(共22张PPT)
第五章 图形的轴对称
2 简单的轴对称图形
第3课时 角平分线
如图，角是生活中常见的图形.角是轴对称图形吗？如果是，请指出它的对
称轴.
解：角是轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.
1 角平分线的性质
把一个角分成两个① 的部分的射线叫作角的平分线.角是轴对称图
形，它的对称轴是它的② .角平分线上的点到这个
角的③ 的距离相等.
相等
角平分线所在的直线
两边
【例1】如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P
到OA的距离是 .
2
如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝8，∠CAB的
平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，若DE＝3，则BD
＝ .
5
2 用尺规作角的平分线
以④ 为圆心，⑤ 为半径画弧，交角的两边于A，B.
分别以⑥ 为圆心，以⑦ 为半径画圆弧，两弧在
角内交于一点，连接角的顶点和两弧的交点，即为角平分线.
角的顶点
任意长
A，B
大于 AB的长
【例2】尺规画图：已知∠AOB.
求作：∠AOB的平分线OC.
解：如图所示，射线OC为所求.
如图，点M和点N在∠AOB内部.请你作出点P，使点P到点M
和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等.（保留作图痕迹，不写
作法）
解：如图所示，点P为所求.
1. 如图，已知△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，根据作图痕迹，
则∠BOC＝ .
120°
2. 如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下
列结论错误的是（ D ）.
A. PD＝PE B. OD＝OE
C. ∠DPO＝∠EPO D. PD＝OD
D
3. （2025·龙岗区期末）如图，左图是一个可调节平板支架，其结构示意图
如右图所示，当CB平分∠ACD时，点B到桌面CD的距离是12 cm，则点B
到AC的距离是 cm.
12
4. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平
分∠ABC，则△BCD的面积为 .
7.5
5. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，CE＝3，AB＝ ，BE平分
∠ABC，EF⊥AB于点F，则△ABC的面积为（ B ）.
A. 15 C. 27 D. 42
B
6. （2025·深圳外国语学校期末）尺规作图题：校园一角的形状如图所示，
其中AB，BC，CD表示围墙，小亮通过作角平分线在图示的区域中找到了
一点P，使得点P到三面墙的距离都相等，请你用尺规作图法帮小亮画出P
点.（保留作图痕迹，作图痕迹要清晰）
解：如图所示，点P即为所求.
7. （2023·佛山高明区期末）如图，∠B＝∠C＝90°，AE平分∠BAD，
DE平分∠CDA，且AE与DE交BC于点E.
求证：（1）BE＝CE；
证明：如图，过点E作EF⊥AD于点F，
因为∠B＝∠C＝90°，AE平分∠BAD，DE平分∠CDA，
所以EF＝CE，EF＝EB，
所以CE＝BE.
7. （2023·佛山高明区期末）如图，∠B＝∠C＝90°，AE平分∠BAD，
DE平分∠CDA，且AE与DE交BC于点E.
求证：（2）AE⊥DE.
证明：因为AE平分∠BAD，DE平分∠CDA，
所以∠CDE＝∠FDE，∠FAE＝∠BAE.
在△ECD与△EFD中，
所以△ECD≌△EFD（AAS），
所以∠CED＝∠FED.
同理可得，∠FEA＝∠BEA.
因为∠CED＋∠FED＋∠FEA＋∠BEA＝180°，
所以∠DEA＝∠FED＋∠FEA＝90°，
所以AE⊥DE.
参考答案
【新课引入】
解：角是轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.
【新课导学】
①相等 ②角平分线所在的直线 ③两边
【例1】 2
对点训练1 5
④角的顶点 ⑤任意长 ⑥A，B ⑦大于 AB的长
【例2】 解：如图所示，射线OC为所求.
对点训练2 解：如图所示，点P为所求.
【随堂小测】
1.120° 2.D 3.12 4.7.5 5.B
6. 解：如图所示，点P即为所求.
7. 证明：（1）如图，过点E作EF⊥AD于点F，
因为∠B＝∠C＝90°，AE平分∠BAD，DE平分∠CDA，
所以EF＝CE，EF＝EB，
所以CE＝BE.
（2）因为AE平分∠BAD，DE平分∠CDA，
所以∠CDE＝∠FDE，∠FAE＝∠BAE.
在△ECD与△EFD中，
所以△ECD≌△EFD（AAS），
所以∠CED＝∠FED.
同理可得，∠FEA＝∠BEA.
因为∠CED＋∠FED＋∠FEA＋∠BEA＝180°，
所以∠DEA＝∠FED＋∠FEA＝90°，
所以AE⊥DE.(共18张PPT)
第五章 图形的轴对称
1 轴对称及其性质
第1课时 轴对称现象
观察下图，它们有什么共同特点？你还能举出一些类似的例子吗？
解：这些平面图形沿着一条直线对折之后，直线两旁的部分可以互相重合.
类似的例子还有：长方形、正方形、菱形、圆、五角星等.
1 轴对称图形
如图，如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重
合，那么这个图形叫作① 图形.这条直线叫作② .
轴对称
对称轴
【例1】下列交通标志中，属于轴对称图形的是（ A ）.
A
（2025·福田区模考）秦代小篆是汉字演变的重要形态，其笔画
匀称端庄.下列四幅小篆的书法中，不是轴对称图形的是（ B ）.
