(共16张PPT)
第六章 变量之间的关系
3 用关系式表示变量之间的关系
A. 基础夯实
1. 在平整的路面上，汽车紧急刹车后仍要向前滑行一定的距离.某款汽车紧
急刹车后滑行的距离s（单位：m）大致满足s＝ ，其中v（单位：
km/h）表示刹车前汽车的速度.这个关系式中的自变量和因变量分别是
（ D ）.
A. 300；s B. s；300 C. s；v D. v；s
D
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2. 若购买水性笔10支，花费20元，用y（元）表示购买水性笔的花费，x
（支）表示水性笔的支数，那么y与x之间的关系式是（ D ）.
A. y＝10x B. y＝20x
D. y＝2x
D
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3. （2025·龙华区期末）运动生理学实验发现，跳绳所消耗的卡路里（Cal）
＝0.002 4×体重（kg）×跳绳次数，一名体重50 kg的学生跳绳x次，他所消
耗的卡路里y（单位：Cal）与x（单位：次）之间的关系式为
.
4. 小明将一根长为20 cm的铁丝制作成一个长方形，则这个长方形的长y
（cm）与宽x（cm）之间的数量关系为（ D ）.
A. y＝x＋5 B. y＝－x＋5
C. y＝－x＋20 D. y＝－x＋10
y＝0.12x
D
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5. 已知一块长为5 m、宽为2 m的长方形木板，现要在长边上截去长为x m的
一部分（如图），则剩余木板的面积y（m2）与x（m）的关系式为（其中
0≤x＜5）（ C ）.
A. y＝2x B. y＝5x
C. y＝10－2x D. y＝10－x
C
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6. 4月19日，2025北京亦庄半程马拉松暨人形机器人半程马拉松开赛，这场
赛事吸引了多家企业和高校自研团队的参与，成为人工智能与机器人领域的
焦点.机器人爱好者小刚同学为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机
器人的搬运时间x（h）和搬运货物的质量y（kg）记录如下表：
搬运时间x（h） 1 2 3 4 …
搬运货物的质量y（kg） 60 120 180 240 …
则y与x之间的关系式为 .
y＝60x
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7. 在关系式y＝3x＋4中，当自变量x＝7时，因变量y的值为（ C ）.
A. 1 B. 7 C. 25 D. 31
8. 如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，AC＝
10，P是线段AC上的一个动点，当点P从点A向点C运动时，运动到点C停
止，设AP＝x，△PBA的面积为y，则y与x之间的关系式为 .
C
y＝ x
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B. 能力提升
9. 从A地向B地打长途，不超过3分钟，收费2.4元，以后每超过一分钟加收
一元（不足1分钟按1分钟计），若通话时间t分钟（t≥3），则付话费y
（元）与t（分钟）之间的关系式是（ C ）.
A. y＝2.4＋3t（t≥3） B. y＝2.4t＋3（t≥3）
C. y＝t－0.6（t≥3） D. y＝t＋0.6（t≥3）
C
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10. （2024春·深圳校级期中）自变量x与因变量y的关系如图，当x每增加1
时，y增加 .
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11. 将一定体积的水分别注入不同的圆柱形容器里，容器内部的底面积与水
的高度之间的关系如下表所示.
容器内部的底面积/cm2 10 20 30 50 60 …
水的高度/cm 18 9 6 3.6 3 …
（1）注入容器的水的体积是多少立方厘米？
解：10×18＝180（cm3）.
答：注入容器的水的体积是180 cm3.
（2）水的高度是怎样随着容器内部底面积的变化而变化的？
解：由表格可知，水的高度随着容器内部底面积的增大而降低.
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C. 拓展思维
12. 某烤鸡店在确定烤制时间时主要依据的是鸡的质量，且每烤制0.5 kg的
鸡需20 min，还要再加20 min用于其他工序，用表格表示如下：
鸡的质量/kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
烤制时间/min 40 60 80 100 120 140 160 180
（1）由表格可以直接看出鸡的质量和需要的烤制时间，如烤制2.5 kg的鸡需
要的时间为 ；
120 min
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12. 某烤鸡店在确定烤制时间时主要依据的是鸡的质量，且每烤制0.5 kg的
鸡需20 min，还要再加20 min用于其他工序，用表格表示如下：
鸡的质量/kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
烤制时间/min 40 60 80 100 120 140 160 180
（2）设鸡的质量为x（kg），烤制时间为y（min），则根据表格可以得到y
与x之间的关系式为 ，若要烤制4.5 kg的鸡，则需要的时间
是 ；
y＝40x＋20
200 min
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解析：60－40＝20（min），y＝（x÷0.5）×（40－20）＋20，
即y＝40x＋20；y＝40×4.5＋20＝200（min）.
故答案为y＝40x＋20；200 min.
