(共19张PPT)
第一章 整式的乘除
4 整式的除法
第1课时 单项式除以单项式
A. 基础夯实
1. 下列计算正确的是（ C ）.
A. 2a＋a＝3 B. 2a－a＝2
C. 2a·a＝2a2 D. 2a÷a＝2a
2. 计算3a6÷a2的结果是（ A ）.
A. 3a4 B. 3a3 C. 2a4 D. 2a3
C
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3. 计算12a2b3c÷（－4abc）的结果为（ C ）.
A. 3ab2 B. 3a2b3c
C. －3ab2 D. －3a2b3c
4. 若定义 表示（3xyz）3， 表示－3adcb，则运算 ÷
的结果为（ A ）.
A. －72n B. 72n C. mn D. －mn
C
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5. 如图，长方形被分成四块面积相等的部分，其中A，B为长方形，若长方
形B的长和宽的比为3∶2，则长方形A的长和宽的比为（ D ）.
A. 2∶3 B. 3∶6 C. 3∶2 D. 6∶1
D
解析：设长方形B的长为3a，则宽为2a，
由B，D的面积相等可得D的较短边长为3a，较长边长为4a，
所以长方形A的较长边长为4a＋2a＝6a.
由A，B面积相等可知长方形A较短边长为（3a·2a）÷6a＝a，
所以长方形A的长和宽之比为6∶1.故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
6. 已知6a3bm÷3anb2＝2b2，则m－n＝ .
7. 计算：（1）－5xy2÷15xy；
解：－5xy2÷15xy＝－ ·x1－1·y2－1＝－ y.
（2）12x5y÷6xy；
解：12x5y÷6xy＝2x4.
（3）－16a4b2c÷4a4b2；
解：－16a4b2c÷4a4b2＝－4c.
（4）12a2b÷3a.
解：12a2b÷3a＝4ab.
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8. 计算：
（1）（－2x3y）3÷2x2；
解：（－2x3y）3÷2x2
＝－8x9y3÷2x2
＝－4x7y3.
（2）（2x）3·（－2y3）÷16xy3；
解：（2x）3·（－2y3）÷16xy3
＝8x3·（－2y3）÷16xy3
＝－16x3y3÷16xy3
＝－x2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8. 计算：
（3）－6x4y7÷（－2xy2）÷（－3x2y4）；
解：－6x4y7÷（－2xy2）÷（－3x2y4）
＝3x3y5÷（－3x2y4）
＝－xy.
（4）（2x2y）2·（－7xy2）÷14x4y3.
解：（2x2y）2·（－7xy2）÷14x4y3
＝4x4y2·（－7xy2）÷14x4y3
＝－28x5y4÷14x4y3
＝－2xy.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B. 能力提升
9. 计算：（1）6a2·a2－2（a2）3÷a2；
解：原式＝6a4－2a6÷a2＝6a4－2a4＝4a4.
（2）（2x2y）2×（－xy2）÷x4y3.
解：原式＝4x4y2×（－xy2）÷x4y3＝－4x5y4÷x4y3＝－4xy.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
10. 化简：（1）（－a）3·a2＋（2a4）2÷a3；
解：（－a）3·a2＋（2a4）2÷a3
＝－a5＋4a8÷a3
＝－a5＋4a5
＝3a5.
（2）－ x2y·6x3y÷2x2y2.
解：－ x2y·6x3y÷2x2y2
＝－4x5y2÷2x2y2
＝－2x3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11. 地球表面平均1 cm2上的空气质量约为1 kg，地球的表面积大约是5×108
km2，地球的质量约为6×1024 kg，则地球质量大约是其表面全部空气质量的
多少倍？（结果用科学记数法表示）
解：因为地球的表面积大约是5×108 km2＝5×108×1010 cm2＝5×1018 cm2，
所以6×1024÷（5×1018×1）＝1.2×106.
即地球质量大约是其表面全部空气质量的1.2×106倍.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C. 拓展思维
12. 老师在黑板上布置了一道题：
已知y＝－1，求代数式[（2x＋3y）2＋（2x＋y）（y－2x）－10y2]÷2x
的值，小白和小红展开了讨论.
根据上述情景，你认为谁说得对？并将代数式化简求值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解：我认为小红说得对.
[（2x＋3y）2＋（2x＋y）（y－2x）－10y2]÷2x
＝（4x2＋12xy＋9y2＋y2－4x2－10y2）÷2x
＝12xy÷2x
＝6y，
因为化简后的结果不含x，
所以小红说得对.
当y＝－1时，原式＝6×（－1）＝－6.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
参考答案
1. C 2.A 3.C 4.A
5. D 解析：设长方形B的长为3a，则宽为2a，
由B，D的面积相等可得D的较短边长为3a，较长边长为4a，
所以长方形A的较长边长为4a＋2a＝6a.
由A，B面积相等可知长方形A较短边长为（3a·2a）÷6a＝a，
所以长方形A的长和宽之比为6∶1.故选D.
6.1
7. 解：（1）－5xy2÷15xy＝－ ·x1－1·y2－1＝－ y.
（2）12x5y÷6xy＝2x4.
（3）－16a4b2c÷4a4b2＝－4c.
（4）12a2b÷3a＝4ab.
8. 解：（1）（－2x3y）3÷2x2
＝－8x9y3÷2x2
＝－4x7y3.
（2）（2x）3·（－2y3）÷16xy3
＝8x3·（－2y3）÷16xy3
＝－16x3y3÷16xy3
＝－x2.
（3）－6x4y7÷（－2xy2）÷（－3x2y4）
＝3x3y5÷（－3x2y4）
＝－xy.
（4）（2x2y）2·（－7xy2）÷14x4y3
＝4x4y2·（－7xy2）÷14x4y3
＝－28x5y4÷14x4y3
＝－2xy.
9. 解：（1）原式＝6a4－2a6÷a2＝6a4－2a4＝4a4.
（2）原式＝4x4y2×（－xy2）÷x4y3＝－4x5y4÷x4y3＝－4xy.
10. 解：（1）（－a）3·a2＋（2a4）2÷a3
＝－a5＋4a8÷a3
＝－a5＋4a5
＝3a5.
（2）－ x2y·6x3y÷2x2y2
＝－4x5y2÷2x2y2
＝－2x3.
11. 解：因为地球的表面积大约是5×108 km2＝5×108×1010 cm2＝5×1018
cm2，
所以6×1024÷（5×1018×1）＝1.2×106.
即地球质量大约是其表面全部空气质量的1.2×106倍.
12. 解：我认为小红说得对.
[（2x＋3y）2＋（2x＋y）（y－2x）－10y2]÷2x
＝（4x2＋12xy＋9y2＋y2－4x2－10y2）÷2x
＝12xy÷2x
＝6y，
因为化简后的结果不含x，
所以小红说得对.
当y＝－1时，原式＝6×（－1）＝－6.(共31张PPT)
第一章 整式的乘除
3 乘法公式
第4课时 完全平方公式的应用
A. 基础夯实
1. 下列对于952变形正确的是（ C ）.
A. 952＝（90＋5）2＝902＋52
B. 952＝95×95＝（100＋5）（100－5）
C. 952＝（100－5）2＝1002－2×100×5＋52
D. 952＝（90＋5）2＝902＋90×5＋52
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2. 下列乘法公式的运用中，正确的是（ C ）.
A. （2x－3）（2x＋3）＝2x2－9
B. （－3x－1）2＝9x2－3x＋1
C. （1－x）（－1＋x）＝－x2＋2x－1
D. （－x－1）（－1＋x）＝x2－1
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3. 已知M＝4a，N＝a2＋4（a≠2），则M，N的大小关系为（ B ）.
A. M＞N B. M＜N
C. M＝N D. M≤N
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
4. （2025·宝安区期中）以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，
设计出“中”字图案，如图所示.若四个正方形的周长之和为40，面积之和
为26，则长方形ABCD的面积为 .
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解析：令AD＝BC＝a，AB＝CD＝b，
因为以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，四个正方形的周长之
和为40，面积之和为26，
所以8（a＋b）＝40，2（a2＋b2）＝26，
所以a＋b＝5，a2＋b2＝13，
所以ab＝ ＝ ＝6.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
5. （2025·深圳市31校联考期末）一个长方形的周长为18，若它的长为x，宽
为y，且x，y满足（x－y）2－5＝0，则这个长方形的面积为 .
解析：因为长方形的周长为18，它的长为x，宽为y，
所以x＋y＝ ×18＝9.
因为（x－y）2－5＝0，
所以（x－y）2＝5，
所以（x－y）2＝（x＋y）2－4xy＝5，
所以92－4xy＝5，
所以4xy＝76，
所以xy＝19.所以这个长方形的面积为19.
19
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
6. （2025·光明区模考）已知两实数的差为m，用它们“平均数的平方”，
减去它们“平方的平均数”，得到的差用m可表示为（ D ）.
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解析：依题意，设小的实数为r，大的实数为（r＋m），
因为用它们“平均数的平方”，减去它们“平方的平均数”，
所以（ ）2－ [（r＋m）2＋r2]
＝（r＋ m）2－ （2r2＋2rm＋m2）
＝r2＋rm＋ m2－r2－rm－ m2
＝ m2－ m2
＝－ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
7. 利用乘法公式计算：（1）1022；
解：1022＝（100＋2）2
＝10 000＋4＋400
＝10 404.
