11.2 第3课时 一元一次不等式的应用(2)-导学案（含答案）--2025-2026学年人教版数学七年级下册

第11章 不等式与不等式组
11.2 一元一次不等式
第3课时 一元一次不等式的应用(2)
【学习目标】
1. 会在实际问题中寻找数量关系，并列出相应的一元一次不等式，加强抽象能力. 养成用数学眼光观察的习惯，进一步渗透模型思想.
2.在利用一元一次不等式解决复杂的实际问题的过程中，体会解不等式过程中的化归思想与类比思想，学会分类讨论，培养发散性思维.
【学习重点】一元一次不等式解决复杂的实际问题中的应用.
【学习难点】在实际问题中建立一元一次不等式的数量关系.
【自主学习】
问题：某学校期末需要表彰优秀学生，计划购买一些笔记本和证书，笔记本的单价为 6 元，证书的单价为 0.4 元. 某文具用品商店给出两种优惠方案：
甲：买一个笔记本，赠送一张证书；
乙：一次购买证书 200 张以上，超过 200 张的证书按原价打八折，笔记本不打折.
学校准备购买 80 本笔记本，证书若干张(超过 200 张)，
请你判断哪种方案更合算，并说明理由.
【合作探究】
探究点：方案问题
问题1：题中还有什么未知量？怎么设未知数？
问题2：怎么用含未知数的代数式表示甲、乙两个方案的费用？
问题3：怎么比较两个方案费用的大小？
[典例精析]
例1 甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物超过 100 元后，超出 100 元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过 50 元后，超出 50 元的部分按九五折收费.顾客到哪家超市购物花费较少？
分析：
累计购物花费 在甲超市花费 在乙超市花费
0＜x≤50
50＜x≤100
x＞100
(1) 当 0＜x≤50 时，在两家超市购物花费_____，因为_______________.
(2) 当 50＜x≤100 时，在_______超市购物花费少，因为_______________.
(3) 当累计购物超过100元，即 x＞100 时，在甲、乙两超市购物都能享受优惠.
①若到甲超市购物花费较少，则_________________________________________，
解得 ________. 即________时，到甲超市购物花费较少.
②若到乙超市购物花费较少，则_________________________，解得 ________.
即____________时，到乙超市购物花费较少.
③若到两超市购物花费相同，则_________________________，解得 ________.
即____________时，到甲、乙两超市购物花费相同.
归纳总结：
练一练
1. 为了保护环境，某企业决定购买 10 台污水处理设备，现有 A，B 两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表. 经预算，该企业购买设备的资金不高于 105 万元.
A型 B型
价格(万元/台) 12 10
处理污水量(吨/月) 240 200
(1) 该企业有多少种购买方案
(2) 若该企业每月产生的污水量为 2040 吨，为了节省资金，应该选择哪种购买方案
课堂检测
1.某汽车有油和电两种驱动方式，两种驱动方式不能同时使用.已知该汽车用油驱动方式行驶1千米的油费为0.9元，用电驱动方式行驶1千米的电费比油费少0.8元.该汽车从A地行驶100千米至B地，若用油和用电的总费用不超过40元，则至少需用电行驶多少千米？设该汽车从A地行驶至B地用电行驶x千米，则x满足的不等关系为(　　)
A.0.9x＋(0.9－0.8)(100－x)≤40
B.(0.9－0.8)x＋0.9(100－x)≤40
C.(0.9＋0.8)x＋0.9(100－x)≤40
D.0.9x＋(0.9＋0.8)(100－x)≤40
2.小林一家五口去餐馆用餐，平均每人消费60元，爸爸去结账时，服务员告诉他有两种方式：方式一是团购，有58元抵100的抵用券，每桌限用2张，其余部分另外支付；方式二是享受八折优惠.哪种方式支付更划算呢？(　　)
A.方式一 B.方式二 C.两种方式花费相同 D.无法确定
3.[教材变式]某班为了奖励进步学生，班主任准备购买笔记本和笔袋两种文具共10个，已知笔记本每本12元，笔袋每个6元，若购买的总费用不超过100元，则班主任最多能买　　本笔记本.
4.某农场实行机械化种植，为了更好更快地收割庄稼，农场主小张决定购买8台收割机.现有甲、乙两种品牌的收割机，其中甲收割机每天收割24亩，乙收割机每天收割18亩.销售商又宣传说，购买一台甲收割机比购买一台乙收割机多8万元，购买2台甲收割机比购买3台乙收割机多4万元.
(1)求两种收割机的价格；
(2)如果小张购买收割机的资金不超过125万元，那么有哪几种购买方案？
5. 某单位准备购买某文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖.
