新北师大版七年级数学下学期3月第一次月考学情检测试卷
（考试时间：120分钟，分值：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．测试范围：新教材北师大版七年级下册第1~2章。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如图，下列说法正确的是（ ）
A．和是内错角 B．和是对顶角
C．和是同位角 D．和是同旁内角
2．下列结果计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若展开后的结果中不含项，则m的值为( )
A． B． C． D．
4．如图，直线，相交于点，，，平分，下列结论中错误的是（ ）
A．当时， B．与相等的角至少有3个
C．一定平分 D．
5．有边长分别为和的A类和B类正方形纸片，长为、宽为的C类长方形纸片若干张．如图所示，要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片；若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要A、B、C类纸片的总张数为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
6．如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）
7．已知，与互补，则 ．
8．安静的图书馆的声音约为40分贝，对应的声压约为0.002帕斯卡，将数0.002用科学记数法表示为 ．
9．如图，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射角等于反射角，法线垂直于镜面，这就是光的反射定律．若入射角i的度数为，反射光线与镜面平行，则两镜面的夹角的度数为 °．
10．多项式添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是 （任写一个符合条件的即可）．
11．若，则的值为 ．
12．将一副直角三角板按如图所示的方式叠放，含的三角板固定不动，将的三角板绕点顺时针旋转，点始终在直线的上方．在旋转的过程中，若两块三角板有一组边互相平行，则的度数是 ．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
13．计算：
(1)
(2)
14．先化简，再求值：，其中a，b满足
15．如图，直线、相交于点，平分，于．
(1)的余角是______．（写出图中所有符合要求的角）
(2)若，求的度数．
16．如图，点是的边上的一点．
(1)过点画的平行线；
(2)过点画的垂线，垂足为；
(3)过点画的垂线，交于点：、、这三条线段大小关系是_______，（用“”号连接），理由是_________．
17．如图，点是上一点，，，，．
(1)___________；
(2)求证：直线；
(3)若，求的度数．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（1）已知，m，n为正整数，用含a，b的代数式表示；
（2）已知n为正整数，且，求 的值；
（3）若 用含x的代数式表示y．
19．（1）已知射线，如图①，过点，作．试说明：．
（2）如图②，已知射线，．判断与的位置关系，并说明理由．
（3）根据以上探究，你发现了什么结论？请写出来．
20．如图，直线， 相交于点O，为内部一条射线，且．
(1)若，求的度数．
(2)若，平分，则 是的平分线吗？请说明理由．
(3)若，则是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．【新定义】一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．
例如：
因此8，16，24，32都是“神秘数”．
(1)【数学理解】根据“神秘数”规律填空：（____）；（____）（____）；
(2)【知识技能】斗门广播电台频率为“FM928”，928是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分成两个连续的正奇数的平方差？如果不是，请说明理由；
(3)【深入探究】试说明“神秘数”一定是8的倍数；
(4)【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2个正方形边长为3，第3个正方形边长为5…，按此规律拼叠到正方形，正方形的边长99，求阴影部分面积的和．
22．某学校有两块空地，如图1、图2．
(1)图1是一块边长为a的正方形空地，该校计划在正方形空地上留出宽为b的长方形空地作为步道，剩余部分作为草坪，请用两种方式表示草坪的面积：①_________；②__________．
由此可以验证的公式为③__________．
(2)图2是一块多边形空地，该校在这块空地上规划出了正方形区域与正方形区域，计划在这两块区域种花，剩余部分种草．已知正方形与正方形的边长分别为p，q，面积分别是，，并且A，B，C三点在一条直线上，若，，求种草区域的总面积．
六、（本大题共12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
23．综合与探究
如图，，点P，Q为直线，上两定点，．
(1)如图1，当N点在左侧时，，，满足数量关系为__________；
(2)若平分，平分，．
①如图2，点N在左侧时，求的角度；
②如图3，点N在右侧，求的角度；
(3)如图4，平分，平分，，点N在右侧，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；依次类推，则__________．（直接写出结果）
答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如图，下列说法正确的是（ ）
A．和是内错角 B．和是对顶角
C．和是同位角 D．和是同旁内角
【答案】A
【分析】本题考查了内错角，同位角，同旁内角的定义，以及对顶角的定义，解决本题的关键是熟练掌握以上相关角的定义．
根据内错角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线两侧，且夹在两条被截直线之间，这样的一对角即为内错角；同位角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，又在被截两直线的同一侧，这样的一对角即为同位角；同旁内角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，并且都在被截两直线之间，这样的一对角即为同旁内角；对顶角，即一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，这样的一对角即为对顶角；由此判断选项即可．
【详解】解：A选项，和是内错角，故正确；
B选项，和是对顶角，和是对顶角，故错误；
C选项，和是同位角，和是同位角，故错误；
D选项，和是同旁内角，故错误 ．
故选：A ．
2．下列结果计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了单项式乘法、单项式乘多项式、积的乘方、同底数幂除法的运算法则.
