8.2 重力势能------ 2025--2026学年人教版2019必修第二册（含答案）
文档属性
| 名称 | 8.2 重力势能------ 2025--2026学年人教版2019必修第二册（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（2019） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2026-03-08 00:00:00 | ||
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文档简介
专题8.2 重力势能
【人教版】
【题型1 重力势能定性分析】
【题型2 重力做功问题】
【题型3 重力势能变化问题定性分析】
【题型4 重力势能变化问题定量运算】
【题型5 等效法应用】
【题型6 弹性势能】
【题型7 弹性势能变化问题】
【题型8 联系实际】
【题型1 重力势能】
【例1】甲、乙两个可视为质点的物体的位置如图所示，甲在桌面上，乙在地面上，质量关系为m甲A．Ep1>Ep2 B．Ep1【变式1-1】若规定无穷远处物体的重力势能为零，则质量为m的物体对应重力势能的表达式为，r为物体离地心的距离，M为地球质量，G为万有引力常量．则一质量为m、离地面的高度为R（R为地球半径）的人造卫星，运行时的总机械能为（将人造卫星绕地球的运动看成匀速圆周运动，地表重力加速度为g）( )
A. B. C. D.
【变式1-2】如图所示，是人们用打“夯”的方式把松散的地面夯实的情景。假设两人同时通过绳子对质量为m的重物各施加一个力，大小均为F，方向都与竖直方向成α，重物离开地面h后两人同时停止施力，最后重物下落把地面砸深x。重力加速度为g。求：
(1)停止施力前重物上升过程中加速度大小a；
(2)以地面为零势能面，重物具有重力势能的最大值Epm；
(3)重物砸入地面过程中，对地面的平均冲击力大小。
【变式1-3】如图所示，一根绳的两端分别固定在两座猴山的A、B处，A、B两点水平距离为16m，竖直距离为2m，A、B间绳长20m。质量为10kg的猴子抓住套在绳上的滑环从A处滑到B处。以A点所在水平面为参考平面，猴子在滑行过程中重力势能的最小值约为（绳处于拉直状态）（ ）
A． B． C． D．
【题型2 重力做功问题】
【例2】如图所示，质量为m的小球A沿高度为h、倾角为θ的光滑斜面由静止滑下，另一质量与A相同的小球B自相同高度同时由静止落下。下列说法正确的是（ ）
A．从静止到最终到达地面，重力对两球做的功相等
B．落地前的瞬间A球的速度与B球的速度相同
C．两球重力的平均功率相等
D．两球落地时重力的瞬时功率相等
【变式2-1】（多选）如图所示，某人把一个质量的小球从高处以角斜向上抛出，初速度，不计空气阻力，重力加速度，取地面为零势能面。则下列说法正确的是（ ）
A．抛出过程中，人对小球做的功是
B．小球落地时速度大小为
C．小球抛出后会继续上升，故从抛出到落地过程中重力对小球所做的功大于
D．小球到达最高点的重力势能为
【变式2-2】(多选)内径面积为S的U形圆筒竖直放在水平面上，筒内装水，底部阀门K关闭时两侧水面高度分别为h1和h2，如图所示。已知水的密度为ρ，不计水与筒壁的摩擦阻力。现把连接两筒的阀门K打开，当两筒水面高度相等时，则该过程中( )
A．水柱的重力做正功
B．大气压力对水柱做负功
C．水柱的机械能守恒
D．当两筒水面高度相等时，水柱的动能是ρgS(h1－h2)2
【变式2-3】某游客领着孩子游泰山时，孩子不小心将手中的皮球滑落，球从A点经C点滚到了山脚下的B点，高度标记如图所示。已知皮球质量为m，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．从A到B的曲线轨迹长度不知道，无法求出此过程中重力做的功
B．从A到B过程中阻力大小不知道，无法求出此过程中重力做的功
C．从A到B过程中重力做功为mg（H+h）
D．从A到C过程中重力做功为mg（H-h）
【题型3 重力势能变化定性分析】
【例3】如图所示为小明同学在体育测试中“原地掷实心球”的场景，则球（ ）
A．在空中飞行时不受重力作用
B．在地面上滚动时受到的重力和摩擦力是一对平衡力
C．在飞行过程中，若所受外力突然消失，球将做匀速直线运动
D．在飞行过程中，重力势能不断增大
【变式3-1】如图所示，同一质量为的物块分别沿三条不同的轨道由A点滑到同一水平面上，其中轨道1是粗糙的，轨道2、3是光滑的，A离地面的竖直高度为。下列说法正确的是（ ）
A．沿轨道1下滑重力做功最多
B．沿轨道2下滑重力做功等于
C．沿轨道3下滑重力势能改变量为mgH
D．沿三条轨道下滑重力势能改变量都为
【变式3-2】一质量为5kg的物块，在竖直方向的拉力作用下运动的图象如图所示（向上为运动的正方向），取，下列说法正确的是（ ）
A．前6s内，物块的重力势能一直增加 B．第3s内，物块的重力势能不变
C．第1s末物块的动能为45J D．前6s内，物块动能增量为10J
【变式3-3】（多选）用长度均为L的细线把小球A和小球B悬挂起来，二者静止时的状态如图所示。今对小球A加一水平向左的恒力F1，对小球B加一水平向右的恒力F2，且F1=F2，物体在运动过程中和空气之间由于摩擦而生热，最后两个小球再次静止不动。则当两个小球从最初静止状态到最后再次静止不动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．恒力F1对小球A做正功 B．恒力F2对小球B做正功
C．小球A和小球B的重力势能均增加 D．小球A的重力势能不变，小球B的重力势能增加
【题型4 重力势能变化定量运算】
【例4】关于重力势能，下列说法中正确的是( )
A.物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定
B.物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大
C.一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能减少了
D.重力势能的减少量等于重力对物体做的功
【变式4-1】一棵树上有一个质量为0.3 kg的熟透了的苹果P，该苹果从树上与A等高处先落到地面C最后滚入沟底D。已知AC、CD的高度差分别为2.2 m和3 m，以地面C为零势能参考平面，A、B、C、D、E面之间竖直距离如图所示。算出该苹果从A落下到D的过程中重力势能的减少量和在D处的重力势能分别是(g取10 m/s2)( )
A．15.6 J和9 J B．9 J和－9 J
C．15.6 J和－9 J D．15.6 J和－15.6 J
【变式4-2】(多选) 长征途中，为了突破敌方关隘，战士爬上陡峭的山头，居高临下向敌方工事内投掷手榴弹。战士在同一位置先后投出甲、乙两颗质量均为m的手榴弹。手榴弹从投出的位置到落地点的高度差为h，在空中的运动可视为平抛运动，轨迹如图所示，重力加速度为g，下列说法正确的有( )
A．甲在空中的运动时间比乙的长
B．两手榴弹在落地前瞬间，重力的功率相等
C．从投出到落地，每颗手榴弹的重力势能减少mgh
D．从投出到落地，每颗手榴弹的机械能变化量为mgh
【变式4-3】跳伞运动非常惊险，被世人誉为“勇敢者的运动”。假设质量为m的跳伞运动员由静止开始下落，在打开伞之前受恒定的阻力作用，下落的加速度为a，重力加速度为g，则在运动员竖直下落h的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．运动员的重力势能增加了mgh
B．运动员克服阻力所做的功为mah
C．合力对运动员做的功为
D．运动员的动能增加了mah
【题型5 等效法应用】
【例5】如图所示，粗细均匀，两端开口的U形管内装有同种液体、开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为( )
A． B． C． D．
【变式5-1】如图所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为α的足够长的光滑斜面，斜面体固定不动。AB、BC间用一小段光滑圆弧轨道相连。一条长为L的均匀柔软链条开始时静止的放在ABC面上，其一端D至B的距离为L－a。现自由释放链条，则：
(1)链条下滑过程中，系统的机械能是否守恒？简述理由；
(2)链条的D端滑到B点时，链条的速率为多大？
【变式5-2】如图所示，有一条长为L＝1 m的均匀金属链条，有一半长度在光滑的足够高的斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半长度竖直下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，则链条刚好全部滑出斜面时的速度为(g取10 m/s2)( )
A．2.5 m/s B． m/s
C． m/s D． m/s
【变式5-3】如图所示，长为L的均匀链条放在光滑水平桌面上，且使长度的垂在桌边，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为( )
A． B．
C． D．4
【题型6 弹性势能】
