第二十一章 四边形
一、多边形的内角和、外角和
1.(2025·珠海三模)如图,正六边形ABCDEF和正五边形EGHPQ的边CD,GH在同一直线上,正五边形在正六边形右侧,则∠DEG的度数为 .
二、平行四边形的性质与判定
2.如图,将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在点B'处,若∠1＝∠2＝36°,则∠B为( )
A.126° B.132°
C.144° D.156°
3.如图,平行四边形ABCD中以点B为圆心,适当长为半径作弧,交AB,BC于F,G,分别以点F,G为圆心,大于FG长为半径作弧,两弧交于点H,连接BH并延长,与AD交于点E,若AB＝5,CE＝4,DE＝3,则BE的长为 .
4.如图,在 ABCD中,AB⊥AC,点E是AD的中点,作EF⊥BD于点F,已知AB＝4,AC＝6,则EF的长为 .
5.如图,在 ABCD中,BC＝3,CD＝4,点E是CD边上的中点,将△BCE沿BE翻折得△BGE,连接AE,点A,G,E在同一直线上,则点G到AB的距离为( )
A.
6.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AE平分∠BAD交BC于点E,AB＋EC＝AD.
(1)求证:四边形ABCD为平行四边形;
(2)若∠B＝60°,求证:AE＝CD;
(3)在(2)的条件下,连接AC,DE,若∠AED＝80°,求∠ACE的度数.
7.如图,在 ABCD中,AB＝5 cm,BC＝9 cm,动点P从点A出发,以每秒2 cm的速度沿 ABCD的边逆时针匀速运动;动点Q同时从点A出发,以每秒3 cm的速度沿 ABCD的边顺时针匀速运动.设点P的运动时间为t s.
(1)当点P在BC上运动时,BP＝ cm(用含t的代数式表示).
(2)当t＝ 时,P,Q两点相遇.
(3)是否存在t的值,使得以点A,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形 若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
三、三角形的中位线
8.如图,在△ABC中,AC＝2,∠ACB＝120°,D是边AB的中点,E是边BC上一点,若DE平分△ABC的周长,则DE的长为 ( )
A.
C.
9.如图,Rt△ABC 中,∠C＝90°,AC＝8,BC＝12,点D为BC边上的中点,将△ACD沿AD对折,使点C落在同一平面内的点C'处,连接BC',则BC'的长为 .
10.如图,已知△ABC中,点E是边AC的中点,点F是BE的中点,连接AF并延长交边BC于点D,BD＝2.求边BC的长.
11.如图,在△ABC中,AE平分∠BAC,BE⊥AE于点E,点F是BC的中点.
(1)如图①,BE的延长线与AC边相交于点D,求证:EF＝(AC－AB);
(2)如图②,探究线段AB,AC,EF之间的数量关系,并说明理由.
四、矩形的性质与判定
12.如图,在矩形ABCD中,点E在AD上,EF⊥CE交AB于点F,且EF＝EC.若DE＝2,矩形ABCD的周长是16,则AE的长是( )
A.3 B.4
C.5 D.7
13.如图,四边形OBCD是一个在平面直角坐标系中的矩形,点O为坐标原点,OB＝6,OD＝10,在CD边上取一点E,连接BE,将△BCE沿着BE所在直线翻折,使点C落在OD边上的点F处,则点E的坐标为( )
A.(10,3) B.(10,2)
C. D.(10,4)
14.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O作OE⊥AC交AD于点E,若AB＝4,BC＝8,则AE的长为( )
A.3 B.4
C.5 D.
15.如图,在矩形ABCD中,点E在边BC上,点F是AE的中点,AB＝4,AD＝DE＝5,则BF的长为 .
16.如图,在矩形ABCD中,AB＝5,AD＝12,对角线AC与BD相交于点O,点E为边BC上的一个动点,EF⊥AC,EG⊥BD,垂足分别为F,G,则EF＋EG＝ .