逐一计算各选项并判断正误即可．
【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意；
B、，故原选项计算错误，不符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算正确，符合题意；
故选：D．
3．若展开后的结果中不含项，则m的值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查多项式与多项式相乘，根据展开后的多项式中不含项，则展开后的多项式中项的系数为0，由此即可解答本题．
【详解】解：，
∵展开的结果中不含项，
∴，解得：，
故选：A．
4．如图，直线，相交于点，，，平分，下列结论中错误的是（ ）
A．当时， B．与相等的角至少有3个
C．一定平分 D．
【答案】C
【分析】根据同角的余角相等可得，再根据余角以及角平分线的意义即可判断选项A；根据角平分线的定义，可得，由对顶角相等得出，利用同角的余角相等可得，即可选项B；结合题意无法证明为的角平分线，即可判断选项C；根据平角的定义以及，即可判断选项D．
【详解】解：，
，
，
∴，
，
，
当时，，
∴，
∵平分，
∴，
故A选项结论正确，不符合题意；
平分，
．
直线，交于点，
．
，
，
与相等的角至少有3个，
故B选项结论正确，不符合题意；
不能证明，
无法证明为的角平分线，
故C选项结论错误，符合题意；
，，
，
故D选项结论正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了垂直的性质、同角的余角相等、对顶角相等、角平分线的定义，注意结合图形，发现角与角之间的关系是解题的关键．
5．有边长分别为和的A类和B类正方形纸片，长为、宽为的C类长方形纸片若干张．如图所示，要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片；若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要A、B、C类纸片的总张数为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】C
【分析】先计算，合并同类项以后，计算需要的张数即可．
本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得，
故需要6张A类纸片、2张B类纸片和8张C类纸片，
共需要张，
故选：C．
6．如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的判定与性质是解题的关键．
由得到，，则可对③进行判断；再由平行线的性质得，由角平分线定义得，则，而，所以，则可对①进行判断；接着由平分得到，所以，根据平行线的判定即可得到，于是可对②进行判断；当，，，；利用平行线的性质得到，又因为，，于是可得，则可对④进行判断．
【详解】解：∵，
，即，
，所以③正确；
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴
∵，，
∴，
∵
，
，
∴平分，即①正确；
∵平分，
∴，
∴
∴，即②正确；
时，，
∴，
∴，
∵，而，，
∴，
∴．故④错误．
综上，正确的结论有①②③，共3个．
故选C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）
7．已知，与互补，则 ．
【答案】/127度
【分析】本题考查求一个角的补角，根据互补的定义，两个角之和为，则这两个角互补，据此进行求解即可．
【详解】解：由题意；
故答案为：
8．安静的图书馆的声音约为40分贝，对应的声压约为0.002帕斯卡，将数0.002用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解题的关键；
将小数0.002用科学记数法表示，使系数在1到10之间，并确定10的指数即可．
【详解】解：∵0.002的小数点向右移动3位得到2，
∴指数为，即，
故答案为：．
9．如图，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射角等于反射角，法线垂直于镜面，这就是光的反射定律．若入射角i的度数为，反射光线与镜面平行，则两镜面的夹角的度数为 °．
【答案】
【分析】本题主要考查了垂直的定义、平行线的性质，根据入射角等于反射角可知，根据垂直的定义可知，即可求出，根据平行线的性质可知．
【详解】解：如下图所示，
，，
，，
，
，
，
故答案为：．
10．多项式添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是 （任写一个符合条件的即可）．
【答案】（或或）
【分析】本题考查完全平方式．
根据完全平方式的结构特征，即可求解．
【详解】解：，
若添加一次项，则需添加，得到，
若添加四次项，设，则需添加，
∵原多项式为，
∴，
∴，
∴，
∴添加的单项式可以是或或．
故答案为：（或或）．
11．若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了积的乘方，单项式除以单项式，利用幂的乘方和同底数幂的除法法则，将等式两边化为同底数形式，通过指数相等建立方程求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
解得：，，
∴．
故答案为：3．
12．将一副直角三角板按如图所示的方式叠放，含的三角板固定不动，将的三角板绕点顺时针旋转，点始终在直线的上方．在旋转的过程中，若两块三角板有一组边互相平行，则的度数是 ．