（2）1982.
解：1982＝（200－2）2
＝40 000－2×200×2＋4
＝39 204.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
8. 计算：（1） ＋ ；
解：（2x－ y）2＋（－3x－ y）2
＝4x2－6xy＋ y2＋9x2＋4xy＋ y2
＝13x2－2xy＋ y2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
8. 计算：（2）（m＋n－1）2.
解：（m＋n－1）2
＝（m＋n）2－2（m＋n）×1＋12
＝m2＋2mn＋n2－2m－2n＋1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
B. 能力提升
9. 已知（x－y）2＝4，（x＋y）2＝64，求下列代数式的值：
（1）x2＋y2；
解：（x－y）2＝x2－2xy＋y2＝4①，
（x＋y）2＝x2＋2xy＋y2＝64②.
①＋②得x2＋y2＝34.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
9. 已知（x－y）2＝4，（x＋y）2＝64，求下列代数式的值：
（2）xy.
解：（x－y）2＝x2－2xy＋y2＝4①，
（x＋y）2＝x2＋2xy＋y2＝64②.
解：②－①得4xy＝60，即xy＝15.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
10. 已知x＋y＝3，xy＝1，求下列各式的值：
（1）x2＋y2；
解：x2＋y2＝（x＋y）2－2xy，
将x＋y＝3，xy＝1代入上式得原式＝32－2＝7.
（2）x2＋xy＋y2；
解：x2＋xy＋y2＝（x＋y）2－xy，
将x＋y＝3，xy＝1代入上式得原式＝32－1＝8.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
10. 已知x＋y＝3，xy＝1，求下列各式的值：
（3）x4＋y4.
解：x4＋y4
＝（x2＋y2）2－2x2y2
＝[（x＋y）2－2xy]2－2（xy）2，
将x＋y＝3，xy＝1代入上式得原式＝（32－2）2－2＝47.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
C. 拓展思维
11. （2024·深圳市第二实验学校期末）阅读理解：
若x满足（30－x）（x－20）＝16，求（30－x）2＋（x－20）2的值.
解：设30－x＝a，x－20＝b，则（30－x）（x－20）＝ab＝16，a＋b
＝（30－x）＋（x－20）＝10，
所以（30－x）2＋（x－20）2＝a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝102－2×16＝
68.
（1）【类比探究】若x满足（80－x）
（x－50）＝300，求（80－x）2＋（x－50）2的值；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解：设80－x＝a，x－50＝b，则（80－x）（x－50）＝ab＝300，
a＋b＝（80－x）＋（x－50）＝30，
所以（80－x）2＋（x－50）2＝a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝302－2×300
＝300.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
11. （2024·深圳市第二实验学校期末）阅读理解：
若x满足（30－x）（x－20）＝16，求（30－x）2＋（x－20）2的值.
解：设30－x＝a，x－20＝b，则（30－x）（x－20）＝ab＝16，a＋b
＝（30－x）＋（x－20）＝10，
所以（30－x）2＋（x－20）2＝a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝102－2×16＝
68.
（2）【联系拓展】若x满足（2 025－x）（2 020－x）＝5，
则（2 025－x）2＋（2 020－x）2＝ ；（直接写出
结论，不用说明理由.）
35
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解：设2 025－x＝a，2 020－x＝b，则ab＝5，a－b＝2 025－x－
（2 020－x）＝5，
所以（2 025－x）2＋（2 020－x）2＝a2＋b2＝（a－b）2＋2ab
＝52＋2×5＝35.
故答案为35.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
11. （2024·深圳市第二实验学校期末）阅读理解：
若x满足（30－x）（x－20）＝16，求（30－x）2＋（x－20）2的值.
解：设30－x＝a，x－20＝b，则（30－x）（x－20）＝ab＝16，a＋b
＝（30－x）＋（x－20）＝10，
所以（30－x）2＋（x－20）2＝a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝102－2×16＝
68.
（3）【解决问题】如图，在长方形ABCD中，AB＝21，
BC＝14，点E，F是BC，CD上的点，且BE＝DF＝x，
分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和
正方形CEMN，若长方形CEPF的面积为150平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解：由题意得FC＝（21－x），EC＝（14－x），
所以阴影部分的面积和为（21－x）2＋（14－x）2.
因为长方形CEPF的面积为150，
所以（21－x）（x－14）＝－150.
设21－x＝a，x－14＝b，则（21－x）（x－14）＝ab＝－150，a＋b＝
（21－x）＋（x－14）＝7，
所以（21－x）2＋（x－14）2＝（21－x）2＋（14－x）2＝a2＋b2＝（a＋
b）2－2ab＝49－2×（－150）＝349，
所以阴影部分的面积和为349平方单位.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
参考答案
1. C 2.C 3.B
4.6 解析：令AD＝BC＝a，AB＝CD＝b，
因为以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，四个正方形的周长之
和为40，面积之和为26，
所以8（a＋b）＝40，2（a2＋b2）＝26，
所以a＋b＝5，a2＋b2＝13，
所以ab＝ ＝ ＝6.
5.19 解析：因为长方形的周长为18，它的长为x，宽为y，
所以x＋y＝ ×18＝9.
因为（x－y）2－5＝0，
所以（x－y）2＝5，
所以（x－y）2＝（x＋y）2－4xy＝5，
所以92－4xy＝5，
所以4xy＝76，
所以xy＝19.所以这个长方形的面积为19.
6. D 解析：依题意，设小的实数为r，大的实数为（r＋m），
因为用它们“平均数的平方”，减去它们“平方的平均数”，
所以（ ）2－ [（r＋m）2＋r2]
＝（r＋ m）2－ （2r2＋2rm＋m2）
＝r2＋rm＋ m2－r2－rm－ m2
＝ m2－ m2
＝－ .
7. 解：（1）1022＝（100＋2）2
＝10 000＋4＋400
＝10 404.
（2）1982＝（200－2）2
＝40 000－2×200×2＋4
＝39 204.
8. 解：（1）（2x－ y）2＋（－3x－ y）2
＝4x2－6xy＋ y2＋9x2＋4xy＋ y2
＝13x2－2xy＋ y2.
（2）（m＋n－1）2
＝（m＋n）2－2（m＋n）×1＋12
＝m2＋2mn＋n2－2m－2n＋1.
9. 解：（x－y）2＝x2－2xy＋y2＝4①，
（x＋y）2＝x2＋2xy＋y2＝64②.
（1）①＋②得x2＋y2＝34.
（2）②－①得4xy＝60，即xy＝15.
10. 解：（1）x2＋y2＝（x＋y）2－2xy，
将x＋y＝3，xy＝1代入上式得原式＝32－2＝7.
（2）x2＋xy＋y2＝（x＋y）2－xy，
将x＋y＝3，xy＝1代入上式得原式＝32－1＝8.
（3）x4＋y4
＝（x2＋y2）2－2x2y2
＝[（x＋y）2－2xy]2－2（xy）2，
将x＋y＝3，xy＝1代入上式得原式＝（32－2）2－2＝47.
11. 解：（1）设80－x＝a，x－50＝b，则（80－x）（x－50）＝ab＝
300，
a＋b＝（80－x）＋（x－50）＝30，
所以（80－x）2＋（x－50）2＝a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝302－2×300＝
300.
（2）设2 025－x＝a，2 020－x＝b，则ab＝5，a－b＝2 025－x－（2
020－x）＝5，
所以（2 025－x）2＋（2 020－x）2＝a2＋b2＝（a－b）2＋2ab＝52＋2×5
＝35.
故答案为35.
（3）由题意得FC＝（21－x），EC＝（14－x），
所以阴影部分的面积和为（21－x）2＋（14－x）2.
因为长方形CEPF的面积为150，
所以（21－x）（x－14）＝－150.
设21－x＝a，x－14＝b，则（21－x）（x－14）＝ab＝－150，a＋b＝
（21－x）＋（x－14）＝7，
所以（21－x）2＋（x－14）2＝（21－x）2＋（14－x）2＝a2＋b2＝（a＋
b）2－2ab＝49－2×（－150）＝349，
所以阴影部分的面积和为349平方单位.(共20张PPT)
第一章 整式的乘除
2 整式的乘法
第2课时 单项式与多项式的乘法
A. 基础夯实
1. 计算（－3x）·（2x2－5x－1）的结果是（ B ）.
A. －6x2－15x2－3x B. －6x3＋15x2＋3x
C. －6x3＋15x2 D. －6x3＋15x2－1
2. 下列运算正确的是（ D ）.
A. （2a2）3＝6a B. 2m＋3m＝5m2
C. a8÷a4＝a2 D. x（2y－1）＝2xy－x
B
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3. 为做好乡村振兴工作，上级决定在一块长方形空坪上修建板房.已知长方
形空坪长为3a，宽为（4ab－2a），则其面积为（ A ）.
A. 12a2b－6a2 B. 6a2－12a2b
C. 6a2b－12a2 D. 12a2－6a2b
4. 利用图可以解释的是（ A ）.
A. mn（a＋b－c）＝mna＋mnb－mnc
B. ma（n＋b－c）＝mcn＋mab－mac
C. ab（m＋n－c）＝abm＋abn－abc
D. ac（m＋n－b）＝acm＋acn－acb
A
A
第4题图
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
5. 已知M＝x2－ax，N＝－x，P＝x3＋3x2＋5，若M·N＋P的值与x的取
值无关，则a的值为（ A ）.
