辽宁省沈阳市东北育才学校2026年高三第六次月考数学试卷（含答案）

2025—2026 学年度下学期东北育才学校 高三年级数学科目假期质量测试
暨第六次模拟考试试题
考试时长:120 分钟 满分:150 分
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分。每小题给出的备选答案中，只有一个是 符合题意的。
1. 下列求导运算正确的是( )
A. B. C. D.
2. 已知命题 ,则 为( )
A. B.
C. D.
3. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
4. 离散型随机变量 的取值为 . 若数列 为等差数列,则 ( )A. B. C. D.
5. 已知定义在 上的单调递增函数 ,且 为奇函数,则不等式 的解集为( )
A. B. C. D.
6. 若函数 在 是单调递减，则 的最大值是( )
A. B. C. D.
7. 已知 为样本空间中的两个随机事件,其中 ,则
( ) A. B. C. D.
8. 已知椭圆 的左右焦点分别为 是椭圆上一点,且 成等差数列,则椭圆离心率的最大值为 ( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 满分 18 分。每小题给出的备选答案中, 有多个选项 是符合题意的。全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 选错或不选得 0 分.
9. 下列说法中正确的是( )A. 从装有 3 个红球,4 个白球的袋中任意摸出 3 个球,事件 “至少有 2 个红球”,事件 “都是白球”,则事件 与事件 是对立事件
B. 若随机变量 ，且 ，则
C. 若 ,则
D. 若随机变量 满足 ,则
10. 是正方体 中线段 上的动点 (点 异于点 ),下列说法正确的是 ( )
A. B. 异面直线 与 所成的角是
C. 的大小与 点位置有关 D. 二面角 的大小为
11. 已知 为正实数， ，则下列说法正确的是( )
A.
B. 的最小值为 -1
C. 的最小值为 12
D. 的最小值为
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 满分 15 分。
12. 已知向量 ，且 ，则 _____.
13. 已知 ,则
14. 已知等差数列 的前 项和为 ,且满足 ,则数列 的通项公式为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 满分 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)记 的内角 的对边分别为 ，已知 . (1)求 .
(2)若点 在边 上，且 ，求 .
16. (本小题满分 15 分)如图所示，矩形 和梯形 所在平面互相垂直，
(1)求证:平面 平面 ；
(2)当 的长为何值时，二面角 的大小为 .
17. (本小题满分 15 分) 设 是函数 的一个极值点.
(1)求 与 的关系(用 表示 )，并判断 的的单调性；
(2)设 ， ，若存在 ， ，使得 成立，求 的取值范围.
18. (本小题满分 17 分) 一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓后要么出现一次音乐, 要么不出现音乐; 每盘游戏击鼓三次后, 出现三次音乐获得 150 分, 出现两次音乐获得 100 分, 出现一次音乐获得 50 分, 没有出现音乐则获得-300 分. 设每次击鼓出现音乐的概率为 ,且各次击鼓出现音乐相互独立.
(1)若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为 ，求 的最大值点 ；
(2)以(1)中确定的 作为 的值，玩 3 盘游戏，出现音乐的盘数为随机变量 ，求每盘游戏出现音乐的概率 ,及随机变量 的期望 ;
(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了. 请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.
19. (本小题满分 17 分) 我们约定, 如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴,则称它们互为 “姊妹” 圆锥曲线. 已知椭圆 ,双曲线 是椭圆 的 “姊妹” 圆锥曲线, 分别为 的离心率,且 ,点 分别为椭圆 的左、右顶点.
(1)求双曲线 的方程；
(2)设过点 的动直线 交双曲线 右支于 两点，若直线 的斜率分别为 .
(i) 试探究 与 的比值 是否为定值. 若是定值,求出这个定值; 若不是定值,请说明理由;
(ii) 求 的取值范围.
参考答案
一。选择题(共 8 小题)
1. 下列求导运算正确的是(D)
A. B.
C. D.
2. 已知命题 ,则 为
A. B.
C. D.
3. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
解: . . 故选: .
4. 离散型随机变量 的取值为 . 若数列 为等差数列,则 ( )
A. B. C. D.
解: 根据题意,离散型随机变量 的取值为 . 则 ,又由数列 为等差数列,则 ,则有 . 故选: .
5. 已知定义在 上的单调递增函数 ,且 为奇函数,则不等式 的解集为( )A. B. C. D.
