(共17张PPT)
第二章 相交线与平行线
3 平行线的性质
第2课时 平行线的性质与判定的综合
A. 基础夯实
1. 如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝65°，则∠4的度数是（ B ）.
A. 110° B. 115° C. 120° D. 125°
第1题图
B
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2. 如图，点E在AD的延长线上，下列条件能判断AD∥BC的是（ B ）.
A. ∠1＝∠2 B. ∠3＝∠4
C. ∠A＝∠CDE D. ∠C＋∠ABC＝180°
第2题图
B
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3. （2025·深圳市高级中学模考）如图是杠杆受力示意图，G为竖直向下的
重力，F为竖直向下的拉力.若∠1＝100°，则∠2的度数是（ C ）.
A. 100° B. 90° C. 80° D. 60°
第3题图
C
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4. 如图，已知直线a⊥c，b⊥c，如果∠1＝70°，那么∠2的度数是
（ C ）.
A. 70° B. 100° C. 110° D. 120°
第4题图
C
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5. （2025·龙华区模考）学习小组利用平面镜的反射原理，将室外光线引入
光线不够充足的室内.如图，光线与平面镜AB成40°的角射入，经过平面镜
AB，CD反射后进入室内.若AB∥CD，则θ的度数是（ D ）.
A. 60° B. 50° C. 45° D. 40°
第5题图
D
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6. 如图，已知∠1＝∠2，∠3＝108°，则∠4＝ .
第6题图
72°
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7. 如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝49°，
则∠2的度数是 .
第7题图
41°
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8. 如图，a∥b，∠3＝65°，∠1＝∠2＋15°，则∠2＝ °.
第8题图
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B. 能力提升
9. 如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1的度数为
（ D ）.
A. 146° B. 142° C. 138° D. 134°
第9题图
D
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10. （2025·坪山区模考）随着科技的进步和人工智能技术的成熟，仿生机器
狗有望成为人们生活中的重要伙伴.如图所示，仿生机器狗平稳站立时，
AB∥CD，∠ABE＝135°，∠CDE＝145°，此时∠BED的度数为
（ C ）.
A. 70° B. 75° C. 80° D. 85°
第10题图
C
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证明：因为AF⊥CE（ ），
所以∠AOE＝90°（ ），所以∠A＋∠1＝90°（
）.
因为∠A＋∠2＝90°（已知），所以∠1＝∠2（ ）.
因为AB∥CD（已知），所以∠2＝∠ （
）.
所以∠1＝∠B（ ）.
所以FB∥CE（ ）.
11. （2025·福田区九校联考期中）阅读理解，补全证明过程及推理依据.
如图，点E，F分别在AB，CD上，AB∥CD，AF⊥CE于点O，∠A＋
∠2＝90°，求证：FB∥CE.
已知
垂直的定义
直角三
角形的两个锐角互余
同角的余角相等
B
两直线平行，内错角相
等
等量代换
同位角相等，两直线平行
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C. 拓展思维
12. 如图，已知AB∥CD.
（1）若∠B＝130°，∠D＝152°，求∠BED的度数.
解：过点E作EF∥AB，如图所示.
因为AB∥CD，
所以EF∥AB∥CD，
所以∠B＋∠BEF＝180°，∠D＋∠DEF＝180°.
因为∠B＝130°，∠D＝152°，
所以∠BEF＝180°－130°＝50°，∠DEF＝180°－152°＝28°.
所以∠BED＝∠BEF＋∠DEF＝50°＋28°＝78°.
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12. 如图，已知AB∥CD.
（2）请猜想∠B＋∠E＋∠D的度数，并说明理由.
解：∠B＋∠BED＋∠D＝360°.
理由如下：因为AB∥CD，
所以EF∥AB∥CD，
所以∠B＋∠BEF＝180°，∠D＋∠DEF＝180°.
因为∠BED＝∠BEF＋∠DEF，
所以∠B＋∠BED＋∠D＝（∠B＋∠BEF）＋（∠D＋
∠DEF）＝360°.
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参考答案
1. B 2.B 3.C 4.C 5.D 6.72° 7.41° 8.25
9. D
10.C
11. 已知 垂直的定义 直角三角形的两个锐角互余
同角的余角相等
B
两直线平行，内错角相等
等量代换 同位角相等，两直线平行
12. 解：（1）过点E作EF∥AB，如图所示.
因为AB∥CD，
所以EF∥AB∥CD，
所以∠B＋∠BEF＝180°，∠D＋∠DEF＝180°.
