7.1 相交线 讲义（含答案）-2025-2026学年七年级下册数学人教版

7.1 相交线
【题型1】对顶角、邻补角的识别 4
【题型2】应用对顶角、邻补角的性质进行计算 6
【题型3】垂线的应用 9
【题型4】垂线段最短的应用 13
【题型5】认识“三线八角” 15
1．邻补角与对顶角 概念性质图示邻补角有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，叫做邻补角．邻补角互补．如图，∠1和∠2互为邻补角．∠1和∠3互为对顶角． 对顶角两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角．对顶角相等．
2．垂线 （1）垂直的定义：一般地，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直． （2）垂线、垂足的定义： 两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 3．垂线的画法及基本事实 （1）在同一平面内，经过一点（在已知直线上或直线外）画已知直线的垂线，通常有两种画法． ①用三角尺画．具体画法如下： 一落：让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合． 二移：沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点． 三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线． ②用量角器画． （2）关于垂线的基本事实（性质1）： 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 4．垂线段及点到直线的距离 垂线段过直线外一点P做直线l的垂线，垂足为O，连接P与垂足O的线段PO称为点P到直线l的垂线段．垂线的性质2连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 简单说成：垂线段最短．点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离．图示
5．同位角、内错角、同旁内角 （1）同位角：在截线同侧，两条被截直线同一侧． （2）内错角：在截线两侧，两条被截直线之间． （3）同旁内角：在截线同侧，两条被截直线之间．
1．垂线段及点到直线的距离 （1）垂线与垂线段的区别：垂线是一条直线，长度不可以度量，而垂线段是一条线段，长度可以度量，如图，PO所在直线是垂线，线段PO是垂线段． （2）垂线段与点到直线的距离的区别：垂线段是几何图形，而点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，是一个数量． （3）点到直线的距离与两点的距离的区别：点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度，而两点的距离指连接两点间的线段的长度，如图，线段AB的长度是点A，B的距离． 2．同位角、内错角、同旁内角的共同点 （1）同位角、内错角、同旁内角都是指两个角之间的位置关系，而不是大小关系，它们之间的大小关系都是不确定的． （2）同位角、内错角、同旁内角都是成对出现的，它们都没有公共顶点，但都有一条边共线． 3．运用方程计算角的度数 题目中出现比值或倍数关系时，可以考虑先设未知数，然后通过等量关系列出关于未知数的方程，从而解决问题．
【题型1】对顶角、邻补角的识别
　（2025春 福鼎市期中）下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据对顶角的定义即可作答．
【解答】解：根据对顶角的定义可得，B选项中∠1和∠2是一对对顶角．
故选：B．
方法点拨 1．识别对顶角时，要抓住两个关键要素：一是顶点，二是边．先看两个角是否有公共顶点，再看两个角的两边是否分别互为反向延长线．两条直线相交形成两对对顶角． 2．邻补角是补角的一种特殊情况：邻补角既包含位置关系，又包含数量关系，数量上两角的和是180°，位置上有一条公共边．互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角；一个角的邻补角有两个，但一个角的补角可以有很多个．
【变式1】　（2025春 茂名期末）下面四个图形中，∠1与∠2互为对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据“有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角”，逐一判断即可得出答案．
