第十九章 二次根式
一、二次根式
【考点1】二次根式的定义
1.a是任意实数,下列各式:①;②;③;④;⑤,其中一定是二次根式的个数是( C )
A.1 B.2
C.3 D.4
2.若是一个正整数,则整数a的最小值是( A )
A.－4 B.－2
C.2 D.8
3.观察下列二次根式的化简.
S1＝,
S2＝,
S3＝,…,则＝( D )
A.
【考点2】二次根式的性质
4.若实数a在数轴上对应点的位置如图所示,则化简()2＋的结果是 1 .
5.已知＝2,则＝ 10 .
6.形如的根式叫作复合二次根式,把化简,得到的结果为 .
7.利用平方与开平方互为逆运算的关系,可以将某些无理数进行如下操作:当a＝＋1时,移项得a－1＝,两边平方得(a－1)2＝()2,所以a2－2a＋1＝3,即得到整系数方程:a2－2a－2＝0.
仿照上述操作方法,解答下面的问题:
①当a＝时,得到的整系数方程为 a2＋a－1＝0 ;
②计算a3－2a＋2 026＝ 2 025 .
8.已知实数a满足＝a,求a－2 0252的值.
解:∵二次根式有意义,
∴a－2 026≥0,即a≥2 026.
∴2 025－a＜0.
∴a－2 025＋＝a.
∴＝2 025.
等式两边平方,整理得a－2 0252＝2 026.
9.【代数推理】代数推理指从一定条件出发,依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论.
【发现问题】小明在计算时发现:对于任意两个连续的正整数m,n,它们的乘积 q(q＝mn)与较大数的和一定为较大数的平方.
举例验证:当m＝4,n＝5时,q＋n＝4×5＋5＝25＝52.
推理证明:小明同学做了如下的证明:
设m＜n,m,n是连续的正整数,
∴n＝m＋1.∵q＝mn,∴q＋n＝mn＋n＝n(m＋1)＝n2.∴q＋n一定是正数n的平方.
【类比猜想】(1)小红同学提出:任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方.请你举例验证及推理证明.
【深入思考】(2)若 p＝(m, n为两个连续奇数, 0＜m＜n,q＝mn),求证:p一定是偶数.
(1)解:举例验证:当m＝4,n＝5时,q－m＝4×5－4＝16＝42.
推理证明:设m＜n,m,n是连续的正整数,
∴m＝n－1.
∵q＝mn,
∴q－m＝mn－m＝m(n－1)＝m2.
∴q－m一定是正数m的平方.
(2)证明:∵m,n为两个连续奇数,0＜m＜n,
∴n＝m＋2.
∴q＝mn＝m2＋2m.
∴p＝＝m＋2＋m＝2(m＋1).
∴p一定是偶数.
二、二次根式的运算
【考点1】二次根式的乘除
10.若等式成立,则x的取值范围是 0≤x≤2 .
11.在解决如下问题“已知＝a,＝b,用含a,b的代数式表示”时,甲、乙两个同学分别给出不同解法:
甲:.
乙:.
因为,
所以.
对于这两种解法,正确的是( C )
A.甲对 B.乙对
C.甲、乙均对 D.甲、乙均不对
12.观察数据并寻找规律:,－2,,－2,…,则第2 025个数是( A )
A.
C.
13.已知a＝,b＝－3,则a与b的关系是 ( D )
A.a＝b B.ab＝1
C.ab＝－1 D.a＋b＝0
14.我们知道,任意一个二次根式(n为正整数),都可以进行这样的分解:(p,q是正整数,且p≤q),在n的所有这种分解中,如果最小,我们就称的最佳分解,并规定:F(n)＝,显然的最佳分解,此时F(12)＝.
(1)直接写出的最佳分解: ,F(24)＝ ;
(2)若正整数m,n满足F(m)＝1,F(n)＝,且35＜m＋n＜40,求F(m＋n)的值.
解:∵F(n)＝,
∴可设·,其中k为正整数.得n＝30k2.
∵35＜m＋n＜40,∴n＝30.
∵F(m)＝1,∴m是一个正整数的平方.
∵35＜m＋n＜40,n＝30,
∴5＜m＜10.∴m＝9.∴F(m＋n)＝F(39)＝.