【例6】如图所示，粗糙斜面AB的倾角α=37°，AB与光滑的水平面BC平滑连接，在C处利用挡板固定一个水平轻弹簧，一个质量m=2kg的物体（可视为质点）自斜面上的A点由静止释放，经t=1s到达斜面底端B点时的速度大小v=2.0m/s，取sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g=10m/s2。求：
（1）A点距水平面的高度h。
（2）物体与斜面之间的动摩擦因数μ。
（3）在物体与弹簧第一次作用的过程中，弹簧具有的最大弹性势能EP。
【变式6-1】(多选)关于弹性势能，下列说法中正确的是( )
A.任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能
B.任何具有弹性势能的物体，一定发生了弹性形变
C.物体只要发生形变，就一定具有弹性势能
D.弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关
【变式6-2】如图所示，一轻质弹簧一端系在墙上的P点，另一端与质量为m的小物块相连，弹簧处于自然长度时物块位于O点（图中未标出）。现用水平向左的外力把物块压至A点，撤去外力后物块由静止向右运动，经过O点到达B点时速度恰好为零，已知物块与水平地面间的动摩擦因数恒定。在此过程中，下列说法正确的是（ ）
A．物块经过O点时所受合外力为零
B．物块经过O点时速度最大
C．物块在A、B点时，弹簧的弹性势能相等
D．物块从A到O速度先增加后减小，从O到B加速度一直增大
【变式6-3】如图所示，质量的物块放置在竖直固定的弹簧上方（未栓接），用力向下压物块至某一位置，然后由静止释放，取该位置为物块运动的起始位置，物块上升过程的图像如图所示，不计空气阻力，重力加速度。则下列说法正确的是（ ）
A．物块运动过程的最大加速度大小为 B．弹簧的劲度系数为
C．弹簧最大弹性势能为 D．物块加速度为0时离开弹簧
【题型7 弹性势能变化问题】
【例7】2020年2月15日，世界田联·2020室内巡回赛展开英国格拉斯哥站的角逐，在男子撑杆跳高决赛中，瑞典20岁帅哥阿曼德-杜普兰蒂斯又一次刷新了世界纪录，跃过6.18米的横杆。假设如图所示为运动员成功刷新世界纪录的惊人一跳，忽略空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．加速助跑过程中，运动员的动能增加
B．起跳上升过程中，杆的弹性势能一直增加
C．越过横杆的过程中，运动员的重心在横杆上方
D．越过横杆后下落过程，运动员一定做自由落体运动
【变式7-1】（多选）如图所示为一根弹簧的弹力F—伸长量x图线，关于弹簧伸长的过程中弹力做功和弹性势能的变化，下列说法正确的是（ ）
A．从弹簧原长到伸长量为10cm的过程中，弹力做功为200J
B．从弹簧原长到伸长量为10cm的过程中，弹性势能改变量为-200J
C．从伸长量为10cm到伸长量为20cm的过程中，克服弹力做功为3J
D．从伸长量为10cm到伸长量为20cm的过程中，弹性势能增加了3J
【变式7-2】如图所示，一轻弹簧一端固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点B的过程中（ ）
A．重力做正功，弹簧弹力不做功
B．重力做正功，弹簧弹力做正功
C．重力不做功，弹簧弹力不做功，弹性势能不变
D．重力做正功，弹簧弹力做负功，弹性势能增加
【变式7-3】图甲是玩家玩“蹦极”游戏的真实照片。玩家将一根长为的弹性绳子的一端系在身上，另一端固定在高处，然后从高处跳下，图乙是玩家到达最低点时的情况，其中为弹性绳子的原长，C点是弹力等于重力的位置，D点是玩家所到达的最低点，对于玩家离开跳台至最低点的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．玩家A到B做自由落体运动，B到D做减速运动
B．玩家的重力势能先减小后增大
C．玩家A到B过程中，绳子的弹性势能为零，B到D过程弹性势能一直增大
D．玩家在D点受到的合力为零，处于平衡状态
【题型8 联系实际】
【例8】（多选）如图所示，对正在空中匀速上升的无人机分析，下列说法正确的是（ ）
A．重力做正功
B．重力做负功
C．重力势能减小
D．重力势能增加
【变式8-1】如图所示，载有防疫物资的无人驾驶小车，在水平MN段以恒定功率200W、速度5m/s匀速行驶，在斜坡PQ段以恒定功率570W、速度2m/s匀速行驶。已知小车总质量为50kg，MN＝PQ＝20m，PQ段的倾角为30°，重力加速度g取，不计空气阻力。下列说法错误的有（ ）
A．从M到N，小车牵引力大小为40N B．从M到N，小车克服摩擦力做功800J
C．从P到Q，小车重力势能增加 D．从P到Q，小车克服摩擦力做功700J
【变式8-2】如图所示，假设某跳高运动员质量为、身高为，在某次背越式跳高中跳过高的横杆而平落在垫子上，落垫时运动员的重心离地高度为。取，试估算：
（1）上升阶段运动员至少要克服重力做多少功？
（2）下降阶段重力做了多少功？
【变式8-3】（多选）灾害发生时，可以利用无人机运送救灾物资。图示为一架无人机向受灾人员运送急救物品救生圈，此时无人机正吊着救生圈竖直匀速下降接近目标。关于此过程，下列说法正确的是（ ）
A．救生圈的动能增加 B．救生圈的重力势能减少
C．救生圈的机械能保持不变 D．救生圈所受重力做正功
参考答案
【题型1 重力势能】
【例1】甲、乙两个可视为质点的物体的位置如图所示，甲在桌面上，乙在地面上，质量关系为m甲A．Ep1>Ep2 B．Ep1答案：A
解析：取桌面为零势能面，则
Ep1=0
物体乙，在桌面以下
Ep2<0
所以
Ep1>Ep2
故A正确，BCD错误。
【变式1-1】若规定无穷远处物体的重力势能为零，则质量为m的物体对应重力势能的表达式为，r为物体离地心的距离，M为地球质量，G为万有引力常量．则一质量为m、离地面的高度为R（R为地球半径）的人造卫星，运行时的总机械能为（将人造卫星绕地球的运动看成匀速圆周运动，地表重力加速度为g）( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：对卫星：，又，所求动能为，得；卫星的重力势能为，得卫星总机械能为．
【变式1-2】如图所示，是人们用打“夯”的方式把松散的地面夯实的情景。假设两人同时通过绳子对质量为m的重物各施加一个力，大小均为F，方向都与竖直方向成α，重物离开地面h后两人同时停止施力，最后重物下落把地面砸深x。重力加速度为g。求：
(1)停止施力前重物上升过程中加速度大小a；
(2)以地面为零势能面，重物具有重力势能的最大值Epm；
(3)重物砸入地面过程中，对地面的平均冲击力大小。
答案 (1) (2)2Fhcos α (3)＋mg
解析 (1)施力时重物所受的合力为F合＝2Fcos α－mg
则重物上升过程中加速度大小a＝＝。
(2)重物上升过程中由动能定理
2Fcos α·h－mgH＝0
以地面为零势能面，重物具有重力势能的最大值
Epm＝mgH＝2Fhcos α。
(3)重物砸入地面过程中由动能定理
mg(H＋x)－x＝0
解得＝＋mg。
【变式1-3】如图所示，一根绳的两端分别固定在两座猴山的A、B处，A、B两点水平距离为16m，竖直距离为2m，A、B间绳长20m。质量为10kg的猴子抓住套在绳上的滑环从A处滑到B处。以A点所在水平面为参考平面，猴子在滑行过程中重力势能的最小值约为（绳处于拉直状态）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】重力势能最小的点为最低点，此时两侧绳子与水平方向的夹角相等，假设为，设右侧绳长为 ，则 ，
解得
所以最低点距离参考平面的高度差为
猴子的重心比绳子最低点大约低0.5m，所以最低点猴子的重力势能约为
故B正确，ACD错误。
【题型2 重力做功问题】
【例2】如图所示，质量为m的小球A沿高度为h、倾角为θ的光滑斜面由静止滑下，另一质量与A相同的小球B自相同高度同时由静止落下。下列说法正确的是（ ）
A．从静止到最终到达地面，重力对两球做的功相等
B．落地前的瞬间A球的速度与B球的速度相同
C．两球重力的平均功率相等
D．两球落地时重力的瞬时功率相等
【答案】A
【解析】设A、B两球的加速度分别为aA、aB，从初位置到达地面所用时间分别为tA、tB，落地时重力的瞬时功率分别为PA、PB。A、B两球质量相同，所受重力相同，A、B从开始到最终落到地面，重力方向上的位移都为h，因此重力对两球所做的功都为mgh，A正确；
对小球A进行受力分析，得到小球A的加速度为gsinθ，小球A沿斜面方向的位移为，根据运动学公式
可求出A球到达斜面底部的速度大小
同理可求出B球落地的速度大小
A、B落地时速度大小相等，但速度方向不同，一个沿斜面向下，一个竖直向下，B错误。
两球均做初速度为零的匀变速直线运动，运动时间
两球落地速度大小相等，即相同，又由于
可得
整个过程中A、B所受重力做功相同，根据平均功率
可以得出B球重力的平均功率大于A球重力的平均功率，C错误；
落地时两球速度大小相等，重力的瞬时功率等于重力乘以重力方向上的分速度，则
D错误。
【变式2-1】（多选）如图所示，某人把一个质量的小球从高处以角斜向上抛出，初速度，不计空气阻力，重力加速度，取地面为零势能面。则下列说法正确的是（ ）
A．抛出过程中，人对小球做的功是
B．小球落地时速度大小为
C．小球抛出后会继续上升，故从抛出到落地过程中重力对小球所做的功大于