B
2 两个图形成轴对称
如图，如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图
形成③ ，这条直线叫作两个图形的④ .
轴对称
对称轴
视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的
两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（ C ）.
C
【例2】下列各选项中，两个三角形成轴对称的是（ A ）.
A
1. （2025·深圳实验学校期末）古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说：“美的线型
和其他一切美的形体，都必须有对称形式.”下面的图形中，是轴对称图形
的是（ B ）.
B
2. 如图所示的图形中，左边图形与右边图形成轴对称的是（ D ）.
D
3. （2025·南山区期末）下列四种中国古代青铜器上的纹饰中，是轴对称图
形的是（ B ）.
B
4. （2025·坪山区二模）深圳地铁14号线及16号线开通后，极大方便了坪山
人民的日常出行.下列地铁图标中，是轴对称图形的是（ C ）.
C
5. 在下列图形上补一个小正方形，使它成为一个轴对称图形.
解：如图所示.
6. 如图，把△ABC放置在4×4的正方形网格纸中，三角形的顶点都在格点
上.在网格纸中用三种不同的方法画出与△ABC有一条公共边，且与△ABC
成轴对称的三角形（要求顶点都在格点上）.
解：如图，三角形即为所求.
7. 在如图所示的方格纸中，△ABC的顶点均在方格纸的格点上，在下面的方
格纸中分别画出与△ABC成轴对称的格点三角形.
解：如图所示.
参考答案
【新课引入】
解：这些平面图形沿着一条直线对折之后，直线两旁的部分可以互相重合.
类似的例子还有：长方形、正方形、菱形、圆、五角星等.
【新课导学】
①轴对称 ②对称轴
【例1】 A
对点训练1 B
③轴对称
④对称轴
【例2】
A
对点训练2 C
【随堂小测】
1. B 2.D 3.B 4.C
5. 解：如图所示.
6. 解：如图，三角形即为所求.
7. 解：如图所示.(共19张PPT)
第五章 图形的轴对称
2 简单的轴对称图形
第2课时 垂直平分线
观察下图，思考：线段是轴对称图形码？如果是，请描述它的对称轴的
特点.
解：线段是轴对称图形，它有2条对称轴，一条是线段所在的直线，另一条
是垂直平分这条线段的直线.
1 线段垂直平分线的性质
垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线
（简称① ）.线段是轴对称图形，线段的② 是这
条线段的对称轴.线段垂直平分线上的点到这条线段两个③ 的距离
相等.
中垂线
垂直平分线
端点
【例1】如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD. 若AC
＝8，CD＝5，则BD＝ .
3
如图，∠ABC＝50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的
平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是 .
115°
2 用尺规作线段的垂直平分线
分别以线段的④ 为圆心，以⑤ 长度为半径画
弧，两弧相交于一点.连接两弧的⑥ ，所得的直线即为线段的垂直
平分线.
【例2】尺规画图：已知线段AB.
求作：线段AB的垂直平分线CD.
两端点
大于线段 的
交点
解：如图所示，直线CD为所求.
如图，已知点A，B和直线l，求作：在直线l上作一点P，使PA
＝PB. （不写作法，保留作图痕迹）
解：如图所示，点P为所求.
1. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，连接
AE，若AE＝4，BC＝6，则EC的长是 .
2
2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于
点E，已知△BCE的周长为8，AC－BC＝2，则BC的长为 .
3
3. 如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三
个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（ C ）.
A. △ABC的三条中线的交点
B. △ABC三条角平分线的交点
C. △ABC三边的垂直平分线的交点
D. △ABC三条高所在直线的交点
C
4. （2024春·罗湖区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直
平分线MN分别交AC，AB于点D，E. 若∠CBD∶∠DBA＝2∶1，则∠A
＝ .
22.5°
5. （2024春·坪山区期末）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝35°，
分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，
N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为 .
60°
6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＜AC，请在AC上找一点D，使得
∠ABD＝∠A. （尺规作图，不写作法，保留痕迹）
解：如图，点D即为所求.
7. （2025·河源市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝
50°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，E，G分别为垂足.
（1）求∠DAF的度数；
解：因为∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，
所以∠BAC＝180°－30°－50°＝100°.
因为DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，
所以BD＝AD，FA＝FC，
所以∠ABC＝∠BAD＝30°，∠ACB＝∠CAF＝50°，
所以∠DAF＝∠BAC－∠BAD－∠CAF＝100°－30°－50°＝20°.
7. （2025·河源市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝
50°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，E，G分别为垂足.
（2）若△DAF的周长为18，求BC的长.
解：因为DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，
所以BD＝AD，FA＝FC.
因为△DAF的周长为18，
所以AD＋AF＋DF＝BD＋CF＋DF＝BC＝18.
参考答案
【新课引入】
解：线段是轴对称图形，它有2条对称轴，一条是线段所在的直线，另一条
是垂直平分这条线段的直线.
【新课导学】
①中垂线 ②垂直平分线 ③端点
【例1】 3
对点训练1 115°
④两端点 ⑤大于线段 的 ⑥交点
【例2】 解：如图所示，直线CD为所求.
对点训练2 解：如图所示，点P为所求.
【随堂小测】
1.2 2.3 3.C 4.22.5° 5.60°
6. 解：如图，点D即为所求.