【解答】解：由对顶角的定义可得，C选项是一组对顶角．
故选：C．
【变式2】　（2025春 西安校级月考）下列图形中∠1、∠2为对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据对顶角定义解答即可．
【解答】解：A．∠1与∠2，一个角的两边不是另一个角两边的反向延长线，故选项A不符合题意；
B．∠1与∠2没有公共顶点，故选项B不符合题意；
C．∠1与∠2，一个角的两边是另一个角两边的反向延长线，故选项C符合题意；
D．∠1与∠2，一个角的两边不是另一个角两边的反向延长线，故选项，D不符合题意．
故选：C．
【变式3】　（2025春 武汉期中）下列图形中，∠1与∠2是邻补角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据邻补角的概念进行判定即可得出答案．
【解答】解：A．因为∠1与∠2是互余的两个角，故A选项不符合题意；
B．因为∠1与∠2有公共顶点且两边互为延长线，所以B选项∠1与∠2是对顶角，故B选项不符合题意；
C．因为∠1与∠2的和显然是180°，所以∠1与∠2是邻补角，故C选项符合题意；
D．因为∠1与∠2不相邻、互补，所以∠1与∠2不是邻补角，故D选项不符合题意；
故选：C．
【题型2】应用对顶角、邻补角的性质进行计算
　（2025 定西一模）如图，直线a、b相交，∠2+∠3＝100°，则∠1的度数为（　　）
A．50° B．100° C．120° D．130°
【答案】D
【分析】根据对顶角相等求出∠2的度数，再根据邻补角的定义进行计算即可．
【解答】解：∵∠2＝∠3，∠2+∠3＝100°，
∴∠2＝∠3＝50°，
∴∠1＝180°﹣∠2＝180°﹣50°＝130°，
故选：D．
方法点拨 1．对顶角的性质：对顶角相等． 2．邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． 3．邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
【变式1】　（2025春 雨花区校级期末）如图是一把剪刀，若∠AOB+∠COD＝84°，则∠BOD＝（　　）
A．42° B．48° C．96° D．138°
【答案】D
【分析】根据对顶角相等以及邻补角的定义进行计算即可．
【解答】解：∵∠AOB+∠COD＝84°，而∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB＝∠COD84°＝42°，
∵∠BOD+∠AOB＝180°
∴∠BOD＝180°﹣42°＝138°，
故选：D．
【变式2】　（2025春 淮南期末）如图，直线AB与CD相交于点O，若∠3＝2∠1，则∠2等于（　　）
A．60° B．120° C．30° D．150°
【答案】A
【分析】根据对顶角、邻补角的定义进行计算即可．
【解答】解：∵∠1+∠3＝180°，∠3＝2∠1，
∴∠1180°＝60°，
∴∠2＝∠1＝60°，
故选：A．
【变式3】　（2025春 石家庄期中）如图，直线a与b相交，∠1＝36°，则∠3＝　　 ，∠2＝　　 ．
【答案】36°；144°
【分析】根据对顶角相等可得∠3＝36°，根据邻补角互补可得∠2＝144°．
【解答】解：∵∠1＝36°，
∴∠3＝∠1＝36°，∠2＝180°﹣36°＝144°．
故答案为：36°；144°．
【题型3】垂线的应用
　（2025 蓝田县一模）如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC，若∠AOC＝68°，则∠EOB的大小为（　　）
A．32° B．58° C．45° D．22°
【答案】D
【分析】根据OE⊥OC得到∠COE＝90°，再由平角∠AOB＝180°即可求解．
【解答】解：∵OE⊥OC，
∴∠COE＝90°，
∵∠AOC+∠COE+∠BOE＝180°，∠AOC＝68°，
∴∠EOB＝180°﹣90°﹣68°＝22°．
故选：D．
方法点拨 1．垂线的定义具有判定和性质的双重作用，即：知直角得线垂直；反之，知线垂直得直角． 2．垂线段是一条线段，可以度量长度，“一点”必须在直线外，若这点在直线上，就构不成垂线段，故这一点不能在直线上． 3．垂线段和点到直线的距离是两个不同的概念，垂线段是一条线段，是图形；而点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量． 4．垂线的应用：结合垂直的条件确定已知角和未知角之间的关系，再结合角平分线、对顶角、邻补角等定义计算．
