2026届高三年级3月份学情诊断
数学参考答案及解析
三、填空题
12．28【解析】 记该棱台的高为h，易得A1C1＝2，AC＝4，由勾股定理可得，得h＝3，于是棱台的体积V＝×3×(4＋8＋16)＝28.故答案为28.
13.【解析】显然，，可得，显然，于是，，可知，，即，显然当时等号成立.故答案为.
14.（不是最简形式不得分）【解析】设取出的5个球编号从小到大排列为，由已知中位数为即，则需从中选取，需从中选取，故基本事件总数为.若满足最大编号与最小编号之差为，设，则.由知，由即知，且即，故.此时中间球的选法数为，求和得符合条件的事件数为，故所求概率为.故答案为.
四、解答题
15．解：(1)零假设H0：数学成绩与单日运动时间无关，(1分)
χ2＝＝20>10.828，(3分)
（卡方公式代入数据正确给1分，算出结果并与临界值比较正确得3分）
零假设不成立，故可认为根据小概率值α＝0.001的独立性检验，数学成绩与单日运动时间有关．(5分)
(2)＝＝25，(6分)
＝＝，(8分)
于是，(11分)
（ 数据代入正确给1分；若用另一个公式计算，结果正确不扣分，结果错误则给1分）
于是＝－＝69.5.(13分)
16．解：(1)注意到，可得B＝，(2分)
而△ABC的面积S＝6＝acsin B＝b2，可得b＝4.(5分)（若求出ac=8，没有写出b，扣1分）
(2)法一：由正弦定理得，(6分)
即＝2sin Asin(A＋)（7分）＝sin2A＋sin Acos A（8分）＝＋sin 2A（9分）＝sin(2A－)＋，(10分)于是sin(2A－)＝.(11分)
法二：（6分）=-[cos(A+C)-cos(A-C)]（7分）=+cos(A-C)（8分）
所以=+cos[A-(,（9分）所以sin(2A-)=.(11分)
(3)法一：若A＝C，则应有A＝C＝，这与矛盾，(12分)
不妨设A
，(14分)
故△ABC是钝角三角形．(15分)
法二：因为=ac,所以，，所以sinAsinC=，（12分）
cos（A+C）=cosAcosC-sinAsinC=-,（13分）所以cosAcosC=-,所以A，C中有一个是钝角，（14分）所以△ABC是钝角三角形．(15分)
17．解：(1)由PD＝CD，DM⊥PC得M为PC中点，(1分)
又N为PA的中点，于是MN∥AC，(2分)
由MN 平面ABCD，AC 平面ABCD得MN∥平面ABCD.(3分)
(2)由平面几何知识可知AD⊥BD，（由简单运算过程得此结论即给分）(4分)
由PD⊥平面ABCD，AD 平面ABCD得AD⊥PD，(5分)
由PD∩BD＝D，PD 平面PBD，BD 平面PBD可得
AD⊥平面PBD.(6分)
(3)【方法一】以D为坐标原点，过D点作平行于方向的直线为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系Dxyz，(7分)
可得D(0，0，0)，A(2，－2，0)，B(2，2，0)，N(1，－1，1)，记＝λ，λ∈[0，1]，(9分)
＝(2，－2，0)，＝(1，3，－1)，＝＋λ＝(0，2λ，2－2λ)，(10分)
设平面MAD的法向量为n＝(x，y，z)， ，(11分)
即 ，可取n＝(λ－1，λ－1，λ)，(12分)
记直线BN与平面MAD所成角为θ，，(13分)
即＝，整理得24λ2－14λ＋1＝0，(14分)
解得＝λ＝或.(15分)
【方法二】建系同上
设M(0，m，2-m)，m∈[0，2]，(9分)
＝(2，－2，0)，＝(1，3，－1)，＝(0，m，2-m)，(10分)
设平面MAD的法向量为n＝(x，y，z)， ，(11分)
即 ，可取n＝(m－2，m－2，m)，(12分)
记直线BN与平面MAD所成角为θ，，(13分)
即＝，整理得6m2－7m＋1＝0，(14分)
解得m=或m=1，==或. (15分)
1. 按步骤给分，踩点给分，满分15分。
2. 关键公式、韦达定理应用、斜率表达式化简等核心步骤出错，将扣除对应步骤分；结果错误但过程正确，仅扣最终结果分。
3. 若出现计算失误但后续步骤逻辑正确，按“错一步扣一步分”原则处理，不重复扣分。