D．小球到达最高点的重力势能为
【答案】AB
【解析】抛出过程中，根据动能定理可知人对小球做的功为
A正确；从抛出到落到过程，根据动能定理可得 解得小球落地时速度大小为 B正确；重力做功与路径无关，从抛出到落地过程中重力对小球所做的功 C错误；小球抛出后上升的最大高度为 小球到达最高点的重力势能为
D错误。
【变式2-2】(多选)内径面积为S的U形圆筒竖直放在水平面上，筒内装水，底部阀门K关闭时两侧水面高度分别为h1和h2，如图所示。已知水的密度为ρ，不计水与筒壁的摩擦阻力。现把连接两筒的阀门K打开，当两筒水面高度相等时，则该过程中( )
A．水柱的重力做正功
B．大气压力对水柱做负功
C．水柱的机械能守恒
D．当两筒水面高度相等时，水柱的动能是ρgS(h1－h2)2
[解析] 把连接两筒的阀门打开到两筒水面高度相等的过程中大气压力对左筒水面做正功，对右筒水面做负功，抵消为零。水柱的机械能守恒，重力做功等于重力势能的减少量，等于水柱增加的动能，等效于把左管高的水柱移至右管，如图中的斜线所示，重心下降，重力所做正功：WG＝ρgS·＝ρgS(h1－h2)2，故A、C、D正确，B错误。
[答案] ACD
【变式2-3】某游客领着孩子游泰山时，孩子不小心将手中的皮球滑落，球从A点经C点滚到了山脚下的B点，高度标记如图所示。已知皮球质量为m，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．从A到B的曲线轨迹长度不知道，无法求出此过程中重力做的功
B．从A到B过程中阻力大小不知道，无法求出此过程中重力做的功
C．从A到B过程中重力做功为mg（H+h）
D．从A到C过程中重力做功为mg（H-h）
【答案】D
【解析】重力做功与物体的运动路径无关，只与物体初、末位置的高度差有关，从A到B的高度差是H，故从A到B过程中重力做功为mgH，故ABC错误；
从A到C的高度差是（H-h），故从A到C过程中重力做功为mg（H-h），故D正确。
【题型3 重力势能变化定性分析】
【例3】如图所示为小明同学在体育测试中“原地掷实心球”的场景，则球（ ）
A．在空中飞行时不受重力作用
B．在地面上滚动时受到的重力和摩擦力是一对平衡力
C．在飞行过程中，若所受外力突然消失，球将做匀速直线运动
D．在飞行过程中，重力势能不断增大
【答案】C
【解析】在空中飞行时受重力作用，A错误；
在地面上滚动时受到的重力竖直向下，摩擦力沿水平方向，与相对运动方向相反，所以不是一对平衡力，B错误；
在飞行过程中，若所受外力突然消失，由于惯性，球将做匀速直线运动，C正确；
在飞行过程中，重力做正功，重力势能不断减小，D错误。
【变式3-1】如图所示，同一质量为的物块分别沿三条不同的轨道由A点滑到同一水平面上，其中轨道1是粗糙的，轨道2、3是光滑的，A离地面的竖直高度为。下列说法正确的是（ ）
A．沿轨道1下滑重力做功最多
B．沿轨道2下滑重力做功等于
C．沿轨道3下滑重力势能改变量为mgH
D．沿三条轨道下滑重力势能改变量都为
【答案】D
【解析】AB．物块分别沿三条不同的轨道由A点滑到同一水平面上，三条不同的轨道高度相同，重力做功都是
所以物块沿三条不同轨道滑下重力做的功一样多，AB错误；
CD．由重力做正功等于物体重力势能的减少，因此重力势能的改变量为
则有沿三条轨道下滑重力势能改变量都为，C错误，D正确。
【变式3-2】一质量为5kg的物块，在竖直方向的拉力作用下运动的图象如图所示（向上为运动的正方向），取，下列说法正确的是（ ）
A．前6s内，物块的重力势能一直增加 B．第3s内，物块的重力势能不变
C．第1s末物块的动能为45J D．前6s内，物块动能增量为10J
【答案】A
【解析】前6s内，物体一直向上运动，所以重力势能一直增加，故A正确；前3s内，物体向上运动，所以重力势能一直增加，故B错误；第1s末物块的速度为3m/s，所以动能 故C错误；前6s内，物块动能增量为
故D错误。
【变式3-3】（多选）用长度均为L的细线把小球A和小球B悬挂起来，二者静止时的状态如图所示。今对小球A加一水平向左的恒力F1，对小球B加一水平向右的恒力F2，且F1=F2，物体在运动过程中和空气之间由于摩擦而生热，最后两个小球再次静止不动。则当两个小球从最初静止状态到最后再次静止不动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．恒力F1对小球A做正功 B．恒力F2对小球B做正功
C．小球A和小球B的重力势能均增加 D．小球A的重力势能不变，小球B的重力势能增加
【答案】BD
【解析】因为F1=F2，把AB看成整体，水平方向F1、F2平衡，则竖直方向对A向上的拉力与AB的重力平衡，所以A不动，B向右偏离原位置，所以恒力F1对小球A不做功，恒力F2对小球B做正功；故A错误，B正确；A的位置不动，所以小球A的重力势能不变，小球B向右上方偏，小球B的势能增加，故C错误，D正确。
【题型4 重力势能变化定量运算】
【例4】关于重力势能，下列说法中正确的是( )
A.物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定
B.物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大
C.一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能减少了
D.重力势能的减少量等于重力对物体做的功
答案 D
【变式4-1】一棵树上有一个质量为0.3 kg的熟透了的苹果P，该苹果从树上与A等高处先落到地面C最后滚入沟底D。已知AC、CD的高度差分别为2.2 m和3 m，以地面C为零势能参考平面，A、B、C、D、E面之间竖直距离如图所示。算出该苹果从A落下到D的过程中重力势能的减少量和在D处的重力势能分别是(g取10 m/s2)( )
A．15.6 J和9 J B．9 J和－9 J
C．15.6 J和－9 J D．15.6 J和－15.6 J
解析：选C 以地面C为零势能面，根据重力势能的计算公式得D处的重力势能Ep＝mgh＝－9 J，从A下落到D的过程中重力势能的减少量ΔEp＝mgΔh＝15.6 J，C正确。
【变式4-2】(多选) 长征途中，为了突破敌方关隘，战士爬上陡峭的山头，居高临下向敌方工事内投掷手榴弹。战士在同一位置先后投出甲、乙两颗质量均为m的手榴弹。手榴弹从投出的位置到落地点的高度差为h，在空中的运动可视为平抛运动，轨迹如图所示，重力加速度为g，下列说法正确的有( )
A．甲在空中的运动时间比乙的长
B．两手榴弹在落地前瞬间，重力的功率相等
C．从投出到落地，每颗手榴弹的重力势能减少mgh
D．从投出到落地，每颗手榴弹的机械能变化量为mgh
解析：选BC 甲、乙两颗手榴弹竖直方向下落的高度相同，由平抛运动的特点可知，它们的运动时间相等，A错误。落地前瞬间，PG＝mgvy＝mg2t，由于运动时间相等，故重力的瞬时功率相等，B正确。从投出到落地，重力做功为mgh，故重力势能减少mgh，C正确。从投出到落地过程中只有重力做功，手榴弹的机械能守恒，D错误。
【变式4-3】跳伞运动非常惊险，被世人誉为“勇敢者的运动”。假设质量为m的跳伞运动员由静止开始下落，在打开伞之前受恒定的阻力作用，下落的加速度为a，重力加速度为g，则在运动员竖直下落h的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．运动员的重力势能增加了mgh
B．运动员克服阻力所做的功为mah
C．合力对运动员做的功为
D．运动员的动能增加了mah
答案：D
解析：运动员的重力势能减小了mgh，选项A错误；
根据牛顿第二定律
运动员克服阻力所做的功为
Wf=fh=(mg-ma)h
选项B错误；
合力对运动员做的功为，根据动能定理可知，运动员的动能增加了mah，选项C错误，D正确。
故选D。
【题型5 等效法应用】
【例5】如图所示，粗细均匀，两端开口的U形管内装有同种液体、开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为( )
A． B． C． D．
解析：选A 当两液面高度相等时，减少的重力势能转化为整个液体的动能，如图所示，根据功能关系有mg·h＝mv2，解得：v＝ ，故A正确。
【变式5-1】如图所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为α的足够长的光滑斜面，斜面体固定不动。AB、BC间用一小段光滑圆弧轨道相连。一条长为L的均匀柔软链条开始时静止的放在ABC面上，其一端D至B的距离为L－a。现自由释放链条，则：
(1)链条下滑过程中，系统的机械能是否守恒？简述理由；
(2)链条的D端滑到B点时，链条的速率为多大？
解析：(1)链条在下滑过程中机械能守恒，因为斜面BC和水平面AB均光滑，链条下滑时只有重力做功，符合机械能守恒的条件。
(2)设链条质量为m，可以认为始、末状态的重力势能变化是由L－a段下降引起的，
高度减少量h＝sin α＝sin α
该部分的质量为m′＝(L－a)
由机械能守恒定律可得：(L－a)gh＝mv2，
可解得：v＝ 。
答案：(1)守恒 理由见解析 (2)