17.如图,点E为矩形ABCD的边BC上的一点,作DF⊥AE于点F,且满足DF＝AB.下面结论:①△DEF≌△DEC;②S△ABE＝S△ADF;③AF＝AB;④BE＝AF.其中正确的结论有( )
A.3个 B.2个
C.1个 D.0个
18.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC的中点,连接EC,FD,点G,H分别是EC,FD的中点,连接GH,若AB＝6,BC＝10,则GH的长度为( )
A.
D.2
19.如图,矩形ABCD中,AB＝8,AD＝6,矩形内有一个点P,连接AP,BP,CP,已知∠APB＝90°,CP＝CB,延长CP交AD于点E,则AE＝ .
20.如图,在平行四边形ABCD中,∠ACB＝90°,过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E,连接AE交CD于点F.
(1)求证:四边形ACED是矩形;
(2)连接BF,若∠ABC＝60°,CE＝3,求BF的长.
五、菱形的性质与判定
21.如图,∠AOB＝60°,以点O为圆心,2 cm为半径画弧交OA,OB于点C,D;分别以点C,D为圆心,大于CD长为半径画弧,两弧交于点E;以点C为顶点作∠FCH＝∠AOB,射线CH与OE交于点G,连接DG,则四边形ODGC的面积为( )
A. cm2 B.2 cm2
C.4 cm2 D.4 cm2
22.如图,在菱形ABCD中,∠ABC＝120°,点E是边AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,若AB＝2,则PB＋PE的最小值是 .
23.如图,两张等宽的纸条交叉叠放在一起,重合部分构成四边形ABCD,P为CD上一点,连接BP,若四边形ABCD的面积为20,纸条的宽为4,DP＝2,则BP的长是 .
24.如图,在菱形ABCD中,∠BAD＝60°,AC,BD交于点O,E为CD延长线上的一点,且CD＝DE,连接BE分别交AC,AD于点F,G,连接OG.下面结论:
①OG＝AB;②四边形ABDE是菱形;③S四边形ODGF＝S△ABF.其中正确的结论是 .
25.如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB＝AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB,交AB的延长线于点E,连接OE.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若AB＝5,BD＝6,求OE的长.
六、正方形的性质与判定
26.如图,正方形ABCD中,AC为对角线,E,F分别为AB,CD上的点,将△BCE与△DAF分别沿CE,AF折叠,使点B,D分别落在对角线AC上的B',D'处.若AB＝2,则B'D'的长是( )
A.4－2
C.2－1
27.(2025·惠州期末)如图,已知四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形,且G是AB的中点,连接AE,若AB＝2,则AE的长为( )
A.2 B.4
C.
28.如图,在正方形ABCD中,E为线段CD上一点且CE＝CD,连接AC,BE交于点F,分别取AC,BE的中点M,N,连接MN,若AB＝4,则MN为( )
A.1 B.
C.2 D.
29.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,CE,DF交于点G,连接AG.下列结论:①CE＝DF;②CE⊥DF;③AG＝AD;④∠EAG＝30°.其中正确的结论是( )
A.①② B.①③
C.①②④ D.①②③
30.如图,在矩形纸片ABCD中,CD＝3,AD＝6,将矩形沿着EF折叠,折痕分别交AD,BC于点E,F,点C的对应点为C',点D的对应点为D'.
(1)观察发现:如图①,连接C'E,若C'F⊥BC,BF＝1,则C'E的长为 .
(2)探究迁移:如图②,若点C'和点A重合,求CF的长.
(3)拓展应用:若点C的对应点C'落在边AD上,求线段CF的长的取值范围.第二十一章 四边形
一、多边形的内角和、外角和
1.(2025·珠海三模)如图,正六边形ABCDEF和正五边形EGHPQ的边CD,GH在同一直线上,正五边形在正六边形右侧,则∠DEG的度数为 48° .
二、平行四边形的性质与判定
2.如图,将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在点B'处,若∠1＝∠2＝36°,则∠B为( A )
A.126° B.132°
C.144° D.156°
3.如图,平行四边形ABCD中以点B为圆心,适当长为半径作弧,交AB,BC于F,G,分别以点F,G为圆心,大于FG长为半径作弧,两弧交于点H,连接BH并延长,与AD交于点E,若AB＝5,CE＝4,DE＝3,则BE的长为 4 .