解：(1)由－＝0得y＝±x，可得b＝a，联立 ，(1分)
得 ，(2分)
于是E：x2－＝1.(3分)
仅写出核心关系式但未求解，得1分；求解错误但关系式正确，扣1分；最终方程写错，扣1分
(2)(ⅰ)显然l斜率不为0，故设l：x＝my＋4.联立 ，
得(m2－)y2＋8my＋15＝0，(4分)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝－，y1y2＝，(5分)
于是k1k2＝，
k1＋k2＝＋，(6分)
＝
＝＝－m，(7分)
于是＋＝· (8分)
＝－，为定值．(9分)
韦达定理符号错误，扣1分；斜率表达式变形错误，扣1分；展开计算错误，扣1分；最终结果错误但过程逻辑正确，扣1分
(ⅱ)x1＋x2＝m(y1＋y2)＋8＝＋8＝，于是M(－，－)，(10分)
显然M为DN中点，(11分)
设N(s，t)，由 ，(12分)
得N(－－4，－)，(13分)
记C(p，0)，＝k0·＝－·(14分)
＝－，(15分)
由其为定值可知其与m无关，
故必有4＋p＝0，p＝－4，于是C(－4，0)，(16分)
于是＝－＝－.(17分)
中点坐标求解错误，扣1分；点坐标求解错误，扣1分；定点坐标求解错误，扣1分；最终定值错误，扣1分
额外扣分规则
1. 未写关键步骤（如直接写结果、省略韦达定理推导），每处扣1分。
2. 字迹潦草、步骤混乱导致无法识别得分点，酌情扣1-2分。
3. 单位、符号书写错误（如斜率符号、双曲线方程符号），每处扣0.5分，累计不超过1分。
19．解：(1)由题有g′(x)＝()′＝.（1分）因为对于任意x∈(0，＋∞)，都有xf′(x)>f(x)，即xf′(x)－f(x)>0，且x2>0，所以g′(x)>0，（2分）故函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，(3分)
下面证明：f(x1＋x2)>f(x1)＋f(x2)．因为x1，x2∈(0，＋∞)，所以x1＋x2>x1，由g(x)的单调递增性质可知g(x1＋x2)>g(x1)，即>.（4分）因为x1>0且x1＋x2>0，整理得：x1f(x1＋x2)>(x1＋x2)f(x1)．同理，因为x1>0，所以x1＋x2>x2，由g(x)的单调递增性质可知g(x1＋x2)>g(x2)，即>，（5分）整理得x2f(x1＋x2)>(x1＋x2)f(x2)．将两式相加得(x1＋x2)f(x1＋x2)>(x1＋x2)[f(x1)＋f(x2)]，（6分）因为x1＋x2>0，两边同时除以x1＋x2，得f(x1＋x2)>f(x1)＋f(x2)，得证．(7分)
（如果以上都没有，只写出了单调递增的定义也得1分）
(2)(ⅰ)由题意f(an)＝n，则＝＝＝.要证明数列单调递减，即证明{g(an)}单调递增（8分），因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(an)＝n由(1)知，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，且an0时f(x)>0，从而g(x)>0，所以>，即>.故数列单调递减．(11分)（不用分析法，正确也可得分）
(ⅱ)记Sn＝a1＋a2＋…＋an.由(1)可知f(x1＋x2)>f(x1)＋f(x2)有f(Sn)＝f(a1＋(a2＋…＋an))>f(a1)＋f(a2＋…＋an)，同理f(a2＋…＋an)>f(a2)＋f(a3＋…＋an)，依此类推，可得：f(Sn)>f(a1)＋f(a2)＋…＋f(an)，(14分)
将f(ak)＝k(k＝1，2，…，n)代入右侧可得f(Sn)>1＋2＋…＋n，（15分）即f(Sn)>.由题意，令N＝，则aN满足f(aN)＝N＝（16分），所以f(Sn)>f(aN)．因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以Sn>aN，即，得证．(17分)2026届高三年级3月份学情诊断
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