【变式5-2】如图所示，有一条长为L＝1 m的均匀金属链条，有一半长度在光滑的足够高的斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半长度竖直下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，则链条刚好全部滑出斜面时的速度为(g取10 m/s2)( )
A．2.5 m/s B． m/s
C． m/s D． m/s
[解析] 设链条的质量为2m，以开始时链条的最高点为零势能面，链条的机械能为E＝Ep＋Ek＝－×2mg·sin 30°－×2mg·＋0＝－ mgL，链条全部下滑出后，动能为Ek′＝×2mv2，重力势能为Ep′＝－2mg·，由机械能守恒可得E＝Ek′＋Ep′，即－mgL＝mv2－mgL，解得v＝2.5 m/s，故A正确，B、C、D错误。
[答案] A
【变式5-3】如图所示，长为L的均匀链条放在光滑水平桌面上，且使长度的垂在桌边，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为( )
A． B．
C． D．4
解析：选C 由机械能守恒定律ΔEp减＝ΔEk增，
即mg＝mv2，所以v＝。
【题型6 弹性势能】
【例6】如图所示，粗糙斜面AB的倾角α=37°，AB与光滑的水平面BC平滑连接，在C处利用挡板固定一个水平轻弹簧，一个质量m=2kg的物体（可视为质点）自斜面上的A点由静止释放，经t=1s到达斜面底端B点时的速度大小v=2.0m/s，取sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g=10m/s2。求：
（1）A点距水平面的高度h。
（2）物体与斜面之间的动摩擦因数μ。
（3）在物体与弹簧第一次作用的过程中，弹簧具有的最大弹性势能EP。
【答案】（1） 0.6m；（2） 0.5；（3）4J
【解析】（1）由匀变速直线运动规律得
代入数据解得
（2）A到B的过程，由动能定理得
代入数据解得
（3）当物体向右压缩弹簧使弹簧的形变量最大，即物体的速度减到零时，弹簧具有的弹性势能最大，根据机械能守恒定律，得
【变式6-1】(多选)关于弹性势能，下列说法中正确的是( )
A.任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能
B.任何具有弹性势能的物体，一定发生了弹性形变
C.物体只要发生形变，就一定具有弹性势能
D.弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关
答案 AB
【变式6-2】如图所示，一轻质弹簧一端系在墙上的P点，另一端与质量为m的小物块相连，弹簧处于自然长度时物块位于O点（图中未标出）。现用水平向左的外力把物块压至A点，撤去外力后物块由静止向右运动，经过O点到达B点时速度恰好为零，已知物块与水平地面间的动摩擦因数恒定。在此过程中，下列说法正确的是（ ）
A．物块经过O点时所受合外力为零
B．物块经过O点时速度最大
C．物块在A、B点时，弹簧的弹性势能相等
D．物块从A到O速度先增加后减小，从O到B加速度一直增大
答案：D
【变式6-3】如图所示，质量的物块放置在竖直固定的弹簧上方（未栓接），用力向下压物块至某一位置，然后由静止释放，取该位置为物块运动的起始位置，物块上升过程的图像如图所示，不计空气阻力，重力加速度。则下列说法正确的是（ ）
A．物块运动过程的最大加速度大小为 B．弹簧的劲度系数为
C．弹簧最大弹性势能为 D．物块加速度为0时离开弹簧
答案：A
【题型7 弹性势能变化问题】
【例7】2020年2月15日，世界田联·2020室内巡回赛展开英国格拉斯哥站的角逐，在男子撑杆跳高决赛中，瑞典20岁帅哥阿曼德-杜普兰蒂斯又一次刷新了世界纪录，跃过6.18米的横杆。假设如图所示为运动员成功刷新世界纪录的惊人一跳，忽略空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．加速助跑过程中，运动员的动能增加
B．起跳上升过程中，杆的弹性势能一直增加
C．越过横杆的过程中，运动员的重心在横杆上方
D．越过横杆后下落过程，运动员一定做自由落体运动
【答案】A
【解析】加速助跑过程中，运动员的速度增加，则动能增加，选项A正确；
起跳上升过程中，杆的形变量先增加后减小，则弹性势能先增加后减小，选项B错误；
人在越过横杆的过程中，身体的弯曲程度发生变化，身体的重心可以不在身体上，则身体的重心可以低于横杆的高度，故C错误；
越过横杆后下落过程，运动员有一定的水平速度，则不是做自由落体运动，选项D错误。
【变式7-1】（多选）如图所示为一根弹簧的弹力F—伸长量x图线，关于弹簧伸长的过程中弹力做功和弹性势能的变化，下列说法正确的是（ ）
A．从弹簧原长到伸长量为10cm的过程中，弹力做功为200J
B．从弹簧原长到伸长量为10cm的过程中，弹性势能改变量为-200J
C．从伸长量为10cm到伸长量为20cm的过程中，克服弹力做功为3J
D．从伸长量为10cm到伸长量为20cm的过程中，弹性势能增加了3J
【答案】CD
【解析】由图象可知，弹力与弹簧形变量成正比，由功的定义和图形面积的含义可知，从弹簧原长到伸长量为10cm的过程中，弹力的做功为-1J，A错误；从弹簧原长到伸长量为10cm的过程中，弹力的做功为-1J，根据得弹性势能改变量为1J，B错误；由功的定义和图形面积的含义可知，从伸长量为10cm到伸长量为20cm的过程中，克服弹力做功为3J，C正确；从伸长量为10cm到伸长量为20cm的过程中，弹力做功为-3J，根据,弹性势能增加3J，D正确．
【变式7-2】如图所示，一轻弹簧一端固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点B的过程中（ ）
A．重力做正功，弹簧弹力不做功
B．重力做正功，弹簧弹力做正功
C．重力不做功，弹簧弹力不做功，弹性势能不变
D．重力做正功，弹簧弹力做负功，弹性势能增加
【答案】D
【解析】在重物由A点摆向最低点B的过程中重物的高度下降，重力对重物做正功，重物的重力势能减小；弹簧伸长，弹簧的弹力对重物做负功，弹性势能增加。
【变式7-3】图甲是玩家玩“蹦极”游戏的真实照片。玩家将一根长为的弹性绳子的一端系在身上，另一端固定在高处，然后从高处跳下，图乙是玩家到达最低点时的情况，其中为弹性绳子的原长，C点是弹力等于重力的位置，D点是玩家所到达的最低点，对于玩家离开跳台至最低点的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．玩家A到B做自由落体运动，B到D做减速运动
B．玩家的重力势能先减小后增大
C．玩家A到B过程中，绳子的弹性势能为零，B到D过程弹性势能一直增大
D．玩家在D点受到的合力为零，处于平衡状态
【答案】C
【解析】玩家A到B做自由落体运动，C点是弹力等于重力的位置，B到C做加速运动，C到D做减速运动，故A错误；从A到D，高度一直减小，重力势能一直减小，故B错误；
玩家A到B过程中，做自由落体运动，绳子的弹性势能为零；从B到D过程，弹性绳子一直伸长，弹性势能一直增大，故C正确；玩家在C点时，重力等于弹力，受到的合力为零，处于平衡状态；D点是玩家所到达的最低点，弹力大于重力，合力不为零，故D错误。
【题型8 联系实际】
【例8】（多选）如图所示，对正在空中匀速上升的无人机分析，下列说法正确的是（ ）
A．重力做正功
B．重力做负功
C．重力势能减小
D．重力势能增加
答案：BD
解析：无人机高度上升，重力做负功，则重力势能增加。
故选BD。
【变式8-1】如图所示，载有防疫物资的无人驾驶小车，在水平MN段以恒定功率200W、速度5m/s匀速行驶，在斜坡PQ段以恒定功率570W、速度2m/s匀速行驶。已知小车总质量为50kg，MN＝PQ＝20m，PQ段的倾角为30°，重力加速度g取，不计空气阻力。下列说法错误的有（ ）
A．从M到N，小车牵引力大小为40N B．从M到N，小车克服摩擦力做功800J
C．从P到Q，小车重力势能增加 D．从P到Q，小车克服摩擦力做功700J
【答案】C
【解析】小车从M到N，依题意有
代入数据解得
故A正确；依题意，小车从M到N，因匀速，小车所受的摩擦力大小为
则摩擦力做功为
则小车克服摩擦力做功为800J，故B正确；依题意，从P到Q，重力势能增加量为
故C错误；依题意，小车从P到Q，摩擦力为f2，有
摩擦力做功为
联立解得
则小车克服摩擦力做功为700J，故D正确。
【变式8-2】如图所示，假设某跳高运动员质量为、身高为，在某次背越式跳高中跳过高的横杆而平落在垫子上，落垫时运动员的重心离地高度为。取，试估算：
（1）上升阶段运动员至少要克服重力做多少功？
（2）下降阶段重力做了多少功？
【答案】（1）720J；（2）900J
【解析】（1）上升阶段，重心升高的距离约为
克服重力做功
（2）下降阶段，重心下降距离
重力做功
【变式8-3】（多选）灾害发生时，可以利用无人机运送救灾物资。图示为一架无人机向受灾人员运送急救物品救生圈，此时无人机正吊着救生圈竖直匀速下降接近目标。关于此过程，下列说法正确的是（ ）
A．救生圈的动能增加 B．救生圈的重力势能减少
C．救生圈的机械能保持不变 D．救生圈所受重力做正功
答案：BD
解析： 无人机吊着救生圈竖直匀速下降，故救生圈的动能不变，故A错误；救生圈竖直匀速下降，救生圈所受重力做正功，救生圈的重力势能减少，而动能不变，所以救生圈的机械能减小，故BD正确，C错误。