A. －3 B. 3 C. 5 D. 4
6. 若x（x＋2）＝mx2＋nx，则m＋n＝ .
解析：因为－2x3m＋1y与7 y－3－m的积与x4y是同类项，
所以x3m＋1＋n－6y1－3－m＝x4y，
所以3m＋n－5＝4，－2－m＝1，解得m＝－3，n＝18，
所以m2＋n＝9＋18＝27.
A
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
7. 若2a＋b＝－1，则4a2＋2ab－b的值为 .
解析：因为2a＋b＝－1，
所以b＝－1－2a，
所以4a2＋2ab－b＝4a2＋2a（－1－2a）－（－1－2a）
＝4a2－2a－4a2＋1＋2a＝1.
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
8. 如图，在一块长为a m，宽为b m的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小
路的左边线向右平移一段距离后就是它的右边线，若这块草地的覆盖面积正
好为（ab－b）m2，则小路的宽度是 m.
第8题图
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
9. 计算：（1）－3b（2a＋b）；
解：－3b（2a＋b）＝－6ab－3b2.
（2）（－2x）2＋x（7y－4x）.
解：（－2x）2＋x（7y－4x）
＝4x2＋7xy－4x2
＝7xy.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
10. 先化简，再求值：x（5－x）＋x2＋3，其中x＝2.
解：x（5－x）＋x2＋3
＝5x－x2＋x2＋3
＝5x＋3，
当x＝2时，原式＝5×2＋3＝13.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
B. 能力提升
11. 计算：（1） ·（－2xy2）2；
解： ·（－2xy2）2
＝ ·4x2y4
＝－ x2·4x2y4＋ xy·4x2y4－ y2·4x2y4
＝－2x4y4＋6x3y5－x2y6.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
11. 计算：（2）2x（xy＋y2）＋（－2xy2＋1－x2y）－1.
解：2x（xy＋y2）＋（－2xy2＋1－x2y）－1
＝2x2y＋2xy2－2xy2＋1－x2y－1
＝x2y.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
12. 某同学计算一个多项式乘－3x2时，因抄错符号，算成了加上－3x2，得
到的答案是x2－2x＋1.
（1）求这个多项式.
解：这个多项式是x2－2x＋1－（－3x2）
＝x2－2x＋1＋3x2
＝4x2－2x＋1.
（2）正确的计算结果应该是多少？
解：正确的计算结果为（4x2－2x＋1）·（－3x2）＝－12x4＋6x3－3x2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
C. 拓展思维
13. 已知两种商品A，B，商品A成本价为a元，提高20％后出售，商品B亏
本20％后售价为a元.
（1）用代数式表示商品A的售价为 元，商品B的成本价为
元.
1.2a
a
解：因为商品A成本价为a元，提高20％后出售，商品B亏本20％后售价
为a元，
所以商品A的售价为（1＋20％）a＝1.2a（元），商品B的成本价为
＝ a（元）.
故答案为1.2a， a.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
13. 已知两种商品A，B，商品A成本价为a元，提高20％后出售，商品B亏
本20％后售价为a元.
（2）若出售了m件商品A和（100－m）件商品B，用代数式表示一共盈亏
多少元（结果化简）.
解：一件A商品盈利1.2a－a＝0.2a（元），一件B商品盈利a－ a＝
－0.25a（元），
0.2am－0.25a（100－m）＝0.2am－25a＋0.25am＝（0.45am－
25a）元.
答：一共盈亏（0.45am－25a）元（结果若为正，则表示盈利；若为负，则
表示亏损）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
13. 已知两种商品A，B，商品A成本价为a元，提高20％后出售，商品B亏
本20％后售价为a元.
（3）在（2）的条件下，说明a＝500，m＝60时的盈亏情况.
解：当a＝500，m＝60时，0.45am－25a＝0.45×500×60－25×500
＝1 000（元）.
答：盈利1 000元.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
参考答案
1. B 2.D 3.A 4.A 5.A 6.3
7.1 解析：因为2a＋b＝－1，
所以b＝－1－2a，
所以4a2＋2ab－b＝4a2＋2a（－1－2a）－（－1－2a）＝4a2－2a－4a2
＋1＋2a＝1.
8.1
9. 解：（1）－3b（2a＋b）＝－6ab－3b2.
（2）（－2x）2＋x（7y－4x）
＝4x2＋7xy－4x2
＝7xy.
10. 解：x（5－x）＋x2＋3
＝5x－x2＋x2＋3
＝5x＋3，
当x＝2时，原式＝5×2＋3＝13.
11. 解：（1） ·（－2xy2）2
＝ ·4x2y4
＝－ x2·4x2y4＋ xy·4x2y4－ y2·4x2y4
＝－2x4y4＋6x3y5－x2y6.
（2）2x（xy＋y2）＋（－2xy2＋1－x2y）－1
＝2x2y＋2xy2－2xy2＋1－x2y－1
＝x2y.
12. 解：（1）这个多项式是
x2－2x＋1－（－3x2）
＝x2－2x＋1＋3x2
＝4x2－2x＋1.
（2）正确的计算结果为
（4x2－2x＋1）·（－3x2）＝－12x4＋6x3－3x2.
13. 解：（1）因为商品A成本价为a元，提高20％后出售，商品B亏本20％
后售价为a元，
所以商品A的售价为（1＋20％）a＝1.2a（元），商品B的成本价为
＝ a（元）.
故答案为1.2a， a.
（2）一件A商品盈利1.2a－a＝0.2a（元），一件B商品盈利a－ a＝－
0.25a（元），
0.2am－0.25a（100－m）＝0.2am－25a＋0.25am＝（0.45am－
25a）元.
答：一共盈亏（0.45am－25a）元（结果若为正，则表示盈利；若为负，则
表示亏损）.
（3）当a＝500，m＝60时，0.45am－25a＝0.45×500×60－25×500＝1
000（元）.
答：盈利1 000元.(共15张PPT)
第一章 整式的乘除
1 幂的乘除
第5课时 用科学记数法表示绝对值较小的数
A. 基础夯实
1. “谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”.已知一粒米的质量约0.000 021千克，则数
据0.000 021用科学记数法表示为（ D ）.
A. 0.21×10－4 B. 2.1×10－4
C. 21×10－6 D. 2.1×10－5
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2. （2025·深圳外国语学校龙华学校期中）石墨烯作为二维碳纳米材料，具
有优秀的力学特性和超强导电性导热性等出色的材料特性，下游应用主要涵
盖基础学科、新能源电池、柔性显示屏、传感器及复合材料等领域.其厚度
约为0.000 000 03厘米.将数据0.000 000 03用科学记数法可以表示为
（ C ）.
A. 3×108 B. 0.3×109
C. 3×10－8 D. 0.3×10－8
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3. 某种冠状病毒的直径是120纳米，1纳米＝10－9米，将这种冠状病毒的直径
（单位：米）用科学记数法表示为（ C ）.
A. 120×10－9 B. 1.2×10－11
C. 1.2×10－7 D. 0.12×10－12
4. 一种花瓣的花粉颗粒直径用科学记数法表示为6.5×10－6m，这个数用小
数表示为（ C ）.
A. 0.000 065 B. 0.000 000 65
C. 0.000 006 5 D. 0.000 65
C
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
5. （2025·宝安区松岗中学期中）在电影《哪吒之魔童降世》中，哪吒的混
天绫由一种神奇的纤维制成.科学家研究发现，这种纤维的直径仅有0.000
012米.用科学记数法表示这个直径的正确选项是（ A ）.
A. 1.2×10－5 B. 1.2×10－6
C. 0.12×10－4 D. 120×10－7
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
6. 下列材料在20 ℃时的电阻率如下表所示：
材料 银 铜 铝 钨
电阻率/（Ω·m） 1.6×10－8 1.7×10－8 2.9×10－8 5.3×10－8
已知电阻率越高，导电能力越差，则在20 ℃时，导电能力最强的是
（ D ）.
A. 铝 B. 铜 C. 钨 D. 银
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
7. 氢原子的半径约为0.000 000 000 05 m，用科学记数法表示为5×10 n m，
则n的值为 .
－11
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
8. 用科学记数法表示纯小数，是把纯小数表示为a×10－p的形式，其中p是
正整数，a是大于0且小于10的整数，请把下列各数用科学记数法表示出来.
（1）0.000 000 15；
解：0.000 000 15＝1.5×10－7.
（2）－0.000 27；
解：－0.000 27＝－2.7×10－4.
（3）（5.2×1.8）×0.001；
解：（5.2×1.8）×0.001＝0.009 36＝9.36×10－3.
（4）1÷（2×105）2.
解：1÷（2×105）2＝（4×1010）－1＝0.25×10－10＝2.5×10－11.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
B. 能力提升
9. 中国在芯片制造技术上不断突破，已量产14纳米芯片，14纳米等于0.000
000 014米，数据0.000 000 014可用科学记数法表示为 .
10. （2025·蛇口育才教育集团模考）“墙角数枝梅，凌寒独自开，遥知不是
雪，为有暗香来”，某品种的梅花花粉直径为0.000 022米，则数据0.000 022
用科学记数法表示为 .
1.4×10－8
2.2×10－5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
11. 用科学记数法表示下列实际生活中的数.
（1）青藏高原是世界上海拔最高的高原，它的面积约为2 500 000 km2；
解：2 500 000＝2.5×106.