【答案】或或
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度计算，注意进行分类讨论，是解题的关键．分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：根据题意得：，，，
当时，如图所示：
则；
当时，如图所示：
则，
∴，
∴；
当时，如图所示：
则，
∴；
综上，的度数为或或；
故答案为：或或．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
13．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，涉及零指数幂，负整数指数幂，积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式等知识，熟练掌握相关运算法则为解题关键；
（1）根据有理数乘方，零指数幂，负整数指数幂计算各项再算加减法即可；
（2）先算括号内的，再算积的乘方，最后算除法即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
14．先化简，再求值：，其中a，b满足
【答案】；
【分析】本题考查整式的运算及绝对值和偶次方的非负性，根据整式的运算法则及绝对值和偶次方的非负性即可求出答案．
【详解】解：
，
，
，，
解得：，，
当，时，原式
15．如图，直线、相交于点，平分，于．
(1)的余角是______．（写出图中所有符合要求的角）
(2)若，求的度数．
【答案】(1)、、
(2)
【分析】本题考查余角的定义与性质，角平分线的定义，对顶角的性质，掌握角的和差计算是解题关键．
（1）先由垂直关系找到的一个余角，再利用角平分线和对顶角相等的性质，推导出另外两个余角；
（2）先通过角的和差求出的度数，再根据（1）的结论，直接得到的度数．
【详解】（1）解：，
，
，
，
平分，
，
，
故的余角是、、．
答：、、．
（2）解：，，
，
根据（1）可知，，
．
答：．
16．如图，点是的边上的一点．
(1)过点画的平行线；
(2)过点画的垂线，垂足为；
(3)过点画的垂线，交于点：、、这三条线段大小关系是_______，（用“”号连接），理由是_________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)作图见解析；；垂线段最短
【分析】本题主要考查了格点作图，会过已知点作已知直线的垂线以及掌握垂线段最短是解题的关键．
（1）取格点N，连接，根据格点特点可得；
（2）根据题意作图即可；
（3）取格点D，连接，交于点C，由网格线的特征易得，即可得到；根据过直线外一点作已知直线的垂线，这条垂线段的长度就做点到直线的距离；点到直线的所有连线中，垂线段最短即可解答．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：如图，即为所求作的的垂线；
∵垂线段最短，
∴，，
∴．
17．如图，点是上一点，，，，．
(1)___________；
(2)求证：直线；
(3)若，求的度数．
【答案】(1)70
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是：
（1）根据两直线平行，内错角相等求解即可；
（2）先求出，结合已知可得出，然后根据同旁内角互补，两直线平行即可得证；
（3）根据平行线的传递性得出，然后根据平行线的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
故答案为：70；
（2）证明：∵，，
∴，
又，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
又，
∴，
又，
∴．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（1）已知，m，n为正整数，用含a，b的代数式表示；
（2）已知n为正整数，且，求 的值；
（3）若 用含x的代数式表示y．
【答案】（1）
（2）32
（3）
【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法逆运算、幂的乘方以及幂的乘方逆运算法则是解题的关键．
（1）利用同底数幂的乘法逆运算以及幂的乘方逆运算求解即可；
（2）通过幂的乘方运算以及幂的乘方逆运算将原式变形为，即可代入求解；
（3）通过同底数幂的乘法逆运算以及幂的乘方逆运算将变形为，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
∴；
（3）解：∵，
∴，
即．
19．（1）已知射线，如图①，过点，作．试说明：．
（2）如图②，已知射线，．判断与的位置关系，并说明理由．
（3）根据以上探究，你发现了什么结论？请写出来．
【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）如果两个角相等或互补且一边平行，则另一边也平行
【分析】（1）根据平行线的判定和性质即可得到结论；
（2）根据平行线的判定和性质即可得到结论；
（3）由（1）、（2）的结论即可得到结果．
【详解】解：（1）∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）．
理由如下：∵，
∴．
，
∴，
∴．
（3）由（1）（2）可得，如果两个角相等或互补且一边平行，则另一边也平行．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