因为∠B＝130°，∠D＝152°，
所以∠BEF＝180°－130°＝50°，∠DEF＝180°－152°＝28°.
所以∠BED＝∠BEF＋∠DEF＝50°＋28°＝78°.
（2）∠B＋∠BED＋∠D＝360°.
理由如下：因为AB∥CD，
所以EF∥AB∥CD，
所以∠B＋∠BEF＝180°，∠D＋∠DEF＝180°.
因为∠BED＝∠BEF＋∠DEF，
所以∠B＋∠BED＋∠D＝（∠B＋∠BEF）＋（∠D＋∠DEF）＝
360°.(共19张PPT)
第二章 相交线与平行线
1 两条直线的位置关系
第2课时 垂直
A. 基础夯实
1. （2025·龙岗区期末）如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处
（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这一做法蕴含的数学原理是
（ D ）.
A. 两点之间，线段最短 B. 经过一点有无数条直线
C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短
D
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2. 下列说法正确的是（ D ）.
A. 过线段外一点不一定能作出它的垂线
B. 过直线m外一点A和直线m上一点B可画一条直线与m垂直
C. 只能过直线外一点画一条直线和这条直线垂直
D. 过任意一点均可作一条直线的垂线
D
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3. 利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作
正确的是（ C ）.
C
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4. 立定跳远是铜仁中考体育的选考项目，男子跳2.39米，女子跳1.86米可以
获得该项目满分，跳远成绩是测量上图中线段AB的长度.这种测量方式的依
据是（ D ）.
A. 两点确定一条直线
B. 两点之间线段最短
C. 两点之间的距离是两点之间线段的长度
D. 点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度
第4题图
D
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5. （2025·深圳外国语学校龙华学校期中）如图，A，B，C，D四点在直
线l上，点M在直线l外，MC⊥l，若MA＝5 cm，MB＝4 cm，MC＝2
cm，则点M到直线l的距离是（ A ）.
A. 2 cm B. 3 cm C. 4 cm D. 5 cm
第5题图
A
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6. 如图，直线AO⊥BO，CO⊥DO，若∠BOC＝121°，则∠AOD
＝ .
第6题图
59°
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7. 如图，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，AC
＝10 cm，那么点A到BC的距离为 .
第7题图
6 cm
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8. （2025·深圳市高级中学模考）如图，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助
平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置.已知法线OC⊥MN，反射光线AO
与水平线的夹角∠AOD＝54°，则平面镜MN与水平线BD的夹角∠DON的
大小为 °.（备注：入射角∠BOC等于反射角∠AOC）
第8题图
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B. 能力提升
9. 如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝4 cm，AC＝3 cm，AB
＝5 cm.
第9题图
（1）点B到AC的距离是 cm，点A到BC的距离是 cm；
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（2）画出表示点C到AB的垂线段CD，并求出CD的长；
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解：如图，CD即为所作.
因为S△ABC＝ BC·AC＝ AB·CD，
所以BC·AC＝AB·CD，
所以4×3＝5CD，
所以CD＝ cm.
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9. 如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝4 cm，AC＝3 cm，AB
＝5 cm.
（3）AC CD（填“＞”“＜”或“＝”），理由是 .
＞
垂线段最短
第9题图
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10. 如图，C是河岸AB外一点.
（1）过点C修一条与河岸AB平行的绿化带（绿化带用直线l表示），请画
图表示.
解：如图，过点C画一条平行于AB的直线l，则l为绿化带.
（2）现用水管从河岸AB将水引到C处，问：从河岸AB上
的何处开口，才能使所用的水管最短？画图表示，并说明设
计的理由.
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解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，从河岸AB上的点D处开口，才能使
所用的水管最短.
设计的理由是：垂线段最短.
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C. 拓展思维
11. 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，FO⊥CD.
（1）直接写出图中∠AOF的所有余角；
解：因为EO⊥AB，
所以∠EOA＝90°，所以∠AOF＋∠FOE＝90°.
因为FO⊥CD，
所以∠COF＝90°，
所以∠AOF＋∠AOC＝90°.
因为∠AOC＝∠BOD，
所以∠AOF＋∠BOD＝90°，
所以图中∠AOF的所有余角为∠AOC，∠FOE，∠BOD.
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11. 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，FO⊥CD.
（2）若∠BOD∶∠AOD＝1∶4，求∠EOF的度数.
解：因为∠BOD＋∠AOD＝180°，∠BOD∶∠AOD＝1∶4，
所以5∠BOD＝180°，所以∠BOD＝36°.