（2）以纳米为单位表示0.873 m（1 m＝1 000 000 000 nm）.
解：因为1 m＝109 nm，
所以0.873 m＝8.73×108 nm.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
12. 世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物长为0.000
6 m，宽为0.000 33 m，它的果实像一粒微小的无花果，质量只有0.000 000
05 g.
（1）用科学记数法表示上述三个数据.
解：0.000 6 m＝6×10－4 m，0.000 33 m＝3.3×10－4 m，0.000 000 05 g＝
5×10－8 g.
（2）一个橘子的质量约为70 g，一个橘子的质量相当于多少粒澳大利亚出水
浮萍果实的质量？
解： ＝ ＝1.4×109（个）.
答：一个橘子的质量相当于1.4×109粒澳大利亚出水浮萍果实的质量.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
C. 拓展思维
13. 世界上最小、最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，体长仅0.021厘
米，其质量也只有0.000 005克.
（1）用科学记数法表示上述两个数据.
解：0.021厘米用科学记数法表示为2.1×10－2厘米，
0.000 005克用科学记数法表示为0.000 005＝5×10－6克.
（2）一个鸡蛋的质量大约是50克，多少只卵蜂的质量和与这个鸡蛋的质量
相等？
解：设x只卵蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等，根据题意，得0.000 005x
＝50，
解得x＝10 000 000＝1×107.
答：1×107只卵蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
参考答案
1. D 2.C 3.C 4.C 5.A 6.D 7.－11
8. 解：（1）0.000 000 15＝1.5×10－7.
（2）－0.000 27＝－2.7×10－4.
（3）（5.2×1.8）×0.001＝0.009 36＝9.36×10－3.
（4）1÷（2×105）2＝（4×1010）－1＝0.25×10－10＝2.5×10－11.
9. 1.4×10－8 10.2.2×10－5
11. 解：（1）2 500 000＝2.5×106.
（2）因为1 m＝109 nm，
所以0.873 m＝8.73×108 nm.
12. 解：（1）0.000 6 m＝6×10－4 m，0.000 33 m＝3.3×10－4 m，0.
000 000 05 g＝5×10－8 g.
（2） ＝ ＝1.4×109（个）.
答：一个橘子的质量相当于1.4×109粒澳大利亚出水浮萍果实的质量.
13. 解：（1）0.021厘米用科学记数法表示为2.1×10－2厘米，
0.000 005克用科学记数法表示为0.000 005＝5×10－6克.
（2）设x只卵蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等，根据题意，得0.000 005x
＝50，
解得x＝10 000 000＝1×107.
答：1×107只卵蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等.(共21张PPT)
第一章 整式的乘除
3 乘法公式
第2课时 平方差公式的应用
A. 基础夯实
1. 从边长为a的正方形内剪掉一个边长为b的小正方形（图1），然后将剩余
部分剪拼成一个矩形（图2）.这样操作能验证的等式是（ B ）.
A. （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
B. （a＋b）（a－b）＝a2－b2
C. a（a＋b）＝a2＋ab
D. （a－b）2＝a2－2ab＋b2
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2. 若N＝（3a＋4b）2－（3a－4b）2，则N表示的代数式是（ C ）.
A. 24ab B. －24ab C. 48ab D. －48ab
3. 已知M＝2 0242，N＝2 023×2 025，则M与N的大小关系是（ A ）.
A. M＞N B. M＜N
C. M＝N D. 不能确定
C
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4. （2025·深圳市高级中学期中）若k为任意整数，则（k＋3）2－（k－2）
2的值总能（ C ）.
A. 被2整除 B. 被3整除
C. 被5整除 D. 被7整除
5. 若2a2＋4a－3＝0，则代数式a（a＋4）＋（a＋1）（a－1）的值为
（ A ）.
A. 2 B. －2 C. 4 D. －4
C
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
6. 利用乘法公式简便计算：
（1）2012－203×197；
解：原式＝2012－（200＋3）×（200－3）
＝2012－（2002－32）
＝2012－2002＋9
＝（201＋200）×（201－200）＋9
＝401×1＋9
＝401＋9
＝410.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
6. 利用乘法公式简便计算：
（2）99 ×100 .
解：99 ×100
＝ ×
＝1002－
＝10 000－
＝9 999 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
7. 简便运算：
（1）1112－110×112；
解：原式＝1112－（111－1）（111＋1）
＝1112－1112＋1
＝1.
（2）5002－497×503；
解：原式＝5002－（500－3）×（500＋3）
＝5002－（5002－32）
＝5002－5002＋9
＝9.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
7. 简便运算：
（3）198×202；
解：198×202
＝（200－2）×（200＋2）
＝2002－22
＝40 000－4
＝39 996.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
7. 简便运算：
（4）1012－1.
解：1012－1
＝（101－1）（101＋1）
＝100×102
＝10 200.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
B. 能力提升
8. 计算：（1）（a＋1）2（a－1）2（a2＋1）2；
解：（a＋1）2（a－1）2（a2＋1）2
＝[（a＋1）（a－1）（a2＋1）]2
＝[（a2－1）（a2＋1）]2
＝（a4－1）2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
8. 计算：（2） · · .
解：原式＝
＝－
＝－y4＋ x4.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
C. 拓展思维
9. 请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中的面积关系，可以验证下列等式 ；（填序号）
①a2＋b2＝（a＋b）（a－b）
②a2－b2＝（a＋b）（a－b）
③（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab
解：由题图1可得，S阴影＝a2－b2，
由题图2可得S阴影＝（a＋b）（a－b），
所以a2－b2＝（a＋b）（a－b）.
故答案为②.
②
1
2
3
4
5
6
7
8
9
9. 请认真观察图形，解答下列问题：
（2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题：
（ⅰ）若a＋b＝4，a2－b2＝12，求a－b的值；
（ⅱ）计算：2 0272＋2 0262－2 0252－2 0242.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
解：（ⅰ）因为a＋b＝4，a2－b2＝12，a2－b2＝（a＋b）（a－b），
所以a－b＝3.
（ⅱ）2 0272＋2 0262－2 0252－2 0242
＝（2 0272－2 0252）＋（2 0262－2 0242）
＝（2 027＋2 025）×（2 027－2 025）＋（2 026＋2 024）（2 026－2 024）
＝4 052×2＋4 050×2
＝（4 052＋4 050）×2
＝16 204.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
参考答案
1. B 2.C 3.A 4.C 5.A
6. 解：（1）原式＝2012－（200＋3）×（200－3）
＝2012－（2002－32）
＝2012－2002＋9
＝（201＋200）×（201－200）＋9
＝401×1＋9
＝401＋9
＝410.
（2）99 ×100
＝ ×
＝1002－
＝10 000－
＝9 999 .
7. 解：（1）原式＝1112－（111－1）（111＋1）
＝1112－1112＋1
＝1.
（2）原式＝5002－（500－3）×（500＋3）
＝5002－（5002－32）
＝5002－5002＋9
＝9.
（3）198×202
＝（200－2）×（200＋2）
＝2002－22
＝40 000－4
＝39 996.
（4）1012－1
＝（101－1）（101＋1）
＝100×102
＝10 200.
8. 解：（1）（a＋1）2（a－1）2（a2＋1）2
＝[（a＋1）（a－1）（a2＋1）]2
＝[（a2－1）（a2＋1）]2
＝（a4－1）2.
（2）原式＝
＝－
＝－y4＋ x4.
9. 解：（1）由题图1可得，S阴影＝a2－b2，
由题图2可得S阴影＝（a＋b）（a－b），
所以a2－b2＝（a＋b）（a－b）.
故答案为②.
（2）（ⅰ）因为a＋b＝4，a2－b2＝12，a2－b2＝（a＋b）（a－b），
所以a－b＝3.
（ⅱ）2 0272＋2 0262－2 0252－2 0242
＝（2 0272－2 0252）＋（2 0262－2 0242）
＝（2 027＋2 025）×（2 027－2 025）＋（2 026＋2 024）（2 026－2 024）
＝4 052×2＋4 050×2
＝（4 052＋4 050）×2
＝16 204.(共21张PPT)
第一章 整式的乘除
章末复习
A. 基础夯实
1. 下列计算正确的是（ B ）.
A. a2＋a4＝a6 B. a3·a3＝a6
C. （a2）3＝a5 D. （a＋b）2＝a2＋b2
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2. （2025·深圳市第二实验学校期中）人工智能风气涌动，在人工智能的神
经网络训练中，经常会遇到非常小的数值，例如当计算神经元的激活概率
时，假设一个神经网络模型输出了一个神经元的激活概率为0.000 000 789.作
为一名优秀的中学生，用科学记数法表示这个激活概率为（ D ）.
A. 0.789×10－6 B. 0.789×10－7
C. 7.89×10－6 D. 7.89×10－7
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3. 若x＋y＝3，则x2－y2＋6y的值是 .
4. 计算82 014×（－0.125）2 015＝ .
5. 化简：（1）（－2mx2）·（－3m2x）3；
解：原式＝（－2mx2）·（－27m6x3）
＝54m7x5.
（2）（－2a2）·（3ab2－5ab3＋4b）；
解：原式＝－6a3b2＋10a3b3－8a2b.
（3）（2a－b）2；
解：原式＝4a2－4ab＋b2.