所以∠BAC＝180°－30°－50°＝100°.
因为DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，
所以BD＝AD，FA＝FC，
所以∠ABC＝∠BAD＝30°，∠ACB＝∠CAF＝50°，
所以∠DAF＝∠BAC－∠BAD－∠CAF＝100°－30°－50°＝20°.
（2）因为DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，
所以BD＝AD，FA＝FC.
因为△DAF的周长为18，
所以AD＋AF＋DF＝BD＋CF＋DF＝BC＝18.
7. 解：（1）因为∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，(共35张PPT)
第五章 图形的轴对称
章末复习
相互重合
对称轴
轴对称
对称轴
垂直平分
相等
相等
相等
角平分线
等腰三角形角的分类讨论
【例1】已知一等腰三角形的一个内角为70°，则这个等腰三角形顶角的度
数为 .
当顶角或底角不确定时，分类讨论，由于没有确定70°角是顶角还是底
角，所以要分70°角是顶角和底角两种情况来讨论.
70°或40°
1. 等腰三角形的一个内角是100°，则它的底角是 .
2. 已知△ABC是等腰三角形.若∠A＝40°，则△ABC顶角的度数是
.
40°
40°
或100°
没有明确等腰三角形是锐角等腰三角形还是钝角等腰三角形
时要分类讨论
【例2】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个三角形的顶
角为 .
没有明确等腰三角形是锐角等腰三角形还是钝角等腰三角形时，分别画
两种三角形来进行解答.
50°或130°
3. 若等腰三角形的一个内角为50°，则它一腰上的高与底边所夹的角的度数
是 .
4. 等腰三角形ABC的底边BC长为5 cm，一腰上的中线BD把其分为周长差
为2 cm的两部分，则腰长为 .
25°或40°
3 cm或7 cm
分清“点到点”和“点到边”的距离
【例3】（2025·宝安区孝德学校月考）如图，有A，B，C三个居民小区的
位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小
区的距离相等，则超市应建在（ C ）.
C
A. AC，BC两边高线的交点处
B. AC，BC两边中线的交点处
C. AC，BC两边垂直平分线的交点处
D. ∠A，∠B两内角平分线的交点处
【例4】在三角形内部，有一个点到三角形三边的距离相等，则这个点是三
角形（ B ）.
A. 三边高线的交点 B. 三个内角平分线的交点
C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边中线的交点
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，角平分线上的点到
这个角两边的距离相等.
B
5. （2025·邯郸市期末）三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角
形区域，如果在这个区域内修建一个体育公园，要使体育公园到三个村庄的
距离相等，那么这个体育公园应建的位置是（ D ）.
A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点
C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点
D
6. 如图是三条两两相交的笔直公路，现欲修建一个加油站，使它到三条公路
的距离相等，这个加油站应建在（ D ）.
A. △ABC三边中线的交点上
B. △ABC三边垂直平分线的交点上
C. △ABC三条边高的交点上
D. △ABC三内角平分线的交点上
D
轴对称现象
利用轴对称图形的定义依次进行分析即可.
1. （2025·龙华区期末）一个图书馆的图标设计不仅要美观大方，还要能准
确传达图书馆的核心价值和文化内涵.下列图书馆图标是轴对称图形的是
（ A ）.
A
2. 镜子里是小明像的是（ B ）.
B
有关对称轴的问题
判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.
3. 花钿是古时汉族妇女脸上的一种花饰，如图，这种眉心花钿图案的对称轴
条数是（ D ）.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
D
4. 下列图形中，是轴对称图形并且对称轴条数最多的是（ D ）.
D
有关对折的问题
熟练掌握折叠的性质是解题的关键.
5. 如图，在∠AOB的内部有一点P，点M，N分别是点P关于OA，OB的
对称点，MN分别交OA，OB于点C，D，若△PCD的周长为30 cm，则线
段MN的长为 cm.
第5题图
30
6. 如图，在△ABC中，将∠ABC对折，使AB和BC在同一直线上，折痕为
BE，延长BE至点D，使得BD＝AB，连接CD，若∠A＝∠D，则∠1＋
∠2＝ °.
第6题图
180
7. 如图是把一张长方形的纸沿长边中点的连线对折两次后得到的图形，再沿
虚线裁剪，外面部分展开后的图形可能是（ D ）.
D
作轴对称图形
找到图形中的关键点，先作出关键点关于对称轴的对称点，再连接对称
点即可作出原图形的轴对称图形.
8. （2025·坪山区期末）如图，在正方形网格中，每个小网格的边长是1，
△ABC是格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）.
（1）请作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；
解：如图1，△A1B1C1为所求.
8. （2025·坪山区期末）如图，在正方形网格中，每个小网格的边长是1，
△ABC是格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）.
（2）求出△ABC的面积；
解：S△ABC＝3×5－ － － ＝15－2.5－1－6＝5.5.
8. （2025·坪山区期末）如图，在正方形网格中，每个小网格的边长是1，
△ABC是格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）.
（3）试在直线l上找一点P，使PA＋PB最小（不写作图过程，保留作图痕
迹）.
解：如图2，点P即为所求.
等腰三角形、线段垂直平分线、角平分线的性质
解题的关键是熟练掌握等腰三角形、线段垂直平分线、角平分线的
性质.