(1)若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市购买需支付 元，在乙超市购买需支付 元；
(2)假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？
参考答案
【合作探究】
探究点 、方案问题
问题1 购买证书的数量，设购买证书 m (m＞200) 张.
问题2 选择方案甲所需费用 y甲为80×6＋0.4×(m－80)＝(0.4m＋448) (元)；
选择方案乙所需费用y乙为80×6＋0.4×200＋0.4×0.8×(m－200)＝(0.32m＋496) (元).
问题3 ① 当 y甲＝y乙 时，即 0.4m＋448＝0.32m＋496.移项，得 0.4m－0.32m＝496－448.合并同类项，0.08m＝48.解得m＝600.
② 当 y甲＞y乙 时，0.4m＋448＞0.32m＋496.移项：0.4m－0.32m＞496－448.合并同类项：0.08m＞48.解得m＞600.
③当 y甲＜y乙 时，0.4m＋448＜0.32m＋496.移项：0.4m－0.32m＜496－448.
合并同类项：0.08m＜48. 解得m＜600.
综上，当购买证书 600 张时，甲、乙两种方案费用一样；当购买证书的数量大于 600 张时，方案乙更合算；当购买证书的数量大于 200 张且小于 600 张时，方案甲更合算.
例1 表格填空 x x x 50+0.95(x-50) 100+0.9(x-100) 50+0.95(x-50)
（1） 一样 都不享受优惠 （2）乙超市有优惠，甲超市没有
（3）① 100＋0.9(x－100)＜50＋0.95(x－50) x＞150 x＞150
②100＋0.9(x－100)＞50＋0.95(x－50) x＜150 100＜x＜150
③ 100＋0.9(x－100)＝50＋0.95(x－50) x＝150 x＝150
答：综上所述，当累计购物花费不超过 50 元或等于 150 元时，到两家超市购物花费相同；当累计购物超过 50 元而不到 150 元时，到乙超市购物花费较少；当累计购物超过150元时，到甲超市购物花费较少.
【练一练】
3.（1）解：设购买 A 型污水处理设备 x 台，则购买 B 型污水处理设备 (10－x) 台.由题意，得 12x＋10(10－x)≤105，解这个不等式，得 x≤2.5.因为 x 为设备的台数，所以 x 为非负整数，即0≤x≤2.5 且 x 为整数，那么 x 的值可以为 0，1，2.当x=0时，10-x=10-0=10，即购买A型 0 台，B型10 台.
当x=1时，10-x=10-1=9，即购买A型 1 台，B型 9 台.
当x=2时，10-x=10-2=8，即购买A型 2 台，B型 8 台.
所以该企业有 3 种购买方案.
（2）解：由题意得 240x＋200(10－x)≥2040， 解得 x≥1.
结合(1) 中 x≤2.5且 x 为整数，可得 x 的值为 1 或 2.
分别计算两种情况下的购买资金：
当 x＝1 时，购买A 型 1 台，B 型 9 台，
购买资金为12×1＋10×9＝12＋90＝102 (万元).
当 x＝2 时，购买 A 型 2 台，B 型 8 台，购买资金为
12×2＋10×8＝24＋80＝104 (万元).
因为 102<104，所以为了节省资金，应该选择购买A型1 台，B型 9 台的方案.
课堂检测
1.　B　2.　A　3.　6　
4.解：(1)设每台乙收割机的价格是x万元，
则每台甲收割机的价格是(x＋8)万元.
根据题意得2(x＋8)－3x＝4，解得x＝12.∴x＋8＝20.
答：每台甲收割机的价格是20万元，每台乙收割机的价格是12万元.
(2)设购买m台甲收割机，则购买(8－m)台乙收割机.
根据题意得20m＋12(8－m)≤125，解得m≤.
又∵m为非负整数，
∴m可以为0，1，2，3.
∴共有4种购买方案，
方案1：购买8台乙收割机；
方案2：购买1台甲收割机，7台乙收割机；
方案3：购买2台甲收割机，6台乙收割机；
方案4：购买3台甲收割机，5台乙收割机.
5.(1) 300 (2) 240
(2) 解：设购买x件这种文化用品.当0＜x≤40时，
在甲超市购买需支付10x元，
在乙超市购买需支付0.8×10x＝8x(元).
∵10x＞8x，
∴选择乙超市支付的费用较少.当x＞40时，在甲超市购买需支付
400＋0.6(10x－400)＝(6x＋160)(元)，
在乙超市购买需支付0.8×10x＝8x(元).
若6x＋160＞8x，则x＜80；若6x＋160＝8x，
则x＝80；若6x＋160＜8x，则x＞80.
综上，当购买数量不足80件时，选择乙超市支付的费用较少；当购买数量为80件时，选择两家超市支付的费用相同；当购买数量超过80件时，选择甲超
市支付的费用较少.