因为∠AOF＋∠BOD＝90°，∠AOF＋∠EOF＝90°，
所以∠EOF＝∠BOD＝36°.
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参考答案
1. D 2.D 3.C 4.D 5.A 6.59° 7.6 cm 8.27
9. 解： （1）4 3
（2）如图，CD即为所作.
因为S△ABC＝ BC·AC＝ AB·CD，
所以BC·AC＝AB·CD，
所以4×3＝5CD，
所以CD＝ cm.
（3）＞ 垂线段最短
10. 解：（1）如图，过点C画一条平行于AB的直线l，则l为绿化带.
（2）如图，过点C作CD⊥AB于点D，从河岸AB上的点D处开口，才能使
所用的水管最短.
设计的理由是：垂线段最短.
11. 解：（1）因为EO⊥AB，
所以∠EOA＝90°，
所以∠AOF＋∠FOE＝90°.
因为FO⊥CD，
所以∠COF＝90°，所以∠AOF＋∠AOC＝90°.
因为∠AOC＝∠BOD，
所以∠AOF＋∠BOD＝90°，
所以图中∠AOF的所有余角为∠AOC，∠FOE，∠BOD.
（2）因为∠BOD＋∠AOD＝180°，∠BOD∶∠AOD＝1∶4，
所以5∠BOD＝180°，所以∠BOD＝36°.
因为∠AOF＋∠BOD＝90°，∠AOF＋∠EOF＝90°，
所以∠EOF＝∠BOD＝36°.(共20张PPT)
第二章 相交线与平行线
章末复习
A. 基础夯实
1. 如图，∠1与∠2是对顶角的是（ C ）.
C
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2. 在下列图①～④中，∠1与∠2是同位角的有（ D ）.
A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③ D. ①③
第2题图
D
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3. 如图，直线a，b，c两两相交，∠1和∠2是一对（ C ）.
A. 同位角 B. 内错角
C. 同旁内角 D. 对顶角
第3题图
C
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4. 如图，某村庄在灌溉时要把河水引到农田A处，为保证渠道最短，挖渠的
位置这样确定：过点A向河岸l作垂线，垂足为B，则AB就是所要挖的渠
道，理由是（ D ）.
A. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B. 两条直线相交有且只有一个交点
C. 过一点可以作无数条直线
D. 垂线段最短
D
第4题图
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5. 如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则下列
说法不正确的是（ B ）.
A. 线段AC的长是点A到BC的距离
B. 线段AD的长是点C到AB的距离
C. 线段BC的长是点B到AC的距离
D. 线段BD的长是点B到CD的距离
B
第5题图
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6. 如图，在四边形ABCD中，连接AC，下列判断正确的是（ D ）.
A. 若∠BAC＝∠ACD，则AD∥BC
B. 若AB∥CD，则∠CAD＝∠ACB
C. 若∠BAD＋∠BCD＝180°，则AD∥BC
D. 若∠BAD＝∠DCB，∠B＝∠D，则AB∥CD
第6题图
D
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7. 将一个直角三角板和一把直尺按如图所示方式摆放（60°角的顶点在直尺
的边上），若∠1＝54°，则∠2＝（ A ）.
A. 144° B. 154° C. 134° D. 126°
第7题图
A
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8. （2025·深圳外国语学校期末）图1为我国高铁座位的实物图，图2是它的
简易图，座位AD和座椅靠背AE的夹角∠DAE＝100°，小桌板BC与座位
AD平行，小桌板支撑杆AB与桌面BC的夹角∠ABC＝125°，则座椅靠背
AE与小桌板支撑杆AB形成的夹角∠EAB的度数是（ A ）.
A. 25° B. 20° C. 15° D. 10°
第8题图
A
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B. 能力提升
9. 请完成下面的证明过程.
已知：∠A＝∠CDF，∠B＋∠CDE＝180°，求证：∠1＝∠2.
证明：因为∠A＝∠CDF，所以AB∥CD（①
）.
所以∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等）.
又因为∠B＋∠CDE＝180°，所以② ＋∠CDE＝180°.
所以③ （同旁内角互补，两直线平行）
所以∠BFD＝∠2（④ ）.
因为∠BFD＝∠1（⑤ ），
所以∠1＝∠2（等式的基本性质）.
内错角相等，两直线平
行
∠C
CB∥DE
两直线平行，同位角相等
对顶角相等
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C. 拓展思维
10. 光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，当光线经过镜面反射
时，入射光线与镜面的夹角、反射光线与镜面的夹角对应相等（如图1，∠1
＝∠2）.小明同学用了两块镜子AB和BC形成一个镜子组合体（如图2），
镜子AB与BC之间的角度为∠ABC. 他发现改变∠ABC的大小，入射光线
和反射光线位置关系会发生改变.