解: 由函数 为奇函数,可得 ,
即 ,所以 ,
又由不等式 ,可得 ,
因为函数 是 上的单调递增函数, 所以 ,解得 ,所以不等式的解集为 . 故选: .
6. 若函数 在 是单调递减，则 的最大值是( )
A. B. C. D.
解: 由题意,可得 ,因为 ,可得 , 又因为 ,可得 ,由于余弦函数在 上单调递减,可得 , 解得 ,所以 的最大值为 . 故选: .
7. 已知 为样本空间中的两个随机事件,其中 ,则 ( )
A. B. C. D.
解: 根据题意, ,则 , 又由 ,则 ,而 ,则 , 而 ,则 ,故 . 故选: .
8. 已知椭圆 的左右焦点分别为 是椭圆上一点,且 成等差数列,则椭圆离心率的最大值为 ( )
A. B. C. D.
解: 因为 成等差数列,
所以 ,因为 ,
所以 ,即 ,当且仅当 时等号成立,所以椭圆离心率的最大值为 . 故选: .
二. 多选题(共 3 小题)
(多选) 9. 下列说法中正确的是( )
A. 从装有 3 个红球,4 个白球的袋中任意摸出 3 个球,事件 “至少有 2 个红球”,事件 “都是白球”,则事件 与事件 是对立事件
B. 若随机变量 ，且 ，则
C. 若 ,则
D. 若随机变量 满足 ,则
解: 对于 ,从表有 3 个红球,4 个白球的袋中任意摸出 3 个球,可能的情况有 3 红,3 白,1 红 2 白,2 红 1 白,所以事件 与事件 不是对立事件,故 错误;
对于 ,因为 ,所以 ,则 ,
解得 ,所以 ,所以 ,
所以 ,故 正确;
对于 ,根据全概率公式 ,
故 ,故 正确;
对于 ,由题意知, 服从 的超几何分布,
所以 ,故 正确. 故选: .
(多选) 10. 是正方体 中线段 上的动点 (点 异于点 ),下列说法正确的是 ( )
A. B. 异面直线 与 所成的角是
C. 的大小与 点位置有关 D. 二面角 的大小为
解: 对于 ,因为 ,
平面 ,所以 平面 ,
又因为 平面 ,所以 ,所以 对;
对于 ,因为 为正三角形,所以 ,
所以异面直线 与 所成的角是 ,所以 对;
对于 ,因为 平面 平面 ,所以 平面 ,
的底面积不变,高不变,所以 的大小与 点位置无关,所以 错,
对于 ,因为 平面 ,所以 ,
所以 为二面角 的平面角,其大小为 ,所以 对.
故选: .
(多选) 11. 已知 为正实数， ，则下列说法正确的是( )
A.
B. 的最小值为 -1
C. 的最小值为 12
D. 的最小值为
解: 由 ,可得 ,
对于 中,令 ,则 且 ,
可得 . 则 ,因为函数 在 上单调递减,在 上单调递增,可得 ,所以 ,所以 正确;
对于 中,由 ,可得 ,
则 ,当且仅当 时, 取得最小值 -1,所以 正确; 对于 中,由 ,
当且仅当 时,即 时,即 时,等号成立,所以 不正确;
对于 中,由 ,可得 ,
当且仅当 时,即 时,等号成立,
所以 的最小值为 ,所以 正确. 故选: .
三。填空题(共 3 小题)
12. 已知向量 ，且 ，则 _____5_____.
解: 因为向量 ,且 ,
所以 ,解得 ,故 ,
故 . 故答案为: 5 .
13. 已知 ,则 .
解: 因为 ,所以 . 故答案为: .
14. 已知等差数列 的前 项和为 ,且满足 ,则数列 的通项公式为 _____.
解: 设等差数列 的公差为 ,因为 ,
所以 ,所以 ,因为 ,所以 ,
所以 . 故答案为: .
15. 记 的内角 的对边分别为 ,已知 .
(1)求 .
(2)若点 在边 上，且 ，求 .
(1)据已知条件及正弦定理得
整理得 ,
又据余弦定理 ,则有 ,因为
则 ; .5 分
(2)因为 ，
所以 ,
故 ,
即
所以 ,
整理得
故 ,
化解得 ,因为 ,
故 ,
则 10 分
16. 如图所示，矩形 和梯形 所在平面互相垂直，
(1)求证:平面 平面 ；
(2)当 的长为何值时，二面角 的大小为 .