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12. 某烤鸡店在确定烤制时间时主要依据的是鸡的质量，且每烤制0.5 kg的
鸡需20 min，还要再加20 min用于其他工序，用表格表示如下：
鸡的质量/kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
烤制时间/min 40 60 80 100 120 140 160 180
（3）若烤制的时间是150 min，那么烤制的鸡的质量是多少？
解：150＝40x＋20，解得x＝3.25.
答：烤制的鸡的质量是3.25 kg.
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参考答案
1. D 2.D 3.y＝0.12x 4.D 5.C 6.y＝60x 7.C
8. y＝ x
9.C
10.5
11. 解：（1）10×18＝180（cm3）.
答：注入容器的水的体积是180 cm3.
（2）由表格可知，水的高度随着容器内部底面积的增大而降低.
12. 解：（1）120 min
（2）y＝40x＋20 200 min 解析：60－40＝20（min），y＝（x÷0.5）
×（40－20）＋20，即y＝40x＋20；y＝40×4.5＋20＝200（min）.
故答案为y＝40x＋20；200 min.
（3）150＝40x＋20，解得x＝3.25.
答：烤制的鸡的质量是3.25 kg.(共14张PPT)
第六章 变量之间的关系
4 用图象表示变量之间的关系
第1课时 曲线型图象
A. 基础夯实
1. 某公司某年产量变化如图所示，下列说法正确的是（ B ）.
A. 1～5月产量逐渐下降 B. 1～9月每月生产量不断增加
C. 1月份产量最大 D. 1～9月月产量有增加有减少
第1题图
B
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2. 如图，图象记录了某地12月份某天的温度与时间变化情况，则下列说法错
误的是（ C ）.
A. 时间是自变量，温度是因变量
B. 14时，这天的温度最高，是2 ℃
C. 温度为－1 ℃时，时间大约是10时
D. 4时～14时，温度呈上升趋势
第2题图
C
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3. 北京冬奥会开幕式以“二十四节气”为主题的短片惊艳了世界.下图是某
年部分节气对应的白昼时长示意图（白昼时长＝（12－日出时刻）×2＝
（日落时刻－12）×2），下列结论中正确的是（ C ）.
A. 立夏这天的日出时间是5：30
B. 白昼时长在12－15小时的有10天
C. 立冬这天的日落时间是17：00
D. 小满时白昼时间最长
C
第3题图
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4. （2025·南山区期末）茶文化是中国对茶认识的一种具体表现，其内涵与
茶具设计之间存在着密不可分的联系.如图，向茶杯中匀速注水，下列哪幅
图象能较好刻画出茶杯中水面高度的变化情况（ B ）.
B
第4题图
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B. 能力提升
5. （2025·佛山市期末）下面四幅图象均表示变量之间的关系.按图象从左到
右的顺序，选择与之相近的情境，正确的顺序是（ B ）.
B
①篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系
②小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果数量的关系
③一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系
④周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，
小明离家的距离与时间的关系
A. ①②④③ B. ①③④②
C. ④③①② D. ④②①③
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6. （2025·南山区期末）如果不复习，学习过的知识会随时间的推移而逐渐
被遗忘.德国心理学家艾宾浩斯最早研究了记忆遗忘规律，他根据自己得到
的测试数据描绘了一条曲线（如图所示），这就是艾宾浩斯遗忘曲线.观察
图象，回答下列问题：
（1）自变量是 ，因变量是 ；
学习后的时间
记忆留存率
（2）由图象知，遗忘速度先 后 ，
记忆留存率随学习后时间的增长而逐渐 ；
快
慢
降低
（3）请说明图中点B的实际意义；
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解：结合图象可知，图中点B表示的意义是学习1小时后记忆留存率约为
44.2％.
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6. （2025·南山区期末）如果不复习，学习过的知识会随时间的推移而逐渐
被遗忘.德国心理学家艾宾浩斯最早研究了记忆遗忘规律，他根据自己得到
的测试数据描绘了一条曲线（如图所示），这就是艾宾浩斯遗忘曲线.观察
图象，回答下列问题：
（4）有研究表明，如及时复习，经过一天记忆能保
持98％.由此，你对数学学习有什么感悟？
解：如不复习，会很快忘掉很多，只能保持大约30％；老师要求学生“堂
清”“日清”，提示我们学习后要及时复习.（答案不唯一）.
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C. 拓展思维
7. 游乐场里的数学：
【问题情境】海盗船是游乐场非常受欢迎的项目之一，数学兴趣小组的同学
在游乐场游玩时对海盗船进行了实地调研.如图1所
示，海盗船摆臂的长度为12米，其最大摆角为60°
（即船体由静止状态摆动到最高点时摆动的角度）.