（1）小明发现当∠ABC＝90°时，入射光线DE与反射光线FG是平行的，
请说明理由；
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解：理由：如题图2，
因为∠ABC＝90°，
所以∠2＋∠3＝90°.
因为∠1＝∠2，∠3＝∠4，
所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°.
因为∠1＋∠2＋∠DEF＝∠3＋∠4＋∠EFG＝180°，
所以∠DEF＋∠EFG＝360°－∠1－∠2－∠3－∠4＝180°，
所以DE∥FG.
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10. 光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，当光线经过镜面反射
时，入射光线与镜面的夹角、反射光线与镜面的夹角对应相等（如图1，∠1
＝∠2）.小明同学用了两块镜子AB和BC形成一个镜子组合体（如图2），
镜子AB与BC之间的角度为∠ABC. 他发现改变∠ABC的大小，入射光线
和反射光线位置关系会发生改变.
（2）小明继续改变∠ABC的大小，当∠ABC＝100°时（如图3），求此时
入射光线DE与反射光线FG形成的夹角∠EHF的大小；
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解：如题图3，因为∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2＋∠3＝180°－∠ABC＝
180°－100°＝80°，
又因为∠HEB＝∠1，∠HFB＝∠4，
所以∠HEB＋∠HFB＝∠1＋∠4＝∠2＋∠3＝80°，
所以∠EHF＝180°－∠HEB－∠2－∠HFB－∠3＝20°.
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10. 光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，当光线经过镜面反射
时，入射光线与镜面的夹角、反射光线与镜面的夹角对应相等（如图1，∠1
＝∠2）.小明同学用了两块镜子AB和BC形成一个镜子组合体（如图2），
镜子AB与BC之间的角度为∠ABC. 他发现改变∠ABC的大小，入射光线
和反射光线位置关系会发生改变.
（3）小明拿来了一块新的镜子CM和前面两块镜子AB和BC组成一个新的
镜子组合体（如图4），其中∠ABC＝135°，入射光线DE从镜面AB开始
反射，经过3次反射后，反射光线为NG，小颖发现当入射光线与镜面的夹角
∠AED和镜子BC与CM形成的角∠BCM满足一定数量关系时，入射光线和
反射光线始终平行（即DE∥NG），设∠AED＝x，∠BCM＝y，请你直
接写出此时x和y之间满足的关系式.
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解：如图，过点F作FP∥ED，
因为DE∥NG，
所以DE∥PF∥NG.
因为∠BEF＝∠AED，∠BFE＝∠CFN，∠ABC＝135°，
所以∠BEF＋∠BFE＝∠AED＋∠CFN＝180°－∠ABC＝45°，
所以∠CFN＝45°－x，∠DEF＋∠EFN＝360°－45°－45°＝270°.
因为FP∥DE，
所以∠DEF＋∠EFP＝180°，
所以∠PFN＝270°－180°＝90°.
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因为PF∥NG，
所以∠FNG＝180°－90°＝90°.
所以∠FNC＝∠GNM＝ ×（180°－90°）＝45°.
因为∠CFN＋∠BCN＋∠CNF＝180°，
所以45°－x＋y＋45°＝180°，所以y＝x＋90°.
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参考答案
1. C 2.D 3.C 4.D 5.B 6.D 7.A 8.A
9. 内错角相等，两直线平行 ∠C CB∥DE 两直线平行，同位角相等
对顶角相等
10. 解：（1）理由：如题图2，
因为∠ABC＝90°，
所以∠2＋∠3＝90°.
因为∠1＝∠2，∠3＝∠4，
所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°.
因为∠1＋∠2＋∠DEF＝∠3＋∠4＋∠EFG＝180°，
所以∠DEF＋∠EFG＝360°－∠1－∠2－∠3－∠4＝180°，
所以DE∥FG.
（2）如题图3，因为∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2＋∠3＝180°－∠ABC＝
180°－100°＝80°，
又因为∠HEB＝∠1，∠HFB＝∠4，
所以∠HEB＋∠HFB＝∠1＋∠4＝∠2＋∠3＝80°，
所以∠EHF＝180°－∠HEB－∠2－∠HFB－∠3＝20°.
（3）如图，过点F作FP∥ED，
因为DE∥NG，
所以DE∥PF∥NG.
