8.1.1 平方根-课件(共38张PPT)--2025-2026学年人教版数学七年级下册

(共38张PPT)
人教版数学7年级下册培优精做课件8.1.1平方根第八章　实数授课教师：Home .班级：9年级（*）班.时间：.知识与技能目标：学生能够准确理解平方根、算术平方根的概念，明确二者的区别与联系；熟练掌握平方根的表示方法和性质，能正确求出一个非负数的平方根；能运用平方根的知识解决简单的实际问题和数学问题。
过程与方法目标：通过观察、分析、归纳、类比等活动，培养学生的自主探究能力和逻辑思维能力；经历从实际问题抽象出数学概念的过程，提高学生的数学建模能力和应用意识。
情感态度与价值观目标：在探究活动中，激发学生的学习兴趣，培养学生的合作交流意识和勇于探索的精神；让学生体会数学与生活的紧密联系，感受数学的严谨性和科学性。
学校要举行美术作品比赛，小优裁出了一块面积为 25 dm2 的正方形的画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？
分析：∵( )2 = 25
∴这个正方形画布的边长应取 dm.
5
5
情境导入
情境导入视频
问题 3：因为正方形边长的平方等于这个正方形的面积，所以我们很容易就能得到此处的边长为 2 m，那么如果已知一个数的平方，应该怎么求这个数呢 这个数是唯一的吗 请大家带着问题进行探究.
问题1：如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少
问题 2：填写下表：
x2 1 16 0.36 49
x
±1
±4
±0.6
±7
±
3或－3
探究点1：平方根的概念
思考 2：求一个数与自身相乘积的运算叫作平方，那么知道一个数的平方，求这个数的运算叫什么
思考1：上述表格得到的 x 值有什么特点
都有两个值，且这两个值互为相反数
x2 1 16 0.36 49
x
±1
±4
±0.6
±7
±
探究点1：平方根的概念
求一个数的平方根的运算，叫作开平方.
例如：(±3)2 = 9，
3 和 -3 是 9 的平方根，简记为±3 是 9 的平方根.　
根据所学内容回答“导入新课”问题3.
一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么这个数 x 叫作 a 的平方根或二次方根.
(根据开平方求这个数，这个数并不唯一)
【知识要点】
探究点1：平方根的概念
– 1
+ 1
+ 2
– 2
+ 3
– 3
1
4
9
– 1
+ 1
+ 2
– 2
+ 3
– 3
1
4
9
平方
开平方
比较两图中的两种运算的特点，你能发现什么？
互为逆运算
【合作探究】
探究点1：平方根的概念
平方与开平方互为逆运算.
根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根
总结
互为逆运算
平方运算
开平方运算
探究点1：平方根的概念
例1 分别求下列各数的平方根：
解：(1) 因为 ( ±8 )2 = 64，
所以 64 的平方根是 ±8；
(1) 64；
(2) 因为 = ，
(2)
(3) 0.01.
所以 的平方根是
(3) 因为 ( ±0.1)2 = 0.01，所以 0.01 的平方根是0.1.
探究点1：平方根的概念
1. 分别求下列各数的平方根：
(1)
(2) 1.44 (3) 121
【练一练】
(2) 因为 ( ±1.2 )2 = 1.44，
所以 1.44 的平方根是 ±1.2.
解：(1) 因为 = ，
所以 的平方根是 .
(3) 因为 ( ±11)2 = 121，所以 121 的平方根是11.
探究点1：平方根的概念
2. 判断对错:
(1) 8 是 64 的平方根； ( )
(2) －8 是 64 的平方根； ( )
(3) ±8 是 64 的平方根； ( )
(4) 一个数的平方等于81，则这个数是 9. ( )
√
√
√
×
探究点1：平方根的概念
– 1
+1
+2
–2
+3
–3
1
4
9
平方
–1
+ 1
+2
–2
+3
–3
1
4
9
开平方
32 = 9
(-3)2 = 9
02 = 0
(±3)2 = 9
02 = 0
思考1：观察以上内容你有什么发现
探究点2：平方根的性质
思考3：0 的平方根是多少
思考2：1，4，9， 的平方根是多少 它们有什么特点？
思考4：－1，－4，－9，－ 的平方根是多少
没有平方根
0
±1，±2，±3，±
有两个平方根，且互为相反数
【想一想】
探究点2：平方根的性质
性质1：正数有两个平方根，它们互为相反数；
性质2：0 的平方根是 0；
性质3：负数没有平方根.
概念
追问：前面我们学了一个数的平方的书写方式，那一个数的平方根又该如何表示呢
探究点2：平方根的性质
正数 a 的正的平方根记为“ ”，
读作“根号 a ”， a 叫作被开方数；
正数 a 的负的平方根记为“－ ”，
读作“负根号 a ”
a 的平方根可记为
0 的平方根记为
只有当 a ≥ 0 时 才有意义. 而当a ＜ 0 时 无意义.
