11.2 第2课时 一元一次不等式的应用(1)-导学案（含答案）--2025-2026学年人教版数学七年级下册

第11章 不等式与不等式组
11.2 一元一次不等式
第2课时 一元一次不等式的应用(1)
【学习目标】
1. 会在实际问题中寻找数量关系，并列出相应的一元一次不等式，加强抽象能力. 养成用数学眼光观察的习惯，进一步渗透模型思想.
2.在利用一元一次不等式解决实际问题的过程中，体会解不等式过程中的化归思想与类比思想，学会分类讨论，培养发散性思维.
【学习重点】一元一次不等式在实际问题中的应用.
【学习难点】在实际问题中建立一元一次不等式的数量关系.
【自主学习】
1. 应用一元一次方程解实际问题的步骤：
那么如何运用一元一次不等式解决实际问题呢？
【合作探究】
探究点一、销售问题
例1　(教材P133例2)七年级举办古诗词知识竞赛，共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分．如果规定初赛成绩超过90分晋级决赛，那么至少要答对多少道题才能成功晋级？
解：设初赛答对了 x 道题.
根据“初赛成绩超过 90 分”晋级决赛，列得不等式
10x－5(20－x)＞90.
去括号，得10x－100＋5x＞90.
移项，合并同类项，得 15x＞190
系数化为 1，得x＞21.
由 x 为正整数，可得 x 至少为 13.
答：初赛至少要答对 13 道题才能成功晋级.
归纳总结：利用一元一次不等式解决实际问题的步骤是什么？你会列一元一次不等式解决实际问题吗？
练一练：1. 某校围绕亚运知识举办了一场知识竞赛，共设置了 25 道题，答对一题得 4 分，不答或答错都扣 1 分．若小明的总得分不低于 92 分，则他至少答对了多少道题？
解：设他答对了 x 道题．
根据题意，得 4x－(25－x)≥92.
去括号，得 4x－25＋x≥92.
移项，合并同类项，得 5x≥117.
系数化为 1，得 x≥
∵ x 为正整数，
∴ x≥24.
答：他至少答对了 24 道题．
例2 某市去年万元地区生产总值能耗为 0.320 t 标准煤，如果计划使今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于 5%，那么这个市今年万元地区生产总值能耗至多为多少？
分析：“今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于5%”是问题中蕴含的不等关系，即
×100%≥5%.
解：设这个市今年万元地区生产总值能耗为x t标准煤．
根据题意，列得不等式 ×100%≥5%.
去分母，得0.320－x≥0.320×5%.
移项，合并同类项，得－x≥－0.304.
系数化为1，得x≤0.304.
答：这个市今年万元地区生产总值能耗至多为0.304 t标准煤．
练一练：2. 某品牌护眼灯的进价为 240 元，商店以 320 元的价格出售. “五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于 20% 的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价多少元？
解：设该护眼灯可降价 x 元，
根据题意，列得不等式 ×100%≥20%.
去分母，得 320－x－240≥240×20%.
移项，合并同类项，得 －x≥－32.
系数化为 1，得 x≤32.
答：该护眼灯最多可降价 32 元.
例3 某商品的进价是 120 元，标价为 180 元，但销量较小，为了促销，商场决定打折销售，为了保证利润率不低于20%，那么最多可以打几折出售此商品
分析：本题涉及的数量关系是什么
售价(标价×折扣）－进价≥进价×利润率
解：设最多可以打 x 折出售此商品，由题意得
180×0.1x－120≥120×20%，
移项，合并同类项，得 18x≥144
系数化为 1，得 x≥8.
答：最多可以打 8 折出售此商品.
练一练：3. 某童装店按每套 90 元的价格购进 40 套童装，应缴纳的税费为销售额的 10%. 如果售卖这些童装要获得不低于 900 元的纯利润，每套童装的售价至少是多少元？
分析：本题涉及的数量关系是：
纯利润 = 销售额－成本－税费≥900 元.
解：设每套童装的售价是 x 元.
则 40x－90×40－40x · 10％≥900.
移项，合并同类项，得 36x≥4500.
解得 x≥125.
答：每套童装的售价至少是 125 元.