【变式1】　（2024春 恩施州期末）已知∠AOB和∠BOC互为邻补角，OD平分∠BOC，射线OE在∠AOB内部，且4∠BOE+∠BOC＝180°，∠DOE＝65°，OM⊥OB，则∠MOE＝　115°或65°　 ．
【答案】115°或65°．
【分析】根据等量关系，利用方程思想求得∠BOE的度数是解决问题的关键．分两种情况进行讨论：OM在AC上方，或OM在AC下方，先依据已知条件求得∠BOE的度数，再根据∠MOB＝90°，即可得到结果．
【解答】解：分两种情况进行讨论：①如图1所示，若OM在AC上方，
∵OD平分∠BOC，
∴∠COD＝∠BOD，
∵4∠BOE+∠BOC＝180°，∠AOB+∠BOC＝180°，
∴∠AOB＝4∠BOE，即∠AOE＝3∠BOE，
设∠BOE＝α，则∠AOE＝3α，∠BOD＝65°﹣α＝∠COD，
∵∠AOC为平角，
∴∠AOE+∠DOE+∠COD＝180°，
即3α+65°+65°﹣α＝180°，
解得α＝25°，
∴∠BOE＝25°，
又∵OM⊥OB，
∴∠MOB＝90°，
∴∠MOE＝∠BOE+∠MOB＝25°+90°＝115°；
②如图2所示，若OM在AC下方，
同理可得，∠BOE＝25°，
又∵OM⊥OB，
∴∠MOB＝90°，
∴∠MOE＝∠MOB﹣∠BOE＝90°﹣25°＝65°，
综上所述，∠MOE的度数为115°或65°．
故答案为：115°或65°．
【变式2】　（2024春 新城区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，射线OE在∠DOB内部，且∠DOE＝2∠BOE．过点O作OF⊥OE．
（1）若∠COF＝54°，求∠BOE的度数；
（2）若∠COF＝∠DOE，那么OB平分∠DOF吗？为什么？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据直角的性质，可得∠EOF＝90°，根据补角的定义得∠DOE＝180﹣∠EOF﹣∠COF，再由∠DOE＝2∠BOE，即可求解；
（2）根据∠COF＝∠DOE，∠COF+∠DOE＝90°，可得∠COF＝∠DOE＝45°，再由∠DOE＝2∠BOE，可得∠BOE＝22.5°，从而得到∠DOB＝67.5°，∠BOF＝90°﹣22.5°＝67.5°，即可求解．
【解答】解：（1）∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°，
∵∠COF＝54°，
∴∠DOE＝180°﹣∠EOF﹣∠COF＝180°﹣90°﹣54°＝36°，
∵∠DOE＝2∠BOE，
∴，
∴∠BOE的度数为18°；
（2）平分，理由如下：
∵∠COF＝∠DOE，∠COF+∠DOE＝90°，
∴∠COF＝∠DOE＝45°，
∵∠DOE＝2∠BOE，
∴∠BOE＝22.5°，
∴∠DOB＝∠DOE+∠BOE＝67.5°，
∵∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠DOB＝∠BOF，
∴OB平分∠DOF．
【变式3】　（2024春 利辛县期末）如图，已知直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥CD．
（1）若∠AOC＝38°，求∠BOE的度数；
（2）若∠BOC：∠BOD＝11：4，OF平分∠AOD，求∠EOF的度数．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据垂直定义可得∠COE＝90°，然后利用平角定义进行计算，即可解答；
（2）根据已知易得：∠BOC＝132°，从而利用对顶角相等可得∠AOD＝∠BOC＝132°，然后利用角平分线的定义可得∠DOF＝66°，再根据垂直定义可得∠EOD＝90°，从而利用角的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵OE⊥CD，
∴∠COE＝90°，
∵∠AOC＝38°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣38°﹣90°＝52°，
∴∠BOE的度数为52°；
（2）∵∠BOC：∠BOD＝11：4，∠BOC+∠BOD＝180°，
∴∠BOC＝180°132°，
∴∠AOD＝∠BOC＝132°，
∵OF平分∠AOD，
∴∠DOF∠AOD＝66°，
∵OE⊥CD，
∴∠EOD＝90°，
∴∠EOF＝∠EOD+∠DOF＝156°，
∴∠EOF的度数为156°．
【题型4】垂线段最短的应用
　（2025春 黄陵县期末）如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，在铁路线上选一点来建火车站，应建在 A 点．
【答案】A