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数学答题卡
15.(13分)
16.(15分)
学校
班级
姓名
正确填涂
填涂
准考证号
考场号
■
■
■
错误填涂
西而0①而而而页而而
座位号
例 区
母)
2Z Z I2I2
■
姓名XXX
BB]B]BB]BB]B]BB]
55]
■
贴条形码区
666666的
考场号Xx
座位号XX
8888888888
四鬥四四四9I
■
棕意口台黄竖程+登放鞋盐幸餐
选择题（每题5分，共40分）
1 AB C
6AB田四
·
2AB CD
7 A B]IC
3四BH@而
8四BCD
4I围 四
5团B图@四
选择题（每题6分，共18分）
■
9AB CD
10图田 四
11IB图C@四
非选择题（每题5分，共15分）
12
14
请勿在此区域作答
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数学第1页（共6页）
数学第2页（共6页）
数学第3页（共6页）
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D
17.(15分)
18.(17分)
19.(17分)
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数学第4页（共6页）
数学第5页（共6页）
数学第6页（共6页）序号 题号 试题形式 题型 分值 题型 知识模块 知识点 认知水平 核心素养 预计难度
1 1 客观题 选择题 5 单选题 集合 集合包含关系与元素之和的计算 掌握 逻辑推理 易
2 2 客观题 选择题 5 单选题 复数 复数的四则运算与几何意义 掌握 数学运算 易
3 3 客观题 选择题 5 单选题 对数函数与充要条件 对数不等式与充要条件的结合 掌握 数学运算 逻辑推理 易
4 4 客观题 选择题 5 单选题 平面向量及其应用 平面向量的线性运算与平面向量基本定理 掌握 数学运算 易
5 5 客观题 选择题 5 单选题 圆锥曲线与方程 抛物线几何性质综合 理解 数学运算 中
6 6 客观题 选择题 5 单选题 函数性质 分段函数单调性问题 理解 数学运算 中
7 7 客观题 选择题 5 单选题 导数及其应用 函数导数综合 理解 数学运算 逻辑推理 中
8 8 客观题 选择题 5 单选题 立体几何 三棱锥体积取值范围的求解 理解 数学运算 逻辑推理 难
9 9 客观题 选择题 6 多选题 排列组合 二项式定理综合 掌握 数学运算 数据分析 易
10 10 客观题 选择题 6 多选题 圆锥曲线与方程 椭圆与圆综合 掌握 数学运算 逻辑推理 中
11 11 客观题 选择题 6 多选题 数列 数列综合 理解 数学运算 逻辑推理 难
12 12 客观题 选择题 5 填空题 立体几何初步 棱台体积的求解 掌握 数学运算 易
13 13 客观题 填空题 5 填空题 三角函数 三角函数单调性问题 掌握 数学运算 数据分析 中
14 14 客观题 填空题 5 填空题 概率 概率统计综合 理解 数学运算 逻辑推理 数据分析 难
15 15 客观题 填空题 13 解答题 成对数据的统计分析 独立性检验与回归方程综合 掌握 数学运算 数据分析 易
16 16 客观题 填空题 15 解答题 解三角形 解三角综合 掌握 数学运算 数据分析 中
17 17 主观题 解答题 15 解答题 空间向量与立体几何 证明线面平行，线面垂直，由直线与平面所成角的正弦值求线段比 理解 数学运算 逻辑推理 直观想象 中
18 18 主观题 解答题 17 解答题 圆锥曲线与方程 双曲线有关的斜率问题 了解 数学运算 逻辑推理 难
19 19 主观题 解答题 17 解答题 函数导数综合性问题 函数导数与数列综合 了解 数学运算 逻辑推理 数据分析 难参考答案及解析
数学
2026届高三年级3月份学情诊断
数学参考答案及解析
一、选择题
0,不合要求.故f0)≥0，于是1-2a≥0，a≤号，而
1.B【解析】由B二A可知1∈A,于是只能a=1,故A
中各元素之和为1十2十3=6.故选B.