【考点2】二次根式的加减
15.已知＝28.36,则m的平方根为 D )
A.0.283 6 B.2.836
C.±0.283 6 D.±2.836
16.已知5－＝a＋b,a是整数,0＜b＜1,则()·b的值是( B )
A.3－ B.2
C.－3 D.－2
17.已知a＝－1,b＝＋1,则＝ 4 .
18.已知a＝,则a2－2a＋9＝ 11 .
19.已知A＝2,B＝3,C＝,其中A,B为最简二次根式,且A＋B＝C,则2y－x的值为 68 .
20.已知m＝1＋,n＝1－,且(7m2－14m＋a)(3n2－6n－7)＝8,则a的值是 ( C )
A.－5 B.5
C.－9 D.8
21.阅读材料并解决下列问题:
已知a,b是有理数,并且满足等式5－－a,求a,b的值.
解:∵5－－a,
即5－a＝(2b－a)＋,
∴
(1)已知a,b是有理数,并且满足等式a－(1＋)b＝3－1,则a＝ 4 ,b＝ 1 .
(2)已知x,y是有理数,并且满足等式x＋x＋18,求xy的平方根.
解:∵x＋x＋18,
∴(y－3x).
∴
∴xy＝16.
∴xy的平方根为±4.
三、二次根式的应用
类型1 二次根式与数学文化
22.已知三角形的三边长分别为a,b,c,求其面积.
对此问题,中外数学家曾经进行过深入研究.
古希腊几何学家海伦(Heron,约公元50年),给出了求其面积的海伦公式:
S＝,其中p＝ .①
我国南宋时期数学家秦九韶(约1202—1261),给出了著名的秦九韶公式:
S＝.②
若一个三角形的三边长依次为,请选用适当的公式求出这个三角形的面积为 ( B )
A.
类型2 二次根式与跨学科命题
23.高空抛物极其危险,是我们必须杜绝的行为.忽略空气阻力的影响,高空抛物的物体所在高度h(单位:m)和下落的时间t(单位:s)近似满足自由落体公式h＝gt2,其中g＝9.8 m/s2,那么从 50 m高空抛物到落地的时间t1与从200 m高空抛物到落地的时间t2之比t1∶t2的值为(A)
A.
24.已知一个长方体木块放在水平的桌面上,木块的长、宽、高分别是 (a＞b＞c＞0),若木块对桌面的最大压强为p1,最小压强为p2,则的值等于 .
类型3 二次根式与乘法公式
25.定义:我们将()与()称为一对“对偶式”.因为()()＝()2－()2＝a－b,可以有效地去掉根号,所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决.
例如:已知＝1,求的值,可以这样解答:
因为()·()＝()2－()2＝18－x－(11－x)＝7,
所以＝7.
(1)已知:＝8,求:
①＝ 2 ;
②结合已知条件和第①问的结果,解方程:＝8.
(2)计算:＋…＋
.
解:(1)②由①得＝2,已知＝8,
两式相加,得2＝10,即＝5.
所以20－x＝25.解得x＝－5.
经检验,x＝－5满足题意.
所以方程＝8的解是x＝－5.
(2)原式＝＋…＋ ＝＋…＋＋…＋.第十九章 二次根式
一、二次根式
【考点1】二次根式的定义
1.a是任意实数,下列各式:①;②;③;④;⑤,其中一定是二次根式的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
2.若是一个正整数,则整数a的最小值是( )
A.－4 B.－2
C.2 D.8
3.观察下列二次根式的化简.
S1＝,
S2＝,
S3＝,…,则＝( )
A.
【考点2】二次根式的性质
4.若实数a在数轴上对应点的位置如图所示,则化简()2＋的结果是 .
5.已知＝2,则＝ .
6.形如的根式叫作复合二次根式,把化简,得到的结果为 .
7.利用平方与开平方互为逆运算的关系,可以将某些无理数进行如下操作:当a＝＋1时,移项得a－1＝,两边平方得(a－1)2＝()2,所以a2－2a＋1＝3,即得到整系数方程:a2－2a－2＝0.
仿照上述操作方法,解答下面的问题:
①当a＝时,得到的整系数方程为 ;
②计算a3－2a＋2 026＝ .
8.已知实数a满足＝a,求a－2 0252的值.
9.【代数推理】代数推理指从一定条件出发,依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论.
【发现问题】小明在计算时发现:对于任意两个连续的正整数m,n,它们的乘积 q(q＝mn)与较大数的和一定为较大数的平方.