探究点2：平方根的性质
x2 = a
平方根号
被开方数
读作：正、负根号 a
(a≥0)
(a≥0)
x 是非负数 a 的平方根
根指数为 2，省略不写
2
x =
x2 = a
探究点2：平方根的性质
例2 下列各数有平方根吗 如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由.
(1) 0.36； (2) －5； (3) (－4)2.
解：(1) 因为 0.36 是正数，所以 0.36 有两个平方根，
± = ±0.6；
(2) 因为 －5 是负数，所以 －5 没有平方根；
(3) 因为 (－4)2 = 16 是正数，所以 (－4)2 有两个平方根，
± = ± = ±4.
探究点2：平方根的性质
3. m－1 与 3－2m 是某正数的两个不同的平方根，则 m 的值是( )
A. 4 B. 2 C. －2 D. －
B
分析：
因为 m－1 和 3－2m是某正数的两个不同的平方根，
则有 m－1＋3－2m＝0，即 －m＋2＝0，
解得 m＝2.
方法归纳：一个正数有两个平方根，它们互为相反数.
【练一练】
探究点2：平方根的性质
4. 求下列式子中 x 的值.
(1) x2 = 49 (2) 4x = 9
解：(1) x = ± ±7 .
(2) x = ， x = ± = ±.
探究点2：平方根的性质
平方根
平方根的概念(根据互逆关系求平方根)
平方根的性质
平方根的表示方法
1.16的平方根是(　C　)
A. 4 B. －4
C. ±4 D. ±8
C
2. 下列说法正确的是(　D　)
A. 任何非负数都有两个平方根
B. 一个正数的平方根仍然是正数
C. 只有正数才有平方根
D. 负数没有平方根
D
3. 教材P41例2变式求下列各数（式）的平方根：
(1)1 ；(2)0.0001；(3)(－2)2.　
解：(1)∵1 ＝ ，(± )2＝ ，
∴1 的平方根为± .
解：(1)因为1 ＝ ，(± )2＝ ，
所以1 的平方根为± .
(2)因为(±0.01)2＝0.0001，
所以0.0001的平方根是±0.01.
(3)因为(±2)2＝4＝(－2)2，
所以(－2)2的平方根是±2.
4. 求下列各式中x的值：± ＝± .
解：整理81x2－49＝0，得x2＝ ，
开平方得x＝± ＝± .
(2)49(x2＋1)＝50.
解：(2)整理49(x2＋1)＝50，得x2＝ ，
∴开平方得x＝± ＝± .
解：整理49(x2＋1)＝50，得x2＝ ，
开平方得x＝± ＝± .
(1)81x2－49＝0；
5. 一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，求
这个数.
解：由于一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a
－4，则有2a＋1＋a－4＝0，即3a－3＝0，解得a
＝1.
所以这个数为(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9.
解：由于这个正数的两个平方根分别是2a＋1和
a－4，则有2a＋1＋a－4＝0，
即3a－3＝0，解得a＝1.
所以这个数为(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9.
返回
±9
1.
[天津月考]因为(±9)2＝81，所以81的平方根是________.
返回
2.
B
返回
3.
C
返回
4.
C
下列说法不正确的是(　　)
A．6是36的平方根
B．－6是36的平方根
C．36的平方根是6
D．36的平方根是±6
返回
5.
(16分)求下列各数的平方根：
解：因为(±11)2＝121，
所以121的平方根是±11.
因为(±0.09)2＝0.008 1，
所以0.008 1的平方根是±0.09.
因为(±100)2＝104，所以104的平方根是±100.
返回
6.
(16分)求下列各式中x的值：
(1)x2＝49；　　　　　　(2)9x2＝25；

(3)x2－143＝1;
(4)(x＋3)2－64＝0.
解：x＝±7.
x2－143＝1，x2＝144，x＝±12.
(x＋3)2－64＝0，(x＋3)2＝64，x＋3＝±8，x＝5或x＝－11.
返回
7.
0
－1
返回
8.
D
下列数中没有平方根的是(　　)
A．0　　B．2　　C．(－2)2　　D．－|－2|
返回
9.
D
下列说法正确的是(　　)
A．任何非负数都有两个平方根
B．一个正数的平方根仍然是正数
C．只有正数才有平方根
D．负数没有平方根
返回
10.
A
若一个数的平方根等于它本身，则这个数是(　　)
A．0
B．1
C．－1
D．4
11.
(16分)[教材P41例2变式]下列各数有没有平方根？如果有，求出它的平方根；如果没有，说明理由．
因为－42＝－16是负数，
所以－42没有平方根．
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