10.4 三元一次方程组的解法-导学案（含答案）--2025-2026学年人教版数学七年级下册

第十章 二元一次方程组
*10.4 三元一次方程组的解法(选讲内容)
【学习目标】
1.通过提炼实际问题中的数量关系，结合二元一次方程组的概念，锻炼抽象能力，培养类比推理能力.
2.能解简单的三元一次方程组，通过探索三元一次方程组的解法,进一步感受“消元法”化繁为简的化归思想，培养举一反三的迁移意识.
【学习重点】会解简单的三元一次方程组
【学习难点】根据方程组的特点，选择最合适的解法.
【自主学习】
1、什么叫二元一次方程组
2、解二元一次方程组的方法有哪些
【合作探究】
探究点一、三元一次方程（组）的概念
问题 在一次足球联赛中，一支球队共参加了 22 场比赛，积 47 分，且胜的场数比负的场数的 4 倍多 2. 按照足球联赛的积分规则，胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，那么这支球队胜、平、负各多少场
问题1：题中有未知量？你能找出哪些等量关系？
未知量：每一个未知量都用一个字母表示.
等量关系：用方程表示等量关系.
(1)胜的场数 + 平的场数 + 负的场数 = 22；
(2)胜场积分 + 平场积分 + 负场积分 = 47；
(3) 胜的场数 = 负的场数×4 + 2.
想一想：观察列出的三个方程，你有什么发现？
问题2：你能类比二元一次方程(组)给上面的方程(组)取名字吗
观察一下这三个方程的次数和未知数的个数，你有什么发现？
因三个同学的年龄必须同时满足上述三个方程，故将三个方程联立在一起.
总结：这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫作_____________.
追问：你能根据二元一次方程组的解说出什么是三元一次方程组的解吗
【练一练】
1. 下列方程组不是三元一次方程组的是 ( )
A.
探究点二：解三元一次方程组
解方程组
问题1：你能把上面的方程组化成只含有两个未知数的方程组吗
问题2：如何求方程组中第三个未知数的值
完整解答：
问题3：类比二元一次方程组的解法总结解三元一次方程组的方法.
[典型例题]
例1 解三元一次方程组
还有其他解法吗
[练一练]
2.解方程组
例2 在等式 y = ax2 + bx + c 中，当 x= -1时，y = 0；当 x = 2 时，y = 3；当 x = 5 时，y = 60. 求 a，b，c的值.
例3 一个三位数，各数位上的数的和为 14，百位上的数的 2 倍减去十位上的数的差是个位上的数的 . 如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小 99.求这个三位数.
[练一练]3.若| a -b -1| + (b - 2a + c)2 + |2c - b| = 0，求 a，b，c的值.
4.幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含 35 单位的铁、70 单位的钙和 35 单位的维生素.现有一批营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含 A，B， C 三种食物，下表给出的是每份( 50 g)食物 A， B， C 分别所含的铁、钙和维生素的量(单位):
食物 铁 钙 维生素
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
课堂检测
1. 下列方程：① ；②；③2x＋3a＋b＝7；④x＋3y－4z＝1.其中能与方程x＋y＋z＝3 和 2x－y＝3组成三元一次方程组的是_____ (填序号).
2. 解方程组 根据方程组的特点，可采取先将①分别代入③②式得____________，___________，从而求出y＝_______，z＝_______.
3. 若a，b，c为三角形的三边长，此三角形周长为18，且a＋b＝2c，b＝2a，则a＝________，b＝________，c＝________. .
4. 解方程组：
(1) (2)
5. 一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位上的数字，百位上的数字的7倍比个位、十位上的数字的和大2，个位、十位、百位上的数字的和是14，求这个三位数.
参考答案
【自主学习】
(1)方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是 1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组.
(2)有代入消元法和加减消元法.
【合作探究】
探究点一、三元一次方程（组）的概念
【练一练】 1.D
探究点二、解三元一次方程组
[典型例题]
例1 解：②×3 + ③，得 11x + 10z = 35. ④
①与④组成方程组
解这个方程组，得
把 x = 5，z = -2代入②，得 2×5+3y-2=9，y = .
因此，这个三元一次方程组的解为
还有其他解法吗
解：由①，得x =
把④分别代入②③，得到关于y，z的二元一次方程组
整理，得
解这个方程组，得
把 z = -2代入④，得 x = 5
因此，这个三元一次方程组的解为
[练一练]2.解
[典型例题]例2
解得
因此 a，b，c的值分别为 3，-2，-5
例3 解：设这个三位数百位上的数为 x，十位上的数为 y，个位上的数为 z.
解这个方程组，得
因此这个三位数是 473.
3. 解：因为三个非负式的和等于0，所以每个非负式的值均为 0.
解得
4. 解：设食谱中包含 A， B，C 三种食物各 x， y，z 份，由题意
解得
答：该食谱中包含 A 种食物 2 份，B 种食物 1 份，C 种食物 2 份.
课堂检测
1.①④ 2. x＝ 3 x－4y＝－5　2 5 3. 4 8 6
4. （1） （2）
5.解：设这个三位数个位上的数字为x，十位上的数字为y，百位上的数字为z.依题意得
把①代入③得y＝7，把y＝7代入①得x＋z＝7④，代入②得7z＝x＋9⑤，④＋⑤得z＝2，∴x＝5.∴这个三位数为2×100＋7×10＋5＝275.