9. 在△ABC中，AB＝AC，AN 的作图痕迹如图所示，AN交BC于点N，
DE垂直平分边AB，交AC于点D，交AB于点E，交AN于点O，连接OB.
（1）若AB＝6，CD＝2，求△AOD与△AOB的面积比；
解：如图，过点O作OF⊥AC于点F，
由作图可知，AN平分∠CAB，
又因为DE垂直平分边AB，OF⊥AC，
所以OF＝OE.
因为AC＝AB＝6，CD＝2，
所以AD＝AC－CD＝6－2＝4，
所以△AOD与△AOB的面积比＝（ AD·OF）∶（ AB·OE）＝AD∶AB＝
4∶6＝2∶3.
9. 在△ABC中，AB＝AC，AN 的作图痕迹如图所示，AN交BC于点N，
DE垂直平分边AB，交AC于点D，交AB于点E，交AN于点O，连接OB.
（2）若∠C＝70°，求∠OBC的度数.
解：因为AB＝AC，∠C＝70°，
所以∠ABC＝∠C＝70°，∠BAC＝180°－∠C－∠ABC＝40°.
因为AN平分∠BAC，
所以∠BAO＝ ∠BAC＝20°.
因为DE垂直平分边AB，
所以OA＝OB，
所以∠OBA＝∠OAB＝20°，
所以∠OBC＝∠ABC－∠ABO＝70°－20°＝50°.
10. 如图，已知OM是∠AOB的平分线，∠PCO＋∠PDO＝180°，问PC
和PD的数量关系是什么？并证明你的猜想.
解：PC＝PD. 证明：如图，过点P作PF⊥OA于点F，PE⊥OB于点E，
所以∠PFC＝∠PED＝90°.
因为∠PCO＋∠PDO＝180°，
∠PDE＋∠PDO＝180°，
所以∠PCO＝∠PDE.
因为OM是∠AOB的平分线，
所以PF＝PE.
在△PFC和△PED中，
所以△PFC≌△PED，
所以PC＝PD.
参考答案
【思维导图】
①相互重合 ②对称轴 ③轴对称 ④对称轴 ⑤垂直平分 ⑥相等
⑦相等 ⑧相等 ⑨角平分线
【易错点剖析】
【例1】 70°或40°
跟踪练习
1.40°
2.40°或100°
【例2】 50°或130°
跟踪练习
3.25°或40°
4.3 cm或7 cm
【例3】 C
【例4】 B
跟踪练习
5.D
6.D
【重难点突破】
1. A 2.B 3.D 4.D 5.30 6.180 7.D
8. 解：（1）如图1，△A1B1C1为所求.
（2）S△ABC＝3×5－ － －
＝15－2.5－1－6＝5.5.
（3）如图2，点P即为所求.
9. 解：（1）如图，过点O作OF⊥AC于点F，
由作图可知，AN平分∠CAB，
又因为DE垂直平分边AB，OF⊥AC，
所以OF＝OE.
因为AC＝AB＝6，CD＝2，
所以AD＝AC－CD＝6－2＝4，
所以△AOD与△AOB的面积比＝（ AD·OF）∶（ AB·OE）＝AD∶AB＝
4∶6＝2∶3.
（2）因为AB＝AC，∠C＝70°，
所以∠ABC＝∠C＝70°，∠BAC＝180°－∠C－∠ABC＝40°.
因为AN平分∠BAC，
所以∠BAO＝ ∠BAC＝20°.
因为DE垂直平分边AB，
所以OA＝OB，
所以∠OBA＝∠OAB＝20°，
所以∠OBC＝∠ABC－∠ABO＝70°－20°＝50°.
10. 解：PC＝PD. 证明：如图，过点P作PF⊥OA于点
F，PE⊥OB于点E，
所以∠PFC＝∠PED＝90°.
因为∠PCO＋∠PDO＝180°，
∠PDE＋∠PDO＝180°，
所以∠PCO＝∠PDE.
因为OM是∠AOB的平分线，
所以PF＝PE.
在△PFC和△PED中，
所以△PFC≌△PED，
所以PC＝PD.(共21张PPT)
第五章 图形的轴对称
1 轴对称及其性质
第2课时 探索轴对称的性质
将一张长方形纸对折，然后用笔尖扎出数字“14”，再将纸打开后铺平.观
察右图，回答下列问题.
（1）两个“14”之间有什么关系？
解：两个“14”关于对称轴 l 成轴对称.
将一张长方形纸对折，然后用笔尖扎出数字“14”，再将纸打开后铺平.观
察右图，回答下列问题.
（2）对应线段之间有什么关系？对应角之间有什么关系？连接对应点的线
段与对称轴 l 之间有什么关系？请举例说明.
解：对应线段相等，例如CD＝C'D'； 对应角相等，例如∠D＝∠D'； 连接
对应点的线段被对称轴 l 垂直平分， 例如对称轴 l 垂直平分线段FF'.
1 轴对称的性质
在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴①
，对应线段② ，对应角③ .对应线段及其延长线
的交点在对称轴上.
垂
直平分
相等
相等
【例1】如图，△ABC和△A'B'C'关于直线l对称，下列结论中，错误的是
（ D ）.
D
A. △ABC≌△A'B'C'
B. ∠BAC'＝∠B'AC
C. 直线l垂直平分CC'
D. 直线BC和B'C'的交点不在直线l上
如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，若∠A＝78°，∠C'＝
48°，则∠B的度数为（ B ）.
