足分别是E，F．判定四边形EBFM的形状，并证明你的结论．
首先证得四边形EBFM为矩形，再进一步利用角平分线的性质得出ME=MF，证得结论成立即可．
此题考查正方形的判定，矩形的性质以及角平分线的性质，结合图形，利用已知条件灵活解决问题．
解：四边形EBFM是正方形．理由如下：
∵矩形ABCD，
∴∠ABC=90°，
∵MF⊥BC，ME⊥AB，
∴∠BFM=∠MEB=90°，
∵∠ABC=∠BFM=∠MEB=90°，
∴四边形EBFM为矩形，
∵BM平分∠ABC，
∴ME=MF，
∴四边形EBFM为正方形
拓展提高
已知D、E、F、G分别是四边形AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形DEFG四平行四边形。
证明：如图，连接BD
∵D、G分别是AB、AD的中点
∴DG是△ABD的中位线
∴DG//BD,
∵E、F分别是BC、CD的中点
∴EF是△BCD的中位线
∴EF//BD,
∴DG=EF,DG//EF
∴四边形DEFG是平行四边形.
若四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？
平行四边形
矩形
菱形
正方形
等腰梯形
直角梯形
梯形
原四边形可以是：
特殊四边形的中点四边形：
平行四边形的中点四边形是平行四边形
菱形的中点四边形是矩形
矩形的中点四边形是菱形
正方形的中点四边形是正方形
等腰梯形的中点四边形是菱形
直角梯形的中点四边形是平行四边形
梯形的中点四边形是平行四边形
特殊四边形的中点四边形：
归纳：
特殊四边形的中点四边形：
◆平行四边形的中点四边形是平行四边形
◆矩形的中点四边形是菱形
◆菱形的中点四边形是矩形
◆正方形的中点四边形是正方形
◆等腰梯形的中点四边形是菱形
◆直角梯形的中点四边形是平行四边形
◆梯形的中点四边形是平行四边形
对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形
对角线相等的四边形的中点四边形是菱形
对角线既相等又垂直的四边形的中点四边形是正方形
对角线既不相等又不垂直的四边形的中点四边形是平行四边形
归纳：
一般四边形的中点四边形：
决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系
原四边形对角线关系 不相等、不垂直 相等 垂直 相等且垂直
所得中点四边形形状
平行四边形
菱形
矩形
正方形
课堂总结
正方形常用的判定方法：
1.有一组邻边相等的矩形是正方形.
2.对角线互相垂直的矩形是正方形.
3.有一个角是直角的菱形是正方形.
4.对角线相等的菱形是正方形.
5.有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.
6.对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形.
课后作业
习题1.8：知识技能第2，3两题
谢谢观赏