20．如图，直线， 相交于点O，为内部一条射线，且．
(1)若，求的度数．
(2)若，平分，则 是的平分线吗？请说明理由．
(3)若，则是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)是，理由见解析
(3)定值，
【分析】（1）根据对顶角可知,然后根据比例关系即可求解；
（2）结合（1）的结论，求出，然后再求即可判断；
（3）设未知数，列方程，根据等量关系即可求解．
本题考查了角度的和差倍分关系，角平分线的定义，关键是掌握对顶角相等，角平分线的意义，用代数式表示角的和差倍分关系是解题关键．
【详解】（1）解：,,
,
∵，
;
故答案为：．
（2）解：由（1）知当，，
,
∵平分，
,
,
是的平分线．
（3）解：设，则，
∵，
,
,
,
,
．
故答案为：定值，
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．【新定义】一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．
例如：
因此8，16，24，32都是“神秘数”．
(1)【数学理解】根据“神秘数”规律填空：（____）；（____）（____）；
(2)【知识技能】斗门广播电台频率为“FM928”，928是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分成两个连续的正奇数的平方差？如果不是，请说明理由；
(3)【深入探究】试说明“神秘数”一定是8的倍数；
(4)【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2个正方形边长为3，第3个正方形边长为5…，按此规律拼叠到正方形，正方形的边长99，求阴影部分面积的和．
【答案】(1)40，13，11
(2)是，
(3)证明见解析
(4)5000
【分析】本题考查了新定义问题的理解与应用及平方差公式的应用．
（1）根据“神秘数”的定义，通过计算两个连续奇数的平方差来填空，再设较小的奇数为x，则较大的奇数为，列出方程求解x的值即可得出结果；
（2）先假设928是神秘数，设出两个连续奇数，根据神秘数的定义列出方程，求解方程看是否能得到符合条件的连续正奇数即可；
（3）设出两个连续奇数，根据平方差公式计算它们的平方差，然后分析结果是否为8的倍数；
（4）利用平方差公式求和，结合“神秘数”的规律分析阴影面积之和即可．
【详解】（1）解：，
设较小的奇数为x，则较大的奇数为，
∴，
解得，
∴，
故答案为：40，13，11．
（2）解：928是神秘数，
设较小的奇数为m，则较大的奇数为，
根据“神秘数”的定义可得：，
解得，
∴另一个奇数为，
∴，
∴928是“神秘数”，它是233和231这两个连续正奇数的平方差．
（3）证明：设较大的奇数为，则较小的奇数为，
依题意得：，
∴“神秘数”一定是8的倍数．
（4）解：
．
22．某学校有两块空地，如图1、图2．
(1)图1是一块边长为a的正方形空地，该校计划在正方形空地上留出宽为b的长方形空地作为步道，剩余部分作为草坪，请用两种方式表示草坪的面积：①_________；②__________．
由此可以验证的公式为③__________．
(2)图2是一块多边形空地，该校在这块空地上规划出了正方形区域与正方形区域，计划在这两块区域种花，剩余部分种草．已知正方形与正方形的边长分别为p，q，面积分别是，，并且A，B，C三点在一条直线上，若，，求种草区域的总面积．
【答案】(1)，，
(2)108
【分析】本题考查了完全平方公式的应用．
（1）通过不同图形分割方式得到草坪面积的不同表达式，从而验证完全平方公式；
（2）由题意可得：，，得到草区域的面积，根据完全平方公式计算即可．
【详解】（1）解：由题意知，两种方式表示草坪的面积：，，
由此可以验证的公式为，
故答案为：，，．
（2）解：由题意得：，，
∴，
∴种草区域的面积，
∵，，
∴，
即种草区域面积和为108．
六、（本大题共12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
23．综合与探究
如图，，点P，Q为直线，上两定点，．
(1)如图1，当N点在左侧时，，，满足数量关系为 ；
(2)若平分，平分，．
①如图2，点N在左侧时，求的角度；
②如图3，点N在右侧，求的角度；
(3)如图4，平分，平分，，点N在右侧，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；依次类推，则 ．（直接写出结果）
【答案】(1)
(2)①55°；②125°；
(3)
【分析】（1）根据平行线的性质与判定即可求解；
（2）①根据（1）的结论，结合角平分线的定义可得；②点在右侧时，过点作，则，可得；
（3）根据（2）的结论，分别写出前几个角的度数，找到规律即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点作，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：①当点在左侧时，由（1）可得，，
平分，平分，
，，
，
；
②如图，点在右侧时，过点作，则，
，，
，
，
，
平分，平分，
，，
；
（3）解：依题意由（2）②可知，，，
，
由（2）①可知，
；
同理可得，
……，
∴，
故答案为：．新北师大版七年级数学下学期3月第一次月考学情检测试卷
答题卡
E
B
D
C
A
F
M
A
A
D
D
B
C
B
C
E
F
F
E
图①
图②
A
C
0
N
B
D
M
97
5
a
E
D
草
造
花
a
C
B
步道
指
花
F
G
图1
图2
