第二十章 勾股定理 检测卷
(满分:120分 时间:120分钟)
题 号 一 二 三 四 五 总 分
得 分
一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.以下列各组数为长度的线段,不能构成直角三角形的是( )
A.3,4,5 B.1,1,
C.41,40,9 D.7,10,13
2.如图,所有阴影部分四边形都是正方形,所有三角形都是直角三角形,已知正方形A,B,C的面积依次为2,4,3,则正方形D的面积为( )
A.8 B.9
C.11 D.12
3.已知直角三角形的两边长分别为x,y,且满足＝0,则第三边的长为( )
A.5 B.
或5
4.如图,以数轴上的单位长度线段为边作一个正方形,以表示数1的点为圆心,以正方形的对角线长为半径画弧,交数轴于点A,则点A表示的数是( )
A.－
5.如图,在△ABC中,AB＝AC＝4,∠B＝15°,CD是腰AB上的高,则AD的长为( )
A.4 B.2
6.如图,一架云梯长25 m,斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7 m,如果梯子的顶端下滑4 m,那么梯子的底部在水平方向滑动了( )
A.4 m B.6 m
C.7 m D.8 m
7.临汾是帝尧之都,有着尧都之称.尧都华表柱身祥云腾龙,顶蹲冲天吼,底座浮雕长城和黄河壶口瀑布,是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志.如图,在底面周长约为6 m且带有层层回环不断的云朵石柱上,有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方(从点A到点C,B为AC的中点),每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16 m,则雕刻在石柱上的巨龙至少为( )
A.20 m B.25 m
C.30 m D.15 m
8.如图,在四边形ABCD中,对角线分别为AC,BD,且AC⊥BD交于点O,若AD＝2,BC＝6,则AB2＋CD2的值为( )
A.40 B.38
C.36 D.32
9.如图,在3×3的正方形网格中,若小正方形的边长是1,则任意两个格点间的距离不可能是( )
A.2 B.2
10.如图,钓鱼竿AB的长为6 m,露在水面上的鱼线BC长为2 m.钓鱼者想看鱼钩上的情况,把钓鱼竿AB转到AB'的位置,此时露在水面上的鱼线B'C'长为3 m,则CC'的长为( )
A.
m
二、填空题:本大题共5小题,每小题3分,共15分.
11.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠A＝45°,AB＝10,则AC的长为 .
12.一座垂直于两岸的桥长27 m,一艘小船自桥北头出发,向正南方向驶去,因水流原因,到达南岸后,发现已偏离桥南头36 m,则小船实际行驶了 m.
13.如图,某地铁公安监控区域的警示图标中,摄像头的支架是由水平、竖直方向的AB,BC两段构成,若BC段长度为8 cm,点A,C之间的距离比AB段长2 cm,则AB段的长度为 cm.
14.如图,在△ABC中,点P在△ABC内部,AB＝AC＝13,BP⊥CP于点P,BP＝8,CP＝6,则阴影部分的面积为 .
15.如图,正方形网格中,每一小格的边长为1.网格内有△PAB,则∠PAB＋∠PBA的度数是 .
三、解答题(一):本大题共3小题,每小题7分,共21分.
16.在 Rt△ABC中,∠C＝90°.
(1)若AB＝15,AC＝12,求 BC的长;
(2)若AB＝6,∠A＝30°,求 BC的长.
17.如图,正方形网格中每个小正方形的边长都是1,每个小格的顶点叫做格点,以格点为顶点按下列要求画三角形.
(1)在图①中画三角形,使三角形为等腰三角形且底边长为2,腰长为;
(2)在图②中画三角形,使三角形为直角三角形且一条直角边长为,斜边长为5.
18.某游乐场部分平面图如图所示,点D,C,A在同一直线上,点A,B在同一直线上,DA⊥AB,测得AC＝60 m,AB＝80 m,DC＝75 m.
(1)求入口B到大摆锤C的距离.
(2)现要在距离大摆锤45 m的E处修建游乐项目旋转木马,点B,C,E在同一直线上,此时旋转木马E到过山车D的距离最近.
①DE与EC的位置关系为 ;
②求过山车D到旋转木马E的距离.
四、解答题(二):本大题共3小题,每小题9分,共27分.