【问题探究】小组成员使用手机测距和计时功能，
记录了海盗船静止时最低点摆动到不同位置距地面的高度h（单位：m）以及所用的时间t（单位：s）的数据，并将这些数据绘制成图2.
请根据图2中的信息回答问题：
（1）在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；
（2）该点最高时距地面 m，最低时距地面 m；
t
h
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7. 游乐场里的数学：
【问题情境】海盗船是游乐场非常受欢迎的项目之一，数学兴趣小组的同学
在游乐场游玩时对海盗船进行了实地调研.如图1所示，海盗船摆臂的长度为
12米，其最大摆角为60°（即船体由静止状态摆动到最高点时摆动的角
度）.
【问题解决】
（3）该点按图2摆动的规律摆动2分钟，经过的总路程是多少米？（结果保
留π）
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解：因为海盗船摆臂的长度为12米，
该点所在的圆的周长为2π×12＝24π（m），
因为其最大摆角为60°，
所以该点单次摆动路程为 ×24π＝4π（m），
即该点一个周期摆动8π m，
由题图2可知一个周期为8 s，
所以2分钟即120 s共摆动 ＝15（个）周期，
所以该点按题图2摆动的规律摆动2分钟，经过的总路程是8π×15＝120π（m）.
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参考答案
1. B 2.C 3.C 4.B 5.B
6. 解：（1）学习后的时间 记忆留存率
（2）快 慢 降低
（3）结合图象可知，图中点B表示的意义是学习1小时后记忆留存率约为
44.2％.
（4）如不复习，会很快忘掉很多，只能保持大约30％；老师要求学生“堂
清”“日清”，提示我们学习后要及时复习.（答案不唯一）.
7. 解：（1）t h
（2）8 2
（3）因为海盗船摆臂的长度为12米，
该点所在的圆的周长为2π×12＝24π（m），
因为其最大摆角为60°，
所以该点单次摆动路程为 ×24π＝4π（m），
即该点一个周期摆动8π m，
由题图2可知一个周期为8 s，
所以2分钟即120 s共摆动 ＝15（个）周期，
所以该点按题图2摆动的规律摆动2分钟，经过的总路程是8π×15＝120π
（m）.(共18张PPT)
第六章 变量之间的关系
章末复习
A. 基础夯实
1. 某辆汽车从甲地开往相距80 km的乙地，设行驶速度为v km/h，行驶时间
为t h，在这个变化过程中，常量（ A ）.
A. 只有80 B. 只有v
C. 只有t D. 只有v和80
A
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2. 弹簧挂上物体后会伸长，已知在弹性限度内，一弹簧的长度与所挂物体的
质量之间的关系如表：
物体的质量/kg 0 1 2 3 4 5 … 10
弹簧的长度/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5 … 17
根据表中信息分析，当物体的质量为7 kg时，弹簧的长度为 cm.
15.5
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3. 高原反应是人到达一定海拔高度后，由于机体对低压低氧环境的适应能力
不足而引起的.下面是反映海拔高度（m）与空气含氧量（g/m3）之间关系的
一组数据：
海拔高度/m 0 1 000 2 000 3 000 4 000
空气含氧量/（g/m3） 299.3 265.5 234.8 209.6 182.1
下列说法不正确的是（ B ）.
B
A. 海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量
B. 海拔高度每上升1 000 m，空气含氧量减少33.8 g/m3
C. 在海拔高度为2 000 m的地方空气含氧量是234.8 g/m3
D. 当海拔高度从3 000 m上升到4 000 m时，空气含氧量减少了27.5 g/m3
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4. 某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水
费：月用水量不超过30立方米时，按2元/立方米计费；月用水量超过30立方
米时，其中30立方米仍按2元/立方米计费，超过部分按2.5元/立方米计费.设
每户家庭月用水量为x立方米时，应缴水费y元，请写出x＞30时，y与x的
关系式是 .
y＝2.5x－15
5. 港珠澳大桥桥隧全长55千米，其中主桥长29.6千米，一辆汽车从主桥通过
时，汽车的平均速度v（千米/时）与时间t（时）之间的关系式为
.