当a=时，设g(x)=x-sinr,x∈(0，于）g(x)
2.D【解析】2型+十4=2i
(2-i)(1-i)
1+泸
+=
(1+i)(1-i)
=1-cosx>0,g(x)在(0，)上单调递增，可得x
2-3i-1=
1
2
名，显然其对应的点在第四象限。
sinx>0,于是此时f(x)=xcos-之sin2x=(x
故选D.
sinx)cosx>0,符合要求.故选C.
3.A【獬折】由1og,2>1得16>1，即08.A【解析】取AB中点M,AB中点N,显然DN⊥
AB,由DNC平面ABD,平面A,BD∩平面
可得x∈(1,2)，而由1ogx<1可得x∈(0,2)，可得
ABB1A1=A,B,平面ABD⊥平面ABB:A,得DN⊥
甲是乙的充分不必要条件.故选A.
平面ABB,A1,由勾股定理知DN=
4.D【解析】分析可得D耐=A成-A市.A衣=}A店+
√A:D-(合AB）=3,可得CM=3,设DC=DC
2AM=号A店+号AC=名A成+子(A+A)=
=4c0s0,可得AC=A1C1=/16-16cos0=4sin0,
A店+号A市，于是D成=号A店-号Ai,放选D
同理BC=4sin0,由BC>CM知sin>.由勾股定
5.C【解析】记E的焦点为F(0,1),由抛物线定义可
理得AB=2√BC-CMF=2√16sin'0-9,于是三
知PQ1=|PF1+1,于是IPA|-|PQ1=|PA|
|PF1-1≤|AF|-1=4-1=3,当且仅当P,F,A
棱柱ABC-A,B,C的体积V=8eos0X号×3X
按序共线时，等号成立，故选C
2√/16sin8-9=24√/(1-sin0)(16sin0-9),记
a>1
x=im0,x∈(81）小fx)=(1-x)16x-9)=
6.C【解析】由条件知
1-b+c≥-a,可得b(a+c)
-160+25-9-16(。-第)+号结合二次函
≥b(b-1)≥2，当且仅当b=2,a+c=b-1=1时等号
数单词性可得x)(0,],于是V=24V不可
成立，于是a+b+c=1+2=3.故选C.
∈(0,21].故选A.