故选BD。
【人教版】
【题型1 重力势能定性分析】
【题型2 重力做功问题】
【题型3 重力势能变化问题定性分析】
【题型4 重力势能变化问题定量运算】
【题型5 等效法应用】
【题型6 弹性势能】
【题型7 弹性势能变化问题】
【题型8 联系实际】
【题型1 重力势能】
【例1】甲、乙两个可视为质点的物体的位置如图所示，甲在桌面上，乙在地面上，质量关系为m甲
A. B. C. D.
【变式1-2】如图所示，是人们用打“夯”的方式把松散的地面夯实的情景。假设两人同时通过绳子对质量为m的重物各施加一个力，大小均为F，方向都与竖直方向成α，重物离开地面h后两人同时停止施力，最后重物下落把地面砸深x。重力加速度为g。求：
(1)停止施力前重物上升过程中加速度大小a；
(2)以地面为零势能面，重物具有重力势能的最大值Epm；
(3)重物砸入地面过程中，对地面的平均冲击力大小。
【变式1-3】如图所示，一根绳的两端分别固定在两座猴山的A、B处，A、B两点水平距离为16m，竖直距离为2m，A、B间绳长20m。质量为10kg的猴子抓住套在绳上的滑环从A处滑到B处。以A点所在水平面为参考平面，猴子在滑行过程中重力势能的最小值约为（绳处于拉直状态）（ ）
A． B． C． D．
【题型2 重力做功问题】
【例2】如图所示，质量为m的小球A沿高度为h、倾角为θ的光滑斜面由静止滑下，另一质量与A相同的小球B自相同高度同时由静止落下。下列说法正确的是（ ）
A．从静止到最终到达地面，重力对两球做的功相等
B．落地前的瞬间A球的速度与B球的速度相同
C．两球重力的平均功率相等
D．两球落地时重力的瞬时功率相等
【变式2-1】（多选）如图所示，某人把一个质量的小球从高处以角斜向上抛出，初速度，不计空气阻力，重力加速度，取地面为零势能面。则下列说法正确的是（ ）
A．抛出过程中，人对小球做的功是
B．小球落地时速度大小为
C．小球抛出后会继续上升，故从抛出到落地过程中重力对小球所做的功大于
D．小球到达最高点的重力势能为
【变式2-2】(多选)内径面积为S的U形圆筒竖直放在水平面上，筒内装水，底部阀门K关闭时两侧水面高度分别为h1和h2，如图所示。已知水的密度为ρ，不计水与筒壁的摩擦阻力。现把连接两筒的阀门K打开，当两筒水面高度相等时，则该过程中( )
A．水柱的重力做正功
B．大气压力对水柱做负功
C．水柱的机械能守恒
D．当两筒水面高度相等时，水柱的动能是ρgS(h1－h2)2
【变式2-3】某游客领着孩子游泰山时，孩子不小心将手中的皮球滑落，球从A点经C点滚到了山脚下的B点，高度标记如图所示。已知皮球质量为m，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．从A到B的曲线轨迹长度不知道，无法求出此过程中重力做的功
B．从A到B过程中阻力大小不知道，无法求出此过程中重力做的功
C．从A到B过程中重力做功为mg（H+h）
D．从A到C过程中重力做功为mg（H-h）
【题型3 重力势能变化定性分析】
【例3】如图所示为小明同学在体育测试中“原地掷实心球”的场景，则球（ ）
A．在空中飞行时不受重力作用
B．在地面上滚动时受到的重力和摩擦力是一对平衡力
C．在飞行过程中，若所受外力突然消失，球将做匀速直线运动
D．在飞行过程中，重力势能不断增大
【变式3-1】如图所示，同一质量为的物块分别沿三条不同的轨道由A点滑到同一水平面上，其中轨道1是粗糙的，轨道2、3是光滑的，A离地面的竖直高度为。下列说法正确的是（ ）
A．沿轨道1下滑重力做功最多
B．沿轨道2下滑重力做功等于
C．沿轨道3下滑重力势能改变量为mgH
D．沿三条轨道下滑重力势能改变量都为
【变式3-2】一质量为5kg的物块，在竖直方向的拉力作用下运动的图象如图所示（向上为运动的正方向），取，下列说法正确的是（ ）
A．前6s内，物块的重力势能一直增加 B．第3s内，物块的重力势能不变
C．第1s末物块的动能为45J D．前6s内，物块动能增量为10J
【变式3-3】（多选）用长度均为L的细线把小球A和小球B悬挂起来，二者静止时的状态如图所示。今对小球A加一水平向左的恒力F1，对小球B加一水平向右的恒力F2，且F1=F2，物体在运动过程中和空气之间由于摩擦而生热，最后两个小球再次静止不动。则当两个小球从最初静止状态到最后再次静止不动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．恒力F1对小球A做正功 B．恒力F2对小球B做正功
C．小球A和小球B的重力势能均增加 D．小球A的重力势能不变，小球B的重力势能增加
【题型4 重力势能变化定量运算】
【例4】关于重力势能，下列说法中正确的是( )
A.物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定
B.物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大
C.一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能减少了
D.重力势能的减少量等于重力对物体做的功
【变式4-1】一棵树上有一个质量为0.3 kg的熟透了的苹果P，该苹果从树上与A等高处先落到地面C最后滚入沟底D。已知AC、CD的高度差分别为2.2 m和3 m，以地面C为零势能参考平面，A、B、C、D、E面之间竖直距离如图所示。算出该苹果从A落下到D的过程中重力势能的减少量和在D处的重力势能分别是(g取10 m/s2)( )
A．15.6 J和9 J B．9 J和－9 J
C．15.6 J和－9 J D．15.6 J和－15.6 J
【变式4-2】(多选) 长征途中，为了突破敌方关隘，战士爬上陡峭的山头，居高临下向敌方工事内投掷手榴弹。战士在同一位置先后投出甲、乙两颗质量均为m的手榴弹。手榴弹从投出的位置到落地点的高度差为h，在空中的运动可视为平抛运动，轨迹如图所示，重力加速度为g，下列说法正确的有( )
A．甲在空中的运动时间比乙的长
B．两手榴弹在落地前瞬间，重力的功率相等
C．从投出到落地，每颗手榴弹的重力势能减少mgh
D．从投出到落地，每颗手榴弹的机械能变化量为mgh
【变式4-3】跳伞运动非常惊险，被世人誉为“勇敢者的运动”。假设质量为m的跳伞运动员由静止开始下落，在打开伞之前受恒定的阻力作用，下落的加速度为a，重力加速度为g，则在运动员竖直下落h的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．运动员的重力势能增加了mgh
B．运动员克服阻力所做的功为mah
C．合力对运动员做的功为
D．运动员的动能增加了mah
【题型5 等效法应用】
【例5】如图所示，粗细均匀，两端开口的U形管内装有同种液体、开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为( )
A． B． C． D．
【变式5-1】如图所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为α的足够长的光滑斜面，斜面体固定不动。AB、BC间用一小段光滑圆弧轨道相连。一条长为L的均匀柔软链条开始时静止的放在ABC面上，其一端D至B的距离为L－a。现自由释放链条，则：
(1)链条下滑过程中，系统的机械能是否守恒？简述理由；
(2)链条的D端滑到B点时，链条的速率为多大？
【变式5-2】如图所示，有一条长为L＝1 m的均匀金属链条，有一半长度在光滑的足够高的斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半长度竖直下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，则链条刚好全部滑出斜面时的速度为(g取10 m/s2)( )
A．2.5 m/s B． m/s
C． m/s D． m/s
【变式5-3】如图所示，长为L的均匀链条放在光滑水平桌面上，且使长度的垂在桌边，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为( )
A． B．
C． D．4
【题型6 弹性势能】
【例6】如图所示，粗糙斜面AB的倾角α=37°，AB与光滑的水平面BC平滑连接，在C处利用挡板固定一个水平轻弹簧，一个质量m=2kg的物体（可视为质点）自斜面上的A点由静止释放，经t=1s到达斜面底端B点时的速度大小v=2.0m/s，取sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g=10m/s2。求：
（1）A点距水平面的高度h。
（2）物体与斜面之间的动摩擦因数μ。
（3）在物体与弹簧第一次作用的过程中，弹簧具有的最大弹性势能EP。
【变式6-1】(多选)关于弹性势能，下列说法中正确的是( )
A.任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能
B.任何具有弹性势能的物体，一定发生了弹性形变
C.物体只要发生形变，就一定具有弹性势能