举例验证:当m＝4,n＝5时,q＋n＝4×5＋5＝25＝52.
推理证明:小明同学做了如下的证明:
设m＜n,m,n是连续的正整数,
∴n＝m＋1.∵q＝mn,∴q＋n＝mn＋n＝n(m＋1)＝n2.∴q＋n一定是正数n的平方.
【类比猜想】(1)小红同学提出:任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方.请你举例验证及推理证明.
【深入思考】(2)若 p＝(m, n为两个连续奇数, 0＜m＜n,q＝mn),求证:p一定是偶数.
二、二次根式的运算
【考点1】二次根式的乘除
10.若等式成立,则x的取值范围是 .
11.在解决如下问题“已知＝a,＝b,用含a,b的代数式表示”时,甲、乙两个同学分别给出不同解法:
甲:.
乙:.
因为,
所以.
对于这两种解法,正确的是( )
A.甲对 B.乙对
C.甲、乙均对 D.甲、乙均不对
12.观察数据并寻找规律:,－2,,－2,…,则第2 025个数是( )
A.
C.
13.已知a＝,b＝－3,则a与b的关系是 ( )
A.a＝b B.ab＝1
C.ab＝－1 D.a＋b＝0
14.我们知道,任意一个二次根式(n为正整数),都可以进行这样的分解:(p,q是正整数,且p≤q),在n的所有这种分解中,如果最小,我们就称的最佳分解,并规定:F(n)＝,显然的最佳分解,此时F(12)＝.
(1)直接写出的最佳分解: ,F(24) ;
(2)若正整数m,n满足F(m)＝1,F(n)＝,且35＜m＋n＜40,求F(m＋n)的值.
【考点2】二次根式的加减
15.已知＝28.36,则m的平方根为 )
A.0.283 6 B.2.836
C.±0.283 6 D.±2.836
16.已知5－＝a＋b,a是整数,0＜b＜1,则()·b的值是( )
A.3－ B.2
C.－3 D.－2
17.已知a＝－1,b＝＋1,则＝ .
18.已知a＝,则a2－2a＋9＝ .
19.已知A＝2,B＝3,C＝,其中A,B为最简二次根式,且A＋B＝C,则2y－x的值为 .
20.已知m＝1＋,n＝1－,且(7m2－14m＋a)(3n2－6n－7)＝8,则a的值是 ( )
A.－5 B.5
C.－9 D.8
21.阅读材料并解决下列问题:
已知a,b是有理数,并且满足等式5－－a,求a,b的值.
解:∵5－－a,
即5－a＝(2b－a)＋,
∴
(1)已知a,b是有理数,并且满足等式a－(1＋)b＝3－1,则a＝ ,b＝ .
(2)已知x,y是有理数,并且满足等式x＋x＋18,求xy的平方根.
三、二次根式的应用
类型1 二次根式与数学文化
22.已知三角形的三边长分别为a,b,c,求其面积.
对此问题,中外数学家曾经进行过深入研究.
古希腊几何学家海伦(Heron,约公元50年),给出了求其面积的海伦公式:
S＝,其中p＝ .①
我国南宋时期数学家秦九韶(约1202—1261),给出了著名的秦九韶公式:
S＝.②
若一个三角形的三边长依次为,请选用适当的公式求出这个三角形的面积为 ( )
A.
类型2 二次根式与跨学科命题
23.高空抛物极其危险,是我们必须杜绝的行为.忽略空气阻力的影响,高空抛物的物体所在高度h(单位:m)和下落的时间t(单位:s)近似满足自由落体公式h＝gt2,其中g＝9.8 m/s2,那么从 50 m高空抛物到落地的时间t1与从200 m高空抛物到落地的时间t2之比t1∶t2的值为( )
A.
24.已知一个长方体木块放在水平的桌面上,木块的长、宽、高分别是 (a＞b＞c＞0),若木块对桌面的最大压强为p1,最小压强为p2,则的值等于 .
类型3 二次根式与乘法公式
25.定义:我们将()与()称为一对“对偶式”.因为()()＝()2－()2＝a－b,可以有效地去掉根号,所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决.
例如:已知＝1,求的值,可以这样解答:
因为()·()＝()2－()2＝18－x－(11－x)＝7,
所以＝7.
(1)已知:＝8,求:
①＝ ;
②结合已知条件和第①问的结果,解方程:＝8.
(2)计算:＋…＋
.