【分析】从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，根据垂线段最短可得答案．
【解答】解：根据垂线段最短可得：应建在A处，
故答案为：A．
方法点拨 抽象成利用“垂线段最短”和“两点之间，线段最短”求解的模型，再借助垂线段的性质和线段的性质求解．
【变式1】　（2024秋 延庆区期末）如图，点P是直线l外一点，点A，B，D在直线l上，PC⊥l于点C，在线段PA，PB，PC，PD中，最短的线段是 PC ，理由是 　垂线段最短　 ．
【答案】PC；垂线段最短
【分析】根据垂线段最短解答即可．
【解答】解：∵点A，B，D在直线l上，PC⊥l于点C，
∴在线段PA，PB，PC，PD中，最短的线段是PC，理由是垂线段最短．
故答案为：PC，垂线段最短．
【变式2】　（2023秋 建邺区校级期末）如图，河道l的一侧有A、B两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向A、B两村，下列四种方案中最节省材料的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
【解答】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：
故选：B．
【变式3】　（2024春 广平县期末）如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是（　　）
A．两点之间线段最短 B．点到直线的距离
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【答案】D
【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答．
【解答】解：要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是：垂线段最短，
故选：D．
【题型5】认识“三线八角”
　（2025春 新田县期末）如图，∠ABC的一边和∠DEF的一边相交于一点，下列说法错误的是（　　）
A．∠3和∠E是同位角 B．∠B和∠1是同旁内角
C．∠B和∠4是同位角 D．∠E和∠3是内错角
【答案】A
【分析】根据同位角，同旁内角以及内错角的定义进行判断．
【解答】解：A．∠3和∠E是内位角，选项说法错误，符合题意；
B．∠B和∠1是同旁内角，正确，不符合题意；
C．∠B和∠4是同位角，正确，不符合题意；
D．∠E和∠3是内错角，正确，不符合题意．
故选：A．
方法点拨 1．识别同位角、内错角、同旁内角时，先在图形上标出两个角的边，然后抽取图形，并观察图形属于“F”“Z”还是“U”形，进而根据所属的形状确定角的类型． 2．在“三线八角”图形中，由两角判别截线和被截线的方法是看角的两边的位置；共线的一边所在的直线为截线，另两边所在的直线为被截线． 3．这三种角讲的都是位置关系，而不是大小关系，通常情况下，大小是不确定的；同位角、内错角、同旁内角都是成对出现的，没有公共顶点，但有一条边共线，且在截线上，另一边分别在两条被截线上；两条直线被第三条直线截成的8个角中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．
【变式1】　（2025秋 思明区校级期末）如图，下列结论正确的是（　　）
A．∠4和∠5是同旁内角 B．∠3和∠2是对顶角
C．∠3和∠5是内错角 D．∠1和∠5是同位角
【答案】C
【分析】根据同旁内角，对顶角，内错角以及同位角的定义解答．
【解答】解：A、∠4和∠5是邻补角，不是同旁内角，故本选项错误．
B、∠3和（∠1+∠2）是对顶角，故本选项错误．
C、∠3和∠5是内错角，故本选项正确．
D、∠1和（∠1+∠2）是同位角，故本选项错误．
故选：C．
【变式2】　（2024 恩施市模拟）下列图中∠1，∠2不是同位角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据同位角的定义（在被截线同一侧，截线的同一方位的两个角互为同位角）解决此题．
【解答】解：A．由图可知，∠1，∠2是同位角，故A不符合题意．
B．由图可知，∠1，∠2是同位角，故B不符合题意．
C．由图可知，∠1，∠2是同位角，故C不符合题意．
D．由图可知，∠1，∠2不是同位角，故D符合题意．
故选：D．
【变式3】　（2023秋 邓州市期末）如图所示，∠1和∠2是（　　）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
【答案】C
【分析】根据同旁内角的定义和图形，可以判断∠1和∠2的关系，本题得以解决．
【解答】解：由图可知，
∠1和∠2是同旁内角，
故选：C．