福建省泉州惠安一中等名校联考2025-2026学年下学期高三开学考数学试卷（含答案）

数学
满分:150 分 考试时间:120 分钟
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。
1. 已知集合 ，集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知复数 满足 ，则 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 已知 ,若在 之间插入 个数 ,使得这 个数成等差数列,若 , 则 ( )
A. 10 B. 12 C. 14 D. 24
4. 已知椭圆 的一个焦点为 ，点 ， 是 上关于原点对称的两点，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
5. 的展开式中 的系数为( )
A. 60 B. 20 C. -20 D. -60
6. 若对任意 ,且 ,都有 ,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 在空间中,我们把点集 表示的曲面 称为圆柱面,借助比利时数学家 Dandelin 的思想我们不难发现:任意不与 轴平行或垂直的平面截 所得封闭曲线为椭圆. 设圆柱面 ，正四棱锥 的五个顶点 ， 的夹角为 ，则正四棱锥 的体积为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数 ，若 ，则 的最大值为( )
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
二、多项选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 已知函数 ,则 ( )
A. 曲线 与 轴无公共点 B. 曲线 关于原点对称
C. D. 不存在
10. 已知 为随机事件,且 ,则下列结论正确的是 ( )
A. 若 互斥,则 B. 若 相互独立,则
C. 若 相互独立,则 D. 若 ,则
11. 已知数列 的前 项和为 ,满足 ,数列 满足 , ,记 ,数列 的前 项和为 ,则下列说 处而讨
A. B.
C. 若 ，则 的最大值为 8 D. 满足 的最大 值为 8
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知向量 . 若 ，则 _____.
13. 已知抛物线 的焦点为 ,抛物线 的焦点为 ,若直线 分别与 交于 两点,且 ,则 _____
14. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型, 也是机器学习和人工智能的基石, 为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程，该过程要求具备“无记忆”的性质:下一状态的概率分布只能由当前状态决定, 在时间序列中它前面的事件均与之无关. 甲口袋中各装有 1 个黑球和 2 个白球, 乙口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球; 现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋, 重复进行 次这样的操作,记口袋甲中黑球的个数为 ,恰有 1 个黑球的概率为 ,则 的值是_____； 的数学期望 是_____，
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
已知 分别是 内角 的对边， .
(1)若 ，求 的面积；
(2)若 ，求 的正切值.
16. (15 分)
如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， ， 分别为 的中点.
(1)求 与平面 所成角的正弦值；
(2)线段 的延长线上是否存在点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 若存在,求出 的值,若不存在,说明理由.
17. (15.分)
规定抽球试验规则如下:盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次将以上过程记为一轮. 如果每一轮取到的两个球都是白球, 则记该轮为成功, 否则记为失败. 在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去, 直至成功.
(1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量 ,求 的分布列和数学期望;
(2)为验证抽球试验成功的概率不超过 ，有 1000 名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记 表示成功时抽球试验的轮次数，y 表示对应的人数，部分统计数据如下:
1 2 3 4 5
232 98 60 40 20
求 关于 的回归方程 ,并预测成功的总人数 (精确到 1):
(3) 证明: .
附:回归方程 中 和 的最小二乘估计公式: ;
参考数据: (其中 ).
18. (17 分)
已知函数 .
(1)讨论 的单调性;
(2)若 有两个零点 ，且 满足 恒成立，求 的取值范围.
19. (17 分)
设抛物线 ( 为常数,且 ) 的焦点为 ,准线为 ,点 在 上且位于第一象限,过点 作 的垂线,垂足为 .
(1)若点 的坐标为 . 求 .
(2) 设过 三点可作椭圆 ,且 的两个焦点均在 轴上,记 轴正半轴上的焦点为 ,且 在 的左侧.
(i) 证明: 的离心率大于 .
(ii) 证明: 的离心率大于 .
数学参考答案与评分标准
题序 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A B D D A B B
题序 9 10 11 12 13 1.4
答案 ABD ACD AC
1.【答案】
由 得 ,解得 ,即 ,
又 ,
故 . 故选: .