因为∠BEF＝∠AED，∠BFE＝∠CFN，∠ABC＝135°，
所以∠BEF＋∠BFE＝∠AED＋∠CFN＝180°－∠ABC＝45°，
所以∠CFN＝45°－x，∠DEF＋∠EFN＝360°－45°－45°＝270°.
因为FP∥DE，
所以∠DEF＋∠EFP＝180°，
所以∠PFN＝270°－180°＝90°.
因为PF∥NG，
所以∠FNG＝180°－90°＝90°.
所以∠FNC＝∠GNM＝ ×（180°－90°）＝45°.
因为∠CFN＋∠BCN＋∠CNF＝180°，
所以45°－x＋y＋45°＝180°，
所以y＝x＋90°.(共15张PPT)
第二章 相交线与平行线
2 探索直线平行的条件
第1课时 利用同位角判定两条直线平行
A. 基础夯实
1. 图中，∠1与∠2是同位角的有（ C ）.
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2. 如图，下列各角中，与∠1是同位角的是（ D ）.
A. ∠2 B. ∠3 C. ∠4 D. ∠5
第2题图
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3. 如图，画平行线的操作中，最直接依据的基本事实是（ B ）.
A. 内错角相等，两直线平行 B. 同位角相等，两直线平行
C. 两直线平行，内错角相等 D. 两直线平行，同位角相等
第3题图
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4. 同一平面内有四条直线a，b，c，d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则c，
d的位置关系为（ B ）.
A. 互相垂直 B. 互相平行
C. 相交 D. 没有确定关系
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5. 下列说法中，正确的有（ B ）.
①垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离.
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
B
1
2
3
4
5
6
7
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9
10
11
12
6. 如图，已知∠1＝70°，要使AB∥CD，则∠2的度数为（ B ）.
A. 140° B. 70° C. 110° D. 35°
第6题图
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7. 如图，木条a，b，c通过如图方式钉在一起，∠1＝75°，∠2＝43°，
要使木条a与b平行，木条a需要按箭头所示的方向旋转的度数至少是
（ A ）.
A. 32° B. 33° C. 43° D. 75°
第7题图
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8. 下列图形，不．能．得到AB∥CD的是（ A ）.
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B. 能力提升
9. 如图，∠1＝120°，要使AB∥CD，则需∠2＝ °.
60
1
2
3
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5
6
7
8
9
10
11
12
10. 如图，直线AB与CD被EF所截，∠1＝∠2，求证：AB∥CD.
证明：因为∠2＝∠3（对顶角相等），
又因为∠1＝∠2（已知），
所以∠1＝∠3，
所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）.
1
2
3
4
5
6
7
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9
10
11
12
11. 如图，AB与CD相交于点O，OA平分∠DOE，∠B＝∠BOC，CB和
EO平行吗？为什么？
解：平行.理由：因为OA平分∠DOE，
所以∠AOE＝∠AOD.
因为∠AOD＝∠BOC，
所以∠AOE＝∠BOC.
又因为∠B＝∠BOC，
所以∠AOE＝∠B，
所以CB∥EO.
1
2
3
4
5
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7
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11
12
C. 拓展思维
12. 如图，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF
＝∠F，试说明：CE∥DF. 请完成下面的解题过程.
解：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB（已知），
∴∠DBC＝ ∠ ，∠ECB＝ ∠ （角平分线的定义）.
又∵∠ABC＝∠ACB（已知），
∴∠ ＝∠ .
又∵∠F＝∠DBF（已知），
∴∠F＝∠ ，
∴CE∥DF（ ）.
ABC
ACB
DBC
ECB
ECB
同位角相等，两直线平行
1
2
3
4
5
6
7
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9
10
11
12
参考答案
1. C 2.D 3.B 4.B 5.B 6.B 7.A 8.A 9.60
10. 证明：因为∠2＝∠3（对顶角相等），
又因为∠1＝∠2（已知），
所以∠1＝∠3，
所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）.
11. 解：平行.理由：因为OA平分∠DOE，
所以∠AOE＝∠AOD.
因为∠AOD＝∠BOC，
所以∠AOE＝∠BOC.
又因为∠B＝∠BOC，
所以∠AOE＝∠B，
所以CB∥EO.
12. ABC ACB DBC ECB ECB 同位角相等，两直线平行(共18张PPT)
第二章 相交线与平行线
3 平行线的性质
第1课时 平行线的性质
A. 基础夯实
1. （2025·坪山区期末）小明在坪山区中心公园沿着一条小路散步，小明两
次拐弯后方向与原来相同，已知第一次拐的角∠CBD＝15°，第二次拐的角
∠FDE是（ B ）.