A. 48° B. 54° C. 74° D. 78°
B
2 利用轴对称的性质画图
【例2】画出△ABC关于直线l的对称图形.
解：如图，△A'B'C'即为所画.
如图，正方形网格中，每个小网格的边长是1.画出格点△ABC关
于直线l对称的△A1B1C1.
解：△A1B1C1即为所求.
1. 如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，连接AA'，BB'，CC'，其中BB'
分别交AC，A'C'于点D，D'，下列结论：①AA'∥BB'；②∠ADB＝
∠A'D'B'；③直线l垂直平分AA'；④直线AB与A'B'的交点不一定在直线l
上.其中正确的是（ A ）.
A. ①②③ B. ②③④
C. ①②④ D. ①③④
A
2. 如图，在四边形ABCD中，边AB与AD关于AC对称，则下列结论正确的
是（ B ）.
①CA平分∠BCD；②AC平分∠BAD；③BD⊥AC；④BD平分AC.
A. ①② B. ①②③
C. ②③④ D. ①②③④
B
3. 如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，则∠B的度数为 .
100°
4. 如图，已知△ABC中，AB＝10，BC＝8，CA＝7，将△ABC沿BD折
叠，点C落在AB边上的点E处，则△ADE的周长为 .
9
5. 如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形.利用网格线作出△ABC与
△DEF的对称轴l.
解：如图所示，直线l即为所求.
6. （2025·深圳外国语学校期末）如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着
AB，AC边翻折形成的，CD与BE交于点O，若∠1∶∠2∶∠3＝13∶3∶2，则
∠DOE的度数为 .
80°
7. 如图，在△ABC中，∠A＝30°，BC＝4，△ABC的面积是14.点D，
E，F分别是边AB，BC，CA上的动点，求△DEF周长的最小值.
解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，作点E关于AB的对称点E'，关于AC
的对称点E″，连接E'E″，交AB于点D，交AC于点F，
则AE＝AE'，∠EAB＝∠E'AB，AE＝AE″，∠EAC＝∠E″AC，
所以AE'＝AE″.
因为∠BAC＝30°，
所以∠E'AE″＝60°，
所以△AE'E″是等边三角形，
所以E'E″＝AE'＝AE.
因为DE＝DE'，EF＝E″F，
所以△DEF周长的最小值为E'E″的长.
因为S△ABC＝ BC·AE，
即14＝ ×4AE，解得AE＝7，
所以E'E″＝AE＝7，因此△DEF周长的最小值为7.
参考答案
【新课引入】
解：（1）两个“14”关于对称轴 l 成轴对称.
（2）对应线段相等，例如CD＝C'D'； 对应角相等，例如∠D＝∠D'； 连
接对应点的线段被对称轴 l 垂直平分， 例如对称轴 l 垂直平分线段FF'.
【新课导学】
①垂直平分 ②相等 ③相等
【例1】 D
对点训练1 B
【例2】 解：如图，△A'B'C'即为所画.
对点训练2 解：△A1B1C1即为所求.
【随堂小测】
1. A 2.B 3.100° 4.9
5. 解：如图所示，直线l即为所求.
6.80°
7. 解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，作点E关于
AB的对称点E'，关于AC的对称点E″，连接E'E″，交
AB于点D，交AC于点F，
则AE＝AE'，∠EAB＝∠E'AB，AE＝AE″，∠EAC＝∠E″AC，
所以AE'＝AE″.
因为∠BAC＝30°，
所以∠E'AE″＝60°，
所以△AE'E″是等边三角形，
所以E'E″＝AE'＝AE.
因为DE＝DE'，EF＝E″F，
所以△DEF周长的最小值为E'E″的长.
因为S△ABC＝ BC·AE，
即14＝ ×4AE，解得AE＝7，
所以E'E″＝AE＝7，因此△DEF周长的最小值为7.(共18张PPT)
第五章 图形的轴对称
微专题六 等腰三角形问题中的分类讨论思想
类型1 当顶角或底角不确定时，分类讨论
1. 等腰三角形的一个内角是80°，则它顶角的度数是 .
2. 如果等腰三角形的两个内角的度数之比为1∶4，那么这个三角形三个内角
各是多少度？
解：分两种情况讨论：
①当底角和顶角的度数之比为1∶4时，
设底角的度数为x，则顶角的度数为4x，根据题意，得
x＋x＋4x＝180°，
解得x＝30°，则4x＝4×30°＝120°.
所以三角形三个内角分别为120°，30°，30°.
20°或80°
②当顶角和底角的度数之比为1∶4时，
设顶角的度数为y，则底角的度数为4y.根据题意，得
y＋4y＋4y＝180°，解得y＝20°，则4y＝4×20°＝80°.
所以三角形三个内角分别为20°，80°，80°.
综上所述，三角形三个内角的度数分别为120°，30°，30°或20°，80°，
80°.
类型2 当底和腰不确定时，分类讨论
3. 如果等腰三角形的两边长分别是5 cm和9 cm，那么它的周长是
.
4. （2025·光明区期中）如果等腰三角形的两条边长分别为3和7，那么该三
角形的周长是 .
