人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 3.3.1 抛物线及其标准方程 课件（共24张PPT）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 3.3.1 抛物线及其标准方程 课件（共24张PPT） |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 3.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-08 00:00:00 | ||
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文档简介
3.3.1 抛物线及其标准方程
目 录
COMPANY
一. 抛物线概念的获得
三. 抛物线及其标准方程的巩固与运用
二. 建立抛物线的标准方程
抛物线是生活中的一种常见图形
数学中的二次函数
????=????????
?
????=?????????+????????
?
1.能从几何情景中认识抛物线的几何特征，给出抛物线的定义，发展直观想象素养.
2.能类比椭圆、双曲线的标准方程的建立过程，运用坐标法推导出抛物线的标准方程，并能用它解决简单的问题，进一步体会建立曲线的方程的方法，发展直观想象、数学运算素养.
学习目标
重点：抛物线的概念和标准方程的建立.
难点：抛物线几何特征的发现.
复习引入
通过前边的学习，我们知道椭圆与双曲线有一个统一的定义
动点M到一个定点F的距离与M到定直线l（不过点F）的距离之比为常数k????
????=????????????
?
当0当k>1时，动点M的轨迹是:
当k=1时，动点M的轨迹是什么形状？
椭圆
双曲线
一. 抛物线概念的获得
探究1：
如图，F是定点，l是不经过点F的定直线，H是直线l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，点M随之运动，你能发现点M满足的几何条件吗？
依据信息技术作图，观察动点M的轨迹是什么形状？
????????=????????=????
?
一. 抛物线概念的获得
我们把在平面内与一个定点F和一条定直线l(l不
经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
点F叫做抛物线的焦点, 直线l 叫做抛物线的准线.
思考：定义中当直线l 经过定点F，则点M的轨迹是什么?
一条经过定点F且垂直于定直线l 的直线
符号表示：????=????????????=?????????????
?
F
l
二. 建立抛物线的标准方程
思考：比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，以开口向右的抛物线为例，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？
如图，经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系Oxy.
设焦点F到准线l的距离|KF|=p(p>0).
????????????=????
?
设|????????|=????(????>????),
?
准线????的方程为????=?????????
?
焦点????的坐标为(????????,????)
?
设M(x,y)是抛物线上任意一点
P=????????????=????
?
????????=?????????????????+????????，
?
????=????+????????，
?
∴?????????????????+???????? =????+????????
?
将上式两边平方并化简，得????????=??????????????????>???? ①
?
二. 建立抛物线的标准方程
把方程????????=????????????(????>????)叫做抛物线的标准方程.
?
其焦点在????轴正半轴上
?
开口方向： .
焦点坐标是： .
准线方程为： .
P的几何意义是： .
向右
????(????????,????)
?
????=?????????
?
焦点到准线的距离
探究2：在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程.根据抛物线开口方向不同，抛物线的标准方程有哪些不同的形式？
焦点F到准线l的距离|KF|=p(p>0).
请同学们填写下表，完成任务二
p的几何意义：p是焦点到准线的距离.
追问：1.抛物线的四种标准方程形式上有什么共同特征?
2.如何根据抛物线的标准方程来判断抛物线的焦点位置及开口方向？
左边：平方项，系数为1
右边：一次项，系数±????????
?
①焦点在一次项字母对应的坐标轴上.
②一次项系数的符号决定了抛物线的开口方向.
思考2：你能说明二次函数????=????????????????≠????的图象为什么是抛物线吗？
指出它的焦点坐标、准线方程.
?
∵????=????????????(????≠????)∴????????=????????????(????≠????).
?
∴焦点在????轴上， 焦点????(????,????????????)，准线方程为????=?????????????.
?
例1 (1)已知抛物线的标准方程是????2=6????，求它的焦点坐标和准线方程；
(2)已知抛物线的焦点是????(0,?2)，求它的标准方程.
?
解： (1) 因为????=3，抛物线的焦点在????轴正半轴上，
所以它的焦点坐标是(32,0)，准线方程是????=?32.
?
(2)因为抛物线的焦点在????轴负半轴上，且????2=2，????=4，
所以抛物线的标准方程是????2=?8????.
?
三. 抛物线及其标准方程的巩固与运用
例2 一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图(1).已知接收天线的口径(直径)为4.8m,深度为1m.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.
解：如图(2)，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点与原点重合，焦点在x轴上.
设抛物线的标准方程是y2=2px(p>0)
由已知条件得，点A的坐标是（1，2.4），代入方程，得
????.????????=????????×????，
?
即p=2.88.
所以，所求抛物线的标准方程是, ????????=????.7????????，
焦点坐标是（1.44，0）.
?
课堂达标
1.已知抛物线的焦点到准线的距离为2，求它的标准方程.
y2=±4x 或 x2=±4y
?
2.已知抛物线的方程是x2+8y=0，求它的焦点坐标和准线方程.
由x2+8y=0,得x2=-8y, p=4,
∴焦点坐标为（0,-2），准线方程为y=2
3. 抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的横坐标是____.
6
课堂小结
通过这节课的学习，你有哪些收获？
知识方面
思想方法
数形结合
类比
分类讨论
1.完成课本习题3.3的1.2.3.4题
作业
2.阅读课本133页“探究与发现”
板书设计
3.3.1 抛物线及其标准方程
1.定义：我们把在平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
点F叫做抛物线的焦点, 直线l 叫做抛物线的准线.
2.抛物线的标准方程
符号表示：????=????????????=?????????????
?
例2：解：如图(2)，在接收天线的轴截面所
在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶
点与原点重合，焦点在x轴上.
设抛物线的标准方程是y2=2px(p>0)
由已知条件得，点A的坐标是（1，2.4），
代入方程，得
????.????????=????????×????，
?
