人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 3.1.1 椭圆及其标准方程 课件（共50张PPT）

椭圆及其标准方程
目 录
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01 教材分析
02 学情分析
04 教学重难点
03 教学目标
05 教法、学法分析
06 教学过程
01 教材分析
《椭圆》本节内容是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线的方程的概念有一定了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。椭圆的学习可以为后面研究双曲线抛物线提供基本模式和理论基础。因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容之一。
教材分析
02 学情分析
在此之前，学生对坐标法解决几何问题掌握不够，从研究圆到研究椭圆跨度较大，学生思维上存在障碍，在求椭圆标准方程时，会遇到比较复杂的根式化简问题，而这些在目前初中代数中都没有详细介绍，初中代数不能完全满足学习本节的需要，故本节中采取缺什么补什么的方法来补充这些知识。
学情分析
03 教学目标
1、理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的两种形式及其推导过程，能根据条件确定椭圆的方程；
2、通过对椭圆标准方程的推导，提高学生运用坐标法解决几何问题的能力，并渗透数形结合和等价转化的数学思想方法；
3、通过主动探索、合作学习、相互交流感受探索的乐趣与成功的喜悦，培养学生自主学习的能力。
教学目标
04 教学重难点
教学重点：椭圆的标准方程
教学难点：椭圆定义和椭圆标准方程的联系及推导
教学重难点
05 教法、学法分析
1、教法分析
考虑到椭圆的抽象性，对空间想象能力要求高，学生不易理解，我主要采用启发探究式教学方法，尝试让学生自主探究，结合讲解法，引导发现法等多种教学方法结合，加深学生对本节内容的理解，体现教师为主导，学生为主体的教学设计。
在教学过程中采用多媒体辅助教学，结合几何画板展示椭圆形成轨迹，优化教学过程。
教法、学法分析
2、学情分析、学法指导
学生的认知状况和思维发展水平直接影响到课堂教学的效果，因此，我从以下两个方面来分析学生的认知状况和思维发展水平
（1）知识储备情况：学生在之前的学习和生活中对椭圆图形有所了解，但只限于感性认识，确少理性的分析。
（2）思维发展水平：学生接触解析几何的时间不长，学习程度较浅，在思维上会存在一定的障碍。
教法、学法分析
06 教学过程
1 设置情境，问题诱导
2动手实验，归纳概念
4拓展引申，对比分析
3启发引导，推出方程
5范例教学，巩固练习
6归纳小结，布置作业
——仙女座星系
星系中的椭圆
情境引入
我们怎样画出并画好椭圆？椭圆具有呢些几何特征呢？
实验引入
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椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用.那么，椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？
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探究：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点????1，????2(如图)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
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实验引入
新知探索
把细绳的两端拉开一段距离，笔尖移动的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离的和等于常数.
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焦点
焦距
半焦距
新知探索
我们把平面内与两个定点????1，????2的距离的和等于常数(大于|????1????2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两交点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.
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由椭圆的定义可知，上述移动的笔尖(动点)画出的轨迹是椭圆.
新知探索
思考1：观察椭圆的形状，你认为怎样建立平面直角坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？
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下面我们根据椭圆的几何特征,选择适当的坐标系，建立椭圆的方程.
观察我们画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点????1，????2的直线为????轴，线段????1????2的垂直平分线为????轴，建立平面直角坐标系????????????，如图所示.
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新知探索
设????(????，????)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2????(????>0)，那么焦点????1，????2的坐标分别为(?????,0)，(????,0).根据椭圆的定义，设点????与焦点????1，????2的距离的和等于2????.
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由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集
????={????||????????1|+|????????2|=2????}.
因为|????????1|=(????+????)2+????2，|????????2|=(?????????)2+????2，
所以(????+????)2+????2+(?????????)2+????2=2????. ①
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新知探索
为了简化方程①，我们将其左边的一个根式移到右边，得
(????+????)2+????2=2?????(?????????)2+????2. ②
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对方程②两边平方，得(????+????)2+????2=4????2?4????(?????????)2+????2+(?????????)2+????2.
整理，得????2?????????=????(?????????)2+????2. ③
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对方程③两边平方，得????4?2????2????????+????2????2=????2????2?2????2????????+????2????2+????2????2.
整理，得(????2?????2)????2+????2????2=????2(????2?????2). ④
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将方程④两边同时除以????2(????2?????2)，得????2????2+????2(????2?????2)=1. ⑤
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由椭圆的定义可知，2????>2????>0，即????>????>0，所以(????2?????2)>0.
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新知探索
思考2：观察图，你能从中找出表示????，????，????2?????2的线段吗？
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由图知，|????????1|=|????????2|=????，|????????1|=|????????2|=????，|????????|=????2?????2.
令????=|????????|=????2?????2，那么方程⑤就是????2????2+????2????2=1(????>????>0). ⑥
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由于方程②③的两边都是非负实数，因此方程到方程的变形都是同解变形.这样，椭圆上任意一点(????,????)的坐标都满足方程⑥；反之，以方程⑥的解为坐标的点(????,????)与椭圆的两个焦点(????,0)，(?????,0)的距离之和为2????，即以方程⑥的解为坐标的点都在椭圆上.我们称方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做椭圆的标准方程.它表示焦点在????轴上，两个焦点分别是????1(????,0)，????2(?????,0)的椭圆，这里????2=????2+????2.