常用关键词与不等号
词汇 不等号
大于、多余、高于、超过等 ＞
小于、少于、低于、不足等 ＜
不小于、不少于、不低于、不亚于、至少等 ≥
不大于、不多于、不高于、不超过、至多等 ≤
列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用
题的步骤类似：
(1)审：认真审题，分清 、 及其关系，要抓住题设中的关键字，如大于、小于、不大于、不小于等；
(2)设：设出适当的未知数；
(3)列：根据题中的不等关系列出 ；
(4)解：求出所列不等式的 ；
(5)答：写出 ，并检验是否符合题意.
课堂检测
1. 如图①，一个最大容量为 500 cm3 的杯子中装有200 cm3 的水，将四颗相同的玻璃球放入这个杯中，结果水没有满，如图②.设每颗玻璃球的体积为x cm3，根据题意可列不等式为(　　)
A. 200＋4x＜500 B. 200＋4x≤500
C. 200＋4x＞500 D. 200＋4x≥500
2. 为了举行班级晚会，小明准备去商店购买20个乒乓球作为道具，并买一些乒乓球拍作为奖品.已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元. 如果购买金额不超过 200 元，设购买球拍x个，那么x的最大值为___________.
4. 小宏准备用100元钱买甲、乙两种饮料共18瓶，已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶4元，则小宏最多能买________瓶甲饮料.
5. 某次知识竞赛共20道题，每答对一题得10分，答错或不答都扣5分，娜娜的得分要超过90分，则她至少要答对_________ 道题.
6. 植树节期间，某单位欲购进A，B两种树苗，若购进A种树苗3棵，B种树苗5棵，需2100元；若购进A种树苗4棵，B种树苗10棵，需3800元.
(1)求购进的A，B两种树苗的单价；
(2)若该单位准备用不多于8000元的钱购进这两种树苗共30棵，求A种树苗至少需购进多少棵.
参考答案
【合作探究】
探究点一、销售问题
例1　解：设初赛答对了 x 道题.
根据“初赛成绩超过 90 分”晋级决赛，列得不等式
10x－5(20－x)＞90.
去括号，得10x－100＋5x＞90.
移项，合并同类项，得 15x＞190
系数化为 1，得x＞21.
由 x 为正整数，可得 x 至少为 13.
答：初赛至少要答对 13 道题才能成功晋级.
练一练：1. 解：设他答对了 x 道题．
根据题意，得 4x－(25－x)≥92.
去括号，得 4x－25＋x≥92.
移项，合并同类项，得 5x≥117.
系数化为 1，得 x≥
∵ x 为正整数，
∴ x≥24.
答：他至少答对了 24 道题．
例2 解：设这个市今年万元地区生产总值能耗为x t标准煤．
根据题意，列得不等式 ×100%≥5%.
去分母，得0.320－x≥0.320×5%.
移项，合并同类项，得－x≥－0.304.
系数化为1，得x≤0.304.
答：这个市今年万元地区生产总值能耗至多为0.304 t标准煤．
练一练：2. 解：设该护眼灯可降价 x 元，
根据题意，列得不等式 ×100%≥20%.
去分母，得 320－x－240≥240×20%.
移项，合并同类项，得 －x≥－32.
系数化为 1，得 x≤32.
答：该护眼灯最多可降价 32 元.
例3 解：设最多可以打 x 折出售此商品，由题意得
180×0.1x－120≥120×20%，
移项，合并同类项，得 18x≥144
系数化为 1，得 x≥8.
答：最多可以打 8 折出售此商品.
练一练：3.
解：设每套童装的售价是 x 元.
则 40x－90×40－40x · 10％≥900.
移项，合并同类项，得 36x≥4500.
解得 x≥125.
答：每套童装的售价至少是 125 元.
课堂检测
1.A 2.A 3. 2×5＋(10－2)x≥72 4. 9 5. 13
6.(1)解：设A种树苗的单价为x元，B种树苗的单价为y元，
解得
答：A种树苗的单价为200元，B种树苗的单价为300元.
（2）解：设购进A种树苗a棵，则购进B种树苗为(30－a)棵，可得200a＋300(30－a)≤8000，解得a≥10.答：A种树苗至少需购进10棵.
7. 解：设可以打x折出售此商品.由题意得160×x/10 －100≥100×20％，解得x≥7.5.答：最多可以打七五折出售此商品.