8.1.2 算术平方根-课件(共46张PPT)--2025-2026学年人教版数学七年级下册

人教版数学7年级下册培优精做课件
8.1.2 算术平方根
第八章　实数
授课教师： Home .
班 级： 9年级（*）班 .
时 间： .
学习目标
深入理解算术平方根的概念，能够准确识别和区分一个数的算术平方根。
熟练掌握算术平方根的表示方法，能正确运用根号表示数的算术平方根。
理解算术平方根的双重非负性，并能运用这一性质解决相关问题。
能根据算术平方根的定义求出非负数的算术平方根，解决简单的实际应用问题。
学习重难点
学习重点：算术平方根的概念、表示方法及求法；算术平方根的双重非负性。
学习难点：理解算术平方根的双重非负性，并能灵活运用这一性质解决问题。
红红到装饰城购买瓷砖，老板给了他一块面积为 30 dm2 的正方形瓷砖，
聪明的你能告诉她这块瓷砖的边长吗？
情境导入
运用平方根的知识
情境导入视频
{00A15C55-8517-42AA-B614-E9B94910E393}
????????
????????
(????????)????
(?????)????
????
平方根
正的平方根
负的平方根
{00A15C55-8517-42AA-B614-E9B94910E393}
平方根
正的平方根
负的平方根
±????
?
????
?
?????
?
±????
?
????
?
?????
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±????????
?
????????
?
?????????
?
±????
?
????
?
?????
?
算术平方根
±????
?
????
?
?????
?
1.求下列各数的平方根
计算下表中各正方形的边长：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}正方形的面积/dm2
1
9
16
36
正方形的边长/dm
1
3
4
6
问题 1：结合平方根的概念，回答各正方形的边长
与面积之间有什么关系?
问题 2：以上数据中，正方形的面积和边长的大小有什么关系?
正方形的边长是面积值的正平方根.
面积越大，边长越大.
探究点：算术平方根的概念和性质
算术平方根的概念
概念

正数 a 有两个平方根，其中正的平方根 ???? 叫作 a 的算术平方根. a 的算术平方根用 ???? 来表示 .
规定：0 的算术平方根是 0.
0 的算数平方根也记为????.
?
探究点：算术平方根的概念和性质
1. 一个正数的算术平方根有几个？
0 的算术平方根有一个，是 0.
2. 0 的算术平方有几个？
负数没有算术平方根.
3. -1 有算术平方根吗？负数有算术平方根?
一个正数的算术平方根有 1 个.
正数的平方不可能是负数.
探究点：算术平方根的概念和性质
基本条件：
数的角度：
关系的角度：
形的角度：
怎么理解
(a≥0 ， ).
是一个非负数.
的平方是 a；
是 a 的算术平方根；
不计入 0， 是一个面积为正数 a 的正方形的边长.
探究点：算术平方根的概念和性质
(x≥0，a≥0)
(a≥0， ≥0)
咱俩都是非负数；
我是你的方，你是我的根；
根号我就是你；
我是完全平方数，你就是有理数，
否则，根号我就是你的样子
25是5的方，5是25的根
25 = 5
?
就是5
→5(有理数)
探究点：算术平方根的概念和性质
例1 求下列各数的算术平方根：
被开方数越大，对应的算术平方根也越大.
总结
从小到大
解：(1) 因为 102 = 100，所以100 的算术平方根是10，
(2) 因为 782 = 4964 ，所以 4964 的算术平方根是 78 ，
?
(3)因为 0.012 = 0.000 1，所以 0.000 1 的算术平方根是 0.01，
(2) 4964 ；
?
(1) 100；
(3) 0.000 1.
即100 = 10.
?
即4964 = 78.
?
即0.0001 = 0.01.
?
探究点：算术平方根的概念和性质
1. 求下列各数的算术平方根.
(3) 964 ；
?
(1) 121；
(4) 0.25.
(2) 0；
解：(1) 11. (2) 0 . (3) ???????? . (4) 0.5.