5. 若x，y满足｜x－4｜＋（y－8）2＝0，则以x，y的值为边长的等腰三
角形的周长为 .
19 cm
或23 cm
17
20
类型3 当等腰三角形没有明确是锐角等腰三角形还是钝角等腰三角形时，
分类讨论
6. 等腰三角形两腰上的高所在的直线形成的锐角为40°，则该等腰三角形的
顶角的度数为 .
解析：①如图1，当∠BAC是钝角时，
由题意知AB＝AC，∠AEH＝∠ADH＝90°，∠EHD＝40°，
所以∠BAC＝∠EAD＝360°－90°－90°－40°＝140°.
140°或40°
②如图2，当∠A是锐角时，
由题意知AB＝AC，∠CDA＝∠BEA＝90°，∠CHE＝40°，
所以∠DHE＝140°，
所以∠A＝360°－90°－90°－140°＝40°.
综上，该等腰三角形顶角的度数为140°或40°.
7. 在△ABC中，AB＝AC，AB边的垂直平分线与AC所在的直线相交所得
的锐角为40°，求底角∠B的度数.
解：此题分两种情况讨论：
①如图1，AB边的垂直平分线与AC边交于点D，∠ADE＝40°，则∠A＝
50°.
因为AB＝AC，
所以∠B＝（180°－50°）÷2＝65°.
②如图2，AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D，∠ADE＝40°，则
∠DAE＝50°，
所以∠BAC＝130°.
因为AB＝AC，
所以∠B＝（180°－130°）÷2＝25°.
故∠B的度数为65°或25°.
8. 等腰三角形ABC的底边BC长为5 cm，一腰上的中线BD把其分为周长差
为3 cm的两部分，求腰长.
解：因为BD为AC边上的中线，
所以AD＝CD.
分两种情况讨论：
①当（AB＋AD）－（BC＋CD）＝3 cm时，AB－BC＝3 cm.
因为BC＝5 cm，
所以AB＝5＋3＝8（cm）.
②当（BC＋CD）－（AB＋AD）＝3 cm时，BC－AB＝3 cm.
因为BC＝5 cm，
所以AB＝5－3＝2（cm）.
但是当AB＝2 cm时，三边长为2 cm，2 cm，5 cm，
而2＋2＜5，不合题意，舍去.故腰长为8 cm.
类型4 点的位置不确定引起的分类讨论
9. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，BC＝16厘米，点D为AB的中
点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线
段CA上由C点向A点运动.当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够在
某一时刻使△BPD与△CQP全等.
4或6
10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC
上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，符合条件的点P共有几个？请画
出图形.
解：如图，符合条件的点P共有6个.
参考答案
1.20°或80°
2. 解：分两种情况讨论：
①当底角和顶角的度数之比为1∶4时，
设底角的度数为x，则顶角的度数为4x，根据题意，得
x＋x＋4x＝180°，
解得x＝30°，则4x＝4×30°＝120°.
所以三角形三个内角分别为120°，30°，30°.
②当顶角和底角的度数之比为1∶4时，
设顶角的度数为y，则底角的度数为4y.根据题意，得
y＋4y＋4y＝180°，解得y＝20°，则4y＝4×20°＝80°.
所以三角形三个内角分别为20°，80°，80°.
综上所述，三角形三个内角的度数分别为120°，30°，30°或20°，80°，
80°.
3.19 cm 或23 cm 4.17 5.20
②如图2，当∠A是锐角时，
由题意知AB＝AC，∠CDA＝∠BEA＝90°，∠CHE＝40°，
所以∠DHE＝140°，
所以∠A＝360°－90°－90°－140°＝40°.
综上，该等腰三角形顶角的度数为140°或40°.
6.140°或40° 解析：①如图1，当∠BAC是钝角时，
由题意知AB＝AC，∠AEH＝∠ADH＝90°，∠EHD＝40°，
所以∠BAC＝∠EAD＝360°－90°－90°－40°＝140°.
7. 解：此题分两种情况讨论：
①如图1，AB边的垂直平分线与AC边交于点D，∠ADE＝40°，则∠A＝
50°.
因为AB＝AC，
所以∠B＝（180°－50°）÷2＝65°.
②如图2，AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D，∠ADE＝40°，则
∠DAE＝50°，
所以∠BAC＝130°.
因为AB＝AC，
所以∠B＝（180°－130°）÷2＝25°.
故∠B的度数为65°或25°.
8. 解：因为BD为AC边上的中线，
所以AD＝CD.
分两种情况讨论：
①当（AB＋AD）－（BC＋CD）＝3 cm时，AB－BC＝3 cm.
因为BC＝5 cm，
所以AB＝5＋3＝8（cm）.
②当（BC＋CD）－（AB＋AD）＝3 cm时，BC－AB＝3 cm.
因为BC＝5 cm，
所以AB＝5－3＝2（cm）.
但是当AB＝2 cm时，三边长为2 cm，2 cm，5 cm，
而2＋2＜5，不合题意，舍去.故腰长为8 cm.
9.4或6
10. 解：如图，符合条件的点P共有6个.(共20张PPT)
第五章 图形的轴对称
2 简单的轴对称图形
第1课时 等腰三角形的性质
如图，等腰三角形是比较常见的图形.你有哪些办法可以得到一个等腰三
角形？
解：要得到一个等腰三角形，可以通过折、剪纸，
也可以用尺规作图作一个等腰三角形.