D.弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关
【变式6-2】如图所示，一轻质弹簧一端系在墙上的P点，另一端与质量为m的小物块相连，弹簧处于自然长度时物块位于O点（图中未标出）。现用水平向左的外力把物块压至A点，撤去外力后物块由静止向右运动，经过O点到达B点时速度恰好为零，已知物块与水平地面间的动摩擦因数恒定。在此过程中，下列说法正确的是（ ）
A．物块经过O点时所受合外力为零
B．物块经过O点时速度最大
C．物块在A、B点时，弹簧的弹性势能相等
D．物块从A到O速度先增加后减小，从O到B加速度一直增大
【变式6-3】如图所示，质量的物块放置在竖直固定的弹簧上方（未栓接），用力向下压物块至某一位置，然后由静止释放，取该位置为物块运动的起始位置，物块上升过程的图像如图所示，不计空气阻力，重力加速度。则下列说法正确的是（ ）
A．物块运动过程的最大加速度大小为 B．弹簧的劲度系数为
C．弹簧最大弹性势能为 D．物块加速度为0时离开弹簧
【题型7 弹性势能变化问题】
【例7】2020年2月15日，世界田联·2020室内巡回赛展开英国格拉斯哥站的角逐，在男子撑杆跳高决赛中，瑞典20岁帅哥阿曼德-杜普兰蒂斯又一次刷新了世界纪录，跃过6.18米的横杆。假设如图所示为运动员成功刷新世界纪录的惊人一跳，忽略空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．加速助跑过程中，运动员的动能增加
B．起跳上升过程中，杆的弹性势能一直增加
C．越过横杆的过程中，运动员的重心在横杆上方
D．越过横杆后下落过程，运动员一定做自由落体运动
【变式7-1】（多选）如图所示为一根弹簧的弹力F—伸长量x图线，关于弹簧伸长的过程中弹力做功和弹性势能的变化，下列说法正确的是（ ）
A．从弹簧原长到伸长量为10cm的过程中，弹力做功为200J
B．从弹簧原长到伸长量为10cm的过程中，弹性势能改变量为-200J
C．从伸长量为10cm到伸长量为20cm的过程中，克服弹力做功为3J
D．从伸长量为10cm到伸长量为20cm的过程中，弹性势能增加了3J
【变式7-2】如图所示，一轻弹簧一端固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点B的过程中（ ）
A．重力做正功，弹簧弹力不做功
B．重力做正功，弹簧弹力做正功
C．重力不做功，弹簧弹力不做功，弹性势能不变
D．重力做正功，弹簧弹力做负功，弹性势能增加
【变式7-3】图甲是玩家玩“蹦极”游戏的真实照片。玩家将一根长为的弹性绳子的一端系在身上，另一端固定在高处，然后从高处跳下，图乙是玩家到达最低点时的情况，其中为弹性绳子的原长，C点是弹力等于重力的位置，D点是玩家所到达的最低点，对于玩家离开跳台至最低点的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．玩家A到B做自由落体运动，B到D做减速运动
B．玩家的重力势能先减小后增大
C．玩家A到B过程中，绳子的弹性势能为零，B到D过程弹性势能一直增大
D．玩家在D点受到的合力为零，处于平衡状态
【题型8 联系实际】
【例8】（多选）如图所示，对正在空中匀速上升的无人机分析，下列说法正确的是（ ）
A．重力做正功
B．重力做负功
C．重力势能减小
D．重力势能增加
【变式8-1】如图所示，载有防疫物资的无人驾驶小车，在水平MN段以恒定功率200W、速度5m/s匀速行驶，在斜坡PQ段以恒定功率570W、速度2m/s匀速行驶。已知小车总质量为50kg，MN＝PQ＝20m，PQ段的倾角为30°，重力加速度g取，不计空气阻力。下列说法错误的有（ ）
A．从M到N，小车牵引力大小为40N B．从M到N，小车克服摩擦力做功800J
C．从P到Q，小车重力势能增加 D．从P到Q，小车克服摩擦力做功700J
【变式8-2】如图所示，假设某跳高运动员质量为、身高为，在某次背越式跳高中跳过高的横杆而平落在垫子上，落垫时运动员的重心离地高度为。取，试估算：
（1）上升阶段运动员至少要克服重力做多少功？
（2）下降阶段重力做了多少功？
【变式8-3】（多选）灾害发生时，可以利用无人机运送救灾物资。图示为一架无人机向受灾人员运送急救物品救生圈，此时无人机正吊着救生圈竖直匀速下降接近目标。关于此过程，下列说法正确的是（ ）
A．救生圈的动能增加 B．救生圈的重力势能减少
C．救生圈的机械能保持不变 D．救生圈所受重力做正功
参考答案
【题型1 重力势能】
【例1】甲、乙两个可视为质点的物体的位置如图所示，甲在桌面上，乙在地面上，质量关系为m甲
解析：取桌面为零势能面，则
Ep1=0
物体乙，在桌面以下
Ep2<0
所以
Ep1>Ep2
故A正确，BCD错误。
【变式1-1】若规定无穷远处物体的重力势能为零，则质量为m的物体对应重力势能的表达式为，r为物体离地心的距离，M为地球质量，G为万有引力常量．则一质量为m、离地面的高度为R（R为地球半径）的人造卫星，运行时的总机械能为（将人造卫星绕地球的运动看成匀速圆周运动，地表重力加速度为g）( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：对卫星：，又，所求动能为，得；卫星的重力势能为，得卫星总机械能为．
【变式1-2】如图所示，是人们用打“夯”的方式把松散的地面夯实的情景。假设两人同时通过绳子对质量为m的重物各施加一个力，大小均为F，方向都与竖直方向成α，重物离开地面h后两人同时停止施力，最后重物下落把地面砸深x。重力加速度为g。求：
(1)停止施力前重物上升过程中加速度大小a；
(2)以地面为零势能面，重物具有重力势能的最大值Epm；
(3)重物砸入地面过程中，对地面的平均冲击力大小。
答案 (1) (2)2Fhcos α (3)＋mg
解析 (1)施力时重物所受的合力为F合＝2Fcos α－mg
则重物上升过程中加速度大小a＝＝。
(2)重物上升过程中由动能定理
2Fcos α·h－mgH＝0
以地面为零势能面，重物具有重力势能的最大值
Epm＝mgH＝2Fhcos α。
(3)重物砸入地面过程中由动能定理
mg(H＋x)－x＝0
解得＝＋mg。
【变式1-3】如图所示，一根绳的两端分别固定在两座猴山的A、B处，A、B两点水平距离为16m，竖直距离为2m，A、B间绳长20m。质量为10kg的猴子抓住套在绳上的滑环从A处滑到B处。以A点所在水平面为参考平面，猴子在滑行过程中重力势能的最小值约为（绳处于拉直状态）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】重力势能最小的点为最低点，此时两侧绳子与水平方向的夹角相等，假设为，设右侧绳长为 ，则 ，
解得
所以最低点距离参考平面的高度差为
猴子的重心比绳子最低点大约低0.5m，所以最低点猴子的重力势能约为
故B正确，ACD错误。
【题型2 重力做功问题】
【例2】如图所示，质量为m的小球A沿高度为h、倾角为θ的光滑斜面由静止滑下，另一质量与A相同的小球B自相同高度同时由静止落下。下列说法正确的是（ ）
A．从静止到最终到达地面，重力对两球做的功相等
B．落地前的瞬间A球的速度与B球的速度相同
C．两球重力的平均功率相等
D．两球落地时重力的瞬时功率相等
【答案】A
【解析】设A、B两球的加速度分别为aA、aB，从初位置到达地面所用时间分别为tA、tB，落地时重力的瞬时功率分别为PA、PB。A、B两球质量相同，所受重力相同，A、B从开始到最终落到地面，重力方向上的位移都为h，因此重力对两球所做的功都为mgh，A正确；
对小球A进行受力分析，得到小球A的加速度为gsinθ，小球A沿斜面方向的位移为，根据运动学公式
可求出A球到达斜面底部的速度大小
同理可求出B球落地的速度大小
A、B落地时速度大小相等，但速度方向不同，一个沿斜面向下，一个竖直向下，B错误。
两球均做初速度为零的匀变速直线运动，运动时间
两球落地速度大小相等，即相同，又由于
可得
整个过程中A、B所受重力做功相同，根据平均功率
可以得出B球重力的平均功率大于A球重力的平均功率，C错误；
落地时两球速度大小相等，重力的瞬时功率等于重力乘以重力方向上的分速度，则
D错误。
【变式2-1】（多选）如图所示，某人把一个质量的小球从高处以角斜向上抛出，初速度，不计空气阻力，重力加速度，取地面为零势能面。则下列说法正确的是（ ）
A．抛出过程中，人对小球做的功是
B．小球落地时速度大小为
C．小球抛出后会继续上升，故从抛出到落地过程中重力对小球所做的功大于
D．小球到达最高点的重力势能为
【答案】AB
【解析】抛出过程中，根据动能定理可知人对小球做的功为
A正确；从抛出到落到过程，根据动能定理可得 解得小球落地时速度大小为 B正确；重力做功与路径无关，从抛出到落地过程中重力对小球所做的功 C错误；小球抛出后上升的最大高度为 小球到达最高点的重力势能为
D错误。
【变式2-2】(多选)内径面积为S的U形圆筒竖直放在水平面上，筒内装水，底部阀门K关闭时两侧水面高度分别为h1和h2，如图所示。已知水的密度为ρ，不计水与筒壁的摩擦阻力。现把连接两筒的阀门K打开，当两筒水面高度相等时，则该过程中( )
