8.3.1 实数的概念及分类-课件(共49张PPT)--2025-2026学年人教版数学七年级下册

人教版数学7年级下册培优精做课件
8.3.1 实数的概念及分类
第八章　实数
授课教师： Home .
班 级： 9年级（*）班 .
时 间： .
一、教学目标
（一）知识与技能目标
学生能够理解无理数和实数的概念，掌握实数的分类，知道实数与数轴上的点一一对应。
了解有理数的运算律和运算法则在实数范围内仍然适用，能熟练进行实数的简单加、减、乘、除、乘方、开方运算，并能运用运算律简化运算。
（二）过程与方法目标
通过对无理数的探究，培养学生的观察、分析、归纳和概括能力，经历从有理数扩展到实数的过程，体会类比、分类讨论等数学思想方法。
在实数运算的学习过程中，提高学生的运算能力和逻辑思维能力，培养学生解决实际问题的能力。
（三）情感态度与价值观目标
感受数学知识的连续性和拓展性，激发学生对数学学习的兴趣和探索精神。
体会数学与生活的紧密联系，增强学生应用数学知识解决实际问题的意识。
二、教学重难点
（一）教学重点
理解无理数和实数的概念，掌握实数的分类。
掌握实数的简单运算规则，能熟练进行实数的运算。
（二）教学难点
对无理数概念的理解，尤其是无限不循环小数的认识。
灵活运用运算律和运算法则进行实数的混合运算，准确处理运算中的符号问题。
-1
1
2
4
平方根
立方根
±1
1
不存在
-1
±2
填一填
上表中所填的这些数都是有理数吗？
±????
?
????????
?
????????
?
情境导入
探究 把下列有理数写成小数的形式，你发现了什么?
它们都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式.
整数可以写成小数点后为0的小数.
计算：把下列有理数写成小数的形式：
52= ，
?
?35= ，
?
274= ，
?
119= ，
?
911= .
?
2.5
?0.6
?
6.75
0.81
?
思考 1：观察运算结果，请问你有什么发现? 请同学们自主讨论并得出自己的结论.
任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.
1.2
探究点1：无理数和实数的概念及实数分类
4= ，
?
4.0
想一想：所有的数都可以写成有限小数和无限循环小数的形式吗？
?
?
π = 3.1415926535897932384626…
1.01001000100001…
（两个 1 之间依次多一个 0）
不是.如：
探究点1：无理数和实数的概念及实数分类
思考 2：像 2 这样的无限不循环小数属于有理数吗?为什么?
?
不属于，因为有理数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式.反过来，不能化成有限小数或无限循环小数的数不是有理数. 2 不能化成有限小数或无限循环小数，所以 2 不属于有理数.
?
无理数
思考 3：如果无限不循环小数不属于有理数，通过阅读教材 P52 说说它属于哪一类数?
探究点1：无理数和实数的概念及实数分类
【知识要点】
无理数的 3 种常见的表现形式有：
(1) 构造型的无限不循环小数 【如 0.301 001 0001···
（每相邻两个1之间依次增加1个0)】 ；
(2) 具有特定意义的数(如 π)；
(3) 含有根号且被开方数不能被开尽的数(如 3 ).
我们将有理数和无理数统称为实数.
?
类比有理数，我们将
无限不循环小数叫作无理数.
探究点1：无理数和实数的概念及实数分类
实数
有理数
无理数
正有理数
0
负有理数
正无理数
负无理数
有限小数或无限循环小数
无限不循环小数
思考 4：类比有理数概念的分类，你能给实数分类吗?
探究点1：无理数和实数的概念及实数分类
负实数
正实数
数实
正有理数
负有理数
0
正无理数
负无理数
因为非零有理数和无理数都有正负之分，那么你能类比有理数的分类方法，按大小对实数分类吗？
探究点1：无理数和实数的概念及实数分类
无理数：
有理数：
负实数：
正实数：
例1 将下列各数分别填入下列相应的括号内：
39，
?
14 ，
?
7 ，
?
π ，
-16 ，
?
-5 ，
?
?38 ，
?
49 ，
?
0 ，
25 ，
?
0.5252252225….（相邻两个5之间依次增加一个2）.
0.5252252225….
39，
?
7 ，
?
π ，
-5 ，
?
14 ，
?
-16 ，
?
?38 ，
?
49 ，
?
0 ，
25 ，
?