即p=2.88.
故所求抛物线的标准方程
是 ????????=????.7????????，
焦点坐标是（1.44，0）.
?
下课啦！
目 录
COMPANY
一. 抛物线概念的获得
三. 抛物线及其标准方程的巩固与运用
二. 建立抛物线的标准方程
抛物线是生活中的一种常见图形
数学中的二次函数
????=????????
?
????=?????????+????????
?
1.能从几何情景中认识抛物线的几何特征，给出抛物线的定义，发展直观想象素养.
2.能类比椭圆、双曲线的标准方程的建立过程，运用坐标法推导出抛物线的标准方程，并能用它解决简单的问题，进一步体会建立曲线的方程的方法，发展直观想象、数学运算素养.
学习目标
重点：抛物线的概念和标准方程的建立.
难点：抛物线几何特征的发现.
复习引入
通过前边的学习，我们知道椭圆与双曲线有一个统一的定义
动点M到一个定点F的距离与M到定直线l（不过点F）的距离之比为常数k????
????=????????????
?
当0
当k=1时，动点M的轨迹是什么形状？
椭圆
双曲线
一. 抛物线概念的获得
探究1：
如图，F是定点，l是不经过点F的定直线，H是直线l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，点M随之运动，你能发现点M满足的几何条件吗？
依据信息技术作图，观察动点M的轨迹是什么形状？
????????=????????=????
?
一. 抛物线概念的获得
我们把在平面内与一个定点F和一条定直线l(l不
经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
点F叫做抛物线的焦点, 直线l 叫做抛物线的准线.
思考：定义中当直线l 经过定点F，则点M的轨迹是什么?
一条经过定点F且垂直于定直线l 的直线
符号表示：????=????????????=?????????????
?
F
l
二. 建立抛物线的标准方程
思考：比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，以开口向右的抛物线为例，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？
如图，经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系Oxy.
设焦点F到准线l的距离|KF|=p(p>0).
????????????=????
?
设|????????|=????(????>????),
?
准线????的方程为????=?????????
?
焦点????的坐标为(????????,????)
?
设M(x,y)是抛物线上任意一点
P=????????????=????
?
????????=?????????????????+????????，
?
????=????+????????，
?
∴?????????????????+???????? =????+????????
?
将上式两边平方并化简，得????????=??????????????????>???? ①
?
二. 建立抛物线的标准方程
把方程????????=????????????(????>????)叫做抛物线的标准方程.
?
其焦点在????轴正半轴上
?
开口方向： .
焦点坐标是： .
准线方程为： .
P的几何意义是： .
向右
????(????????,????)
?
????=?????????
?
焦点到准线的距离
探究2：在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程.根据抛物线开口方向不同，抛物线的标准方程有哪些不同的形式？
焦点F到准线l的距离|KF|=p(p>0).
请同学们填写下表，完成任务二
p的几何意义：p是焦点到准线的距离.
追问：1.抛物线的四种标准方程形式上有什么共同特征?
2.如何根据抛物线的标准方程来判断抛物线的焦点位置及开口方向？
左边：平方项，系数为1
右边：一次项，系数±????????
?
①焦点在一次项字母对应的坐标轴上.
②一次项系数的符号决定了抛物线的开口方向.
思考2：你能说明二次函数????=????????????????≠????的图象为什么是抛物线吗？
指出它的焦点坐标、准线方程.
?
∵????=????????????(????≠????)∴????????=????????????(????≠????).
?
∴焦点在????轴上， 焦点????(????,????????????)，准线方程为????=?????????????.
?
例1 (1)已知抛物线的标准方程是????2=6????，求它的焦点坐标和准线方程；
(2)已知抛物线的焦点是????(0,?2)，求它的标准方程.
?
解： (1) 因为????=3，抛物线的焦点在????轴正半轴上，
所以它的焦点坐标是(32,0)，准线方程是????=?32.
?
(2)因为抛物线的焦点在????轴负半轴上，且????2=2，????=4，
所以抛物线的标准方程是????2=?8????.
?
三. 抛物线及其标准方程的巩固与运用
例2 一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图(1).已知接收天线的口径(直径)为4.8m,深度为1m.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.
解：如图(2)，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点与原点重合，焦点在x轴上.
设抛物线的标准方程是y2=2px(p>0)
由已知条件得，点A的坐标是（1，2.4），代入方程，得
????.????????=????????×????，
?
即p=2.88.
所以，所求抛物线的标准方程是, ????????=????.7????????，
焦点坐标是（1.44，0）.
?
课堂达标
1.已知抛物线的焦点到准线的距离为2，求它的标准方程.
y2=±4x 或 x2=±4y
?
2.已知抛物线的方程是x2+8y=0，求它的焦点坐标和准线方程.
由x2+8y=0,得x2=-8y, p=4,
∴焦点坐标为（0,-2），准线方程为y=2
3. 抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的横坐标是____.
6
课堂小结
通过这节课的学习，你有哪些收获？
知识方面
思想方法
数形结合
类比
分类讨论
1.完成课本习题3.3的1.2.3.4题
作业
2.阅读课本133页“探究与发现”
板书设计
3.3.1 抛物线及其标准方程
1.定义：我们把在平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
点F叫做抛物线的焦点, 直线l 叫做抛物线的准线.
2.抛物线的标准方程
符号表示：????=????????????=?????????????
?
例2：解：如图(2)，在接收天线的轴截面所
在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶
点与原点重合，焦点在x轴上.
设抛物线的标准方程是y2=2px(p>0)
由已知条件得，点A的坐标是（1，2.4），
代入方程，得
????.????????=????????×????，
?
即p=2.88.
故所求抛物线的标准方程
是 ????????=????.7????????，
焦点坐标是（1.44，0）.
?
下课啦！