1 等腰三角形的两个底角相等
等腰三角形是① 图形，等腰三角形的两个底角② .
【例1】（教材第127页例1）已知等腰三角形的底角是顶角的 2 倍， 求这个
三角形各个内角的度数.
解：设顶角为x度， 则底角为2x度，
则x＋2x＋2x＝180，
解得x＝36，
所以这个三角形三个内角的度数分别为36°，72°，72°.
轴对称
相等
如图所示，已知△ABC，AB＝AC，∠A＝90°，求∠B和∠C
的度数.
解：因为AB＝AC（已知），
所以∠B＝∠C（等边对等角）.
因为∠A＝90°，
所以∠B＝∠C＝ ＝45°.
2 等腰三角形的三线合一
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高③ （也称④
“ ”），它们所在的直线是等腰三角形的⑤ .
重合
三线合一
对称轴
【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，求
CD的长.
解：因为AB＝AC，AD⊥BC，
所以CD＝BD.
因为BC＝6，
所以CD＝3.
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝55°，AD是BC边上的
中线，求∠BAD的度数.
解：因为AB＝AC，
所以∠B＝∠C＝55°，
所以∠BAC＝180°－55°×2＝70°.
因为AD是BC边上的中线，
所以∠BAD＝ ∠BAC＝35°.
1. 在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，下列结论中不正确的是
（ A ）.
A. AB＝2BD B. AD⊥BC
C. AD平分∠BAC D. ∠B＝∠C
A
2. （2025·深圳外国语学校月考）一个等腰三角形的顶角和底角的比是4∶1，
这个三角形的顶角是 度.
120
3. 等腰△ABC中，已知一内角等于50°，则三角形的底角为
.
4. （教材第128页第2题）墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水
平.他拿来一个如图所示的测平仪，在这个测平仪中，AB＝AC，BC边的中
点D处挂了一个重锤.小明将BC边与木条重合，观察此时重锤是否通过A
点.如果重锤通过A点，那么这根木条是水平的，这是因为
.
50°或
65°
等腰三角形三线
合一
5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，求∠ADB
的度数.
解：在△ABC中，AB＝AC，
所以∠B＝∠C.
因为∠BAC＝130°，
所以∠B＝∠C＝ ＝25°.
因为DA⊥AC，
所以∠DAC＝90°，
所以∠ADC＝90°－25°＝65°，
所以∠ADB＝180°－∠ADC＝180°－65°＝115°.
6. （2025·杭州市模考）如图，在△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于点E，
CD⊥AB于点D，BE，CD相交于点P.
（1）证明：△AEB≌△ADC；
证明：因为BE⊥AC，CD⊥AB，
所以∠AEB＝∠ADC＝90°.
在△AEB和△ADC中，
所以△AEB≌△ADC（AAS）.
6. （2025·杭州市模考）如图，在△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于点E，
CD⊥AB于点D，BE，CD相交于点P.
（2）若∠EBC＝35°，求∠ABE的度数.
解：因为BE⊥AC，∠EBC＝35°，
所以∠ACB＝90°－∠EBC＝90°－35°＝55°.
因为AB＝AC，
所以∠ABC＝∠ACB＝55°，
所以∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝55°－35°＝20°.
7. 如图，AC＝AD，∠ACB＝∠ADB，点E在BD上，∠BAE＝∠CAD.
（1）求证：△ABC≌△AED；
证明：（1）因为∠BAE＝∠CAD，
所以∠BAC＝∠EAD.
在△ABC和△AED中，
因为
所以△ABC≌△AED（ASA）.
7. 如图，AC＝AD，∠ACB＝∠ADB，点E在BD上，∠BAE＝∠CAD.
（2）若BF＝EF，求证：AC⊥BD.
证明：由（1）可知△ABC≌△AED，
所以AB＝AE.
在等腰△ABE中，因为BF＝EF，
所以AC⊥BD.
参考答案
【新课引入】
解：要得到一个等腰三角形，可以通过折、剪纸，也可以用尺规作图作一个
等腰三角形.
【新课导学】
①轴对称 ②相等
【例1】 解：设顶角为x度， 则底角为2x度，
则x＋2x＋2x＝180，
解得x＝36，
所以这个三角形三个内角的度数分别为36°，72°，72°.
对点训练1 解：因为AB＝AC（已知），
所以∠B＝∠C（等边对等角）.
因为∠A＝90°，
所以∠B＝∠C＝ ＝45°.
③重合 ④三线合一 ⑤对称轴
【例2】 解：因为AB＝AC，AD⊥BC，
所以CD＝BD.
因为BC＝6，
所以CD＝3.
对点训练2 解：因为AB＝AC，
所以∠B＝∠C＝55°，
所以∠BAC＝180°－55°×2＝70°.
因为AD是BC边上的中线，
所以∠BAD＝ ∠BAC＝35°.
【随堂小测】
1. A 2.120 3.50°或65° 4.等腰三角形三线合一
所以∠B＝∠C.
因为∠BAC＝130°，
所以∠B＝∠C＝ ＝25°.
因为DA⊥AC，
所以∠DAC＝90°，
所以∠ADC＝90°－25°＝65°，
所以∠ADB＝180°－∠ADC＝180°－65°＝115°.