4.如图,在 ABCD中,AB⊥AC,点E是AD的中点,作EF⊥BD于点F,已知AB＝4,AC＝6,则EF的长为 .
5.如图,在 ABCD中,BC＝3,CD＝4,点E是CD边上的中点,将△BCE沿BE翻折得△BGE,连接AE,点A,G,E在同一直线上,则点G到AB的距离为( D )
A.
6.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AE平分∠BAD交BC于点E,AB＋EC＝AD.
(1)求证:四边形ABCD为平行四边形;
(2)若∠B＝60°,求证:AE＝CD;
(3)在(2)的条件下,连接AC,DE,若∠AED＝80°,求∠ACE的度数.
(1)证明:∵AD∥BC,
∴∠DAE＝∠AEB.
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE＝∠DAE.
∴∠BAE＝∠AEB.∴AB＝BE.
∵AB＋EC＝AD,
∴BE＋EC＝AD.∴BC＝AD.
∴四边形ABCD为平行四边形.
(2)证明:∵∠ABE＝60°,AB＝BE,
∴△AEB为等边三角形.
∴AB＝AE.
∵ ABCD中,AB＝CD,
∴AE＝CD.
(3)解:∵△AEB为等边三角形,
∴∠AEC＝180°－60°＝120°.
∵ ABCD中,AB∥CD,
∴∠DCE＝180°－∠B＝120°.
∴∠AEC＝∠DCE.
又EC＝CE,AE＝DC,
∴△CEA≌△ECD(SAS).
∴∠ACE＝∠DEC.
∵∠AED＝80°,
∴∠DEC＝180°－60°－80°＝40°.∴∠ACE＝40°.
7.如图,在 ABCD中,AB＝5 cm,BC＝9 cm,动点P从点A出发,以每秒2 cm的速度沿 ABCD的边逆时针匀速运动;动点Q同时从点A出发,以每秒3 cm的速度沿 ABCD的边顺时针匀速运动.设点P的运动时间为t s.
(1)当点P在BC上运动时,BP＝ (2t－5) cm(用含t的代数式表示).
(2)当t＝ 时,P,Q两点相遇.
(3)是否存在t的值,使得以点A,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形 若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
解:存在t的值,使得以点A,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,t的值为.
①当四边形APCQ为平行四边形时,如图.
由题意,得PC＝(14－2t)cm,AQ＝3t cm.
∵四边形APCQ为平行四边形,
∴14－2t＝3t.解得t＝.
②当四边形AQCP为平行四边形时,如图.
由题意,得AQ＝(28－3t)cm,PC＝(2t－14)cm.
∵四边形APCQ为平行四边形,
∴28－3t＝2t－14.解得t＝.
综上所述,存在t的值,使得以点A,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,t的值为.
三、三角形的中位线
8.如图,在△ABC中,AC＝2,∠ACB＝120°,D是边AB的中点,E是边BC上一点,若DE平分△ABC的周长,则DE的长为 ( C )
A.
C.
9.如图,Rt△ABC 中,∠C＝90°,AC＝8,BC＝12,点D为BC边上的中点,将△ACD沿AD对折,使点C落在同一平面内的点C'处,连接BC',则BC'的长为 7.2 .
10.如图,已知△ABC中,点E是边AC的中点,点F是BE的中点,连接AF并延长交边BC于点D,BD＝2.求边BC的长.
解:取AD的中点G,连接EG,如图.
∴EG是△ADC的中位线.
∴EG＝CD,EG∥CD.
∴∠GEF＝∠DBF.
∵点F是BE的中点,
∴BF＝EF.
在△BDF和△EGF中,
∴△BDF≌△EGF(ASA).
∴BD＝EG＝2.
∴CD＝2EG＝4.
∴BC＝BD＋DC＝2＋4＝6.