A. 30° B. 15° C. 165° D. 35°
第1题图
B
1
2
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4
5
6
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8
9
10
11
12
2. 如图，AB∥CD，∠1＝70°，则∠2的度数为（ B ）.
A. 20° B. 110° C. 70° D. 80°
第2题图
B
1
2
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4
5
6
7
8
9
10
11
12
3. 以下说法错误的是（ B ）.
A. 两直线平行，内错角相等
B. 两直线平行，同旁内角相等
C. 两直线平行，同位角相等
D. 平行于同一直线的两条直线平行
B
1
2
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4
5
6
7
8
9
10
11
12
4. 如图，已知直线a∥b，直线AC分别与直线a，b交于点B，C，
CD⊥AC交直线a于点D. 若∠1＝45°，则∠2的度数为（ A ）.
A. 45° B. 30° C. 60° D. 75°
第4题图
A
1
2
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5
6
7
8
9
10
11
12
5. 如图，纸片的边缘AB，CD互相平行，将纸片沿EF折叠，使得点B，D
分别落在点B'，D'处.若∠1＝80°，则∠2的度数是（ A ）.
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
第5题图
A
1
2
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4
5
6
7
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10
11
12
6. （2025·宝安区模考）一个含45°角和另一个含30°角的直角三角形，按
如图所示叠放，若AB∥CD，则∠ACE的度数为（ C ）.
A. 60° B. 70° C. 75° D. 80°
第6题图
C
1
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9
10
11
12
7. 如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下
方所成的角∠1＝72°，则光线与纸板左上方所成的角∠2的度数是 .
第7题图
72°
1
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4
5
6
7
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9
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12
8. （2025·惠州模考）物理课上，小军手持一激光笔射入水中，如图，水面
与水杯下沿平行，光线从空气射入水中，发生折射，若∠1＝60°，∠ABO
＝140°，则∠2的度数是 .
第8题图
20°
1
2
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4
5
6
7
8
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11
12
B. 能力提升
9. （2025·深圳）如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经平面镜后
反射入眼，若CB∥OA，∠CBO＝122°，∠BON＝90°，则入射角
∠AON的度数为（ B ）.
A. 22° B. 32° C. 35° D. 122°
第9题图
B
1
2
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4
5
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11
12
10. （2025·深圳湾学校期中）如图，点C为线段AB上的一点，点D为线段
AB外的一点，连接CD，CE平分∠DCB.
（1）尺规作图：过点A作AM∥CE，交射线CD于点M（要求：不写作
法，保留作图痕迹）；
解：如图所示，即为所求作的图形；
1
2
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11
12
10. （2025·深圳湾学校期中）如图，点C为线段AB上的一点，点D为线段
AB外的一点，连接CD，CE平分∠DCB.
（2）在（1）的条件下，若∠BCD＝50°，求∠AMD的度数.
解：因为CE平分∠BCD，
所以∠MCE＝ ∠BCD＝ ×50°＝25°.
因为∠CAM＝∠BCE，
所以AM∥CE，
所以∠AMC＝∠MCE＝25°，
所以∠AMD＝180°－∠AMC＝180°－25°＝155°.
1
2
3
4
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7
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12
11. 完成下面的证明过程.
如图，∠AFE＋∠CBE＝180°，∠A＝∠C. 求证：∠E＝∠ABE.
证明：由图可知∠AFE＝∠BFD（ ）.
因为∠AFE＋∠CBE＝180°，
所以∠BFD＋∠CBE＝180°，
所以AD∥BC（ ）.
所以∠EDA＝ （ ）.
因为∠A＝∠C，
所以∠A＝ .
所以AB∥CE（ ）.
所以∠E＝∠ABE.
对顶角相等
同旁内角互补，两直线平行
∠C
两直线平行，同位角相等
∠EDA
内错角相等，两直线平行
1
2
3
4
5
6
7
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11
12
C. 拓展思维
12. 已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图形回答下
列问题：
（1）如图1，AB∥CD，BE∥DF，直接写出∠1与∠2的关系：
.
∠1＝
∠2
（2）如图2，AB∥CD，BE∥DF，
猜想∠1与∠2的关系，并说明理由.
1
2
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6
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12
解：∠1＋∠2＝180°，理由如下：
因为BA∥DC，
所以∠1＝∠3.
因为BE∥FD，
所以∠2＋∠3＝180°，
所以∠1＋∠2＝180°.