v＝
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6. （2025·宝安区期末）小颗是一位热衷于无人机航拍的爱好者，他从app调
取了某一次的飞行数据，并绘制了无人机在匀速爬升、悬停盘旋、匀速降落
过程中的飞行高度h/（米）与操控时间t/（分钟）之间的关系图（如图）.已
知匀速爬升的速度相同，请根据图象回答问题：
（1）自变量是 ，因变量是 ；
（2）无人机在第 分钟上升到100米的高度，它在这个高度持续了
分钟；
操控时间
飞行高度
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6. （2025·宝安区期末）小颗是一位热衷于无人机航拍的爱好者，他从app调
取了某一次的飞行数据，并绘制了无人机在匀速爬升、悬停盘旋、匀速降落
过程中的飞行高度h/（米）与操控时间t/（分钟）之间的关系图（如图）.已
知匀速爬升的速度相同，请根据图象回答问题：
（3）无人机匀速爬升的速度为 米/分钟，点A表示的意义是
；
20
当操控
时间为3分钟时，无人机的飞行高度为60米
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6. （2025·宝安区期末）小颗是一位热衷于无人机航拍的爱好者，他从app调
取了某一次的飞行数据，并绘制了无人机在匀速爬升、悬停盘旋、匀速降落
过程中的飞行高度h/（米）与操控时间t/（分钟）之间的关系图（如图）.已
知匀速爬升的速度相同，请根据图象回答问题：
（4）若无人机匀速下降的速度是匀速爬升速度的1.25倍，求出图中b的值.
解：由题意，下降的速度为20×1.25＝25（米/分钟），
所以b＝12＋100÷25＝16.
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B. 能力提升
7. 已知动点P以每秒2 cm的速度沿图1的边框从B按B→C→D→E→F→A
的路径移动，相应的△ABP的面积S（cm2）与时间t（s）之间的关系如图2
中的图象所示.其中AB＝6 cm，则b＝ .
第7题图
17
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8. 一水果商贩在批发市场按1.8元/千克批发了若干千克的苹果进城出售，为
了方便，他带了一些零钱备用，他先按市场价出售一些后，又每千克下降
0.5元将剩余的苹果降价售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是450元.售
出苹果x千克与他手中持有的钱数y元（含备用零钱）的关系如图所示，则
这个水果商贩一共赚了 元.
第8题图
184
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9. 用同样大小的棋子按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，
第 个图形的棋子数y＝ .（用含n的式子表示）
3n＋1
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C. 拓展思维
10. （2025·深圳市期末考试）小明和妈妈一起在一条笔直的跑道上锻炼身
体，到达起点后小明做了一会准备活动，妈妈先跑.当小明出发时，妈妈已
经距离起点200米.他们距起点的距离s（米）与小明出发的时间t（秒）之间
的关系如图所示，根据图中给出的信息解答下列问题：
（1）小明出发之后，前70秒的速度是 米/秒；
妈妈的速度是 米/秒；
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解析：由图象可知，小明在前70秒内跑过的距离是420米，
所以小明前70秒的速度是420÷70＝6（米/秒）.
妈妈的速度始终不变，在110秒内跑过的距离是420－200＝220（米），
所以妈妈的速度是220÷110＝2（米/秒）.
故答案为6，2.
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10. （2025·深圳市期末考试）小明和妈妈一起在一条笔直的跑道上锻炼身
体，到达起点后小明做了一会准备活动，妈妈先跑.当小明出发时，妈妈已
经距离起点200米.他们距起点的距离s（米）与小明出发的时间t（秒）之间
的关系如图所示，根据图中给出的信息解答下列问题：
（2）a表示的数字是 ；
小明和妈妈相遇时距起点的距离
（3）直接写出小明出发后的110秒内，两人何时相距60米.
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解：由题意可知，妈妈距起点的距离s1与小明出发的时间t之间的关系式为s1
＝2t＋200.
当0≤t≤70时，小明距起点的距离s2与小明出发的时间t之间的关系式为s2＝
6t.
①在第一次相遇前，当两人第一次相距60米时，得
2t＋200－6t＝60，解得t＝35；
②在第一次相遇后且t≤70，当两人第二次相距60米时，得6t－（2t＋200）
＝60，解得t＝65.
③当70≤t≤110时，两人第三次相距60米时，得
420－（2t＋200）＝60，解得t＝80.
综上，小明出发后的110秒内，两人分别于35秒、65秒和80秒时相距60米.
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参考答案
1. A 2.15.5 3.B 4.y＝2.5x－15 5.v＝
6. 解：（1）操控时间 飞行高度 （2）9 3
（3）20 当操控时间为3分钟时，无人机的飞行高度为60米
（4）由题意，下降的速度为20×1.25＝25（米/分钟），
所以b＝12＋100÷25＝16.
7.17 8.184 9.3n＋1
10. 解：（1）6 2 解析：由图象可知，小明在前70秒内跑过的距离是
420米，
所以小明前70秒的速度是420÷70＝6（米/秒）.
妈妈的速度始终不变，在110秒内跑过的距离是420－200＝220（米），
所以妈妈的速度是220÷110＝2（米/秒）.
故答案为6，2.
（2）小明和妈妈相遇时距起点的距离
（3）由题意可知，妈妈距起点的距离s1与小明出发的时间t之间的关系式为
s1＝2t＋200.
当0≤t≤70时，小明距起点的距离s2与小明出发的时间t之间的关系式为s2＝
6t.