11.如图,在△ABC中,AE平分∠BAC,BE⊥AE于点E,点F是BC的中点.
(1)如图①,BE的延长线与AC边相交于点D,求证:EF＝(AC－AB);
(2)如图②,探究线段AB,AC,EF之间的数量关系,并说明理由.
(1)证明:∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE＝∠CAE.
∵BE⊥AE,
∴∠BEA＝∠DEA＝90°.
∴∠ABD＝∠ADB.
∴AB＝AD.
∴E是BD的中点.
又点F是BC的中点,
∴EF是△BCD的中位线.
∴EF＝(AC－AD)＝(AC－AB).
(2)解:EF＝(AB－AC).理由如下:
如图②,延长AC交BE的延长线于点P.
∵AE⊥BP,
∴∠AEP＝∠AEB＝90°.
∴∠BAE＋∠ABE＝90°,∠PAE＋∠APE＝90°.
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE＝∠PAE.
∴∠ABE＝∠APE.
∴AB＝AP.
∵AE⊥BP,
∴BE＝PE.
又F是BC的中点,
∴EF是△BCP的中位线.
∴EF＝(AP－AC)＝(AB－AC).
四、矩形的性质与判定
12.如图,在矩形ABCD中,点E在AD上,EF⊥CE交AB于点F,且EF＝EC.若DE＝2,矩形ABCD的周长是16,则AE的长是( A )
A.3 B.4
C.5 D.7
13.如图,四边形OBCD是一个在平面直角坐标系中的矩形,点O为坐标原点,OB＝6,OD＝10,在CD边上取一点E,连接BE,将△BCE沿着BE所在直线翻折,使点C落在OD边上的点F处,则点E的坐标为( C )
A.(10,3) B.(10,2)
C. D.(10,4)
14.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O作OE⊥AC交AD于点E,若AB＝4,BC＝8,则AE的长为( C )
A.3 B.4
C.5 D.
15.如图,在矩形ABCD中,点E在边BC上,点F是AE的中点,AB＝4,AD＝DE＝5,则BF的长为 .
16.如图,在矩形ABCD中,AB＝5,AD＝12,对角线AC与BD相交于点O,点E为边BC上的一个动点,EF⊥AC,EG⊥BD,垂足分别为F,G,则EF＋EG＝ .
17.如图,点E为矩形ABCD的边BC上的一点,作DF⊥AE于点F,且满足DF＝AB.下面结论:①△DEF≌△DEC;②S△ABE＝S△ADF;③AF＝AB;④BE＝AF.其中正确的结论有( A )
A.3个 B.2个
C.1个 D.0个
18.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC的中点,连接EC,FD,点G,H分别是EC,FD的中点,连接GH,若AB＝6,BC＝10,则GH的长度为( C )
A.
D.2
19.如图,矩形ABCD中,AB＝8,AD＝6,矩形内有一个点P,连接AP,BP,CP,已知∠APB＝90°,CP＝CB,延长CP交AD于点E,则AE＝ .
20.如图,在平行四边形ABCD中,∠ACB＝90°,过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E,连接AE交CD于点F.
(1)求证:四边形ACED是矩形;
(2)连接BF,若∠ABC＝60°,CE＝3,求BF的长.
(1)证明:∵∠ACB＝90°,
∴AC⊥BC.
∵DE⊥BC,
∴AC∥DE.
∵四边形ABCD是平行四边形,点E在BC的延长线上,
∴AD∥CE.
∴四边形ACED是平行四边形.
又∠ACE＝90°,
∴四边形ACED是矩形.
(2)解:∵四边形ACED是矩形,四边形ABCD是平行四边形,
∴AE＝CD＝AB,AF＝EF,AD＝CE＝CB＝3.
∵∠ABC＝60°,
∴△ABE是等边三角形.
∴BF⊥AE,AB＝AE＝BE＝2CE＝2×3＝6.
∴∠AFB＝90°,AF＝×6＝3.
∴BF＝.
