11.3 一元一次不等式组-导学案（含答案）--2025-2026学年人教版数学七年级下册

第11章 不等式与不等式组
11.3 一元一次不等式组
【学习目标】
1. 理解一元一次不等式组的概念，掌握一元一次不等式组的解法，体会迁移思想，培养类比推理能力.
2. 会利用数轴表示一元一次不等式组的解集，进一步渗透数形结合思想，发展几何直观.
【学习重点】一元一次不等式组的解法.
【学习难点】用数轴表示一元一次不等式组的解集
【自主学习】
1. 二元一次方程组的概念.
2. 在数轴上表示一元一次不等式解集的方法是什么
问题 某工程队用每小时可抽 30 t 水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水超过 1200 t 而不足 1500 t，求将污水抽完所用时间的范围.
【合作探究】
探究点一、一元一次不等式组的概念
填一填：(1) 如果设用 x h 将污水抽完，那么积存的污水是 t. 根据已知条件我们知道 x 的取值范围要使 和 这两个不等式同时成立.
(2) 将 (1) 中得到的两个一元一次不等式用 联立起来，便组成一元一次不等式组：.
(3) 参考二元一次方程组的概念给出一元一次不等式组的概念.
一元一次不等式组的概念
把这两个含有同一个未知数的一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组，记作.
特征: ① 含同一个未知数，且未知数的次数为 1；
② 包含 2 个或 2 个以上的一元一次不等式；
③ 左边用一个大括号括起来.
判一判
判断下列不等式组是否为一元一次不等式组：
(1) (2) (3) (4)
探究点二、解一元一次不等式组
怎样确定不等式组中 x 的取值范围呢？
类比方程组的求解，不等式组中的各不等式解集的公共部分，就是不等式组中 x 可以取值的范围.
问题：分别解不等式 3x＞1200 ①和 3x＜1500 ②，并把它们的解集在同一个数轴上面表示出来.
问题1：上面两个不等式是否有公共部分 怎么表示公共部分的范围呢
问题2：什么叫一元一次不等式组的解集
一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫作由它们所组成的不等式组的解集. 解不等式组就是求它的解集.
合作探究:求下列不等式组的解集：你能发现什么规律
第一组 第二组 第三组 第四组
x＞5 x＞3 x＜5 x＞3 x＜5 x＜3 x＞5 x＜3
x＞1 x＞2 x＜2 x＞1 x＜1 x＜2 x＞2 x＜1
第一组：
同大取大
第二组：
大小小大中间找
第三组：
同小取小
第四组：
大大小小无处找
归纳总结
求解方法：先求出每个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，最后利用数轴确定解集.
【练一练】
1.求下列不等式组的解集：
不等式组
不等式组 的解集
【典型例题】
例1 解下列不等式组：
（1） （2）
[练一练]
2. 解不等式组：
探究点二、一元一次不等式组的应用
[典型例题]
例2 已知不等式组 的解集为－1＜x＜1，则 (a＋1)(b－1) 的值为多少
问题1：由 ① 得_____________，由 ② 得_____________.
问题2：方程组的解集应表示为______________________________.
追问：3＋2b＜x＜ 和 －1＜x＜1 都是不等式组的解集.它们之间有什么联系 请完整的写出该问题的解答过程.
例3 x取哪些整数值时，不等式5x+2＞3(x-1) 与 都成立？
[练一练]
3. 若关于 x 的一元一次不等式组 无解，则 a 的取值范围是( )
A. a≥l B. a＜－1 C. a≤1 D. a≤－1
课堂检测
1.下列不等式组中，是一元一次不等式组的是(　　)
A. B.
C. D.
2.不等式组的解集是(　　)
A. x＜1 B. x≥3 C. 1≤x＜3 D. 1＜x≤3
3. 在平面直角坐标系中，若点Q(m，－2m＋4)在第一象限，则m的取值范围是 ____________________.
4. 如果不等式组 的解集是x ≥1，那么m的取值情况是______.
5. 解下列不等式组：
(1) (2)
6. 某次知识竞赛共有20道题，每题答对得5分，答错或不答都扣3分.
(1)小明考了68分，那么小明答对了多少道题？
(2)小亮获得二等奖(70～90分)，请你算算小亮答对了几道题.
参考答案
【自主学习】
1.含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是１，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组
2.画数轴、定边界点、定方向.
【合作探究】
探究点一、一元一次不等式组的概念
判一判 解：(1) 不是； (2) 是；(3) 不是；(4) 是.
探究点二、解一元一次不等式组
练一练1. x＞-3 -5＜x≤-3 x＜-3 无解
典型例题例1（1）解：解不等式①，得x＞2.解不等式②，得x＞3.不等式①和②的解集在数轴上表示如下：
从图中可以找出两个不等式解集的公共部分，得到不等式组的解集为 x＞3.
（2）解：解不等式①，得 x≥8，解不等式②，得 x < 4/5.把不等式①和②的解集在数轴上表示出来.
从图可以看到这两个不等式的解集没有公共部分，不等式组无解.
练一练2.解：解不等式①，得x≤3.解不等式②，得x＜-3.
把不等式①②的解集在数轴上表示出来，如图.
由图可知，不等式①②的解集的公共部分就是 x＜-3，所以这个不等式组的解集是 x＜-3.
探究点三、一元一次不等式组的运用
问题1 x＜a+1/2 x＞3＋2b 3＋2b＜x＜a+1/2
追问 解：由不等式组得 , 因为不等式组的解集为 －1＜x＜l，
所以 解得
所以 (a＋1)(b－1)＝2×(－3)＝－6.
例3 解：由题，解不等式组 得- ，故 x 可取的整数值有 -2，-1，0，1，2，3，4.
练一练3. a
课堂检测
1.a 2. D 3. 0＜m＜2　4. m＝1　
5.解：(1)－1＜x＜1. (2)－3＜x≤2.
6.(1)解：设小明答对了x道题，则由题意得5x－3(20－x)＝68，解得x＝16.故小明答对了16道题.
(2)依题意，得 解得161/4 ≤y≤183/4 .
∵y是正整数，∴y＝17 或 18.
答：小亮答对了17道题或18道题.