9
－0.125
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5. 化简：
（4）（m－n）3（m－n）5（n－m）2；
解：原式＝（m－n）3（m－n）5（m－n）2＝（m－n）10.
（5）（y＋2）（y－2）－（y－1）（y＋5）；
解：原式＝y2－4－（y2－y＋5y－5）
＝y2－4－y2＋y－5y＋5
＝－4y＋1.
（6）（a－b）（a＋b）（a2－b2）.
解：原式＝（a2－b2）（a2－b2）
＝a4－2a2b2＋b4.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6. 计算：（1）4xy·（－3y）＋2y（6xy＋2）；
解：4xy·（－3y）＋2y（6xy＋2）
＝－12xy2＋12xy2＋4y
＝4y.
（2）（a＋2b）（2a－4b）；
解：（a＋2b）（2a－4b）
＝2a2－4ab＋4ab－8b2
＝2a2－8b2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6. 计算：（3）2b2（3a2b＋b2）－（－3b3）2÷b2；
解：2b2（3a2b＋b2）－（－3b3）2÷b2
＝6a2b3＋2b4－（9b6）÷b2
＝6a2b3＋2b4－9b4
＝6a2b3－7b4.
（4）（2x2y）3·（－6xy2）÷（－3x4y3）.
解：（2x2y）3·（－6xy2）÷（－3x4y3）
＝8x6y3·（－6xy2）÷（－3x4y3）
＝－48x7y5÷（－3x4y3）
＝16x3y2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B. 能力提升
7. 计算：
（1）（a－2）2＋（a＋1）（a－1）；
解：（a－2）2＋（a＋1）（a－1）
＝a2－4a＋4＋a2－1
＝2a2－4a＋3.
（2）（2mn）2－3n（mn＋m2n）－mn2.
解：（2mn）2－3n（mn＋m2n）－mn2
＝4m2n2－3mn2－3m2n2－mn2
＝m2n2－4mn2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8. 先化简， 再求值：[（2x＋y）（2x－y）－（2x－y）2]÷（－2y），
其中 （x＋1）2＋｜y－2 025｜＝0.
解：原式＝（4x2－y2－4x2＋4xy－y2）÷（－2y）
＝（4xy－2y2）÷（－2y）
＝－2x＋y，
因为（x＋1）2＋｜y－2 025｜＝0，
所以x＋1＝0，y－2 025＝0，
所以x＝－1，y＝2 025，
所以原式＝－2x＋y＝－2×（－1）＋2 025＝2＋2 025＝2 027.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
9. 计算：
（1）已知（2an）3＝40，求a6n的值；
解：因为（2an）3＝40，
所以8a3n＝40，所以a3n＝5，所以a6n＝（a3n）2＝52＝25.
（2）已知n为正整数，且x2n＝7，求（3x3n）2－4（x2）2n的值.
解：（3x3n）2－4（x2）2n＝9x6n－4x4n＝9（x2n）3－4（x2n）2，
当x2n＝7时，原式＝9×73－4×72
＝9×343－4×49
＝3 087－196
＝2 891.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C. 拓展思维
10. （2025·福田实验教育集团（侨外）期中）【问题探究】
把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面
积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积.例如，由图1，
可得等式：（a＋2b）（a＋b）＝a2＋3ab＋2b2.
（1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a＋b
＋c的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结
论？请用等式表示出来.
解：（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10. （2025·福田实验教育集团（侨外）期中）【问题探究】
把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面
积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积.例如，由图1，
可得等式：（a＋2b）（a＋b）＝a2＋3ab＋2b2.
（2）利用（1）中所得到的结论解决下列问题.
已知a＋b＋c＝12，ab＋bc＋ac＝37，求a2＋b2＋c2的值.
解：因为a＋b＋c＝12，ab＋bc＋ac＝37，
所以a2＋b2＋c2＝（a＋b＋c）2－2（ab＋bc＋ac）＝144－74＝70.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10. （2025·福田实验教育集团（侨外）期中）【问题探究】
把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面
积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积.例如，由图1，
可得等式：（a＋2b）（a＋b）＝a2＋3ab＋2b2.
（3）如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在
同一直线上，连接BD和BF.
①用含a，b的式子表示阴影部分的面积S.
②若a＋b＝8，ab＝10，求阴影部分的面积S.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解：①S阴影＝ a2＋b2－ （a＋b）b＝ a2＋ b2－ ab.
②由①知阴影部分面积为 a2＋ b2－ ab，
因为a＋b＝8，ab＝10，
所以原式＝ （a＋b）2－ ab＝ ×82－ ×10＝32－15＝17.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
参考答案
1. B 2.D 3.9 4.－0.125
5. 解：（1）原式＝（－2mx2）·（－27m6x3）
＝54m7x5.
（2）原式＝－6a3b2＋10a3b3－8a2b.
（3）原式＝4a2－4ab＋b2.
（4）原式＝（m－n）3（m－n）5（m－n）2＝（m－n）10.
（5）原式＝y2－4－（y2－y＋5y－5）
＝y2－4－y2＋y－5y＋5
＝－4y＋1.
（6）原式＝（a2－b2）（a2－b2）
＝a4－2a2b2＋b4.
6. 解：（1）4xy·（－3y）＋2y（6xy＋2）
＝－12xy2＋12xy2＋4y
＝4y.
（2）（a＋2b）（2a－4b）
＝2a2－4ab＋4ab－8b2
＝2a2－8b2.
（3）2b2（3a2b＋b2）－（－3b3）2÷b2
＝6a2b3＋2b4－（9b6）÷b2
＝6a2b3＋2b4－9b4
＝6a2b3－7b4.
（4）（2x2y）3·（－6xy2）÷（－3x4y3）
＝8x6y3·（－6xy2）÷（－3x4y3）
＝－48x7y5÷（－3x4y3）
＝16x3y2.
7. 解：（1）（a－2）2＋（a＋1）（a－1）
＝a2－4a＋4＋a2－1
＝2a2－4a＋3.
（2）（2mn）2－3n（mn＋m2n）－mn2
＝4m2n2－3mn2－3m2n2－mn2
＝m2n2－4mn2.
8. 解：原式＝（4x2－y2－4x2＋4xy－y2）÷（－2y）
＝（4xy－2y2）÷（－2y）
＝－2x＋y，
因为（x＋1）2＋｜y－2 025｜＝0，
所以x＋1＝0，y－2 025＝0，
所以x＝－1，y＝2 025，
所以原式＝－2x＋y＝－2×（－1）＋2 025＝2＋2 025＝2 027.
9. 解：（1）因为（2an）3＝40，
所以8a3n＝40，所以a3n＝5，所以a6n＝（a3n）2＝52＝25.
（2）（3x3n）2－4（x2）2n＝9x6n－4x4n＝9（x2n）3－4（x2n）2，
当x2n＝7时，原式＝9×73－4×72
＝9×343－4×49
＝3 087－196
＝2 891.
10. 解：（1）（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac.
（2）因为a＋b＋c＝12，ab＋bc＋ac＝37，
所以a2＋b2＋c2＝（a＋b＋c）2－2（ab＋bc＋ac）＝144－74＝70.
（3）①S阴影＝ a2＋b2－ （a＋b）b＝ a2＋ b2－ ab.
②由①知阴影部分面积为 a2＋ b2－ ab，
因为a＋b＝8，ab＝10，
所以原式＝ （a＋b）2－ ab＝ ×82－ ×10＝32－15＝17.(共17张PPT)
第一章 整式的乘除
1 幂的乘除
第2课时 幂的乘方
A. 基础夯实
1. 若am＝2，则a3m的值为（ C ）.
A. 5 B. 6 C. 8 D. 9
2. 计算（ ）3的结果是（ D ）.
A. a3 B. a6 C. a9 D. a18
3. 下列运算正确的是（ C ）.
A. a3·a3＝a9 B. a3＋a3＝a6
C. （a3）2＝a6 D. a2·a3＝a6
C
D
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4. （2025·佛山期中）若2×4m＝211，则m的值是（ B ）.
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
5. 已知3x＝4，3y＝25，3z＝10，则x，y，z三者之间关系正确的是
（ D ）.
A. xy＝2z B. xy＝z2
C. x＋y＝z2 D. x＋y＝2z
B
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
6. 已知3x＋y－3＝0，则8x·2y的值是 .
7. 计算：（1）（xn）2－（x2）n＋xn·x2；
解：原式＝x2n－x2n＋xn＋2＝xn＋2.
（2）x4·（－x）5＋（－x）4·x5.
解：原式＝－x4＋5＋x4＋5＝－x9＋x9＝0.
8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
8. 计算：（1）（a3）6；
解：（a3）6＝a18.
（2）－（x5）2；
解：－（x5）2＝－x10.
（3）（－x2）5.
解：（－x2）5＝－x10.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
9. 计算：（1）x·（x2）3；
解：原式＝x·x6＝x7.
（2）（xm）n·（xn）m；
解：原式＝xmn·xmn＝x2mn.
（3）（y4）5－（y5）4；
解：原式＝y20－y20＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
9. 计算：
（4）（m3）4＋m10m2＋m·m3·m8；
解：原式＝m12＋m12＋m12＝3m12.
（5）[（a－b）n]2[（b－a）n－1]2.