?
2. 已知 3＋a 的算术平方根是 5，则 a 的值为 .
22
【练一练】
探究点：算术平方根的概念和性质
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
算术平方根
平方根
区
别
定义
不同
正数 a 有两个平方根，其中正的平方根 ???? 叫作 a 的算术平方根.
一般地，如果一个数的x 平方等于 a，那么这个数x 叫作 a 的平方根
个数
不同
正数的算术平方根有_______个
正数的平方根有_______个
表示方法不同
正数 a 的算术平方根表示为_______
正数 a 的平方根表示为_______
结果
不同
正数的算术平方根一定是_______
正数的平方根为________，二者互为________
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
算术平方根
平方根
区
别
定义
不同
一般地，如果一个数的x 平方等于 a，那么这个数x 叫作 a 的平方根
个数
不同
正数的算术平方根有_______个
正数的平方根有_______个
表示方法不同
正数 a 的算术平方根表示为_______
正数 a 的平方根表示为_______
结果
不同
正数的算术平方根一定是_______
正数的平方根为________，二者互为________
1
2
正数
一正一负
相反数
探究点：算术平方根的概念和性质
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
算术平方根
平方根
联
系
具有包含关系
存在的条件相同
特殊值0
同一个正数的平方根包含算术平方根，算术平方根是这个正数正的平方根。
只有非负数才有平方根和算术平方根
0的平方根与算术平方根均为0
探究点：算术平方根的概念和性质
3. 下列说法正确的是________.
① -3 是 9 的平方根；
② 25 的平方根是 5；
③ -36 的平方根是 -6；
④ 平方根等于 0 的数是 0；
⑤ 64 的算术平方根是 8.
①④⑤
【练一练】
剪一剪，拼一拼：能否用两个面积为 1 dm2 的小正方形剪拼成一个面积为 2 dm2 的大正方形？
探究点：算术平方根的概念和性质
填空：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
回忆三角形三边之间的关系， 究竟是一个怎么样的数？
面积 dm2
边长 dm
1
2
1
探究点：算术平方根的概念和性质
算一算：估算 2 的大小.
?
(1) 比较 1，2，2 之间的大小；
?
因为 1? = 1，(2)? =2，2? = 4. 所以1<2<2.
?
(2) 比较1.4，2，1.5 之间的大小；
?
因为1.4? = 1.96，1.5? =2.25. 所以1.4<2<1.5.
?
(3) 比较 1.41，2，1.42 之间的大小.
?
因为1.41?=1.988 1，1.42? =2.016 4. 所以1.41<2<1.42.
?
如此反复可确定出 2 更精确的估计范围，此种方法叫作“夹逼法”. 事实上，2 =1.414 213 562 373…，它是一个无限不循环小数.
?
探究点：算术平方根的概念和性质
思考：无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数. 你以前见过这样的数吗?
实际上，很多正有理数的算术平方根
(例如3，5，6等)都是无限不循环小数.
?
探究点：算术平方根的概念和性质
用“夹逼法”求 ???? 近似值的步骤:
(1)通过估算，确定 ???? 在哪两个连续整数之间；
(2) 通过试算，确定 ???? 在哪两个连续的一位小数之间；
(3)通过试算，确定 ???? 在哪两个连续的两位小数之间；
......
如此反复，可求得 ???? 更精确的估计范围.
?
【归纳总结】
探究点：算术平方根的概念和性质
算术平方根
定义
表示
特征
如果一个正数 x 的平方等于 a，即________那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根. a 的算术平方根记为________.
非负数 a 的算术平方根记作“_______”.读作“_______”，其中 a 叫作___________.
正数 a 的算术平方根是_______；0 算术平方根是_______；
负数没有算术平方根.
x2 = a
根号 a
被开方数
0
1.4的算术平方根是(　B　)
A. ±2
B. 2
C. －2
D. 2
A. ±2
B. 2
C. －2
2. 化简25 的结果为(　D　)
?
