四川成都树德中学2025-2026学年下学期高三开学考数学试卷（含答案）

树德中学高 2023 级高三下期开学测试数学试题
考试时间:120分钟 总分:150分
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要 求的.
1. 复数 的共轭复数是( )
A. -i B. C. D. i
2. 设 ，则 ( )
A. B. C. D.
3. 的解集为( )
A. B. C. D.
4. 已知 ，若 与 共线，则 ( )
A. -5 B. -1 C. 1 D. 5
5. 函数 在 的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
6. 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为( )
A. -40 B. -20 C. 20 D. 40
7. 在平面直角坐标系中,已知点 分别为椭圆 的左,右焦点, 为椭圆 上的点, 过 作角 的外角平分线的垂线,垂足为点 ,则点 的轨迹长度为( )
A. B. C. D.
8. 袋中有 5 张卡片,分别写有数字1,2,3,4,5,有放回地摸出两张卡片. 记事件 “第一次摸得偶数”, “第二次摸得 2 ”, “两次摸得数字之和大于 8 ”, “两次摸得数字之和是6”,则()
A. 与 相互独立 B. 与 相互独立
C. 与 相互独立 D. 与 相互独立
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分，有二个正确选项的，每个选项 3 分，有三个正确选项的，每个选项 2 分，有选错 的得 0 分.
9. 已知在体能测试中,某校学生的成绩 服从正态分布 ,其中 60 分为及格线,则 ( ) (参考数据: )
A. 该校学生成绩的均值为 70 B. 该校学生成绩的标准差为 2
C. 该校学生成绩的标准差为 16 D. 该校学生成绩及格率超过 95%
10. 在三棱锥 中, 是边长为 2 的正三角形,若二面角 的大小为 ,则( )
A. B.
C. 三棱锥 的体积为 D. 三棱锥 外接球的表面积为
11. 已知函数 ，则( )
A. 是函数 的极小值点
B. 对 ,方程 恒有两个不同的实数解
C.
D. 存在 ,使得直线 与曲线 相切
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知抛物线 上一点 的纵坐标为 4,则点 到该抛物线焦点的距离为_____.
13. 牛得亨先生、他的妹妹牛得美、他的儿子牛尚天, 还有他的女儿牛尚颖都是乒乓球选手, 这四人中有以下情况:①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同；②最佳选手与最差选手年龄相同. 则这四人中最佳选手是_____. (填选手姓名)
14. 在锐角 中， ，则 的最大值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分) 为调查某城市居民对冰雪运动的了解情况, 随机抽取了该市 120 名市民进行统计, 得到如下 列联表:
男 女 合计
了解冰雪运动 70
不了解冰雪运动 50
合计 60 60 120
已知从参与调查的男性市民中随机选取 1 名，抽到了解冰雪运动的概率为 .
(1)直接写出 的值；
(2)能否根据小概率值 的独立性检验，认为该市居民了解冰雪运动与性别有关？请说明理由.
附: .
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16. (15 分) 如图,四棱锥 中， 底面 ， ， ， ， ， 为棱 上的点，平面 平面 .
(1)证明: ；
(2)求二面角 的大小.
17. (15 分) 已知 和 是各项均为整数的数列,若 为等差数列, 满足 分别为数列 的前 项和,且 .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
18. (17 分) 在平面直角坐标系 中,已知点 ,若动点 满足 ,设动点 的轨迹为 .
(1)求曲线 的方程；
(2)设点 为直线 上一点，过 作曲线 的两条切线，切点分别为 、 .
(i) 证明: 直线 过定点;
(ii) 若直线 与以点 为圆心的圆相切,且切点为线段 的中点,求四边形 的面积.
19. (17 分) 已知函数 ,其中 ,记 的导数为 , 且 .
(1)求 ；
(2)设 的最大值为 ；
(i) 求 ;
(ii) 证明: .