解：原式＝（a－b）2n·（b－a）2n－2
＝（a－b）2n·（a－b）2n－2
＝（a－b）4n－2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
B. 能力提升
10. 计算：（1）（a－b）2（b－a）3；
解：（a－b）2（b－a）3
＝－（a－b）2（a－b）3
＝－（a－b）5.
（2）a3·（－a）3＋（－a3）2.
解：a3·（－a）3＋（－a3）2
＝－a6＋a6
＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
11. （2025·邵阳期中）计算：
（1）已知x2n＝4，求（x3n）2的值；
解：（x3n）2＝x6n＝（x2n）3＝43＝64.
所以4x·32y＝（22）x·
（2）已知2x＋5y－4＝0，求4x·32y的值.
解：因为2x＋5y－4＝0，
所以2x＋5y＝4.
所以4x·32y＝（22）x·（25）y＝22x·25y＝22x＋5y＝24＝16.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
12. 已知5a＝4，53b＝6，5c＝9.
（1）求52a＋3b的值；
解：原式＝52a·53b
＝（5a）2·（53b）
＝42×6
＝16×6
＝96.
（2）试说明：6b＝a＋c.
解：因为5a×5c＝5a＋c＝36，（53b）2＝56b＝36，
所以56b＝5a＋c，
所以6b＝a＋c.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
C. 拓展思维
13. 若am＝an（a＞0且a≠1，m，n是正整数），则m＝n.
利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果3x＝34，则x＝ ；
解：因为8x＝29，
（2）如果8x＝29，求x的值；
解：因为8x＝29，（23）x＝29，23x＝29，
所以3x＝9，x＝3.
4
（3）如果5x＋2－5x＋1＝100，求x的值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
解：因为5x＋2－5x＋1＝100，
5x·52－5x·5＝100，
（25－5）·5x＝100，
20·5x＝100，
5x＝5，
所以x＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
参考答案
1. C 2.D 3.C 4.B 5.D 6.8
7. 解：（1）原式＝x2n－x2n＋xn＋2＝xn＋2.
（2）原式＝－x4＋5＋x4＋5＝－x9＋x9＝0.
8. 解：（1）（a3）6＝a18.
（2）－（x5）2＝－x10.
（3）（－x2）5＝－x10.
9. 解：（1）原式＝x·x6＝x7.
（2）原式＝xmn·xmn＝x2mn.
（3）原式＝y20－y20＝0.
（4）原式＝m12＋m12＋m12＝3m12.
（5）原式＝（a－b）2n·（b－a）2n－2
＝（a－b）2n·（a－b）2n－2
＝（a－b）4n－2.
10. 解： （1）（a－b）2（b－a）3
＝－（a－b）2（a－b）3
＝－（a－b）5.
（2）a3·（－a）3＋（－a3）2
＝－a6＋a6
＝0.
11. 解：（1）（x3n）2＝x6n＝（x2n）3＝43＝64.
（2）因为2x＋5y－4＝0，
所以2x＋5y＝4.
所以4x·32y＝（22）x·（25）y＝22x·25y＝22x＋5y＝24＝16.
12. 解：（1）原式＝52a·53b
＝（5a）2·（53b）
＝42×6
＝16×6
＝96.
（2）因为5a×5c＝5a＋c＝36，（53b）2＝56b＝36，
所以56b＝5a＋c，
所以6b＝a＋c.
13. 解：（1）4
（2）因为8x＝29，（23）x＝29，23x＝29，
所以3x＝9，x＝3.
（3）因为5x＋2－5x＋1＝100，
5x·52－5x·5＝100，
（25－5）·5x＝100，
20·5x＝100，
5x＝5，
所以x＝1.(共23张PPT)
第一章 整式的乘除
3 乘法公式
第3课时 完全平方公式的认识
A. 基础夯实
1. 下列运算正确的是（ B ）.
A. （a＋b）2＝a2＋b2 B. （a＋b）（a－b）＝a2－b2
C. （a＋b）2＝a2＋ab＋b2 D. （－a－b）2＝a2－2ab＋b2
2. （2025·深圳湾学校期中）若x2＋kx＋9能用完全平方公式因式分解，则k
的值为（ C ）.
A. 6 B. －4或8 C. －6或6 D. 0
B
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3. 乘法公式可以用几何图形验证，图中验证的乘法公式为（ B ）.
A. （3a＋b）（3a－b）＝9a2－b2
B. （3a－b）2＝9a2－6ab＋b2
C. （3a＋b）2＝9a2＋6ab＋b2
D. （3a－b）2＝9a2＋6ab＋b2
B
第3题图
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
4. （2024·福田区期末）已知a＋b＝5，ab＝2，则代数式a2－ab＋b2的值
为（ C ）.
A. 8 B. 18 C. 19 D. 25
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
5. （2025·福田外国语学校期中）如图，用大小不同的两种正方形瓷砖铺设
走廊地面，点C在直线AB上，已知AB＝10米，两瓷砖面积之和S1＋S2＝56
平方米，则接缝处（阴影三角形）的面积为 平方米.
第5题图
11
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解析：设AC＝a，BC＝b，
因为AB＝10，S1＋S2＝56，
所以a＋b＝10，a2＋b2＝56.
因为（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab，
所以102＝56＋2ab，所以ab＝22，
所以接缝处（阴影三角形）的面积为 ab＝ ×22＝11（平方米）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
6. （2024·龙岗区月考）老师在黑板上书写了一个完全平方公式，随后用手
掌盖住了一项，形式如下：x2－6x＋ ，则被手掌盖住的这一项为 .
7. 若（m－3）2＝4，则m2－6m＝ .
9
－5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
8. 计算：
（1） ；
解： ＝ x2－2xy＋4y2.
（2）（n＋1）2－n2；
解：（n＋1）2－n2＝（n＋1＋n）（n＋1－n）＝2n＋1.
（3）（－2m－n）2；
解：（－2m－n）2＝4m2＋4mn＋n2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
8. 计算：
（4） ；
解： ＝x2＋ ＋2.
（5） ；
解： ＝x2＋ －2.
（6）（a＋b＋c）2.
解：（a＋b＋c）2＝（a＋b）2＋2c（a＋b）＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac
＋2bc＋c2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
B. 能力提升
9. 计算：（1）（2x＋y）（x－2y）－（x－y）2；
解：（2x＋y）（x－2y）－（x－y）2
＝2x2－4xy＋xy－2y2－x2＋2xy－y2
＝x2－xy－3y2.
（2）（2a＋b）（a－2b）＋（2a－b）2.
解：（2a＋b）（a－2b）＋（2a－b）2
＝2a2－4ab＋ab－2b2＋4a2－4ab＋b2
＝6a2－7ab－b2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
10. 计算：（1）（2x－7y）2；
解：原式＝（2x）2－2×2x×7y＋（7y）2
＝4x2－28xy＋49y2.
（2）x（x＋2）＋（x＋1）2－4x；
解：原式＝x2＋2x＋x2＋2x＋1－4x
＝2x2＋1.
（3）（a－4）（a＋2）－（a－1）2.
解：原式＝a2－2a－8－（a2－2a＋1）
＝a2－2a－8－a2＋2a－1
＝－9.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
C. 拓展思维
11. （2025·南山区麒麟中学期中）通过计算几何图形的面积可以验证一些代
数恒等式.
（1）如图1是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，
长、宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式
，这种验证思路体现了下列哪一个数学思想 .
A. 数形结合 B. 分类讨论
C. 类比推理 D. 转化
（a＋b）2
＝a2＋2ab＋b2
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解：题图1中大正方形的面积用“边长的平方”表示为（a＋b）2，用“各部
分面积之和”表示为a2＋2ab＋b2，利用数形结合的数学思想验证了公式
（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2.
故答案为（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
11. （2025·南山区麒麟中学期中）通过计算几何图形的面积可以验证一些代
数恒等式.
【直接应用】（2）若xy＝4，x＋y＝6，则x2＋y2＝ .
解：因为xy＝4，x＋y＝6，
所以（x＋y）2＝x2＋2xy＋y2＝36，
即x2＋y2＋8＝36，
所以x2＋y2＝28.故答案为28.
28
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
11. （2025·南山区麒麟中学期中）通过计算几何图形的面积可以验证一些代
数恒等式.
【类比应用】（3）若（x－2 024）2＋（2 025－x）2＝2 026，求（x－2
024）（2 025－x）的值.
解：设x－2 024＝m，2 025－x＝n，
则m＋n＝1，m2＋n2＝2 026，（x－2 024）（2 025－x）＝mn，
所以（m＋n）2＝m2＋2mn＋n2＝1，即2 026＋2mn＝1，
mn＝－ ，所以（x－2 024）（2 025－x）＝－ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
11. （2025·南山区麒麟中学期中）通过计算几何图形的面积可以验证一些代
数恒等式.
【知识迁移】
（4）手工课上，小麒将一张正方形纸片沿对角线AC，BD剪开，得到四个
全等的等腰直角三角形，如图2.然后将四个等腰直角三角形拼接成风车图
案，如图3.此时，四边形EFGH是正方形，连接NP，PQ，QM，MN，通
过探索，小麒发现四边形PQMN也是正方形，如图4.设FP＝a，EF＝b.若
图4中空白部分面积为168，AG＝19，求EP的长.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解：因为空白部分的面积为168，
所以4× ab＝168，
即ab＝84，
因为AG＝19，
所以b＋a＝19，
所以EP2＝（a－b）2＝[（a＋b）2－4ab]＝192－4×84＝25.