A．水柱的重力做正功
B．大气压力对水柱做负功
C．水柱的机械能守恒
D．当两筒水面高度相等时，水柱的动能是ρgS(h1－h2)2
[解析] 把连接两筒的阀门打开到两筒水面高度相等的过程中大气压力对左筒水面做正功，对右筒水面做负功，抵消为零。水柱的机械能守恒，重力做功等于重力势能的减少量，等于水柱增加的动能，等效于把左管高的水柱移至右管，如图中的斜线所示，重心下降，重力所做正功：WG＝ρgS·＝ρgS(h1－h2)2，故A、C、D正确，B错误。
[答案] ACD
【变式2-3】某游客领着孩子游泰山时，孩子不小心将手中的皮球滑落，球从A点经C点滚到了山脚下的B点，高度标记如图所示。已知皮球质量为m，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．从A到B的曲线轨迹长度不知道，无法求出此过程中重力做的功
B．从A到B过程中阻力大小不知道，无法求出此过程中重力做的功
C．从A到B过程中重力做功为mg（H+h）
D．从A到C过程中重力做功为mg（H-h）
【答案】D
【解析】重力做功与物体的运动路径无关，只与物体初、末位置的高度差有关，从A到B的高度差是H，故从A到B过程中重力做功为mgH，故ABC错误；
从A到C的高度差是（H-h），故从A到C过程中重力做功为mg（H-h），故D正确。
【题型3 重力势能变化定性分析】
【例3】如图所示为小明同学在体育测试中“原地掷实心球”的场景，则球（ ）
A．在空中飞行时不受重力作用
B．在地面上滚动时受到的重力和摩擦力是一对平衡力
C．在飞行过程中，若所受外力突然消失，球将做匀速直线运动
D．在飞行过程中，重力势能不断增大
【答案】C
【解析】在空中飞行时受重力作用，A错误；
在地面上滚动时受到的重力竖直向下，摩擦力沿水平方向，与相对运动方向相反，所以不是一对平衡力，B错误；
在飞行过程中，若所受外力突然消失，由于惯性，球将做匀速直线运动，C正确；
在飞行过程中，重力做正功，重力势能不断减小，D错误。
【变式3-1】如图所示，同一质量为的物块分别沿三条不同的轨道由A点滑到同一水平面上，其中轨道1是粗糙的，轨道2、3是光滑的，A离地面的竖直高度为。下列说法正确的是（ ）
A．沿轨道1下滑重力做功最多
B．沿轨道2下滑重力做功等于
C．沿轨道3下滑重力势能改变量为mgH
D．沿三条轨道下滑重力势能改变量都为
【答案】D
【解析】AB．物块分别沿三条不同的轨道由A点滑到同一水平面上，三条不同的轨道高度相同，重力做功都是
所以物块沿三条不同轨道滑下重力做的功一样多，AB错误；
CD．由重力做正功等于物体重力势能的减少，因此重力势能的改变量为
则有沿三条轨道下滑重力势能改变量都为，C错误，D正确。
【变式3-2】一质量为5kg的物块，在竖直方向的拉力作用下运动的图象如图所示（向上为运动的正方向），取，下列说法正确的是（ ）
A．前6s内，物块的重力势能一直增加 B．第3s内，物块的重力势能不变
C．第1s末物块的动能为45J D．前6s内，物块动能增量为10J
【答案】A
【解析】前6s内，物体一直向上运动，所以重力势能一直增加，故A正确；前3s内，物体向上运动，所以重力势能一直增加，故B错误；第1s末物块的速度为3m/s，所以动能 故C错误；前6s内，物块动能增量为
故D错误。
【变式3-3】（多选）用长度均为L的细线把小球A和小球B悬挂起来，二者静止时的状态如图所示。今对小球A加一水平向左的恒力F1，对小球B加一水平向右的恒力F2，且F1=F2，物体在运动过程中和空气之间由于摩擦而生热，最后两个小球再次静止不动。则当两个小球从最初静止状态到最后再次静止不动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．恒力F1对小球A做正功 B．恒力F2对小球B做正功
C．小球A和小球B的重力势能均增加 D．小球A的重力势能不变，小球B的重力势能增加
【答案】BD
【解析】因为F1=F2，把AB看成整体，水平方向F1、F2平衡，则竖直方向对A向上的拉力与AB的重力平衡，所以A不动，B向右偏离原位置，所以恒力F1对小球A不做功，恒力F2对小球B做正功；故A错误，B正确；A的位置不动，所以小球A的重力势能不变，小球B向右上方偏，小球B的势能增加，故C错误，D正确。
【题型4 重力势能变化定量运算】
【例4】关于重力势能，下列说法中正确的是( )
A.物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定
B.物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大
C.一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能减少了
D.重力势能的减少量等于重力对物体做的功
答案 D
【变式4-1】一棵树上有一个质量为0.3 kg的熟透了的苹果P，该苹果从树上与A等高处先落到地面C最后滚入沟底D。已知AC、CD的高度差分别为2.2 m和3 m，以地面C为零势能参考平面，A、B、C、D、E面之间竖直距离如图所示。算出该苹果从A落下到D的过程中重力势能的减少量和在D处的重力势能分别是(g取10 m/s2)( )
A．15.6 J和9 J B．9 J和－9 J
C．15.6 J和－9 J D．15.6 J和－15.6 J
解析：选C 以地面C为零势能面，根据重力势能的计算公式得D处的重力势能Ep＝mgh＝－9 J，从A下落到D的过程中重力势能的减少量ΔEp＝mgΔh＝15.6 J，C正确。
【变式4-2】(多选) 长征途中，为了突破敌方关隘，战士爬上陡峭的山头，居高临下向敌方工事内投掷手榴弹。战士在同一位置先后投出甲、乙两颗质量均为m的手榴弹。手榴弹从投出的位置到落地点的高度差为h，在空中的运动可视为平抛运动，轨迹如图所示，重力加速度为g，下列说法正确的有( )
A．甲在空中的运动时间比乙的长
B．两手榴弹在落地前瞬间，重力的功率相等
C．从投出到落地，每颗手榴弹的重力势能减少mgh
D．从投出到落地，每颗手榴弹的机械能变化量为mgh
解析：选BC 甲、乙两颗手榴弹竖直方向下落的高度相同，由平抛运动的特点可知，它们的运动时间相等，A错误。落地前瞬间，PG＝mgvy＝mg2t，由于运动时间相等，故重力的瞬时功率相等，B正确。从投出到落地，重力做功为mgh，故重力势能减少mgh，C正确。从投出到落地过程中只有重力做功，手榴弹的机械能守恒，D错误。
【变式4-3】跳伞运动非常惊险，被世人誉为“勇敢者的运动”。假设质量为m的跳伞运动员由静止开始下落，在打开伞之前受恒定的阻力作用，下落的加速度为a，重力加速度为g，则在运动员竖直下落h的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．运动员的重力势能增加了mgh
B．运动员克服阻力所做的功为mah
C．合力对运动员做的功为
D．运动员的动能增加了mah
答案：D
解析：运动员的重力势能减小了mgh，选项A错误；
根据牛顿第二定律
运动员克服阻力所做的功为
Wf=fh=(mg-ma)h
选项B错误；
合力对运动员做的功为，根据动能定理可知，运动员的动能增加了mah，选项C错误，D正确。
故选D。
【题型5 等效法应用】
【例5】如图所示，粗细均匀，两端开口的U形管内装有同种液体、开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为( )
A． B． C． D．
解析：选A 当两液面高度相等时，减少的重力势能转化为整个液体的动能，如图所示，根据功能关系有mg·h＝mv2，解得：v＝ ，故A正确。
【变式5-1】如图所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为α的足够长的光滑斜面，斜面体固定不动。AB、BC间用一小段光滑圆弧轨道相连。一条长为L的均匀柔软链条开始时静止的放在ABC面上，其一端D至B的距离为L－a。现自由释放链条，则：
(1)链条下滑过程中，系统的机械能是否守恒？简述理由；
(2)链条的D端滑到B点时，链条的速率为多大？
解析：(1)链条在下滑过程中机械能守恒，因为斜面BC和水平面AB均光滑，链条下滑时只有重力做功，符合机械能守恒的条件。
(2)设链条质量为m，可以认为始、末状态的重力势能变化是由L－a段下降引起的，
高度减少量h＝sin α＝sin α
该部分的质量为m′＝(L－a)
由机械能守恒定律可得：(L－a)gh＝mv2，
可解得：v＝ 。
答案：(1)守恒 理由见解析 (2)
【变式5-2】如图所示，有一条长为L＝1 m的均匀金属链条，有一半长度在光滑的足够高的斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半长度竖直下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，则链条刚好全部滑出斜面时的速度为(g取10 m/s2)( )