五、菱形的性质与判定
21.如图,∠AOB＝60°,以点O为圆心,2 cm为半径画弧交OA,OB于点C,D;分别以点C,D为圆心,大于CD长为半径画弧,两弧交于点E;以点C为顶点作∠FCH＝∠AOB,射线CH与OE交于点G,连接DG,则四边形ODGC的面积为( B )
A. cm2 B.2 cm2
C.4 cm2 D.4 cm2
22.如图,在菱形ABCD中,∠ABC＝120°,点E是边AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,若AB＝2,则PB＋PE的最小值是 .
23.如图,两张等宽的纸条交叉叠放在一起,重合部分构成四边形ABCD,P为CD上一点,连接BP,若四边形ABCD的面积为20,纸条的宽为4,DP＝2,则BP的长是 2 .
24.如图,在菱形ABCD中,∠BAD＝60°,AC,BD交于点O,E为CD延长线上的一点,且CD＝DE,连接BE分别交AC,AD于点F,G,连接OG.下面结论:
①OG＝AB;②四边形ABDE是菱形;③S四边形ODGF＝S△ABF.其中正确的结论是 ①②③ .
25.如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB＝AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB,交AB的延长线于点E,连接OE.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若AB＝5,BD＝6,求OE的长.
(1)证明:
∵AB∥CD,
∴∠CAB＝∠DCA.
∵AC平分∠DAB,
∴∠CAB＝∠DAC.∴∠DAC＝∠DCA.
∴CD＝AD.
∵AB＝AD,
∴AB＝CD.
又AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.
又AD＝AB,
∴平行四边形ABCD是菱形.
(2)解:∵四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O,
∴AC⊥BD,OA＝OC＝AC,OB＝OD＝BD＝3.
在Rt△AOB中,∠AOB＝90°,
∴OA＝＝4.
∵CE⊥AB,
∴∠AEC＝90°.
在Rt△AEC中,∠AEC＝90°,O为AC的中点,
∴OE＝OA＝4.
六、正方形的性质与判定
26.如图,正方形ABCD中,AC为对角线,E,F分别为AB,CD上的点,将△BCE与△DAF分别沿CE,AF折叠,使点B,D分别落在对角线AC上的B',D'处.若AB＝2,则B'D'的长是( A )
A.4－2
C.2－1
27.(2025·惠州期末)如图,已知四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形,且G是AB的中点,连接AE,若AB＝2,则AE的长为( C )
A.2 B.4
C.
28.如图,在正方形ABCD中,E为线段CD上一点且CE＝CD,连接AC,BE交于点F,分别取AC,BE的中点M,N,连接MN,若AB＝4,则MN为( B )
A.1 B.
C.2 D.
29.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,CE,DF交于点G,连接AG.下列结论:①CE＝DF;②CE⊥DF;③AG＝AD;④∠EAG＝30°.其中正确的结论是( D )
A.①② B.①③
C.①②④ D.①②③
30.如图,在矩形纸片ABCD中,CD＝3,AD＝6,将矩形沿着EF折叠,折痕分别交AD,BC于点E,F,点C的对应点为C',点D的对应点为D'.
(1)观察发现:如图①,连接C'E,若C'F⊥BC,BF＝1,则C'E的长为 .
(2)探究迁移:如图②,若点C'和点A重合,求CF的长.
(3)拓展应用:若点C的对应点C'落在边AD上,求线段CF的长的取值范围.
解:(2)由折叠,得CF＝AF.
由题意知,AB＝3,BC＝AD＝6.
设BF＝x,则AF＝CF＝BC－BF＝6－x.
在Rt△ABF中,AB2＋BF2＝AF2,
∴32＋x2＝(6－x)2.
解得x＝.
∴CF＝BC－BF＝6－.
(3)①如图,当点C'与点A重合时,线段CF最长.
由(2),可得CF＝.
②如图,当C'F⊥BC时,线段CF最短.
此时,四边形C'FCD是正方形.
∴CF＝CD＝3.
综上所述,CF的长的取值范围是3≤CF≤.