19.如图,笔直的公路上A,B两点相距17 km,C,D为两村庄,DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,已知DA＝12 km,CB＝5 km,现在要在公路的AB段上建一个公交车站E,使得C,D两村到公交车站E的距离相等.则公交车站E应建在离点A多远处
20.如图,在四边形ABCD中,AB＝20,BC＝15,CD＝7,AD＝24,∠B＝90°.
(1)求证:CD⊥AD;
(2)求四边形ABCD的面积.
21.如图是俱乐部新打造的一款儿童游戏项目,工作人员告诉小敏,该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造,总长度为26 m,长方形ADCG和长方形DEFC均为木质平台的横截面,点G在AB上,点C在GF上,点D在AE上,经过现场测量得知:CD＝1 m,AD＝15 m.
(1)小敏猜想立柱AB段的长为10 m,请判断小敏的猜想是否正确 如果正确,请写出理由;如果错误,请求出立柱AB段的正确长度.
(2)为加强游戏安全性,俱乐部打算再焊接一段钢索BF,经测量DE＝3 m,请你求出要焊接的钢索BF的长.(结果保留根号)
五、解答题(三):本大题共2小题,第22题13分,第23题14分,共27分.
22.(1)课堂上,老师提问:求的最小值.聪明的小明结合将军饮马和勾股定理的相关知识,利用构图法解出了此题,他的做法如下:
①如图,作一条长为16的线段CD;
②过点C在线段CD的上方作线段CD的垂线AC,使AC＝3;过点D在线段CD的下方作线段CD的垂线BD,使BD＝9;
③在线段CD上任取一点O,设CO＝x;
④根据勾股定理计算可得,AO＝ ,BO＝ (请用含x的代数式表示,不需要化简);
⑤则AO＋BO的最小值即为所求代数式的最小值……
请补全小明的解法中第④步,第⑤步的剩余步骤.
(2)请结合第(1)问,直接写出的最小值为 .
23.如图,已知△ABC中,∠B＝90°,AB＝16 cm,BC＝12 cm,P,Q是△ABC边上的两个动点,其中点P从点A开始沿A→B方向运动,且速度为每秒1 cm,点Q从点B开始沿B→C→A方向运动,且速度为每秒2 cm,它们同时出发,设运动的时间为t s.
(1)运动2 s后,求PQ的长.
(2)当点Q在边BC上运动时,运动几秒后,△PQB是等腰三角形
(3)当点Q在边CA上运动时,求能使△BCQ是等腰三角形的运动时间.第二十章 勾股定理 检测卷
(满分:120分 时间:120分钟)
题 号 一 二 三 四 五 总 分
得 分
一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.以下列各组数为长度的线段,不能构成直角三角形的是( D )
A.3,4,5 B.1,1,
C.41,40,9 D.7,10,13
2.如图,所有阴影部分四边形都是正方形,所有三角形都是直角三角形,已知正方形A,B,C的面积依次为2,4,3,则正方形D的面积为( B )
A.8 B.9
C.11 D.12
3.已知直角三角形的两边长分别为x,y,且满足＝0,则第三边的长为( D )
A.5 B.
或5
4.如图,以数轴上的单位长度线段为边作一个正方形,以表示数1的点为圆心,以正方形的对角线长为半径画弧,交数轴于点A,则点A表示的数是( B )
A.－
5.如图,在△ABC中,AB＝AC＝4,∠B＝15°,CD是腰AB上的高,则AD的长为( B )
A.4 B.2
6.如图,一架云梯长25 m,斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7 m,如果梯子的顶端下滑4 m,那么梯子的底部在水平方向滑动了( D )
A.4 m B.6 m
C.7 m D.8 m
7.临汾是帝尧之都,有着尧都之称.尧都华表柱身祥云腾龙,顶蹲冲天吼,底座浮雕长城和黄河壶口瀑布,是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志.如图,在底面周长约为6 m且带有层层回环不断的云朵石柱上,有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方(从点A到点C,B为AC的中点),每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16 m,则雕刻在石柱上的巨龙至少为( A )
A.20 m B.25 m
C.30 m D.15 m
8.如图,在四边形ABCD中,对角线分别为AC,BD,且AC⊥BD交于点O,若AD＝2,BC＝6,则AB2＋CD2的值为( A )
A.40 B.38
C.36 D.32
9.如图,在3×3的正方形网格中,若小正方形的边长是1,则任意两个格点间的距离不可能是( D )
A.2 B.2
10.如图,钓鱼竿AB的长为6 m,露在水面上的鱼线BC长为2 m.钓鱼者想看鱼钩上的情况,把钓鱼竿AB转到AB'的位置,此时露在水面上的鱼线B'C'长为3 m,则CC'的长为( A )
A.
m
二、填空题:本大题共5小题,每小题3分,共15分.