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新知探索
思考3：如图，如果焦点????1，????1在????轴上，且????1，????2的坐标分别为(0,?????) ，(0,????) ，????，????的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
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容易知道，此时椭圆的方程是????2????2+????2????2=1(????>????>0)，这个方程也是椭圆的方程.
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我们把????2????2+????2????2=1(????>????>0)叫做椭圆的标准方程，它表示焦点在????轴上，两个焦点分别是????1(????,0) ，????2(?????,0)的椭圆，这里????2=????2+????2.
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新知探索
我们把????2????2+????2????2=1(????>????>0)叫做椭圆的标准方程，它表示焦点在????轴上，两个焦点分别是????1(????,0) ，????2(?????,0)的椭圆，这里????2=????2+????2.
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我们把????2????2+????2????2=1(????>????>0)叫做椭圆的标准方程，它表示焦点在????轴上，两个焦点分别是????1(?????,0) ，????2(????,0)的椭圆，这里????2=????2+????2.
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新知探索
答案：×，×.
辨析1.判断正误.
(1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的轨迹叫做椭圆.( )
(2)到两定点????1(?2,0)和????2(2,0)的距离之和为3的点的轨迹为椭圆.( )
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答案：A.
辨析2.设????是椭圆????225+????216=1上的任意一点，若????1，????2是椭圆的两个焦点，则|????????1|+|????????2|等于( ).
A.10 B.8 C.5 D.4
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例析
例1.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(2,0)，(?2,0)，并且经过点(52,?32)，求它的标准方程.
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解：由于椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为????2????2+????2????2=1(????>????>0).
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由椭圆的定义知????=2，2????=(52+2)2+(?32)2+(52?2)2+(?32)2=210，
所以????=10.
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所以????2=????2?????2=10?4=6.
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所以，所求椭圆的标准方程为????210+????26=1.
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例析
例2.如图，在圆????2+????2=4上任意取一点????，过点????作????轴的垂线段????????，????为垂足.当点????在圆上运动时，线段????????的中点????的轨迹是什么？为什么？(当点????经过圆与????轴的交点时，规定点????与点????重合.)
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解：设点????的坐标为(????,????)，点????的坐标为(????0,????0)，则点????的坐标为(????0,0).由点????是线段????????的中点，得????=????0，????=????02.
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因为点????(????0,????0)在圆????2+????2=4上，所以????02+????02=4. ①
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把????=????0，????0=2????代入方程①，得????2+4????2=4，即????24+????2=1.
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所以点????的轨迹是椭圆.
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新知探索
思考4：由例2我们发现，可以由圆通过“压缩”得到椭圆.你能通过“拉伸”得到椭圆吗？如何“拉伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？
从例2我们可以发现，将圆????2+????2=4上的所有点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12时，利用三角函数中学习的伸缩变换的知识，可以得到????2+(2????)2=4，即????24+????2=1，此为椭圆方程.同理可将圆上所有点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，利用伸缩变换可得????2+(12????)2=4，即????24+????216=1，得到拉伸后的椭圆方程.所以椭圆可以由圆经过伸缩变换得到.
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练习
题型一：椭圆的定义及应用
例1.(1)下列说法正确的的是( ).
A.已知????1(?4,0)，????2(4,0)，到两点????1，????2的距离之和大于8的点的轨迹是椭圆
B.已知????1(?4,0)，????2(4,0)，到两点????1，????2的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C.到点????1(?4,0)，????2(4,0)的距离之和等于从点(5,3)到????1，????2的距离之和的点的轨迹是椭圆
D.到点????1(?4,0)，????2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆
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答案：D.
练习
题型一：椭圆的定义及应用
例1.(2)若椭圆????225+????29=1上一点????到一个焦点的距离为5，则????到另一个焦点的距离为_______.
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答案：5.
解：由椭圆方程????225+????29=1知????=5，设椭圆的两个焦点分别为????1，????2，
令|????????1|=5，由椭圆的定义知|????????1|+|????????2|=2????=10，
所以|????????2|=10?5=5.
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练习
方法技巧：
椭圆定义的双向应用
1.判断：符合定义中到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)这一条件的点的轨迹为椭圆.
2.求值：椭圆上的点一定满足定义中的条件，即到两定点的距离之和为2????.
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练习
变1.已知椭圆????2????2+????2????2=1(????>????>0)，????1，????2是它的焦点.过????1的直线与椭圆交于????，????两点，求?????????????2的周长.
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解：如图，∵|????????1|+|????????2|=2????，|????????1|+|????????2|=2????，
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∴?????????????????2=|????????|+|????????2|+|????????2|
=|????????1|+|????????1|+|????????2|+|????????2|=4????.
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练习
题型二：定义法求椭圆标准方程
例2.已知圆????：(????+3)2+????2=100，圆????内一定点????(3,0)，圆??过????且与圆????内切，求圆心????的轨迹方程.
