人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册 7.4.2 超几何分布 课件（共28张PPT）

7.4.2超几何分布
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}学习目标
核心素养
1.通过具体实例，了解超几何分布及其均值.（重点）
2.能用超几何分布解决简单的实际问题.
1.借助对超几何分布概念的理解，培养数学抽象素养.
2.通过对超几何分布的应用，提升数学建模与数学运算素养.
学习目标
（一）对比问题、探究方法
如果采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立，此时X服从二项分布，即X～B(4，0.08).所以的X分布列为
采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，各次抽取的结果不独立，不符合n重伯努利试验的特征，因此X不服从二项分布.
问题1：已知100件产品中有8件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件. 设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.
探究
（一）对比问题、探究方法
追问1：采用有放回抽样，随机变量????服从二项分布吗？如果服从，求出其分布列
?
追问2：采用不放回抽样，抽取的4件产品中次品数????是否服从二项分布？
?
从样本空间出发,应用古典概型求概率的步骤有哪些？
①计算样本空间中样本点的个数n(A)
②计算符合条件的样本点的个数n(Ω)
③求比值
（一）对比问题、探究方法
思路1：一次性批量无顺序随机抽取4件产品作为样本,求P(X=k).
问题2：已知100件产品中有8件次品，分别采用不放回的方式随机抽取4件. 设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.
探究
（一）对比问题、探究方法
思路2：有顺序随机抽取4件产品作为样本，求P(X=k).
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}古典概型求概率的步骤
100件产品中有8件次品，随机抽取4件，设抽取的4件产品中次品数为X
一次性
无顺序
抽取
有顺序
抽取
计算所求事件A所包含的样本点个数n(A)
计算样本点总个数n(Ω)
计算概率
思考：两种思路下不同的分布列有什么联系？
小组讨论3.5min，填写左侧表格，讲解思路
（一）对比问题、探究方法
（二）抽象概括、生成概念
问题3：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，如何求X的分布列？
探究
公式中字母的含义:
N—总体中的个体总数;
n—样本容量;
k—样本中的特殊个体数(如次品数).
思考：如何理解m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}？
例如，设10个产品中有4个次品，6个正品，如果随机取出5件产品，那么次品数可能为0，1，2，3，4；如果随机取出8件产品，那么次品数可能为2，3，4.
（二）抽象概括、生成概念
问题3：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，如何求X的分布列？
探究
其中????，????，????∈?????，????＝????????????{????，?????????+????}，????=????????????{????,????}.
如果随机变量X的分布列具有上式形式，称随机变量X服从超几何分布.
?
，????＝????,????+????,????+????,…,????.
?
????????=????=??????????????????????????????????????????????
?
记为X~H(n,M, N).
思考：结合图示，分析并求解随机变量的取值范围
（二）抽象概括、生成概念
超几何分布的注意问题：
(1)“由较明显的两部分组成”：如“男生、女生”，“正品、次品”；
(2) 不放回抽样：“任取n件” 应理解为“不放回地一次取一件，连续取n件”.
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品的次品数，则X的分布列为
其中????，????，????∈?????，????＝????????????{????，?????????+????}，????=????????????{????,????}.
如果随机变量X的分布列具有上式形式，称随机变量X服从超几何分布.
?
，????＝????,????+????,????+????,…,????.
?
????????=????=??????????????????????????????????????????????
?
超几何分布
（二）抽象概括、生成概念
1.辨析 判断正误.
(1)超几何分布就是一种概率分布模型.( )
(2)一个袋子里装有4个白球，5个黑球和6个黄球，从中任取4个球，则取出的黑球个数????服从超几何分布.( )
?
答案：√，√.
2.今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，则不出现二级品的概率为(　　)

答案：A
（三）应用概念、解决问题
设X表示选出的5名学生中含甲的人数，则X服从超几何分布，且N＝ ，M＝ ，n＝ . 因此甲被选中的概率为：
例1：从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率.
解：
容易发现，每个人被抽到的概率都是 .这个结论非常直观，上述解答过程就是这一结论的推导过程.
解题步骤：①辨模型 ②定取值 ③用公式
（三）应用概念、解决问题
50
1
5
设X表示抽取10个零件中不合格品数，则X服从超几何分布，其分布列为
例2：一批零件共有30个，其中有3个不合格.随机抽取10个零件
进行检测，求至少有1件不合格的概率.
（三）应用概念、解决问题
（四）直观猜想、推理论证
思考：你能结合Venn图和等比例分层抽样猜想超几何分布的期望吗？
探究
设随机变量 X 服从超几何分布，则 X 可以解释为从包含 M 件次品的 N 件产品中，不放回地随机抽取 n 件产品中的次品数.
令 ，则 p 是 N 件产品的次品率，而 是抽取的 n 件产品的次品率.
（四）直观猜想、推理论证
2.超几何分布的均值
下面对均值进行证明.
证明：令m＝max{0, n-N+M}, r＝min{n, M}.
由随机变量的定义：
当m>0时，
当m=0时，类似可以证明结论依然成立.
若随机变量X服从超几何分布，则有
（四）直观猜想、推理论证
（五）探究差异、深化认识
(1) 对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次试验之间的结果是独立的，因此X~B(20, 0.4)，X的分布列为
例6 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60
个白球，从中随机地摸出20个球作为样本. 用X表示样本中黄球的个数.
(1) 分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；
对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布，X的分布列为
（五）探究差异、深化认识
(2)利用统计软件可以计算出两个分布列具体的概率值(精确到0.000 01), 如表所示.
样本中黄球的比例f20= 是一个随机变量, 根据表7.4-2算得
(2)分别就有放回摸球和不放回摸球, 用样本中黄球的比例估计总
体中黄球的比例, 求误差不超过0.1的概率.
|f20-0.4|≤0.1 6≤X≤10
(2)利用统计软件可以计算出两个分布列具体的概率值(精确到0.000 01), 如表所示.
有放回摸球:P(|f20-0.4|≤0.1)
=P(6≤X≤10) ≈ 0.7469.
不放回摸球:P(|f20-0.4|≤0.1)
=P(6≤X≤10) ≈ 0.7988.
故在相同误差限制下, 采用不放回摸球估计的结果更可靠些.
(2)分别就有放回摸球和不放回摸球, 用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例, 求误差不超过0.1的概率.
两种摸球方式下，随机变量X分别服从二项分布和超几何分布，
虽然这两种分布有相等的均值(都是8)，但从两种分布的概率分布图(如下图)看，超几何分布更集中在均值附近.
二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同. 对于不放回抽样，当n远远小于N时，每抽取一次后，对N的影响很小，此时，超几何分布可以用二项分布近似.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}区别
联系
二项分布与超几何分布的区别与联系
（五）探究差异、深化认识
（1）一般地,二项分布的模型是“独立重复试验”，是有放回抽样；而超几何分布的模型是不放回抽样.
（2）在相同的误差限制下，超几何分布的结果更可靠些.
（3）超几何分布更集中在均值附近.
（1）二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的件产品中次品数的分布规律.
（2）二项分布和超几何分布的均值相同.
（3）对于不放回抽样，当远远小于时，每抽取一次后，对的影响很小，此时超几何分布可以用二项分布近似.
（六）总结提升、巩固理解
（六）总结提升、巩固理解
课本作业：课本第80页练习1,2；课本第81页练习6
探究作业：请你举出两个服从超几何分布的随机变量的例子，并在Excel中计算分布列的概率；
课外拓展：我们今天所学的内容为称之为超几何分布，为什么这样命名，有没有“几何分布”？请大家自主查阅相关资料并进行交流．
（七）布置作业、发展素养
下课啦！