1
2
3
4
5
6
7
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9
10
11
12
12. 已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图形回答下
列问题：
（3）由（1）（2），我们可以得出结论：一个角的两边与另一个角的两边
分别平行，那么这两个角 .
相等或互补
1
2
3
4
5
6
7
8
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10
11
12
10. 解：（1）如图所示，即为所求作的图形；
（2）因为CE平分∠BCD，
所以∠MCE＝ ∠BCD＝ ×50°＝25°.
因为∠CAM＝∠BCE，
所以AM∥CE，
所以∠AMC＝∠MCE＝25°，
所以∠AMD＝180°－∠AMC＝180°－25°＝155°.
11. 对顶角相等 同旁内角互补，两直线平行 ∠C 两直线平行，同位角
相等 ∠EDA 内错角相等，两直线平行
1. B 2.B 3.B 4.A 5.A 6.C 7.72° 8.20° 9.B
参考答案
12. 解：（1）∠1＝∠2
（2）∠1＋∠2＝180°，理由如下：
因为BA∥DC，
所以∠1＝∠3.
因为BE∥FD，
所以∠2＋∠3＝180°，
所以∠1＋∠2＝180°.
（3）相等或互补(共14张PPT)
第二章 相交线与平行线
1 两条直线的位置关系
第1课时 对顶角、补角和余角
A. 基础夯实
1. 下列选项中，∠1和∠2是对顶角的是（ D ）.
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2. （2025·广州期末） 下列日常使用的工具或学具中，没有应用到对顶角及
其相关知识的是（ D ）.
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3. 如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若∠AOB＋
∠COD＝76°，则∠AOB＝（ B ）.
A. 36° B. 38° C. 52° D. 46°
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4. 下列说法：①相等的角是对顶角；②同角的余角相等；③在同一平面内，
不重合的两条直线的位置关系有平行和垂直两种；④两点之间线段最短.其
中正确的有（ B ）.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第4题图
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5. 如图，∠ACB＝90°，∠1＝∠B，∠2＝∠A，则下列说法错误的是
（ A ）.
A. ∠A与∠B不互为余角 B. ∠1与∠2互为余角
C. ∠2与∠B互为余角 D. ∠1与∠A互为余角
第5题图
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
6. 直尺和三角尺按如图所示的方式叠放在一起，在图中所标记的角中，与
∠1互余的角的个数是（ B ）.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7. 已知∠α＝27°32'，则∠α的余角的度数是 ，它的补角的度数
是 .
8. （2025·深圳湾学校期中）如果一个角的补角是它的余角的3倍，那么这个
角的度数是 .
B
62°28'
152°28'
45°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B. 能力提升
9. 如图，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则∠1，∠2，∠3
三个角的数量关系为（ A ）.
A. ∠1＋∠2＋∠3＝90° B. ∠1＋∠2－∠3＝90°
C. ∠1－∠2＋∠3＝90° D. ∠1＋2∠2－∠3＝90°
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
10. 在同一平面内的三条直线产生的交点个数可能是（ D ）.
A. 1个或3个 B. 0个或2个
C. 1个或2个或3个 D. 0个或1个或2个或3个
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分.
（1）直接写出图中∠AOC的对顶角为 ，∠BOE的邻补角
为 ；
∠BOD
∠AOE
（2）若∠AOC＝70°，OE平分∠BOD，求∠BOE的度数.
解：因为∠AOC＝70°，
所以∠BOD＝∠AOC＝70°，
因为OE平分∠BOD，
所以∠BOE＝ ∠BOD＝35°.
1
2
3
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5
6
7
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12
C. 拓展思维
12. 如图，直线AB，CD，OE相交于点O，∠3－∠2＝63°.
（1）求∠COE的度数；
解：因为∠3＝∠BOC，∠BOC＝∠COE＋∠2，
所以∠3＝∠COE＋∠2.
因为∠3－∠2＝63°，
所以∠COE＝∠3－∠2＝63°.
1
2
3
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5
6
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9
10
11
12
12. 如图，直线AB，CD，OE相交于点O，∠3－∠2＝63°.
（2）若∠1＝∠2，求∠3的度数.
解：由（1）知∠COE＝63°，
因为∠1＝∠2，
所以∠1＝∠2＝ ＝58.5°，
所以∠3＝180°－∠1＝121.5°.
1
2
3
4
5
6
7
8
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11
12
参考答案
1. D 2.D 3.B 4.B 5.A 6.B 7.62°28' 152°28'
8.45°
9.A
10.D
11. 解：（1）∠BOD ∠AOE
（2）因为∠AOC＝70°，
所以∠BOD＝∠AOC＝70°，
因为OE平分∠BOD，
所以∠BOE＝ ∠BOD＝35°.