2.【答案】
由 ，得 ，即 ，因此 ,所以 . 故选:
3.【答案】
因为 成等差数列,所以 ,所以 ,可得 . 故选: .
4.【答案】
隔网 的长半轴长 . 半焦距 .
由椭圆的对称性. 不妨令 为右焦点. 是左焦点. 连接 .
,又 关于原点对称. 则四边形 为平行四边形或 为左右顶点,则 .
由 ,则 .
故 .
则 ,
而 ,所以 .
故选:
5.【答案】
,展开式的通项公式为 .
令 ,故 ,
的展开式的通项公式为 .
令 ,则 ,故 的系数为 ,故选: .
6.【答案】
不妨假设 ,则 可变形为 ,即函数 在 上单调递增,
所以 在 (0.2) 上恒成立,即 . 化简得 ,
设 . 易知函数 在 上单调递减,在 上单调递增,所以 ,即 . 故选: .
7.【答案】
由圆意可知圆柱面的半径为 1 ，如图，平面 截圆柱面所得的截面为椭圆，记椭圆与过点 的母线的交点为 ,该椭圆的半短轴长即为圆柱而的半径 1 .
因为四棱锥 为正四棱锥,所以四边形 为正方形,
设正方形 的中心为 ,则 平面 ,故 为平面 的法向量,
因为 轴与面 的夹角为 轴. 平面 平面 ，所以 ，所以 为等腰直角三角形，又点 到直线 的距离为 1，所以椭圆的长轴长为 。如图建立平面直角坐标系，则椭圆方程为 . 四边形 为椭圆的内接正方形,由对称性可得直线 的方程为 ,联立 ,消 得到 , 故图中点 的坐标为 ,
所以四边形 的面积 ,
所以四棱锥 的体积 . 故选: .
8.【答案】
因为函数 恒成立,所以 与 同号或为 0,则 与 周期相同,即 ,可得 ,则 ,
所以 ,则 ,
当且仅当 ,即 时,等号成立,所以 . 故选: .
9.【答案】
对于 项,由 可知 . 所以 ,即其定义域为 正确;
对于 项, ,显然 ,
所以 为奇函数, 正确;
对于 项,由 項结论可知显然错误:
对于 项,由指数函数的性质知: 当 时,
,所以 ,
则 ,故 正确:
故选:
10.【答案】
对于 选项,若 互斥,根据互斥事件的概率加法公式 . 已知 ,则 ,所以 选项正确.
对于 选项，若 ， 相互独立，则 与 也相互独立. 因为 ，所以 ,所以 选项错误.
对于 选项,若 相互独立,则 .
根据概率的加法公式 ,将 0.2 代入可得: ,所以 选项正确.
对于 选项，已知 ， ，则 .
根据条件概率公式 ,所以 选项正确.
故选: .
11.【答案】
对于 ,因为 ,所以 ,
所以数列 是等差数列,设公差为 ,
因为 ,所以 ,解得 ,
所以 ,正确;
对于 ,因为 ,所以 ,所以数列 是公比为 2 的等比数列,
所以 ,所以 .
所以 ,销误.
对于 ,由 知 ,所以 恒成立, 所以数列 单调递增,当 时, ,当 时, ,
所以 的最大值为 8,正确;
对于 . 设 .
则 .
令 ,所以 .
当 时, ,即 ,
所以当 时, 单调递增.
即当 时 单调递增.
当 时, ,即 ;
当 时, ,即 ;
当 时, ,即 ;
当 时. . 即 :
当 时, ,即 ;
当 时, ,即 ,
所以当 时, 单调递减,
当 时, 单调递增,
因为 . 所以满足 的最大值为 7 . 错误.
故选:
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12.【答案】
. 则 . 解得 . 所以 . 故答案为 .
13.【答案】
由抛物线 . 可得 ,
抛物线 的准线方程为 .
设 ,
则 .
故 . 所以 .
所以 ,解得 .
故答案为: .