①在第一次相遇前，当两人第一次相距60米时，得
2t＋200－6t＝60，解得t＝35；
②在第一次相遇后且t≤70，当两人第二次相距60米时，得6t－（2t＋200）
＝60，解得t＝65.
③当70≤t≤110时，两人第三次相距60米时，得
420－（2t＋200）＝60，解得t＝80.
综上，小明出发后的110秒内，两人分别于35秒、65秒和80秒时相距60米.(共15张PPT)
第六章 变量之间的关系
2 用表格表示变量之间的关系
A. 基础夯实
1. （2025·宝安区期末）某实验室记录某液体在冷却过程中温度随时间变化
的数据如下表：
冷却时间/分钟 0 1 2 3 4 5 …
液体温度/℃ 100 80 65 55 50 48 …
下列说法错误的是（ B ）.
A. 冷却时间是自变量，液体温度是因变量
B. 0～2分钟，温度平均每分钟下降15 ℃
C. 3～5分钟，温度下降速度逐渐减慢
D. 第6分钟时，温度可能为47 ℃
B
1
2
3
4
5
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7
2. 如表是某报纸公布的世界人口数据情况，表中的变量（ C ）.
年份 1957 1974 1987 1999 2010
人口数 30亿 40亿 50亿 60亿 70亿
A. 仅有一个，是时间（年份）
B. 仅有一个，是人口数
C. 有两个，一个是人口数，另一个是时间（年份）
D. 一个也没有
C
1
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7
3. 为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过140 km/h），对
这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表，以下说法错误的是
（ C ）.
刹车时车速v/（km/h） 0 10 20 30 40 50 …
刹车距离s/m 0 2.5 5 7.5 10 12.5
A. 在变化中，刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量
B. s随v的增大而增大
C. 当刹车时车速为100 km/h时，刹车距离是20 m
D. 在限速120 km/h的高速公路上，最大刹车距离为30 m
C
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7
4. （2025·龙岗区期末）在国内投寄平信应付邮资如下表：
信件质量x/克 0＜x≤20 20＜x≤40 40＜x≤60
邮资y/（元/封） 1.20 2.40 3.60
某人投寄一封平信花费2.40元，则此平信的质量可能为（ B ）.
A. 10克 B. 39克 C. 20克 D. 52克
B
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7
B. 能力提升
5. （2025·罗湖区期末）（古代文化）漏刻是我国古代的一种计时工具.小明
同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现了水
位h（单位：cm）和时间t（单位：min）两个变量之间的关系.下表是小明
记录的部分数据，当h为10 cm时，对应的时间t为（ D ）.
t/min … 1 2 3 4 …
h/cm … 2.4 2.8 3.2 3.6 …
A. 10 min B. 12 min C. 16 min D. 20 min
D
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7
6. 为保证游泳池水质的清洁，游泳池应定期换水.某游泳池在一次换水
前存水930立方米，换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时70立方米的
速度将水放出.当放水时间增加时，游泳池的存水也随之减少，它们的变
化情况如下表：
放水时间（t）/时 1 2 3 4 5 6 7
游泳池的存水量（V）/
立方米 860 720 650 510 440
（1）在这个变化过程中，反映的是哪两个变量之间的关系，其中自变量是
什么，因变量是什么？
解：由题意可知，反映的是放水时间和游泳池的存水量之间的关系，其中自
变量是放水时间，因变量是游泳池的存水量.
1
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6. 为保证游泳池水质的清洁，游泳池应定期换水.某游泳池在一次换水
前存水930立方米，换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时70立方米的
速度将水放出.当放水时间增加时，游泳池的存水也随之减少，它们的变
化情况如下表：
放水时间（t）/时 1 2 3 4 5 6 7
游泳池的存水量（V）/
立方米 860 720 650 510 440
（2）请将表格补充完整；
1
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解：填表如下：
放水时间（t）/时 1 2 3 4 5 6 7
游泳池的存水 量（V）/立方米 860 790 720 650 580 510 440
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7
6. 为保证游泳池水质的清洁，游泳池应定期换水.某游泳池在一次换水
前存水930立方米，换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时70立方米的
速度将水放出.当放水时间增加时，游泳池的存水也随之减少，它们的变
化情况如下表：
放水时间（t）/时 1 2 3 4 5 6 7
游泳池的存水 量（V）/立方米 860 790 720 650 580 510 440
（3）在游泳池的水放完之前，说一说这两个变量之间的关系.
解：由表格可知，在游泳池的水放完之前，随着放水时间的增加，游泳池的
存水量逐渐减少.
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7
C. 拓展思维
7. 某路公交车每月有x人次乘坐，每月的收入为y元，每人次乘坐的票价相
同，下面的表格是y与x的部分数据：
x/人次 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 …
y/元 1 000 2 000 4 000 5 000 …
（1）表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
解：反映了收入y与人次x两个变量之间的关系，其中x是自变量，y是因
变量.