所以EP＝5.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
参考答案
1. B 2.C 3.B 4.C
5.11 解析：设AC＝a，BC＝b，
因为AB＝10，S1＋S2＝56，
所以a＋b＝10，a2＋b2＝56.
因为（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab，
所以102＝56＋2ab，所以ab＝22，
所以接缝处（阴影三角形）的面积为 ab＝ ×22＝11（平方米）.
6.9 7.－5
8. 解：（1） ＝ x2－2xy＋4y2.
（2）（n＋1）2－n2＝（n＋1＋n）（n＋1－n）＝2n＋1.
（3）（－2m－n）2＝4m2＋4mn＋n2.
（4） ＝x2＋ ＋2.
（5） ＝x2＋ －2.
（6）（a＋b＋c）2＝（a＋b）2＋2c（a＋b）＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac
＋2bc＋c2.
9. 解： （1）（2x＋y）（x－2y）－（x－y）2
＝2x2－4xy＋xy－2y2－x2＋2xy－y2
＝x2－xy－3y2.
（2）（2a＋b）（a－2b）＋（2a－b）2
＝2a2－4ab＋ab－2b2＋4a2－4ab＋b2
＝6a2－7ab－b2.
10. 解：（1）原式＝（2x）2－2×2x×7y＋（7y）2
＝4x2－28xy＋49y2.
（2）原式＝x2＋2x＋x2＋2x＋1－4x
＝2x2＋1.
（3）原式＝a2－2a－8－（a2－2a＋1）
＝a2－2a－8－a2＋2a－1
＝－9.
11. 解：（1）题图1中大正方形的面积用“边长的平方”表示为
（a＋b）2，用“各部分面积之和”表示为a2＋2ab＋b2，利用数形结合的数学思想验证了公式（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2.
故答案为（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，A.
（2）因为xy＝4，x＋y＝6，
所以（x＋y）2＝x2＋2xy＋y2＝36，
即x2＋y2＋8＝36，
所以x2＋y2＝28.故答案为28.
（3）设x－2 024＝m，2 025－x＝n，
则m＋n＝1，m2＋n2＝2 026，
（x－2 024）（2 025－x）＝mn，
所以（m＋n）2＝m2＋2mn＋n2＝1，即2 026＋2mn＝1，
mn＝－ ，所以（x－2 024）（2 025－x）＝－ .
（4）因为空白部分的面积为168，所以4× ab＝168，
即ab＝84，
因为AG＝19，
所以b＋a＝19，
所以EP2＝（a－b）2＝[（a＋b）2－4ab]＝192－4×84＝25.
所以EP＝5.(共17张PPT)
第一章 整式的乘除
3 乘法公式
第1课时 平方差公式的认识
A. 基础夯实
1. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（ C ）.
A. （x＋2）（－x－2） B. （x－2）（x－2）
C. （x－2）（－x－2） D. （2－x）（x－2）
2. 下列计算正确的是（ B ）.
A. 2a＋3a＝5a2 B. （x3）4＝x12
C. a2·a3＝a6 D. （x＋2）（x－2）＝x2－2
C
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3. 计算下列各式，其结果是n2－25m2的是（ C ）.
A. （－5m－n）（－5m＋n）
B. （n－5m）2
C. （5m－n）（－5m－n）
D. （5m＋n）（－n＋5m）
4. 已知a＋b＝6，a2－b2＝24，则a－b的值为 .
5. 运用乘法公式计算（－x－3）（－x＋3）的结果是 .
C
4
x2－9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6. 计算： （1） （x－2）（x＋2）；
解：原式＝x2－4.
（2）（－3a＋2）（－3a－2）；
解：原式＝9a2－4.
（3）（－1＋3x）（－1－3x）；
解：原式＝（－1）2－（3x）2＝1－9x2.
（4）（－x＋3y）（x＋3y）.
解：原式＝－x2＋9y2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
7. 计算：（1）（a＋2）（a2＋4）（a－2）；
解：原式＝（a＋2）（a－2）（a2＋4）
＝（a2－4）（a2＋4）
＝a4－16.
（2）（x－3y）（x2＋9y2）（x＋3y）.
解：原式＝（x－3y）（x＋3y）（x2＋9y2）
＝（x2－9y2）（x2＋9y2）
＝x4－81y4.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8. 计算：（1）（3x＋2y）（－2y＋3x）；
解：（3x＋2y）（－2y＋3x）
＝（3x＋2y）（3x－2y）
＝9x2－4y2.
（2）（xm＋2ym）（xm－2ym）－xm（xm－2ym），m，n为正整数.
解：（xm＋2ym）（xm－2ym）－xm（xm－2ym）
＝x2m－4y2m－x2m＋2xmym
＝－4y2m＋2xmym.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B. 能力提升
9. 已知T＝（2a＋3b）（2a－3b）－a（3a－b）＋9b2.
（1）化简T；
解：T＝（2a＋3b）（2a－3b）－a（3a－b）＋9b2
＝4a2－9b2－3a2＋ab＋9b2
＝a2＋ab.
（2）若a，b互为相反数，求T的值.
解：因为a，b互为相反数，
所以a＋b＝0，
所以T＝a2＋ab＝a（a＋b）＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C. 拓展思维
10. 仔细观察下列等式：
第1个：52－12＝8×3；
第2个：92－52＝8×7；
第3个：132－92＝8×11；
第4个：172－132＝8×15；
….
（1）请你写出第5个等式： ；
212－172＝8×19
（2）请写出第n个等式，并加以验证；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解：由题意得，第n个等式为（4n＋1）2－（4n－3）2＝8（4n－1），
因为左边＝（4n＋1）2－（4n－3）2
＝（4n＋1＋4n－3）（4n＋1－4n＋3）
＝4（8n－2）
＝8（4n－1）＝右边，
故答案为（4n＋1）2－（4n－3）2＝8（4n－1）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10. 仔细观察下列等式：
第1个：52－12＝8×3；
第2个：92－52＝8×7；
第3个：132－92＝8×11；
第4个：172－132＝8×15；
….
（3）运用上述规律，计算：8×3＋8×7＋…＋8×39＋8×43＝ .
2 024
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解：8×3＋8×7＋…＋8×39＋8×43
＝（52－12）＋（92－52）＋…＋（412－372）＋（452－412）
＝452－12
＝46×44
＝2 024.
故答案为2 024.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
参考答案
1. C 2.B 3.C 4.4 5.x2－9
6. 解：（1）原式＝x2－4.
（2）原式＝9a2－4.
（3）原式＝（－1）2－（3x）2＝1－9x2.
（4）原式＝－x2＋9y2.
7. 解：（1）原式＝（a＋2）（a－2）（a2＋4）
＝（a2－4）（a2＋4）
＝a4－16.
（2）原式＝（x－3y）（x＋3y）（x2＋9y2）
＝（x2－9y2）（x2＋9y2）
＝x4－81y4.
8. 解：（1）（3x＋2y）（－2y＋3x）
＝（3x＋2y）（3x－2y）
＝9x2－4y2.
（2）（xm＋2ym）（xm－2ym）－xm（xm－2ym）
＝x2m－4y2m－x2m＋2xmym
＝－4y2m＋2xmym.
9. 解：（1）T＝（2a＋3b）（2a－3b）－a（3a－b）＋9b2
＝4a2－9b2－3a2＋ab＋9b2
＝a2＋ab.
（2）因为a，b互为相反数，
所以a＋b＝0，
所以T＝a2＋ab＝a（a＋b）＝0.
10. 解：（1）212－172＝8×19
（2）由题意得，第n个等式为（4n＋1）2－（4n－3）2＝8（4n－1），
因为左边＝（4n＋1）2－（4n－3）2
＝（4n＋1＋4n－3）（4n＋1－4n＋3）
＝4（8n－2）
＝8（4n－1）＝右边，
故答案为（4n＋1）2－（4n－3）2＝8（4n－1）.
（3）8×3＋8×7＋…＋8×39＋8×43
＝（52－12）＋（92－52）＋…＋（412－372）＋（452－412）
＝452－12
＝46×44
＝2 024.
故答案为2 024.(共19张PPT)
第一章 整式的乘除
2 整式的乘法
第3课时 多项式与多项式的乘法
A. 基础夯实
1. 计算（x－2）（2x＋1）的结果正确的是（ D ）.
A. 2x2＋5x＋2 B. 2x2＋5x－2
C. 2x2－3x＋2 D. 2x2－3x－2
2. 已知m＋n＝－2，mn＝－2，则（1－m）（1－n）的值为（ C ）.
A. －3 B. －1 C. 1 D. 5
D
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3. （2025·深圳外国语学校龙华学校期中）若（x＋m）（x－3）的展开式
中不含x项，则实数m的值为 .
4. 如图，现有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类若干张，若要拼一个
长为（3a＋b），宽为（a＋b）的大长方形，则需C类卡片张数为
（ B ）.
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
5. 若（x－2）（x＋3）＝x2＋ax＋b，则a＋b的值为（ C ）.
A. －7 B. 7 C. －5 D. 5
6. 对于实数a，b，c，d，规定一种运算（二阶行列式又称二阶矩阵）
＝ad－bc，那么当 ＝2 025时，x＝
.
C
2 026
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
7. 计算：（1）（3x－1）（x＋2）；
解：（3x－1）（x＋2）
＝3x2＋6x－x－2
＝3x2＋5x－2.