5. 解：在△ABC中，AB＝AC，
6. （1）证明：因为BE⊥AC，CD⊥AB，
所以∠AEB＝∠ADC＝90°.
在△AEB和△ADC中，
所以△AEB≌△ADC（AAS）.
（2）解：因为BE⊥AC，∠EBC＝35°，
所以∠ACB＝90°－∠EBC＝90°－35°＝55°.
因为AB＝AC，
所以∠ABC＝∠ACB＝55°，
所以∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝55°－35°＝20°.
7. 证明：（1）因为∠BAE＝∠CAD，
所以∠BAC＝∠EAD.
在△ABC和△AED中，
因为
所以△ABC≌△AED（ASA）.
（2）由（1）可知△ABC≌△AED，
所以AB＝AE.
在等腰△ABE中，因为BF＝EF，
所以AC⊥BD.(共22张PPT)
第五章 图形的轴对称
★ 问题解决策略：转化
转化数学思想是数学问题解决中的核心策略，它涉及将复杂的、
未知的或抽象的数学问题转化为更简单、已知或具体的形式.这种思想基于
对数学概念和原理的深入理解，通过变换、类比、归纳等方法，将问题简化
或重构，使之更加易于处理和理解.
【例】（根据教材第136页问题改编）【问题呈现】
如图，甲、乙两个居民楼在一条道路的同一侧，要在道路旁建一个快递自助
取货柜.你认为自助取货柜应建在什么地方，才能使甲、乙两个居民楼到它
的距离之和最短？
【数学理解】
如果把居民楼和快递自助取货柜的位置都看作点，把道路看作一条直线，那
么就可以把上述问题抽象成数学问题：如图，在直线上找一点C，使
最短.
CA
＋CB
【回顾思考】
（1）你以前遇到过类似的问题吗？关于“最短”，你已有的认识是
.
（2）相信你能解决以下问题：如图，直线l的两侧分别有A，B两点，在直
线l上确定一个点C，使AC＋BC最短.请在图中标注点C.
两点
之间线段最短（答案不唯一）
解：如图1，点C即为所求.
【能力迁移】（3）如图，四边形EFGH是一个长方形的台球桌，有黑、白
两球分别位于A，B两点.怎样撞击黑球，能使黑球先碰撞台边GH，反弹后
再碰撞台边EF，最后击中白球？请你认真思考，将黑球移动的路线画在图
上（保留作图痕迹），并说明理由.
解：如图2，黑球移动的路线：A→M→N→B. 理由合理即可.
（1）如图，在“4×4”的正方形网格中，已有2个小正方形被涂
灰.请你分别在下面2张图中再将若干个空白的小正方形涂灰，使得涂灰的图
形成为轴对称图形.（图1要求只有1条对称轴，图2要求只有2条对称轴）
解：如图1，2所示.（画法不唯一）
（2）如图3，A，B为直线MN外两点，且到MN的距离不相等.分别在MN
上求一点P，并满足如下条件：
①在图3中求一点P使得PA＋PB最小；
②在图4中求一点P使得｜PA－PB｜最大.
（不写作法，保留作图痕迹）
解：①如图3所示，点P即为所求.
②如图4所示，点P即为所求.
1. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C在小
正方形的顶点上.
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C'，点A'，B'，C'分
别为点A，B，C的对应点；
解：（1）如图，△A'B'C'即为所求.
1. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C在小
正方形的顶点上.
（2）在直线l上找一点P，使得PA＋PB的长最小；
解：如图，连接AB'交直线l于点P，连接BP，此时PA＋PB＝PA＋PB'＝
AB'，值最小，则点P即为所求.
1. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C在小
正方形的顶点上.
（3）求出△ABC的面积.
解：△ABC的面积为 ×（1＋4）×4－ ×4×1－ ×1×3＝10－2－ ＝
.
2. （2025·上海市月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，面积是
20，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若D为BC边的中
点，M为线段EF上一动点，则△CMD的周长的最小值为 .
9
3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C在直线MN上，
∠BCN＝28°，点P为MN上一动点，连接AP，BP. 当AP＋BP的值最小
时，∠CAP的度数为 °.
17
4. （教材第138页第4题）如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON
上作点A，B，使△PAB的周长最小.
解：如图所示.
5. 如图，在△ABC中，∠ABC＝66°，BD平分∠ABC，P为线段BD上一
动点，Q为边AB上一动点，当AP＋PQ的值最小时，∠APB的度数
是 .
123°
参考答案
【新课导学】
【例】 【数学理解】CA＋CB
【回顾思考】
（1）两点之间线段最短（答案不唯一）
（2）如图1，点C即为所求.
【能力迁移】
（3）如图2，黑球移动的路线：A→M→N→B. 理由合理即可.
对点训练 解：（1）如图1，2所示.
（画法不唯一）
（2）①如图3所示，点P即为所求.
②如图4所示，点P即为所求.
【随堂小测】
1. 解：（1）如图，△A'B'C'即为所求.
（2）如图，连接AB'交直线l于点P，连接BP，此
时PA＋PB＝PA＋PB'＝AB'，值最小，则点P即为
所求.
（3）△ABC的面积为 ×（1＋4）×4－ ×4×1
－ ×1×3＝10－2－ ＝ .
2.9 3.17
4. 解：如图所示.
5.123°