(1) 因为 ，所以 ，因为矩形 和平面 垂直，所以 . 矩形 和平面 交于 ,所以 面 ,又因为
面 ,所以 . 因为 面 ,所以 面 ,又因为 面 ,所以平面DEF上平面DCE. 7 分
(2)因为 ，所以 ，由上面可知， 面 ，则以 为原点，分别以 为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系. 如下图.
过点 作 于点 ,在 中, ,则 . 因为 ,所以 .
设 ,则 , ,设平面 的法向量为 ,则 , 得 ,令 ,则 ,
因为 面 ,所以 ,若二面角 的大小为 ,则 ,解得 ,所以当 时,二面角 的大小为 15 分
17. 设 是函数 的一个极值点.
(1)求 与 的关系(用 表示 )，并判断 的的单调性；
(2)设 ，若存在 ，使得 成立，求 的取值范围.
(1) ,由 得 故 . 因为 由 得: 由于 是 的极值点,故 ,即 当 时, ,故 在 上为减函数,在 上为增函数,在 上为减函数. 当 时, ,故 在 上为减函数,在 上为增函数, 上为减函数. .7 分
(2)由题意，存在 ，使得 成立，即不等式 在 上有解.
于是问题转化为 ,由于两个不同自变量取值的任意性,因此首先要求出 和 在 上值域.
因为 ,则 ,由 (1) 知: 在 递增; 在 递减. 故 在 上的值域为 ,而 在 上显然为增函数,其值域
因为 ,故 从而解 的取值范围为 . .15 分
18. 一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓后要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现三次音乐获得 150 分，出现两次音乐获得 100 分，出现一次音乐获得 50 分,没有出现音乐则获得 -300 分. 设每次击鼓出现音乐的概率为 ,且各次击鼓出现音乐相互独立.
(1)若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为 ，求 的最大值点 ；
(2)以(1)中确定的 作为 的值，玩 3 盘游戏，出现音乐的盘数为随机变量 ，求每盘游戏出现音乐的概率 ,及随机变量 的期望 ;
(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了. 请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.
(1) 由题可知, 一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为:
由 得 或 (舍)
当 时, ; 当 时, ,
在 上单调递增,在 上单调递减,
当 时, 有最大值,即 的最大值点 .5 分
(2)由(1)可知,
则每盘游戏出现音乐的概率为 由题可知
; 10 分
(3)由题可设每盘游戏的得分为随机变量 ,则 的可能值为-300,50,100,150;
;
;
令 ,则 ;
所以 在 单调递增; ; .15 分
即有 ; 这说明每盘游戏平均得分是负分,由概率统计的相关知识可知: 经过若干盘游戏后,与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少. 17 分
19. (17 分) 我们约定, 如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴, 则称它们互为 “姊妹”圆锥曲线. 已知椭圆 ,双曲线 是椭圆 的“姊妹”圆锥曲线, 分别为 的离心率,且 ,点 分别为椭圆 的左、右顶点.
(1)求双曲线 的方程；
(2)设过点 的动直线 交双曲线 右支于 两点，若直线 的斜率分别为 .
(i) 试探究 与 的比值 是否为定值. 若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
(ii) 求 的取值范围.
(1) 由题意可设双曲线 ,则 ,解得 ,
5 分
(2)(i)设 ， ，直线 的方程为 ，
由 ,消元得 .
则 ,且 ,
或由韦达定理可得 ,即 ,
即 与 的比值为定值
11 分
(ii) 方法一: 设直线 ,
代入双曲线方程并整理得 ,
由于点 为双曲线的左顶点,所以此方程有一根为 -2,
由韦达定理得: ，解得 .
因为点 在双曲线的右支上,所以 ,解得 ,
即 ,同理可得 ,
由 (i) 中结论可知 ,
得 ,所以 ,
故 ,
设 ,其图象对称轴为 ,
则 在 上单调递减,故 ,
故 的取值范围为
17 分
方法二: 由于双曲线 的渐近线方程为 ,
如图,过点 作两渐近线的平行线 ,由于点 在双曲线 的右支上, 所以直线 介于直线 之间 (含 轴,不含直线 ),
所以 .
同理,过点 作两渐近线的平行线 ,
由于点 在双曲线 的右支上,
所以直线 介于直线 之间 (不含 轴,不含直线 ),
所以 .
由 (i) 中结论可知 ,