7.C【解析】注意到f(x)=-xsin x+cosx
2acos2.x,若f(0)<0,则3xn>0,当x∈(0，xo)时，
f(x)<0,f(x)在(0，xn)上单调递减，此时f(xn)<
。12026届高三年级3月份学情诊断
8.如图，直三棱柱ABC一A1B1C1中，D为CC1中点，平面ABD⊥平面ABB1A1,A1D=BD=4,
数学
A,B=2√7，则三棱柱ABC一A,B1C1体积的取值范围是
本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上
的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在
A.(0,21]
B.(7,21]
C.(0,28]
D.(7,28]
试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
答题卡上的非答题区域均无效。
9.设(2十x)6=a。+a1x+…+a6x5,则
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
A.ao+a1+…+a5=728
B.a3=160
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
C.(2十x)12的展开式中含x2项的系数为64a2D.a,十a2十a4十a6=365
目要求的
1.设集合A={2,3,a},B={1,b},若B二A,则A中各元素之和为
10,记椭圆E后+若-1a>6>0)的左：右熊点分别为R,R,以原点0为圆心OF,为半径的
A.3
B.6
C.9
D.12
圆经过E的上顶点，且其面积为π，过点F1的直线（与E交于A,B两点，与圆O另交于点
2.在复平面内，2+十4所对应的点在
C,则
1+5
A.△ABF2的周长为4√2
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
B当BR,⊥x轴时.CF,=号
3.设甲：1og.2>1,乙：log2x<1,则
C.当B,C重合时，BF=-2AF
A.甲是乙的充分不必要条件
D.当∠FBF2=60时，|CF2|=√6-√2
B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件
2an,0≤am≤2
D.甲是乙的既不充分也不必要条件
11.数列{am}满足a1∈(0,1)，且a+1=
,记{an}的前n项和为Sn,则
4.在菱形ABCD中，点M,N满足Ai=2M心，BV=NM,则DN=
21-a,.2a<1
A.2A店-}Aò
B}A店-2A币
A.存在a1,使{an}为周期数列
B.存在a1,使S>n恒成立
C.号A店-名AD
D.A店-号Ai
C.存在a1≠a2,使{Sn}为等差数列
5.已知抛物线E:x2=4y上有一点P,A(4,1),过点P作y=一2的垂线，垂足为Q,则PA一PQ的
D.存在a1≠a2,使{an}为等比数列
最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
A.1
B.2
C.3
D.4
12.在正四棱台ABCD-A1BCD1中，AB=2AB1=4,AA=√11，则该棱台的体积为
(x2-bx+c,x≤1，
6.已知函数f(x)=
是减函数，则当b(a十c)取得最小值时，a十b十c=
-a',x>1
13.已知函数f(x)=sin(ux十p(w>号p>0)在区间(om,2wrx)上单调递增，在区间(2wm,3wm)上
A.1
B.2
C.3
D.4
单调递减，则的最小值为
7.已知函数f(x)=xcos x-asin2x,若当x∈(0，T)时，f(x)>0,则a的最大值为
14.箱中有连续编号1到15的小球，现从箱中一次随机取出5个球，若已知取出的5个球的编号中
位数为9，则这5个球中的最大编号与最小编号之差恰好等于9的概率为
A.-1
B.0
c.2
D.1
数学第1页（共4页）】
数学第2页（共4页）(共50张PPT)
本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号
条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 铅笔把答题卡上对应题目的
答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写
在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,3,，,，若，则 中各元素之和为( )
A.3 B.6 C.9 D.12
[解析] 由可知，于是只能，故 中各元素之和为
.故选B.
√
2.在复平面内， 所对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] ，显然其对应的点在
第四象限.故选D.
√
3.设甲：，乙： ，则( )
A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件
[解析] 由得，即，可得 ，而由
可得 ，可得甲是乙的充分不必要条件.故选A.
√
4.在菱形中，点，满足，，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 分析可得 ，
，
于是 .故选D.
√
5.已知抛物线上有一点，，过点作 的垂线，
垂足为，则 的最大值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 记的焦点为，由抛物线定义可知 ，于是
，当且仅当 ，
， 按序共线时，等号成立.故选C.
√
6.已知函数 是减函数，则当 取得最
小值时， ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 由条件知 ，可得 ，当
且仅当， 时等号成立，于是
.故选C.
√
7.已知函数，若当,时，，则
的最大值为( )
A. B.0 C. D.1
[解析] 注意到，若 ，则
，当时，，在 上单调递减，此时
，不合要求.故，于是，，而当
时，设，,，，在,
上单调递增，可得 ，于是此时
，符合要求.故选C.
√
8.如图，直三棱柱中，为 中点，平面
平面，， ，
则三棱柱 体积的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 取中点，中点，显然 ，由
平面，平面 平面 ，
平面 平面得 平面 ，由勾
股定理知，可得 ，
设 ，可得
，同理 ，由
知 .由勾股定理得
，于是三棱柱 的体
积 ，
记 ，,，
，结
合二次函数单调性可得,，于是 .故选A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选
项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分
分，有选错的得0分.
