8.1 第3课时 算术平方根的估算及其大小比较-导学案（含答案）--2025-2026学年人教版数学七年级下册

第八章 实数
8.1 第3课时 算术平方根的估算及其大小比较
【学习目标】
1. 会用计算器和估算的方法求一个非负数的算术平方根，并借此过程感受无限不循环的概念.
2.能用估算的方法确定无理数的大致范围，通过估算的训练感受其在实际生活中的意义.
【学习重点】能用估算的方法确定无理数的大致范围.
【学习难点】能用估算的方法确定无理数的大致范围.
【自主学习】
可以借用什么工具计算的大小呢？
【合作探究】
探究点一：用计算器求一个数的算术平方根
探索：用计算器求下列各式的值：
(1) = ；(2) = (精确到0.001) .
【合作探究】 当“天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度 v (单位：m/s) 时，它就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星. v 的大小满足 v = 2gR，其中 g 是地球表面的重力加速度，g ≈ 9.8 (单位：m/s2)，R 是地球半径， R ≈ 6.4×106 (单位：m). 怎样求 v 呢
算术平方根的规律
(1) 利用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律 你能说出其中的道理吗
规律：被开方数的小数点每向右移动______位，它的算术平方根的小数点就向右移动_______位；被开方数的小数点每向左移动_______位，它的算术平方根的小数点就向左移动_______位.
(2)用计算器计算(精确到 0.001)，并利用你在 (1) 中发现的规律说出 ,, 的近似值. 你能根据的近似值直接得到 的近似值是多少吗
【练一练】
1. 利用计算器，得 ≈0.2236，≈0.7071，≈2.236， ≈7.071，按此规律，可得的值约为 .
【典型例题】
例1 小丽想用一块面积为 400 cm2 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 300 cm2 的长方形纸片，使它的长与宽的比为 3∶2. 但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片!”你同意小明的说法吗 小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗
分析：可根据长宽之比为 3:2 和边长与面积的关系设方程，得到长方形的长和宽，再与正方形的边长作比较.估计边长的大小可用前面学习的方法.
【练一练】1. (1) 估计与 最接近的两个整数是多少？
(2) 估计与 最接近的一个整数是多少？
【练一练】2. 比较下列各组数的大小.
(1) 与 2.24； (2) 与 0.5； (3) 与 1.
课堂检测
1.依次按键，显示结果是(　　)
A.15 B.±15 C.－15 D.25
2.估计的值在(　　)
A.2到3之间 B.3到4之间
C.4到5之间 D.5到6之间
3.下列整数中，与最接近的是(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
4.利用计算器计算：2(－1)＋3≈　 　(精确到0.01).
5.通过估算比较下列各组数的大小：
(1)与1.9；
(2)与1.5.
6.有一个长方形的花坛，长是宽的4倍，其面积为25m2，求该长方形花坛的长和宽各是多少.
参考答案
【合作探究】
探究点一 用计算器求一个数的算术平方根
探索 56 1.414
合作探究 由v =2gR及v的实际意义，得v=，其中g ≈9.8(单位：m/s2 )，R≈6.4×106(单位：m).用计算器求得v≈ = 1.12×104.
因此，第二宇宙速度v约为 1.12×104 m/s，即 11.2 km/s.
算术平方根的规律
规律 2 1 2 1
(2)小数点只移动了一位，不符合规律...不能直接得到值.
【练一练】1. 22.36
【典型例题】
例3 解：设长方形的长为 3x cm，则宽为 2x cm. 根据边长与面积的关系，得3x·2x = 300，
6x2 = 300，x2 = 50.由边长的实际意义，得 x =.因此长方形纸片的长为 3 cm.因为 50 > 49，所以 > 7.由上可知 3 > 21，即长方形纸片的长应该大于21 cm.
因为 = 20，所以正方形纸片的边长只有20 cm.这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长. 答：不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出想要的纸片.
【练一练】2 .（1）解：因为 32=9，42=16，所以3 < < 4．
（2）3.52 = 12.25，
所以 < 3.5 .所以最接近的整数是 3 .
3（1）解：(1) 因为 ()2 = 5，2.242 = 5.0176，所以 < 2.24．
（2）因为()2 = 5，22 = 4，所以＞2. 所以 1＞1.
所以（ 1）/2＞1/2 ，即（ 1）/2＞0.5.
（3） 因为()2 = 5，32 = 9，所以＜3. 所以 1＜2.
所以 （ 1）/2＜2/2 ，即（ 1）/2＜1.
课堂检测
1.　A　2.　A　3.B　4.　4.46
5.解：(1)∵5＞4，∴＞，即＞2.∴＞1.9.
(2)∵6＞4，∴＞，即＞2，∴＞，即＞1.5.
6.解：设该长方形花坛的宽为xm，则长为4xm.
由题意得4x·x＝25，即x2＝，
解得x＝2.5(负值已舍去)，则4x＝10.
故该长方形花坛的宽为2.5m，长为10m.