1
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7. 某路公交车每月有x人次乘坐，每月的收入为y元，每人次乘坐的票价相
同，下面的表格是y与x的部分数据：
x/人次 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 …
y/元 1 000 2 000 4 000 5 000 …
（2）请将表格补充完整；
解：填表如下：
x/人次 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 …
y/元 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 …
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7. 某路公交车每月有x人次乘坐，每月的收入为y元，每人次乘坐的票价相
同，下面的表格是y与x的部分数据：
x/人次 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 …
y/元 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 …
（3）若该路公交车每月的支出费用为4 000元，如果该路公交车每月的利润
要达到10 000元，则每月乘坐该路公交车要达到多少人次？（利润＝收入－
支出费用）
解：1 000÷500＝2（元），（4 000＋10 000）÷2＝7 000（人次）.
答：每月乘坐该路公交车要达到7 000人次.
1
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7
参考答案
1. B 2.C 3.C 4.B 5.D
6. 解：（1）由题意可知，反映的是放水时间和游泳池的存水量之间的关
系，其中自变量是放水时间，因变量是游泳池的存水量.
（2）填表如下：
放水时间（t）/时 1 2 3 4 5 6 7
游泳池的存水 量（V）/立方米 860 790 720 650 580 510 440
（3）由表格可知，在游泳池的水放完之前，随着放水时间的增加，游泳池
的存水量逐渐减少.
7. 解：（1）反映了收入y与人次x两个变量之间的关系，其中x是自变量，
y是因变量.
（2）填表如下：
x/人次 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 …
y/元 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 …
（3）1 000÷500＝2（元），（4 000＋10 000）÷2＝7 000（人次）.
答：每月乘坐该路公交车要达到7 000人次.(共16张PPT)
第六章 变量之间的关系
1 现实中的变量
A. 基础夯实
1. （2025·长春市月考）李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加
油机上的数据显示牌，则其中的常量是（ C ）.
A. 金额 B. 数量 C. 单价 D. 金额和数量
C
1
2
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5
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9
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12
2. （2025·佛山市期末）你知道为什么冬天电瓶车电池不耐用吗？因为电瓶
车通常使用铅酸电池和锂电池，这两种电池的最佳使用温度都是25摄氏度左
右.随着温度的降低，电池中的化学物质活性降低，从而导致电池不耐用.在
这个变化过程中，自变量是（ B ）.
A. 化学物质 B. 温度 C. 电池 D. 电瓶车
B
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3. 饮食店里快餐每盒10元，买n盒需付S元，则其中因变量是 .
4. 一本数学错题笔记本的售价为6元，若小青买x本共付y元，则x和6分别
是（ B ）.
A. 常量，变量 B. 变量，常量
C. 常量，常量 D. 变量，变量
S
B
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12
5. （2025·清远期中）在圆的周长公式C＝2πr中，常量与变量分别是
（ B ）.
A. 2是常量，C，π，r是变量 B. 2，π是常量，C，r是变量
C. C，2是常量，r是变量 D. 2是常量，C，r是变量
B
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6. 下列说法不正确的是（ A ）.
B. 一个具体数是常量
C. 常量是指在一个变化过程中不变的量
D. 变量是指在一个变化过程中可以改变的量
A
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5
6
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7. 如图，圆锥的底面半径是2 cm，当圆锥的高由小到大变化时，圆锥的体积
也随之发生了变化.在这个变化过程中，自变量是 ，因变量
是 .
圆锥的高
圆锥的体积
1
2
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5
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12
8. 一个长方形的面积是10 cm2，其长是a cm，宽是b cm，下列判断正确的是
（ B ）.
A. 常量为10，a，变量为b B. 常量为10，变量为a，b
C. 常量为10，b，变量为a D. 常量为a，b，变量为10
B
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12
B. 能力提升
9. 学校组织学生到北京天安门广场参观升国旗仪式是培育学生的爱国情怀.
在奏响国歌第一个音符时，旗手将国旗展开抛出，到国歌的最后一个音符终
止，时间是2分07秒，国旗同时到达30米高的旗杆顶端.国旗上升的高度随着
演奏国歌时间的变化而变化.下列说法：①旗杆的高度30米是常量；②国旗
上升过程中的时间是常量；③国旗上升过程中的高度是变量.其中正确的
是 （只填写序号）.
①③
1
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3
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5
6
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12
10. 如图是用火柴棒拼成的图案，需用火柴棒的根数m随着正方形的个数n
的变化而变化，在这一变化中，下列说法错误的是（ C ）.
A. m，n都是变量 B. n是自变量，m是因变量
C. m是自变量，n是因变量 D. m随着n的变化而变化
C
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11. 如图，圆柱的底面半径是3厘米，当圆柱的高由小到大变化时，圆柱的体
积也随之发生了变化.