11.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠A＝45°,AB＝10,则AC的长为 5 .
12.一座垂直于两岸的桥长27 m,一艘小船自桥北头出发,向正南方向驶去,因水流原因,到达南岸后,发现已偏离桥南头36 m,则小船实际行驶了 45 m.
13.如图,某地铁公安监控区域的警示图标中,摄像头的支架是由水平、竖直方向的AB,BC两段构成,若BC段长度为8 cm,点A,C之间的距离比AB段长2 cm,则AB段的长度为 15 cm.
14.如图,在△ABC中,点P在△ABC内部,AB＝AC＝13,BP⊥CP于点P,BP＝8,CP＝6,则阴影部分的面积为 36 .
15.如图,正方形网格中,每一小格的边长为1.网格内有△PAB,则∠PAB＋∠PBA的度数是 45° .
三、解答题(一):本大题共3小题,每小题7分,共21分.
16.在 Rt△ABC中,∠C＝90°.
(1)若AB＝15,AC＝12,求 BC的长;
(2)若AB＝6,∠A＝30°,求 BC的长.
解:(1)∵∠C＝90°,AB＝15,AC＝12,
∴BC＝＝9.
(2)∵∠C＝90°,AB＝6,∠A＝30°,
∴BC＝AB＝3.
17.如图,正方形网格中每个小正方形的边长都是1,每个小格的顶点叫做格点,以格点为顶点按下列要求画三角形.
(1)在图①中画三角形,使三角形为等腰三角形且底边长为2,腰长为;
(2)在图②中画三角形,使三角形为直角三角形且一条直角边长为,斜边长为5.
解:(1)如图①,△ABC即为所求.
(2)如图②,△ABC即为所求.
18.某游乐场部分平面图如图所示,点D,C,A在同一直线上,点A,B在同一直线上,DA⊥AB,测得AC＝60 m,AB＝80 m,DC＝75 m.
(1)求入口B到大摆锤C的距离.
(2)现要在距离大摆锤45 m的E处修建游乐项目旋转木马,点B,C,E在同一直线上,此时旋转木马E到过山车D的距离最近.
①DE与EC的位置关系为 DE⊥EC ;
②求过山车D到旋转木马E的距离.
解:(1)∵DA⊥AB,AC＝60 m,AB＝80 m,
∴BC＝＝100(m).
答:入口B到大摆锤C的距离为100 m.
(2)②∵∠DEC＝90°,CD＝75 m,CE＝45 m,
∴DE＝＝60(m).
答:过山车D到旋转木马E的距离为60 m.
四、解答题(二):本大题共3小题,每小题9分,共27分.
19.如图,笔直的公路上A,B两点相距17 km,C,D为两村庄,DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,已知DA＝12 km,CB＝5 km,现在要在公路的AB段上建一个公交车站E,使得C,D两村到公交车站E的距离相等.则公交车站E应建在离点A多远处
解:∵C,D两村到公交车站E的距离相等,∴DE＝EC.
∵DA⊥AB,CB⊥AB,∴∠A＝∠B＝90°.
∴AE2＋AD2＝DE2,BE2＋BC2＝EC2.∴AE2＋AD2＝BE2＋BC2.
设AE＝x km,则BE＝AB－AE＝(17－x)km.
∵DA＝12 km,CB＝5 km,∴x2＋122＝(17－x)2＋52.
解得x＝5.∴AE＝5 km.
答:公交车站E应建在离点A 5 km处.
20.如图,在四边形ABCD中,AB＝20,BC＝15,CD＝7,AD＝24,∠B＝90°.
(1)求证:CD⊥AD;
(2)求四边形ABCD的面积.
(1)证明:如图,连接AC.
∵∠B＝90°,∴AC2＝AB2＋BC2＝202＋152＝625.
∵AD2＋CD2＝242＋72＝625,∴AC2＝AD2＋CD2.
∴△ADC是直角三角形,∠D＝90°.∴CD⊥AD.
(2)解:AB·BC＋AD·CD＝×24×7＝234.