A．2.5 m/s B． m/s
C． m/s D． m/s
[解析] 设链条的质量为2m，以开始时链条的最高点为零势能面，链条的机械能为E＝Ep＋Ek＝－×2mg·sin 30°－×2mg·＋0＝－ mgL，链条全部下滑出后，动能为Ek′＝×2mv2，重力势能为Ep′＝－2mg·，由机械能守恒可得E＝Ek′＋Ep′，即－mgL＝mv2－mgL，解得v＝2.5 m/s，故A正确，B、C、D错误。
[答案] A
【变式5-3】如图所示，长为L的均匀链条放在光滑水平桌面上，且使长度的垂在桌边，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为( )
A． B．
C． D．4
解析：选C 由机械能守恒定律ΔEp减＝ΔEk增，
即mg＝mv2，所以v＝。
【题型6 弹性势能】
【例6】如图所示，粗糙斜面AB的倾角α=37°，AB与光滑的水平面BC平滑连接，在C处利用挡板固定一个水平轻弹簧，一个质量m=2kg的物体（可视为质点）自斜面上的A点由静止释放，经t=1s到达斜面底端B点时的速度大小v=2.0m/s，取sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g=10m/s2。求：
（1）A点距水平面的高度h。
（2）物体与斜面之间的动摩擦因数μ。
（3）在物体与弹簧第一次作用的过程中，弹簧具有的最大弹性势能EP。
【答案】（1） 0.6m；（2） 0.5；（3）4J
【解析】（1）由匀变速直线运动规律得
代入数据解得
（2）A到B的过程，由动能定理得
代入数据解得
（3）当物体向右压缩弹簧使弹簧的形变量最大，即物体的速度减到零时，弹簧具有的弹性势能最大，根据机械能守恒定律，得
【变式6-1】(多选)关于弹性势能，下列说法中正确的是( )
A.任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能
B.任何具有弹性势能的物体，一定发生了弹性形变
C.物体只要发生形变，就一定具有弹性势能
D.弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关
答案 AB
【变式6-2】如图所示，一轻质弹簧一端系在墙上的P点，另一端与质量为m的小物块相连，弹簧处于自然长度时物块位于O点（图中未标出）。现用水平向左的外力把物块压至A点，撤去外力后物块由静止向右运动，经过O点到达B点时速度恰好为零，已知物块与水平地面间的动摩擦因数恒定。在此过程中，下列说法正确的是（ ）
A．物块经过O点时所受合外力为零
B．物块经过O点时速度最大
C．物块在A、B点时，弹簧的弹性势能相等
D．物块从A到O速度先增加后减小，从O到B加速度一直增大
答案：D
【变式6-3】如图所示，质量的物块放置在竖直固定的弹簧上方（未栓接），用力向下压物块至某一位置，然后由静止释放，取该位置为物块运动的起始位置，物块上升过程的图像如图所示，不计空气阻力，重力加速度。则下列说法正确的是（ ）
A．物块运动过程的最大加速度大小为 B．弹簧的劲度系数为
C．弹簧最大弹性势能为 D．物块加速度为0时离开弹簧
答案：A
【题型7 弹性势能变化问题】
【例7】2020年2月15日，世界田联·2020室内巡回赛展开英国格拉斯哥站的角逐，在男子撑杆跳高决赛中，瑞典20岁帅哥阿曼德-杜普兰蒂斯又一次刷新了世界纪录，跃过6.18米的横杆。假设如图所示为运动员成功刷新世界纪录的惊人一跳，忽略空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．加速助跑过程中，运动员的动能增加
B．起跳上升过程中，杆的弹性势能一直增加
C．越过横杆的过程中，运动员的重心在横杆上方
D．越过横杆后下落过程，运动员一定做自由落体运动
【答案】A
【解析】加速助跑过程中，运动员的速度增加，则动能增加，选项A正确；
起跳上升过程中，杆的形变量先增加后减小，则弹性势能先增加后减小，选项B错误；
人在越过横杆的过程中，身体的弯曲程度发生变化，身体的重心可以不在身体上，则身体的重心可以低于横杆的高度，故C错误；
越过横杆后下落过程，运动员有一定的水平速度，则不是做自由落体运动，选项D错误。
【变式7-1】（多选）如图所示为一根弹簧的弹力F—伸长量x图线，关于弹簧伸长的过程中弹力做功和弹性势能的变化，下列说法正确的是（ ）
A．从弹簧原长到伸长量为10cm的过程中，弹力做功为200J
B．从弹簧原长到伸长量为10cm的过程中，弹性势能改变量为-200J
C．从伸长量为10cm到伸长量为20cm的过程中，克服弹力做功为3J
D．从伸长量为10cm到伸长量为20cm的过程中，弹性势能增加了3J
【答案】CD
【解析】由图象可知，弹力与弹簧形变量成正比，由功的定义和图形面积的含义可知，从弹簧原长到伸长量为10cm的过程中，弹力的做功为-1J，A错误；从弹簧原长到伸长量为10cm的过程中，弹力的做功为-1J，根据得弹性势能改变量为1J，B错误；由功的定义和图形面积的含义可知，从伸长量为10cm到伸长量为20cm的过程中，克服弹力做功为3J，C正确；从伸长量为10cm到伸长量为20cm的过程中，弹力做功为-3J，根据,弹性势能增加3J，D正确．
【变式7-2】如图所示，一轻弹簧一端固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点B的过程中（ ）
A．重力做正功，弹簧弹力不做功
B．重力做正功，弹簧弹力做正功
C．重力不做功，弹簧弹力不做功，弹性势能不变
D．重力做正功，弹簧弹力做负功，弹性势能增加
【答案】D
【解析】在重物由A点摆向最低点B的过程中重物的高度下降，重力对重物做正功，重物的重力势能减小；弹簧伸长，弹簧的弹力对重物做负功，弹性势能增加。
【变式7-3】图甲是玩家玩“蹦极”游戏的真实照片。玩家将一根长为的弹性绳子的一端系在身上，另一端固定在高处，然后从高处跳下，图乙是玩家到达最低点时的情况，其中为弹性绳子的原长，C点是弹力等于重力的位置，D点是玩家所到达的最低点，对于玩家离开跳台至最低点的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．玩家A到B做自由落体运动，B到D做减速运动
B．玩家的重力势能先减小后增大
C．玩家A到B过程中，绳子的弹性势能为零，B到D过程弹性势能一直增大
D．玩家在D点受到的合力为零，处于平衡状态
【答案】C
【解析】玩家A到B做自由落体运动，C点是弹力等于重力的位置，B到C做加速运动，C到D做减速运动，故A错误；从A到D，高度一直减小，重力势能一直减小，故B错误；
玩家A到B过程中，做自由落体运动，绳子的弹性势能为零；从B到D过程，弹性绳子一直伸长，弹性势能一直增大，故C正确；玩家在C点时，重力等于弹力，受到的合力为零，处于平衡状态；D点是玩家所到达的最低点，弹力大于重力，合力不为零，故D错误。
【题型8 联系实际】
【例8】（多选）如图所示，对正在空中匀速上升的无人机分析，下列说法正确的是（ ）
A．重力做正功
B．重力做负功
C．重力势能减小
D．重力势能增加
答案：BD
解析：无人机高度上升，重力做负功，则重力势能增加。
故选BD。
【变式8-1】如图所示，载有防疫物资的无人驾驶小车，在水平MN段以恒定功率200W、速度5m/s匀速行驶，在斜坡PQ段以恒定功率570W、速度2m/s匀速行驶。已知小车总质量为50kg，MN＝PQ＝20m，PQ段的倾角为30°，重力加速度g取，不计空气阻力。下列说法错误的有（ ）
A．从M到N，小车牵引力大小为40N B．从M到N，小车克服摩擦力做功800J
C．从P到Q，小车重力势能增加 D．从P到Q，小车克服摩擦力做功700J
【答案】C
【解析】小车从M到N，依题意有
代入数据解得
故A正确；依题意，小车从M到N，因匀速，小车所受的摩擦力大小为
则摩擦力做功为
则小车克服摩擦力做功为800J，故B正确；依题意，从P到Q，重力势能增加量为
故C错误；依题意，小车从P到Q，摩擦力为f2，有
摩擦力做功为
联立解得
则小车克服摩擦力做功为700J，故D正确。
【变式8-2】如图所示，假设某跳高运动员质量为、身高为，在某次背越式跳高中跳过高的横杆而平落在垫子上，落垫时运动员的重心离地高度为。取，试估算：
（1）上升阶段运动员至少要克服重力做多少功？
（2）下降阶段重力做了多少功？
【答案】（1）720J；（2）900J
【解析】（1）上升阶段，重心升高的距离约为
克服重力做功
（2）下降阶段，重心下降距离
重力做功
【变式8-3】（多选）灾害发生时，可以利用无人机运送救灾物资。图示为一架无人机向受灾人员运送急救物品救生圈，此时无人机正吊着救生圈竖直匀速下降接近目标。关于此过程，下列说法正确的是（ ）
A．救生圈的动能增加 B．救生圈的重力势能减少
C．救生圈的机械能保持不变 D．救生圈所受重力做正功
答案：BD
解析： 无人机吊着救生圈竖直匀速下降，故救生圈的动能不变，故A错误；救生圈竖直匀速下降，救生圈所受重力做正功，救生圈的重力势能减少，而动能不变，所以救生圈的机械能减小，故BD正确，C错误。
故选BD。