39，
?
14 ，
?
7 ，
?
π ，
49 ，
?
0.5252252225….
-16 ，
?
-5 ，
?
?38 ，
?
25 ，
?
探究点1：无理数和实数的概念及实数分类
【练一练】1.下列说法中，正确的是（ ）.
A. 实数分为正实数和负实数 B. 无限小数都是无理数
C. 无理数都是无限小数 D. 带根号的数都是无理数
2.有一个数值转换器，其原理如图所示，当输入的 x 为 81 时，输出的 y 是（ ）.
输入x
取算术平方根
输入y
是无理数
是有理数
C
D
A. 9 B. C.3 D.
探究点1：无理数和实数的概念及实数分类
演示1：以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于 π. 如图 ，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点 O 到达点 O′，点 O′ 对应的数是多少?
O
-1
1
3
2
4
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
O′
思考 1： 点O′ 对应的数是多少?
思考 2： 点O′ 对应的数在数轴上的位置说明了什么?
π
无理数 π 可以在数轴上表示
探究点2：实数与数轴上的点
演示2：你能在数轴上表示出 和 - 吗？
1
1
1
1
两个边长为 1 的小正方形通过剪、拼 得到一个大正方形，由大正方形的面积为 2 可知其边长为 ，从而说明边长为 1 的小正方形的对角线长为____.
探究点2：实数与数轴上的点
－2
－1
0
1
2
-
结合两个演示思考下面的问题:
(1)回顾有理数在数轴上的表示，π，2 与 －2 在数
轴上的对应位置说明了什么?
?
无理数也可以在数轴上表示出来
探究点2：实数与数轴上的点
－2
－1
0
1
2
-
(2) 通过上述探究，比较 π，－2 ，2，0，1，2，3 的大小，并说明如何比较实数的大小.
?
－2＜0＜1＜2＜2＜3＜π，可以根据实数在数轴上对应的位置关系比较大小
?
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；
反过来，数轴上的每一点都表示一个实数.
探究点2：实数与数轴上的点
要点 1：实数和数轴上的点是一一对应的.
要点 2：与有理数规定的大小一样，数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.
要点 3：
(1)正数大于零，负数小于零，正数大于负数；
(2)两个正数，绝对值大的数较大；
(3)两个负数，绝对值大的数反而小.
【要点归纳】
探究点2：实数与数轴上的点
例2 如图所示，数轴上 A，B 两点表示的数分别为－1 和 ，点 B 关于点 A 的对称点为 C，求点 C 所表示的实数．
解：因为数轴上 A，B 两点表示的数分别为－1 和 ，
所以点 B 到点 A 的距离为1＋ ，则点 C 到点 A 的距离为 1＋ .
设点 C 表示的实数为 x，则点 A 到点 C 的距离为－1－x，
所以－1－x ＝ 1＋ ，
所以 x ＝ －2－ .
探究点2：实数与数轴上的点
本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，其中利用了：当点 B 关于点 A 的对称点为点 C 时，点C 到点 A 的距离等于点 B 到点 A 的距离；两点之间的距离为两数差的绝对值．
总结
探究点2：实数与数轴上的点
【练一练】3.如图所示，数轴上 A，B 两点表示的数分别为 和 5.1，则 A，B 两点之间表示整数的点共有(　　)
A．6 个 B．5 个 C．4 个 D．3 个
解析：∵ ≈1.414，∴ 和 5.1 之间的整数有 2，3，4，5， ∴ A，B 两点之间表示整数的点共有 4 个．
C
【方法总结】数轴上的点与实数一一对应，结合数轴分析，可轻松得出结论．
探究点2：实数与数轴上的点
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
例3 在数轴上表示下列各数，比较它们的大小，并用“ < ”连接它们.
熟记常见数的算术平方根的约数值有助于解题.
1，2 ，－2，π ，－3
?
－3＜－2＜1＜2＜π
?
1
????
?
-????
?
π
-????
?
探究点2：实数与数轴上的点
5.___________
无限不循环小数
有限小数或4.__________
正有理数
1._______
2._______
正无理数
3._______
有理数
无理数
实数
数轴
数与点的对应
无限循环小数
0
负有理数
负无理数
1. 下列实数中，是无理数的是(　C　)
A. 0.2
B. 12
C. 2
D. －5
A. 0.2
D. －5
C
2. 下列各数：3.14159，π，25 ，0.131131113…
(相邻的两个3之间依次多一个1)，－38 ，－17 ，
其中无理数有(　B　)
?