21.如图是俱乐部新打造的一款儿童游戏项目,工作人员告诉小敏,该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造,总长度为26 m,长方形ADCG和长方形DEFC均为木质平台的横截面,点G在AB上,点C在GF上,点D在AE上,经过现场测量得知:CD＝1 m,AD＝15 m.
(1)小敏猜想立柱AB段的长为10 m,请判断小敏的猜想是否正确 如果正确,请写出理由;如果错误,请求出立柱AB段的正确长度.
(2)为加强游戏安全性,俱乐部打算再焊接一段钢索BF,经测量DE＝3 m,请你求出要焊接的钢索BF的长.(结果保留根号)
解:(1)不正确.
由题意,得AG＝CD＝1 m,GC＝AD＝15 m,∠AGC＝∠BGC＝90°.
设BG＝x m,则BC＝(26－1－x)m.
在Rt△BGC中,由勾股定理,得BG2＋CG2＝CB2,
即x2＋152＝(26－1－x)2.解得x＝8.∴BG＝8 m.
∴AB＝BG＋GA＝9(m).∴立柱AB段的正确长度为9 m.
(2)由题意,得CF＝DE＝3 m,∴GF＝GC＋CF＝18(m).
在Rt△BGF中,由勾股定理,得BF＝(m).
∴钢索BF的长为2 m.
五、解答题(三):本大题共2小题,第22题13分,第23题14分,共27分.
22.(1)课堂上,老师提问:求的最小值.聪明的小明结合将军饮马和勾股定理的相关知识,利用构图法解出了此题,他的做法如下:
①如图,作一条长为16的线段CD;
②过点C在线段CD的上方作线段CD的垂线AC,使AC＝3;过点D在线段CD的下方作线段CD的垂线BD,使BD＝9;
③在线段CD上任取一点O,设CO＝x;
④根据勾股定理计算可得,AO＝ ,BO＝ (请用含x的代数式表示,不需要化简);
⑤则AO＋BO的最小值即为所求代数式的最小值……
请补全小明的解法中第④步,第⑤步的剩余步骤.
(2)请结合第(1)问,直接写出的最小值为 10 .
解:(1)⑤如图,连接AB,交CD于点O',则此时AO＋BO取得最小值,延长AC到点A',连接A'B,使四边形A'CDB是长方形,则∠A'＝90°,A'C＝BD＝9.
∴AB＝＝20.
∴AO＋BO的最小值,即代数式的最小值为20.
23.如图,已知△ABC中,∠B＝90°,AB＝16 cm,BC＝12 cm,P,Q是△ABC边上的两个动点,其中点P从点A开始沿A→B方向运动,且速度为每秒1 cm,点Q从点B开始沿B→C→A方向运动,且速度为每秒2 cm,它们同时出发,设运动的时间为t s.
(1)运动2 s后,求PQ的长.
(2)当点Q在边BC上运动时,运动几秒后,△PQB是等腰三角形
(3)当点Q在边CA上运动时,求能使△BCQ是等腰三角形的运动时间.
解:(1)当t＝2时,AP＝2 cm,BQ＝2t＝4 cm.
∵AB＝16 cm,∴BP＝AB－AP＝16－2＝14(cm).
∴PQ＝(cm).
(2)由题意,可知AP＝t cm,BQ＝2t cm.
∵AB＝16 cm,∴BP＝AB－AP＝(16－t)cm.
当△PQB为等腰三角形时,BP＝BQ,即16－t＝2t.解得t＝.
∴运动 s后,△PQB是等腰三角形.
(3)①当CQ＝BQ时,如图所示,则∠C＝∠CBQ.
∵∠ABC＝90°,∴∠CBQ＋∠ABQ＝90°,∠A＋∠C＝90°.
∴∠A＝∠ABQ.∴BQ＝AQ.∴CQ＝AQ.
∵AC＝＝20(cm),
∴CQ＝AQ＝10 cm.∴BC＋CQ＝22 cm.
∴t＝22÷2＝11.
②当CQ＝BC时,如图所示.
此时BC＋CQ＝24 cm.∴t＝24÷2＝12.
③当BC＝BQ时,如图所示,过点B作BE⊥AC于点E.
则BE＝(cm).
∴CE＝(cm).
∴CQ＝2CE＝14.4 cm.∴BC＋CQ＝26.4 cm.
∴t＝26.4÷2＝13.2.
综上所述,当运动时间为11 s或12 s或13.2 s时,△BCQ是等腰三角形.