9.设 ，则( )
A.
B.
C.的展开式中含项的系数为
D.
√
√
√
[解析] 对于A， ，故
，故A正确；对于
B， ，故B正确；对于C，
的展开式中含项的系数为，而 ，显
然二者不相等，故C错误；对于D， ，
，于是
， ，故D正确.故选
.
10.记椭圆的左，右焦点分别为， ，以原
点为圆心，为半径的圆经过的上顶点，且其面积为 ，过点
的直线与交于，两点，与圆另交于点 ，则( )
A.的周长为
B.当轴时，
C.当，重合时，
D.当 时，
√
√
[解析] 对于A，记的焦距为，可得 ，
于是 ，故由定义得
故A正确；对于B，不妨设 在第一象限，此时
可记，由得 ，由相似关系
知，即 ，
故B正确；对于C，此时不妨记在轴上方，可得 ，若
，
，可得, ，但
，矛盾，故C错误；对于D，
显然，设，由角度可知， ，此
时，由勾股定理得 ，解得
，可得 ，
故D错误.故选 .
11.数列满足，且 ，记
的前项和为 ，则( )
A.存在，使 为周期数列
B.存在，使 恒成立
C.存在，使 为等差数列
D.存在，使 为等比数列
√
√
√
[解析] 对于A，取，则，，，此时 ，故
是以3为周期的周期数列，故A正确；对于B，取， ，以
此类推，对于所有的,2,3,，都有，则数列的前 项和
，即对于任意正整数， 恒成
立，故B正确；对于C，若是等差数列，则对于 ，有
为常数，则 从第二项起为常数，由B可知，
取，则此后各项均为，令，得，故 ，
，且，此时，，，和数列 是首项为
，公差为的等差数列，故C正确；对于D，假设存在公比为 的等比数
列，其中且，若存在某项，则 ，
解得.若，由于，，故随 增大必将超过
.设是第一个大于的项，即,，由 ，按等
比数列定义，由解得，这与
矛盾；若，则， ，与等比数列各项不为0的定
义矛盾；若所有项均大于，则 恒成立，解得
，则为常数数列，即 ，与题设矛盾.综上所述，不存
在满足条件的等比数列，故D错误.故选 .
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在正四棱台中，， ，则
该棱台的体积为____.
28
[解析] 记该棱台的高为，易得 ，
，由勾股定理可得
，得 ，于是棱台的体
积 .故答案为28.
13.已知函数，在区间 上单调
递增，在区间上单调递减，则 的最小值为__.
[解析] 显然，，可得 ，显然
，于是，，可知 ，
，即，显然当时等号成立.故答案为 .
14.箱中有连续编号1到15的小球，现从箱中一次随机取出5个球，若已知
取出的5个球的编号中位数为9，则这5个球中的最大编号与最小编号之
差恰好等于9的概率为___.
[解析] 设取出的5个球编号从小到大排列为 ，由
已知中位数为9即，则,需从,2, ,中选取，,需从 ,
11, ,中选取，故基本事件总数为 .若满足
最大编号与最小编号之差为9，设，则.由 知
，由即知，且即 ，
故.此时中间球的选法数为 ，求和得符合条
件的事件数为，故所求概率为 .
故答案为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，
证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
某校学习小组为调查高一学生单日运动时间与数学成绩的关系，随
机抽取80名同学进行问卷调查，得到如下数据：
数学成绩 单日运动时间 不低于90分 低于90分
不小于30分钟 30 10
小于30分钟 10 30
（1）根据小概率值 的独立性检验，分析数学成绩与单日运动
时间是否有关；
解：零假设 数学成绩与单日运动时间无关，（1分）
，（3分）
零假设不成立，故可认为根据小概率值 的独立性检验，数学
成绩与单日运动时间有关.（5分）
（2）为进一步研究运动时间对成绩的影响，该小组从这80人中抽取了
运动时间分别为10，20，30，40（单位：分钟）的4位同学，他们的数
学成绩分别为72，75，78，80（单位：分）.记单日运动时间为 ，对应
的数学成绩为，由这四组数据得到的经验回归方程为，求 .