（1）在这个变化中，自变量是 ，因变量是 ；
（2）若圆柱的高为h（厘米），则圆柱的体积V（立方厘米）与h（厘米）
的关系为 ；
圆柱的高
圆柱的体积
V＝9πh
（3）当高由1厘米变化到10厘米时，圆柱的体积由 立方厘米
变化到 立方厘米.
9π
90π
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12
C. 拓展思维
12. 桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张（n为正整数）纸牌，多次
操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“＋1”“－1 ”分别表示一张纸牌“正
面向上”“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将
总和从－7变化为＋7.
（1）当n＝1时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或－2，则最少 次
操作后所有纸牌全部正面向上；
解析：总变化量为7－（－7）＝14，次数（至少）为14÷2＝7，故答案为7.
7
1
2
3
4
5
6
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9
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12
12. 桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张（n为正整数）纸牌，多次
操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“＋1”“－1 ”分别表示一张纸牌“正
面向上”“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将
总和从－7变化为＋7.
（2）当n＝2时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是多少？多次操作后能
使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要
说明理由.
解：①两张由反到正，变化：2×[1－（－1）]＝4；
②两张由正到反，变化：2×（－1－1）＝－4；
1
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12
③一正一反变一反一正，变化：－1－1＋1－（－1）＝0.
不能.理由：要使所有纸牌正面向上，则总变化量仍为14，
因为14无法由4，－4，0相加得到，
所以不能使所有纸牌全部正面向上.
1
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12
参考答案
1. C 2.B 3.S 4.B 5.B 6.A
7. 圆锥的高 圆锥的体积
8. B 9. ①③ 10.C
11. （1）圆柱的高 圆柱的体积 （2）V＝9πh （3）9π 90π
12. 解：（1）7 解析：总变化量为7－（－7）＝14，次数（至少）为14÷2
＝7，故答案为7.
（2）①两张由反到正，变化：2×[1－（－1）]＝4；
②两张由正到反，变化：2×（－1－1）＝－4；
③一正一反变一反一正，变化：－1－1＋1－（－1）＝0.
不能.理由：要使所有纸牌正面向上，则总变化量仍为14，
因为14无法由4，－4，0相加得到，
所以不能使所有纸牌全部正面向上.(共19张PPT)
第六章 变量之间的关系
4 用图象表示变量之间的关系
第2课时 折线型图象
A. 基础夯实
1. 如图是某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下
面能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系的图象是（ C ）.
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2. 小慧今天到学校参加初中毕业会考，从家里出发走10分钟到离家500米的
地方吃早餐，吃早餐用了20分钟；再用10分钟赶到离家1 000米的学校参加考
试.下列图象中，能反映这一过程的是（ D ）.
D
1
2
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4
5
6
7
8
9
3. 洗衣机在洗涤衣服时，每浆洗一遍都经历了注水、清洗、排水三个连续过
程（工作前洗衣机内无水）.在这三个过程中，洗衣机内的水量y（升）与浆
洗一遍的时间x（分）之间的函数关系图象大致为（ D ）.
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4. 如图表示小明栽种的小树高度与月份之间关系的趋势图，请你根据趋势图
预测6月份小树的高度为（ C ）.
A. 85 cm B. 90 cm C. 101 cm D. 110 cm
第4题图
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5. 小强将自己家的汽车油箱加满后进行耗油实验，根据记录的数据绘制出了
如图所示的趋势图，根据趋势图可推测，当汽车行驶500 km时，油箱中的剩
余油量是 L.
第5题图
10
1
2
3
4
5
6
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8
9
6. 今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树景点旅游，在行驶过程中，
汽车离黄果树景点的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象
如图所示，下列说法正确的是（ D ）.
A. 小星家离黄果树景点的路程为50 km
B. 小星从家出发第1小时的平均速度为75 km/h
C. 小星从家出发2小时离景点的路程为125 km
D. 小星从家到黄果树景点共用了3 h
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
B. 能力提升
7. （2025·龙岗区百合外国语学校期末）如图1，在长方形ABCD中，AB＝
3，BC＝4，对角线AC＝5，动点P从点C出发，沿C－A－D－C运动.设
点P的运动路程为x（cm），△BCP的面积为y（cm2）.若y与x的对应关系
如图2所示，则a－b＝（ C ）.
A. －1 B. 1 C. 3 D. 4
C
1
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5
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7
8
9
8. （2025·龙岗区期末）小亮骑自行车去上学，当他以往常的速度骑行至点
A处时，忽然想起要买某本书，于是又折回到刚经过的一家书店，买到书后
继续赶去学校.如图是他本次上学离家的距离与时间的关系示意图.根据图中
提供的信息回答下列问题：
（1）图象所表示的两个变量中，自变量是 ；因变量是
；
时间
离家距
离
（2）小亮家到学校的距离是 米；
本次上学途中，小亮一共骑行了 米；
1 500
2 700
1
2
3
4
5
6
7
8
9
解析：小亮家到学校的距离是1 500米；
本次上学途中，小亮一共骑行了1 500＋2×（1 200－600）＝2 700（米）.