14.【答案】
考虑到乙袋中拿出的球可能是黑的也可能是白的. 由全概率公式可得 ; 记 取0,1,2,3的概率分别为 ,
推导 的分布列:
则
则 ,故
给合 ，可知 .
故答案为: .
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.【答案】 .
(1) 因为 ,所以 .
因为 ,所以 ,
因为 ,所以 .
所以 ,又 ,所以 ,所以 .
.
所以 .
(2)因为 ，所以 为 中点.
由题设 及余弦定理可得 .
因为 ,所以 .
设 ，在 中，有 ①.
在 中，有 ②.
①②相除，得:
,所以 .
所以 ,即 ,所以 的正切值为 .
16.【答案】 . (2)存在， .
(1) 因为平面 平面 . 平面 平面 ,
平面 .
所以 平面 ,
因为 平面 ,
所以 ,
又 .
因为 ,所以 .
以 为原点， 、 、 为 ， ， 轴正方向建系，如图所示，
则 . , , ,
所以 ,
设平面 的法向量 ，
则 . 即 ,令 ,则 ,所以 ,
设 与平面 所成角为 ,
则 ,
所以 与平面 所成角的正弦值 .
(2)假设存在点 ，设 ，则 ，
所以 .
设平面 的法向量 ，
则 ,即 ,
令 ,则 ,即 ,
所以 .
整理得 ,解得 或 . 所以 或 (舍).
所以存在点 使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ,且 .
17.【答案】(1)分布列见解析. 数学期望为 回归方程为 . 预测成功的总人数为 165: (3) 证明见解析
(1) 由题知, 的取值可能为1,2,3所以 :
所以 的分布列为 1
1 2 3
所以数学期望为 .
(2)令 ,则 ，由题知: ，
所以 ,
所以 ,故所求的回归方程为 .
所以，估计 时， 估计 时， ；估计 时， ；
预测成功的总人数为 .
(3)由题知，在前 轮就成功的概率为
又因为在前 轮没有成功的概率为
,
故 .
18.【答案】( 1 )答案见解析:(2)
的定义域为 且 .
① 当 时， ， 在 上单调递增；
② 当 时，令 . 则 .
当 时, ; 当 时, . 所以 在 上单调递增,在 上单调递减.
(2)由(1)可知，当 时， 单调递增，至多有一个零点，合去；
若 时，由 .
则要使 有两个零点,只需 . 从而 .
故 时, 有两个零点 ,不妨设 .
由 (1) 易知 ,
即 .
令 在 上恒成立.
因为 ,易知 ,令 ,
则 .
令 ,对称轴 .
① 若 ，即 时， ，故 ， 在 上单调递减，
则 ，符合段意；
② 若 ，即 时， ，故存在唯一 ，有 ，
从而 在 上单调递增，在 上单调递减，从而 ，不合题意.
综上所述， 的取值范围是 .
19.【答案】(1) :(2)(i)证明见解析；(ii)证明见解析.
(1) 将点 的坐标代入 ，得 ，解得 ，
则 的方程为 的方程为 ，则 ，
故 ;
(2)(i)设 ，则 ，由愿意知 ， ，
因为 经过 两点,且这两个点的纵坐标相同,
根据椭圆的对称性,得 的短轴必在线段 的垂直平分线上,且 的中心 的横坐标
又 的焦点均在 轴上，所以 在 轴上，即 .
设 的长半轴长为 ,则 .
设 的左焦点为 . 则 .
则 的周长 .
因为 ，且 ，
所以 . 故 的周长为定值.
(ii) 设 的焦距为 ,离心率为 ,则 ,
由 (i) . 为 的右顶点, 为右焦点,则 .
由 在 正半轴上知 ,则 ,所以 ,
设 的短半轴长为 . 则 .
将点 的坐标代入 的方程 ,
并结合 ,得 ,整理得 ,
代 与 ,化简得 ,解得 ,
因为点 在第一象限且 为 的右顶点,所以 ,即 ,
由 知, ,则 .
所以 ,
故 的离心率大于 ,得证.