树德中学高 2023 级高三下期开学测试数学试题参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
A B C A C D B B AD ACD AB 5 牛尚颖 4 3
15. 【解】(1) 由题知, ,所以 . 所以 . 5 分
(2)能. 理由如下:零假设为 :该市居民了解冰雪运动与性别无关，由题意知， 6 分 12 分所以根据小概率值 的独立性检验,认为该市居民了解冰雪运动与性别有关. 13 分
16. 【解】(1)分别以向量 的方向为 轴正方向,建立空间直角坐标系,
则 .
,得 .
设平面 的法向量为 ,
由 ,令 ,则 .
设平面 的一个法向量为 ,
由 ,令 ,则 .
由 得: ，即 ，故 ，即 . 7 分
(2)由(1)知: ，且 ，
设平面 的一个法向量为 ,则 ,取 ,得 , 故 ,又二面角 的平面角为钝角,故其大小为 . .8 分
17. 【解】(1) 设等差数列 的首项为 ,公差为 ,由 ,得 ,化简,得
,又 ,因为 为等差数列,故 ,代入得 ,即 ①
结合 各项为整数,则 为满足题意的一个解,又函数 在 上单调递增,所以 当且仅当 ,即 ②
联立①②，解得: ，所以 的通项公式为 6 分
(2)由(1)得 ，
情形 1: 当 ,设 前 项和 分为奇数项和与偶数项和,奇数项和 (共 项): 首项 ,末项 ,公差为 4 的等差数列,其和为 ,偶数项和 (其 项): 首项 ,公比为 16 的等比数列,其和为 ,将 代入,化简得
情形 2: 当 为,设 前 项和 ,其中 。 由情形 1 得 ,代入得 ,将 代入,化简得 ,即 ,综上所述 . 15 分
18. 【解】(1)根据双曲线的定义，动点 满足 ，因此轨迹为双曲线的右支,由 得 ; 由焦点 得 ,根据双曲线的基本关系 ,可得 ,因此,曲线 的方程为 ; 3 分
(2)(i)先证明引理:过双曲线 上一点 的切线方程为 . 当切线斜率存在时,设过双曲线上一点 的切线方程为 ,联立双曲线方程消去 ,得
因为直线与双曲线相切,故 ,化简得切线斜率 ,将 代入点斜式并整理,得 ,将 代入得 .
当切线斜率不存在时,切线为 ,代入上述方程得 ,等式成立;
综上所述,过双曲线 上一点 的切线方程为 .
设点 的坐标为 ,切点 ,由引理,知双曲线 在切点 处的切线方程为 ,由于点 在切线 上,因此满足: 上述两式表明,点 均在直线 上,整理得直线 的方程 ,令 ,解得 (与 无关),故直线 恒过定点 . 8 分
(2)(ii)分两种情况讨论:情况 1:直线 轴时， 的方程为 (过定点 )，将其代入双曲线方程 ,得 ,即 ,中点 ,由直线 的方程 ,令 得 ,即 ,将四边形 的面积拆分为 与 的面积和,即因此,总面积为 ;
情况 2: 直线 不垂直于 轴时, 的方程为 ,联立双曲线方程 ,消去 并整理,得 ,设 ,中点 ,由韦达定理得 ，因此，中点 的坐标为 ，
由 ,向量 ,向量 的方向向量为 ,故 ,代入 并化简 ,即 ,即 ,又 ,代入 ,得 , ,因此,
. 当 时,由直线 的方程 与 等价,得 ,即 ,点 到直线 的距离为 ,则 ,同理,点 到直线 的距离为 ,则 ,
四边形 的面积为 与 的面积和: ,
代入数值化简 ; 当 时,由对称性,知面积仍为 .
综上所述,四边形 的面积为 21 或 17 分
19. 【解】(1) 由题知, . .3 分
(2)(i)当 时，
,因此 .
当 时,将 变形为 ,令 .
则 ,则 是 在 上的最大值,又 ,
且当 时, 取得极小值,极小值为 .
令 ,解得 (舍去), .
当 时， 在 内无极值点， ， ， ，所以
当 时,由 ,知 ;
又 ,所以 ,
综上, .9 分
(ii) 由 (i) 得 .
当 时， ；
当 时, ,所以 ;
当 时, ; 综上所述 17 分