12. 解：（1）因为∠3＝∠BOC，∠BOC＝∠COE＋∠2，
所以∠3＝∠COE＋∠2.
因为∠3－∠2＝63°，
所以∠COE＝∠3－∠2＝63°.
（2）由（1）知∠COE＝63°，
因为∠1＝∠2，
所以∠1＝∠2＝ ＝58.5°，
所以∠3＝180°－∠1＝121.5°.(共14张PPT)
第二章 相交线与平行线
2 探索直线平行的条件
第2课时 利用内错角、同旁内
角判定两条直线平行
A. 基础夯实
1. 若∠1与∠2是内错角，则∠1与∠2（ C ）.
A. 不可能互余 B. 一定相等
C. 可能互补 D. 一定互余
2. 下列四个选项中，∠1与∠2是内错角的是（ B ）.
C
B
1
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3
4
5
6
7
8
9
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11
12
3. 如图，已知直线a，b被直线c所截，下列属于同旁内角的是（ D ）.
A. ∠1和∠4 B. ∠3和∠5
C. ∠2和∠3 D. ∠1和∠3
第3题图
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4. 两条直线被第三条直线所截，形成了“三线八角”，为了便于记忆，同学
们可用双手表示“三线八角”（两大拇指代表被截直线，食指代表截线），
如图三幅图依次表示（ A ）.
A. 同位角、内错角、同旁内角 B. 内错角、同旁内角、同位角
C. 同位角、对顶角、同旁内角 D. 同位角、内错角、对顶角
第4题图
A
1
2
3
4
5
6
7
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10
11
12
5. （2025·深圳市模考）如图所示，下列条件中能说明a∥b的是（ B ）.
A. ∠1＝∠2 B. ∠3＝∠4
C. ∠2＋∠4＝180° D. ∠1＋∠4＝180°
第5题图
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
6. 下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是（ B ）.
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7. 嘉嘉将一副直角三角板按如图所示摆放，∠C＝45°，∠D＝30°，测量
∠ABD＝15°，下列判断错．误．的是（ A ）.
A. EB∥AC B. ∠CBD＝30°
C. ED∥BC D. ∠EAC＝135°
第7题图
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8. 我们可以用如图所示方法过直线a外的一点P折出直线a的平行线b.①同
位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两
直线平行；④平行于同一条直线的两条直线互相平行.以上判定能作为这种
方法依据的有 .
第8题图
①②③
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B. 能力提升
9. 工人师傅对如图所示的零件进行加工，把材料弯成了一个34°的锐角，然
后准备在A处进行第二次加工拐弯，要保证弯过来的部分与BC保持平行，
弯的角度是 .
第9题图
34°或146°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
10. 如图，光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气射向
水中时，要发生折射.由于折射率相同，所以在空气中平行的光线，在水中
也是平行的.若∠1＝56°，∠2＝112°，则∠3的大小为 °.
第10题图
68
1
2
3
4
5
6
7
8
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11. 如图，已知∠A＝∠D，∠B＝∠FCB，求证：ED∥CF.
证明：因为∠A＝∠D，
所以AB∥DE.
又因为∠B＝∠FCB，
所以AB∥CF，
所以ED∥CF.
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C. 拓展思维
12. 如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∠DBE＋∠BDE＝90°.
求证：AB∥CD.
证明：因为BE平分∠ABD，
所以∠ABD＝2∠DBE.
因为DE平分∠BDC，
所以∠BDC＝2∠BDE，
所以∠ABD＋∠BDC＝2（∠DBE＋∠BDE）.
因为∠DBE＋∠BDE＝90°，
所以∠ABD＋∠BDC＝180°，
所以AB∥CD.
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参考答案
1. C 2.B 3.D 4.A 5.B 6.B 7.A 8.①②③
9.34°或146°
10.68
11. 证明：因为∠A＝∠D，
所以AB∥DE.
又因为∠B＝∠FCB，
所以AB∥CF，
所以ED∥CF.
12. 证明：因为BE平分∠ABD，
所以∠ABD＝2∠DBE.
因为DE平分∠BDC，
所以∠BDC＝2∠BDE，
所以∠ABD＋∠BDC＝2（∠DBE＋∠BDE）.
因为∠DBE＋∠BDE＝90°，
所以∠ABD＋∠BDC＝180°，
所以AB∥CD.
