2026北京市师达中学初三（下）开学考数学（PDF版，无答案）

2026北京师达中学初三（下）开学考
数 学
一、选择题（共 16分，每题 2分）
1. 中国传统工艺美术纹样承载着深厚的文化内涵和象征意义．下列纹样中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 实数 a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（ ）
A. a 3 B. a 3 C. b a 4 D. a b 0
3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点 D．若 BC＝24，cosB＝ ，则 AD的长为（ ）
A．12 B．10
C．6 D．5
4. 下列函数中，当 x＞0 时，y 的值随着 x 的值增大而减小的是
（ ）
2 2
A．y＝2x B．y＝x2 C． y = D． y = (x 2)
x
5. 不透明袋子中装有1个红球和 2 个黄球，这些小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出两个小球，恰好
摸出1个红球和 1 个黄球的概率是（ ）
1 2 1 4
A. B. C. D.
3 3 9 9
6. DeepSeek V3是由中国AI 初创公司杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司发布的LLM 模
型，于 2024 年 12 月发布，它具有Mixture of Experts 架构，总共有671B个参数．
这里“B ”的含义是Billion ，即1B等于十亿．将671B用科学记数法表示应为（ ）
A. 671 108 B. 671 1010 C. 6.71 1010 D. 6.71 1011
7. 如图，等腰直角三角形 ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将 BC绕点 B顺时针旋转 θ（0°＜θ＜90°），
得到 BP，连接 CP，过点 A作 AH⊥CP交 CP的延长线于点 H，连接 AP，则随
着 θ 的增大，∠PAH的度数（ ）
A．增大 B．减小
C．不变 D．先增大后减小
ax
8. 小明使用图形计算器探究函数 y = (x b)2 的图象，他输入了一组 a，b的值，得到了下面的函数图象，
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由学习函数的经验，可以推断出小明输入的 a，b的值满足（ ）
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
二、填空题（共 16分，每题 2分）
9. 若 x + 2 在实数范围内有意义，则实数 x 取值范围是_______．
10. 分解因式： ax2 2ax + a = _________．
3
11. 若点 A（a，b）在双曲线 y = 上，则代数式 ab﹣8 的值为 ．
x
2
12. 若关于 x 一元二次方程 x + 2x + k = 0无实数根，则 k的取值范围是 ．
13. 某林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表
所示：
移植 棵数 a 100 300 60的0 1000 7000 15000
成活的棵数 b 87 279 535 887 6337 13581
b
成活的频率
a 0.870 0.930 0.892 0.887 0 905 0.905
（保留小数点后三位）
根据表中的信息，估计银杏树苗在这个条件下移植成活的概率.约为_____________（精确到 0.1）．
14. 如图， AB是 O的直径，点 C，D在 O上，OD ⊥ AC，若 B = 50 ，则 D = ___________°．
14 题 15 题
15. 如图所示的网格是正方形网格，线段 AB绕点 A顺时针旋转 α（0°＜α＜180°）后与⊙O相切，则 α的
值为 ．
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16. 某工厂生产的一种产品由A ， B两种零件各一个组装而成（组装时间忽略不计），该工厂有 4 条流水线
生产这两种零件，一天的生产数量如下（单位：个）：
零件 流水线1 流水线 2 流水线3 流水线 4
A 80 90 70 60
B 100 120 110 70
程序需要提前设定，所以每条流水线一天只能生产同一种零件，第二天可以更换．
（1）如果只开通其中一条流水线，7 天最多生产该产品______件；
（2）如果 4 条流水线都开通，7 天最多生产该产品______件．
三、解答题（共 68分，第 17-19题，每题 5分，第 20题 6分，第 21-23题，每题 5分，第
24-26题，每题 6分，第 27-28题，每题 7分）
1
1
17. 计算： + 2cos 45 8 ( + 2)
0 ．
3
3(x 2) 4+ x

18. 解不等式组： 1+ 2x
x
3
2(x 2y)+3y
19. 已知2x + y 3 = 0 ，求代数式 2 2 的值． 4x y
20. 如图，在 ABC 中， B = 2 ACB，点 D在 BC上， AD = AB．过点 A，C 分别作 BC，DA 的
平行线交于点 E．
（1）求证：四边形 ADCE是菱形；
4
（2）若BD = 6， tan BCE = ，求 AC的长．
3
21.京雄高速北京段于 2023 年 12 月 31 日全线贯通．通车后、由西南五环至雄安新区可实现 1 小时通达，
比原来节省了 30 分钟．小东爸爸发现通车后从西南五环去雄安新区出差比通车前少走 27.5 千米，如果平
均车速比原来每小时多走 17 千米，正好和设计相符，通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是
多少？
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22. 在平面直角坐标系 xOy中，函数 y = kx +b (k 0)的图象经过点 A(1, 2)和B (0, 1)．
（1）求该函数的表达式；
（2）当 x 1时，对于 x的每一个值，函数 y = x + n的值小于函数 y = kx +b (k 0)的值且大于 0，直接
写出 n的取值范围．
23.某校开展“争做文化代言人，我是北京小使者”系列活动，号召同学们走出校园了解北京文化，积极参与
志愿服务. 该校从七、八两个年级中各随机抽取 10 名学生进行知识测评，并统计了这些学生每周志愿服务
时长. 下面给出了该活动的部分信息.