A. ±5
B. 25
C. －5
D. 5
B
D
4. 计算：(1)－0.01 ＝ ?；
(2)1.44 ＋64 ＝ ?.
5. (1)若???? ＋｜n｜＝0，则m＝ ，n＝ ?；
(2)已知???? ＋???? ＝0，则(a－b)2026的值为 ?.
?
－0.1　
9.2　
0　
0　
0　
3. 下列说法正确的是(　A　)
A. 0的算术平方根是0 B. 9是3的算术平方根
C. ±3是9的算术平方根 D. －3是9的算术平方根
A
6. 教材P42例3变式求下列各数(式）的算术平方根：
(1)121；(2)2???????? ；　 (3)412?402 .∴121的算术平方根是11.
?
解：(1)因为112＝121，
所以121的算术平方根是11.
(2)因为(???????? )2＝???????? ＝2???????? ，
?
所以2???????? 的算术平方根是???????? .
?
(3)因为????????????????????????? ＝???????? ，
?
又因为92＝81，所以???????? ＝9.而32＝9，
?
所以????????????????????????? 的算术平方根是3.
?
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B
1.
“4的算术平方根”用数学式子表示正确的是(　　)
返回
2.
C
返回
3.
A
返回
4.
B
返回
5.
A
下列说法正确的是(　　)
A．因为52＝25，所以5是25的算术平方根
B．因为(－5)2＝25，所以－5是25的算术平方根
C．因为(±5)2＝25，所以5和－5都是25的算术平方根
D．以上说法都不对
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6.
C
一个数的算术平方根等于它本身，那么这个数是(　　)
A．0
B．1
C．1或0
D．－1
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7.
解：因为122＝144，
所以144的算术平方根是12.
(16分)[教材P43练习T1变式]求下列各数的算术平方根：
因为0.12＝0.01，所以0.01的算术平方根是0.1.
72的算术平方根是7.
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8.
(16分)计算下列各式：
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9.
B
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10.
D
[教材P42探究变式]如图，用面积为7的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长是(　　)
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11.
D
已知自由下落的物体下落的高度h(单位：m)与下落时间t(单位：s)的关系是h＝4.9t2，有一个物体从49 m高的建筑物上自由落下，到达地面需要(　　)
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12.
D
返回
13.
C
下列说法中，不正确的有(　　)
①一个数的算术平方根一定是正数；
②100的平方根是10；
③(π－3.14)2的算术平方根是π－3.14；
④a2的算术平方根是a.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
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14.
D
一个自然数的算术平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的算术平方根是(　　)
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15.
D
如图，按下面的程序计算，若开始输入的x＝1，则最后输出的结果是(　　)
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16.
2
[滁州月考]如图①是两个完全相同的长方形，长为5，宽为3，将它们沿对角线(图中的虚线)剪开，再拼接成如图②所示的大正方形，中间留有的空隙是一个小正方形，设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b，则a＝________，b＝________.
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17.
(8分)计算：
18.
解：∵2a－1的平方根是±3，
∴2a－1＝9，∴a＝5.
∵3a＋b－1的算术平方根是4，
∴3a＋b－1＝16，∴3×5＋b－1＝16，∴b＝2.
(8分)已知2a－1的平方根为±3，3a＋b－1的算术平方根为4.
(1)求a，b的值；
解：由(1)知a＝5，b＝2，
∴a＋2b＝5＋2×2＝9，
∴a＋2b的算术平方根是3.
(2)求a＋2b的算术平方根．
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19.
(8分)[教材P47习题T10变式](1)通过计算下列各式的值探究问题．
4
16
0
a
3
5
1
2
－a
|a|
解：由数轴可知a<0，b>0，a－b<0，a＋b<0，
所以|a|＝－a，|b|＝b，|a－b|＝－(a－b)，|a＋b|＝－(a＋b)，
所以原式＝|a|－|b|－|a－b|＋|a＋b|＝－a－b＋(a－b)－(a＋b)＝－a－b＋a－b－a－b＝－a－3b.
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