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
B
3. 下列说法中错误的是(　D　)
A. 16 是有理数
B. 19 是无理数
C. 3?27 是有理数
D. 32 是分数
4. 如图，数轴上A，B两点表示的数分别为2 和
4.1，则A，B两点之间表示整数的点共有 个.
?
D
3　
②无理数集合：{－???? ，???????? ，π，1.2020020002…
(相邻两个2之间0的个数逐次加1)，…}；
③整数集合：{0，－????????? ，…}；
?
5. 把下列各数填入相应的集合内：
－12 ，－3 ，33 ，72 ，－3?8 ，0，π，－117 ，
－0.121·　· ，1.2020020002…(相邻两个2之间0的个数逐次加1).
?
①有理数集合：{－???????? ，???????? ，－????????? ，0，－???????????? ，－
0 ，…}；
?
－???????? ，???????? ，－????????? ，0，－???????????? ，
?
－ 0.????????????·　·
?
－???? ，???????? ，π，1.2020020002…
?
(相邻两个2之间0的个数逐次加1)
0，－?????????
?
④分数集合：{－???????? ，???????? ，－???????????? ，－0.????????????·　· ，…}；
?
⑤正实数集合：{???????? ，???????? ，－????????? ，π，
1.2020020002…(相邻两个2之间0 ，…}；
?
⑥负实数集合：{－???????? ，－???? ，－???????????? ，－ ，…}.
?
－???????? ，???????? ，－???????????? ，－0.????????????·　·
?
???????? ，???????? ，－????????? ，π， 1.2020020002…
?
(相邻两个2之间0的个数逐次加1)
－???????? ，－???? ，－???????????? ，－ 0. ????????????·　·
?
5. 把下列各数填入相应的集合内：
－12 ，－3 ，33 ，72 ，－3?8 ，0，π，－117 ，
－0.121·　· ，1.2020020002…(相邻两个2之间0的个数逐次加1).
?
返回
D
1.
返回
2.
A
[广州中考]下列四个选项中，是负无理数的是(　　)
返回
3.
D
下列说法正确的是(　　)
A．无限小数是无理数
B．有根号的数是无理数
C．无理数是含根号且开方开不尽的数
D．无限不循环小数是无理数
返回
4.
3
返回
5.
D
下列说法正确的是(　　)
A．正实数和负实数统称实数
B．正数、0和负数统称有理数
C．带根号的数和分数统称实数
D．无理数和有理数统称实数
返回
6.
②④⑤⑦
①③⑥
①⑤⑥⑦
②③④
有理数：____________________；
无理数：____________________；
正实数：____________________；
负实数：____________________．
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7.
D
与数轴上的点是一一对应关系的是(　　)
A．自然数
B．有理数
C．无理数
D．实数
返回
8.
C
返回
9.
如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为0，若点E在数轴上(点E在点A的右侧)，且AB＝AE，则点E所表示的数为________.
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10.
A
返回
11.
C
[淮安二模]下列四个数中，比－3小的数是(　　)
A．1
B．0
C．－π
D．－2
返回
12.
返回
13.
(4分)[教材P54练习T3变式]把下列实数表示在数轴上，并将它们用“＜”连接起来：
返回
14.
D
下列说法正确的是(　　)
返回
15.
D
[教材P53思考变式]南充中考]如图，把直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动一周，圆上点A到达点A′，点A′对应的数是2，则滚动前点A对应的数是(　　)
A．2－2π
B．π－2
C．5－2π
D．2－π
返回
16.
B
如图，在数轴上点A和点B之间的整数是(　　)
A．1和2
B．2和3
C．3和4
D．4和5
返回
17.
按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是________.
返回
18.
52
[教材P54练习T2变式]在1，2，3，…，30这30个自然数的算术平方根和立方根中，无理数有________个.
19.
4
返回
20.
(8分)[教材P62复习题T11变式](1)如图①，这是由5个边长为1的小正方形组成的图形，
可以把它剪拼成一个正方形．
①拼成的正方形的面积与边长分别是多少？
②在数轴上画出①中拼成的正方形的边长所对应的点．
(2)如图②，你能把这10个边长均为1的小正方形组成的图形剪拼成一个大正方形吗？拼成的大正方形的边长是多少？
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