参考数据：， .
附：，， .#1.3.2
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
解： ，（6分）
，（8分）
于是 ，（11分）
于是 .（13分）
16.（本小题满分15分）
记内角，，的对边分别为，，， ，
.
（1）若的面积为6，求 ；
解：注意到 ，可得 ，（2分）
而的面积，可得 .（5分）
（2）求 ；
解：由正弦定理得 ，（6分）
即 ，（10分）
于是 .（11分）
（3）证明： 是钝角三角形.
解：若，则应有，这与 矛盾，
（12分）
不妨设，此时注意到，于是 ，故由
得，，于是 ，
（14分）
故 是钝角三角形.（15分）
17.（本小题满分15分）
如图，四棱锥中， 平面
，， ，
，，为棱 上一
点，为 中点.
（1）若，证明：平面 ；
解：由，得为 中点，（1分）
又为的中点，于是 ，（2分）
由 平面， 平面得平面 .（3分）
（2）证明： 平面 ；
解：由平面几何知识可知 ，（4分）
由 平面， 平面得 ，（5分）
由， 平面， 平面 可得
平面 .（6分）
（3）若直线与平面所成角的正弦值为，求 .
解：以为坐标原点，过点作平行于 方向
的直线为轴正方向，的方向为 轴正方
向，的方向为 轴正方向，建立空间直角坐
标系 ，（7分）
可得，， ，
，记， ，
，， ，
（10分）
设平面的法向量为 ，
，
即 ，可取
，（12分）
记直线与平面所成角为 ，
，
即，整理得 ，
解得或 .（15分）
18.（本小题满分17分）
记双曲线的左焦点为 ，渐近线方程
为，过点作直线与交于， 两点.
（1）求 的方程；
解：由得，可得，联立 ，得
，于是 .（3分）
（2）记，，的斜率分别为，，，为 轴上一定点.
（ⅰ）证明： 为定值；
[答案] 显然斜率不为0，故设.联立 ，
得 ，
设， ，
则， ，（5分）
于是 ，
，
，（7分）
于是 ，为定值.（9分）
（ⅱ）记中点为，以为圆心，为半径的圆与另交于一点 ，
的斜率为，若为定值，求的坐标，并求出 的值.
[答案] ，于是
, ，（10分）
显然为中点，设，由 ，
得, ，（13分）
记， ，
（15分）
由其为定值可知其与 无关，
故必有，，于是 ，（16分）
于是 .（17分）
19.（本小题满分17分）
设函数的定义域为，且的导函数在 上
的图象是一条连续不断的曲线，已知，且对于任意 ，
都有 .
（1）判断函数的单调性，并证明：对于任意 ,
，都有 ；
解：由题有.因为对于任意 ，都有
，即，且，所以 ，故函
数在 上单调递增，（3分）
下面证明：.因为, ，所以
，由的单调递增性质可知 ，即
.因为且 ，整理得：
.同理，因为，所以 ，
由的单调递增性质可知，即 ，整
理得 .将两式相加得
，因为 ，两
边同时除以，得 ，得证.（7分）
（2）若在上单调递增，且数列满足 .
（ⅰ）证明：数列{ }单调递减；
[答案] 由题意，则.要证明数列 单
调递减，即证明单调递增，因为在 上单调递增，且
，所以 .（9分）
由（1）知，在上单调递增，且 ，所以
.因为，且定义域为 ，
且单调递增，故当时，从而 ，所以
，即.故数列 单调递减.（11分）
（ⅱ）记为数列的前项和，证明：对于任意 ，都有
.
[答案] 记 .由（1）可知
有
，同理
，依此类推，可得：
，（14分）
将代入右侧可得 ，即
.由题意，令，则满足 ，
所以.因为在上单调递增，所以 ，即
，得证.（17分）