a.七、八两个年级各 10 名学生每周志愿服务时长与知识测评得分情况统计图：
b.学生每周志愿服务时长与志愿服务得分对应表：
每周志愿服务时长/小时 1 2 3 大于 3
志愿服务得分/分 60 70 80 90
c. 每名学生的知识测评得分和志愿服务得分相加得到综合得分，综合得分不低于 160 分的学生可获得
“北京小使者”奖章.
根据以上信息，回答下列问题：
(1)在两个年级分别抽取的 10 名学生中，记七、八年级学生每周志愿服务时长的中位数分别为m1，m2 ，
则 m1 _______ m2 ，记七、八年级学生知识测评得分的方差分别为 s
2 2 2 2
1 ， s2 ，则 s1 ________ s2 (填
“＞”“＜”或“＝”)；
(2)某年级所抽取的 10 名学生的综合得分频数分布直方图如下(数据分 6 组：第 1 组120 x 130，第 2
组130 x 140 ，第 3 组140 x 150 ，第 4 组150 x 160 ，第 5 组160 x 170 ，第 6 组
170 x 180 )：
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①该频数分布直方图反映的是________(填“七”或“八”)年级的学生得分情况；
②该年级知识测评得分最高的学生其综合得分位于第________组；
(3)该校七年级有 120名学生，八年级有 100名学生. 若所有学生都参与了系列活动，则估计两个年级可
获得“北京小使者”奖章的学生总人数为________.
24. 如图， AB是 O的直径，点C，D在 O上，OD平分 AOC .
(1)求证：OD∥BC；
(2)延长DO交 O于点 E，连接CE交OB于点 F ，过点 B作 O的切线交DE的延长线于点 P .若
OF 5
= ， PE =1，求 O半径的长.
BF 6
25. 乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号．发球机成为乒
乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长 OB 为 274cm，球网 CD 高
15.25cm．发球器采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分．
A
D
O B
C
某次训练，发球机从球台边缘 O点正上方 28.75cm 的高度 A处发球（即OA的长为
28.75cm），乒乓球到球台的竖直高度记为 y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记
为 x（单位：cm），测得几组数据如下：
水平距离 x/cm 0 10 50 90 130 170 230
竖直高度 y/cm 28.75 33 45 49 n 33 0
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根据以上数据，解决下列问题：
（1）当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是_______cm，表
格中 n的值为_______；
（2）求出满足条件的函数表达式；
（3）若发球机的发球高度增加 15 cm，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后_______
落到对面球台上（填“能”或“不能”）．
26. 在平面直角坐标系 xOy中，已知抛物线 y＝ax2﹣2ax+a﹣4（a≠0）．
（1）求抛物线 y＝ax2﹣2ax+a﹣4 的顶点坐标；
（2）当﹣1≤x≤5 时，y的最大值为 12；
①请求出 a的值；
②若 A（m，y1），B（m+t，y2）是抛物线上两点，其中 t＞0，记抛物线在 A，B 之间的部分为图象 G
（包含 A，B两点），若图象 G上最高点与最低点的纵坐标之差为 4，直接写出 t的取值范围．
27. 如图，在Rt△ABC中， ABC = 90 ， AB = BC，D为 ABC 内一点， ADB = 90 ，其中
45 ABD 90 ，将线段BD绕点 B顺时针旋转90 得到线段 BE，连接CE，作直线ED交 AC于点 F ．
(1)求 CEB的度数；
(2)用等式表示 AF 与CF 的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系 xOy中，对于△ABC与⊙O，给出如下定义：若△ABC与⊙O有且只有两个公共点，
其中一个公共点为点 A，另一个公共点在边 BC上（不与点 B，C重合），则称△ABC为⊙O的“点 A关
联三角形”．
（1）如图，⊙O的半径为 1，点 C（0，2）．
△AOC为⊙O的“点 A关联三角形”．
2 2
①在 P1（ 1，0），P2（ ， ）这两个点中，
2 2
点 A可以与点_______重合；
②点 A的横坐标的最小值为_________；
（2）⊙O的半径为 1，点 A（1，0），点 B是 y轴负半轴上的一个动点，点 C在 x轴下方，
△ABC是等边三角形，且△ABC为⊙O的“点 A关联三角形”．设点 C的横坐标为 m，求 m的取
值范围；
（3）⊙O 的半径为 r，直线 y = x与⊙O 在第一象限的交点为 A，点 C（4，0）．若平面直角坐标系
xOy 中存在点 B，使得△ABC 是等腰直角三角形，且△ABC 为⊙O的“点 A关联三角形”，直接
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写出 r的取值范围．
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