故答案为1 500，2 700.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
8. （2025·龙岗区期末）小亮骑自行车去上学，当他以往常的速度骑行至点
A处时，忽然想起要买某本书，于是又折回到刚经过的一家书店，买到书后
继续赶去学校.如图是他本次上学离家的距离与时间的关系示意图.根据图中
提供的信息回答下列问题：
（3）点A的实际意义是什么？
解：点A的实际意义是骑行6分钟时到达A处，离家的距离为1 200米.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
8. （2025·龙岗区期末）小亮骑自行车去上学，当他以往常的速度骑行至点
A处时，忽然想起要买某本书，于是又折回到刚经过的一家书店，买到书后
继续赶去学校.如图是他本次上学离家的距离与时间的关系示意图.根据图中
提供的信息回答下列问题：
（4）如果小亮不买书，以往常的速度去学校，从家到学校需要多少分钟？
解：1 200÷6＝200（米/分），1 500÷200＝7.5（分钟），
所以小亮以往常的速度去学校，需要7.5分钟.
1
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3
4
5
6
7
8
9
C. 拓展思维
9. （2024·南山区校级开学）已知图形ABCDEF的相邻两边垂直，AB＝8
cm，当动点M以2 cm/s的速度沿图1的边框按B→C→D→E→F→A的路径
运动时，△ABM的面积S随时间t的变化如图2所示.回答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
解析：由题图2，得5段函数分别是当点M在BC，CD，DE，EF，FA上时.
第一段：当0＜t≤6时，点M在BC上，
所以BC＝6×2＝12（cm），
当点M在点C处时，S＝ AB·BC＝48 cm2，
即a＝48；
48
8.5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
第四段：当12.5＜t≤14时，点M在EF上，
所以EF＝（14－12.5）×2＝3（cm），
所以CD＝AB－EF＝5 cm，
所以t＝5÷2＝2.5（s），
所以b＝6＋2.5＝8.5.故答案为48，8.5.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
9. （2024·南山区校级开学）已知图形ABCDEF的相邻两边垂直，AB＝8
cm，当动点M以2 cm/s的速度沿图1的边框按B→C→D→E→F→A的路径
运动时，△ABM的面积S随时间t的变化如图2所示.回答下列问题：
（2）EF＝ cm；
解析：由（1）求出EF＝3 cm，故答案为3.
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
9. （2024·南山区校级开学）已知图形ABCDEF的相邻两边垂直，AB＝8
cm，当动点M以2 cm/s的速度沿图1的边框按B→C→D→E→F→A的路径
运动时，△ABM的面积S随时间t的变化如图2所示.回答下列问题：
（3）当点M运动到DE上时，请用含t的代数式表示出DM的长度，并直接
写出S与t之间的关系式.
解：当点M在DE上时，点M的路程
为2t cm，
因为BC＋CD＝17 cm，
所以DM＝（2t－17）cm.
S＝－8t＋116（8.5＜t≤12.5）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
参考答案
1. C 2.D 3.D 4.C 5.10 6.D 7.C
8. 解：（1）时间 离家距离
（2）1 500 2 700 解析：小亮家到学校的距离是1 500米；
本次上学途中，小亮一共骑行了1 500＋2×（1 200－600）＝2 700（米）.
故答案为1 500，2 700.
（3）点A的实际意义是骑行6分钟时到达A处，离家的距离为1 200米.
（4）1 200÷6＝200（米/分），1 500÷200＝7.5（分钟），
所以小亮以往常的速度去学校，需要7.5分钟.
9. 解：（1）48 8.5 解析：由题图2，得5段函数分别是当点M在BC，
CD，DE，EF，FA上时.
第一段：当0＜t≤6时，点M在BC上，
所以BC＝6×2＝12（cm），
当点M在点C处时，S＝ AB·BC＝48 cm2，即a＝48；
第四段：当12.5＜t≤14时，点M在EF上，
所以EF＝（14－12.5）×2＝3（cm），
所以CD＝AB－EF＝5 cm，
所以t＝5÷2＝2.5（s），
所以b＝6＋2.5＝8.5.故答案为48，8.5.
（2）3 解析：由（1）求出EF＝3 cm，故答案为3.
（3）当点M在DE上时，点M的路程为2t cm，
因为BC＋CD＝17 cm，
所以DM＝（2t－17）cm.
S＝－8t＋116（8.5＜t≤12.5）.