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解：设圆????的半径为????，∵圆????过点????，∴|????????|=????.
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∴2????=10，2????=|????????|=6，∴????=5，????=3.∴????2=????2?????2=16.
即点的轨迹方程为????225+????216=1.
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又∵圆????与圆????内切，圆????的半径为10，
∴两圆的圆心距|????????|=10?????，即|????????|+|????????|=10(大于|????????|)
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∴点????的轨迹是以????，????为焦点的椭圆.
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练习
题型二：定义法求椭圆标准方程
例2.已知圆????：(????+3)2+????2=100，圆????内一定点????(3,0)，圆??过????且与圆????内切，求圆心的轨迹方程.
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∴2????=10，2????=|????????|=6，∴????=5，????=3.∴????2=????2?????2=16.
即点的轨迹方程为????225+????216=1.
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练习
方法技巧：
定义法求椭圆的标准方程
1.先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两定点间的距离.
2.若符合，则动点的轨迹为椭圆，且两定点间的距离为焦距2????，动点到两定点的距离之和为2????，从而可以确定椭圆的方程.
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练习
变2.如图，已知圆(????+1)2+????2=16及点????(1,0)，????为圆上一点.
????????的垂直平分线交????????于????，求点????的轨迹方程.
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解：由垂直平分线性质可知????????|=|????????|，
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∴|????????|+|????????|=|????????|+|????????|=|????????|.
∴|????????|+|????????|=4.
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又∵|????????|=2，所以????点轨迹为椭圆.
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由椭圆定义知????=2，????=1，∴????2=????2?????2=3.
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∴所求轨迹方程为????24+????23=1.
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练习
题型三：待定系数法求椭圆标准方程
例3.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为(?4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；
(2)焦点在????轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
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解(1).由于椭圆的焦点在????轴上，∴设它的标准方程为????2????2+????2????2=1(????>????>0).
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∴????=5，????=4，∴????2=????2?????2=25?16=9.
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故所求椭圆的标准方程为????225+????29=1.
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解(2).由于椭圆的焦点在????轴上，∴设它的标准方程为????2????2+????2????2=1(????>????>0).
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∴????=2，????=1，
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故所求椭圆的标准方程为????24+????2=1.
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练习
例3.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(3)经过点????(3,?2)和点????(?23,1).
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解(3)：法一(分类讨论法)
①当焦点在????轴上时，设椭圆的标准方程为????2????2+????2????2=1(????>????>0).
依题意有(3)2????2+(?2)2????2=1，(?23)2????2+12????2=1，解得????2=15，????2=5.
故所求椭圆的标准方程为????215+????25=1 .
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练习
例3.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(3)经过点????(3,?2)和点????(?23,1).
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解(3)：法一(分类讨论法)
②当焦点在????轴上时，设椭圆的标准方程为????2????2+????2????2=1(????>????>0).
依题意有(?2)2????2+(3)2????2=1，12????2+(?23)2????2=1，解得????2=5，????2=15.
∵????>????>0，∴无解.
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练习
例3.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(3)经过点????(3,?2)和点????(?23,1).
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解(3)：法二(待定系数法)
设所求椭圆的方程为????????2+????????2=1((????≠????，????>0，????>0).
依题意有3????+4????=1，12????+????=1，解得????=115，????=15.
故所求椭圆的标准方程为????215+????25=1 .
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练习
方法技巧：
1.利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤：
(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求????，????，????的等量关系；(4)求出????，????的值，代入所设方程.
2.当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为????????2+????????2=1(????≠????，????>0，????>0).因为它包括焦点在????轴上(????????)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算.
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练习
变3.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2,?2)，(?1,142)；
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解(1)：(待定系数法)
设所求椭圆的方程为????????2+????????2=1((????≠????，????>0，????>0).
依题意有4????+2????=1，????+144????=1，解得????=18，????=14.
故所求椭圆的标准方程为????28+????24=1 .
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练习
变3.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(2)过点(3,?5)，且与椭圆????225+????29=1有相同的焦点.
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解：∵所求椭圆与椭圆????225+????29=1有相同的焦点，
∴其焦点在????轴上，且????2=25?9=16.设它的标准方程为????2????2+????2????2=1(????>????>0).
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∵????2=16，且????2=????2?????2，故????2?????2=16.①
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又∵点(3,?5)在椭圆上，∴(?5)2????2+(3)2????2=1，即5????2+3????2=1. ②
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由①②得????2=4，????2=20，
所以所求椭圆的标准方程为????220+????24=1.
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课堂小结
1.椭圆的定义：把平面内与两个定点????1，????2的距离的和等于常数(大于|????1????2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两交点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.
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焦点
焦距
半焦距
课堂小结
2.椭圆的标准方程：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
焦点在????轴上
焦点在????轴上
标准方程
????2????2+????2????2=1(????>????>0)
????2????2+????2????2=1(????>????>0)
图形
焦点
(?????,0),(????,0)
(0,?????)，(0,????)
????，????，????的关系
????2=????2?????2
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
标准方程
图形
焦点
作业
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P109的练习1——4题；
(3)课本P115习题3.1第3、2题.
下课啦！