10.2.2 第2课时 加减消元法解复杂的二元一次方程组-导学案（含答案）--2025-2026学年人教版数学七年级下册

第十章 二元一次方程组
10.2 消元解二元一次方程组—加减法
【学习目标】
1. 用加减消元法解稍复杂的二元一次方程组.(重点)
2. 如何灵活运用加减消元法.(难点)
3. 能选择适当的方法解二元一次方程组.(难点)
【自主学习】
请观察下面的方程组：：
问题1：直接加减是否可以消去一个未知数 为什么
问题 2：能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同
提问：如何用加减法消去 y （思考）
【合作探究】
探究点1：加减消元法解较复杂的二元一次方程组
例1 用加减法解方程组：
例2 用加减法解方程组：
总结：
[练一练]
1. 用加减法解方程组：（1）
（2）
[归纳总结]
用加减消元法解二元一次方程组的步骤：
①变形：找同一未知数(系数绝对值小的)系数的最小公倍数，将方程两边乘对应数.
②加减：同一未知数系数相反则相加，相等则相减
③求解：解消元后的一元一次方程.
④回代：将结果代入原方程组简单方程.
⑤写解：用大括号联立两未知数的值.
探究点2：根据方程组的特点选择合适的方法
思考： 下面的方程组选择哪一种消元的办法更简便.
（1） （2）
（3） （4）
观察方程组：
讨论1：观察方程组中各未知数系数的特点，能直接用加减法消去一个未知数吗
讨论 2：分别用代入法和加减法解上面的方程组，讨论什么样的方程适合用代入法，什么样方程组适合用加减法.
方法归纳：
解二元一次方程组的方法选择：
1. 优先代入法：任意一个未知数系数为 1 或 -1 时；
2. 优先加减法：同一个未知数系数系数相等(或相为相反数)或成整数倍.
[练一练]
2.解下列方程组：(1) (2)
[典型例题]
例3 我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两. 问牛、羊各直金几何
意思是：假设 5 头牛、2 只羊，共值金 10 两；2 头牛、5 只羊，共值金 8 两. 那么每头牛、每只羊分别值金多少两
[练一练]
3. 在某路段建设工程中，有甲、乙两种车辆参与土方运输.已知 5 辆甲种车和 2 辆乙种车一次可运土 64 m3；3 辆甲种车和 4 辆乙种车一次可运土 72 m3.
甲、乙两种车每辆一次可分别运土多少立方米
课堂检测
1.解方程组：①②③④比较适宜的方法是(　　)
A.①③用代入法，②④用加减法
B.①②用代入法，③④用加减法
C.②③用代入法，①④用加减法
D.②④用代入法，①③用加减法
2.用加减消元法解方程组的最佳策略是(　　)
A.②－①×3，消去x
B.①×9－②×3，消去x
C.①×2＋②×7，消去y
D.①×2－②×7，消去y
3.已知二元一次方程组用加减消元法解方程组正确的是(　　)
A.①×5－②×7
B.①×2＋②×3
C.①×7－②×5
D.①×7＋②×5
4.解方程组：
(1)(2)
5.[教材变式]《算法统宗》中有这样一个问题：今有上禾三束，下禾五束，共价七十钱；上禾五束，下禾三束，共价七十四钱.问上、下禾每束价各几何？
参考答案
【自主学习】
问题1：同一未知数的系数绝对值不相同无法通过直接加减消去未知数
问题 2：根据等式的性质，在等式的两边同时乘以一个相同的数，等式仍成立
【合作探究】
探究点1：加减消元法解较复杂的二元一次方程组
例1 解：①×2，得6x－4y＝8.③
②＋③，得13x＝26，x＝2.
把x＝2代入①，得3×2－2y＝4，y＝1.
所以这个方程组的解是
例2 解：①×3，得 6x＋9y＝9. ③
②×2，得 6x＋4y＝22. ④
③－④，得 5y＝－13，解得 y＝－.
把 y＝－ 代入①，得 2x－＝3，解得 x＝ .
∴ 这个方程组的解为
[练一练]
1. （1）解：①×3 得6x + 9y = 36. ③
②×2 得6x + 8y = 34. ④
③－④ 得 y = 2.
把 y＝2 代入 ①，解得 x＝3.
所以原方程组的解是
（2）解：整理得
①×3－②×2，得 y＝－2，
将 y＝－2 代入①，得 x＝0，
∴原方程组的解为
探究点2：根据方程组的特点选择合适的方法
（1） 代入消元法（2）加减消元法 （3）加减消元法 （4）加减消元法
讨论1 不能直接加减消去，因为系数不同而且不互为相反数
讨论2 可以根据同一个未知数的系数情况来判断
[典型例题]
例3 答：每头牛和每只羊分别值金 两和 两.
[练一练] 3.
答：每辆甲种车一次可运土8 m3 ，每辆乙种车一次可运土12 m3.
课堂检测
1.　A　2.　A　3.　D　
4.解：(1)(2)
5.解：设上禾每束x钱，下禾每束y钱.根据题意，
得解得
答：上禾每束10钱，下禾每束8钱.