（2）（x－1）（x＋1）－x（x＋2）.
解：（x－1）（x＋1）－x（x＋2）
＝x2－1－x2－2x
＝－2x－1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
8. 计算：（1）2b2（3a2b＋b2）－b6÷b2；
解：原式＝6a2b3＋2b4－b4
＝6a2b3＋b4.
（2）（x2y－3x）（2xy＋1）.
解：原式＝2x3y2＋x2y－6x2y－3x
＝2x3y2－5x2y－3x.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
9. （1）已知a2－a－5＝0，求（4－a）（3＋a）的值；
解：因为a2－a－5＝0，
所以a－a2＝－5，
所以（4－a）（3＋a）
＝12＋4a－3a－a2
＝12＋（a－a2）
＝12＋（－5）
＝7.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
（2）已知a2＋a－5＝0，求（a2－5）（a＋1）的值.
解：因为a2＋a－5＝0，
所以a2－5＝－a，－a2－a＝－5，
所以（a2－5）（a＋1）
＝－a（a＋1）
＝－a2－a
＝－5.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
B. 能力提升
10. 如图，图1是一幅边长为a cm的正方形风景画，画面左右两边各留有长方
形空白区域作装饰.图2是一幅长为a cm、宽为b cm的长方形风景画，画面的
四周均留有空白区域作装饰，其中四角都是大小相同的正方形，根据图中标
注的信息，解答下列问题：
（1）图1中间画面的面积为 cm2，图2正中间画面的面积
为 cm2；
（a2－2ay）
（ab－2ax－2bx＋4x2）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解：题图1中间画面的面积为a（a－2y）＝（a2－2ay）cm2.
题图2中间画面的面积为（a－2x）（b－2x）＝（ab－2ax－2bx＋4x2）
cm2.
故答案为（a2－2ay），（ab－2ax－2bx＋4x2）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
10. 如图，图1是一幅边长为a cm的正方形风景画，画面左右两边各留有长方
形空白区域作装饰.图2是一幅长为a cm、宽为b cm的长方形风景画，画面的
四周均留有空白区域作装饰，其中四角都是大小相同的正方形，根据图中标
注的信息，解答下列问题：
（2）若a＝60 cm，b＝40 cm，x＝8 cm，当两幅画空白区域面积恰好相等
时，求y的值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解：题图1中空白区域的面积为a2－（a2－2ay）＝2ay＝2×60y＝120y
（cm2）；
题图2中空白区域的面积为ab－（ab－2ax－2bx＋4x2）＝2ax＋2bx－4x2
＝2×60×8＋2×40×8－4×82＝1 344（cm2），
由题意得，120y＝1 344，解得y＝11.2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
C. 拓展思维
11. 【综合与实践】数学兴趣小组利用纸板制作长方体纸箱.下面是两个小组
的实践过程，请你完成下列问题.
（1）“巧手”小组将长和宽分别是a，b的矩形纸片折成一个无盖的长方
体纸盒，方案是在矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形，如图
1所示.
①用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积；
②当a＝10，b＝8，且剪去部分正方形的边长为最小正整数时，求无盖长方
体纸盒的底面积；
③请你说出折成长方体纸盒的棱（长方体相邻两个面的交线）与棱之间有哪
些位置关系.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解：①由题意得，纸片剩余部分的面积是ab－4x2.
②由题知剪去正方形边长x＝1，
当a＝10，b＝8时，无盖长方体纸盒的底面积
S＝（a－2x）（b－2x）＝（10－2×1）×（8－2×1）＝48，
所以无盖长方体的底面积是48.
③平行或垂直.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
11. 【综合与实践】数学兴趣小组利用纸板制作长方体纸箱.下面是两个小组
的实践过程，请你完成下列问题.
（2）“善思”小组的同学准备了一张边长为a的正方形纸板，先在正方形纸
板四个角剪去四个同样大小且宽为b的小长方形，再沿虚线折合起来，制成
一个有盖的长方体纸箱，如图2所示，则该长方体的底面ABCD中，AB
＝ ，BC＝ .（用含a，b的式子表示）
a－2b
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
参考答案
1.D 2.C 3.3 4.B 5.C 6.2 026
7.解：（1）（3x－1）（x＋2）
＝3x2＋6x－x－2
＝3x2＋5x－2.
（2）（x－1）（x＋1）－x（x＋2）
＝x2－1－x2－2x
＝－2x－1.
8.解：（1）原式＝6a2b3＋2b4－b4
＝6a2b3＋b4.
（2）原式＝2x3y2＋x2y－6x2y－3x
＝2x3y2－5x2y－3x.
9.解：（1）因为a2－a－5＝0，
所以a－a2＝－5，
所以（4－a）（3＋a）
＝12＋4a－3a－a2
＝12＋（a－a2）
＝12＋（－5）
＝7.
（2）因为a2＋a－5＝0，
所以a2－5＝－a，－a2－a＝－5，
所以（a2－5）（a＋1）
＝－a（a＋1）
＝－a2－a
＝－5.
10. 解：（1）题图1中间画面的面积为a（a－2y）＝（a2－2ay）cm2.
题图2中间画面的面积为（a－2x）（b－2x）＝（ab－2ax－2bx＋4x2）
cm2.
故答案为（a2－2ay），（ab－2ax－2bx＋4x2）.
（2）题图1中空白区域的面积为a2－（a2－2ay）＝2ay＝2×60y＝120y
（cm2）；
题图2中空白区域的面积为ab－（ab－2ax－2bx＋4x2）＝2ax＋2bx－4x2
＝2×60×8＋2×40×8－4×82＝1 344（cm2），
由题意得，120y＝1 344，解得y＝11.2.
11. 解：（1）①由题意得，纸片剩余部分的面积是ab－4x2.
②由题知剪去正方形边长x＝1，
当a＝10，b＝8时，无盖长方体纸盒的底面积
S＝（a－2x）（b－2x）＝（10－2×1）×（8－2×1）＝48，
所以无盖长方体的底面积是48.
③平行或垂直.
（2）a－2b(共20张PPT)
第一章 整式的乘除
4 整式的除法
第2课时 多项式除以单项式
A. 基础夯实
1. 计算（28a3b2c－7ab2）÷7ab2的结果是（ A ）.
A. 4a2c－1 B. 4a2c
C. 4a2c－b D. 4a2－1
2. 当a＝ 时，代数式（28a3－28a2＋7a）÷7a的值为（ D ）.
B. －4
A
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3. 有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的
面积数据如图所示，右边场地为长方形，长为2（a＋b），则宽为
（ C ）.
B. a－b
D. a＋b
第3题图
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4. （2025·深圳市云端学校期末）乐乐的作业本不小心被撕掉了一部分，留
下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮他推测出等号左边被撕掉的内容
是（ C ）.
A. （x2－2x＋6） B. （x2－3x2＋6）
C. （x2－3x＋6） D. （x2－3x－6）
第4题图
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5. 已知长方形的面积为18x2y＋9xy2－27x2y2，长为9xy，则这个长方形的宽
为 .
6. 三角形的面积是ab2－2a，底边上的高为a，那么底边的长是 .
7. 已知多项式A除以x2＋2x－3得商式3x，余式x＋2，则多项式A为
.
解析：根据题意得A＝3x（x2＋2x－3）＋x＋2
＝3x3＋6x2－9x＋x＋2
＝3x3＋6x2－8x＋2.
2x＋y－3xy
2b2－4
3x3
＋6x2－8x＋2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8. 计算：（1）（6a2－3a）÷3a；
解：（6a2－3a）÷3a
＝6a2÷3a－3a÷3a
＝2a－1.
（2）（28a2－7a）÷7a；
解：（28a2－7a）÷7a
＝28a2÷7a－7a÷7a
＝4a－1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8. 计算：（3）[x（y2－xy）－y（x2＋xy）]÷2x2；
解：[x（y2－xy）－y（x2＋xy）]÷2x2
＝（xy2－x2y－x2y－xy2）÷2x2
＝－2x2y÷2x2
＝－y.
（4） ÷ ；
解： ÷
＝－3x2y÷ xy＋xy2÷ xy＋ xy÷ xy
＝－6x＋2y＋1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8. 计算：（5）（12x3y3－8x2y4）÷4x2y2＋y·（2y－3x）.
解：（12x3y3－8x2y4）÷4x2y2＋y·（2y－3x）
＝3xy－2y2＋2y2－3xy
＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B. 能力提升
9. （2025·深圳外国语学校期中）先化简，再求值：[（3a＋b）2－（b＋
3a）（3a－b）－6b2]÷（－2b），其中a＝－ ，b＝－2.
解：[（3a＋b）2－（b＋3a）（3a－b）－6b2]÷（－2b）
＝（9a2＋6ab＋b2－9a2＋b2－6b2）÷（－2b）
＝（－4b2＋6ab）÷（－2b）
＝2b－3a，
当a＝－ ，b＝－2时，原式＝2×（－2）－3×（－ ）＝－4＋1＝－3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C. 拓展思维
10. 如图1，有足够多的边长为a的小正方形（A类），长为b、宽为a的长
方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类）卡片，发现利用图1中的三种
卡片各若干可以拼出（没重叠且不留空隙）一些长方形来解释某些等式.
例如，图2可以解释的等式为（a＋2b）（a＋b）＝a2＋3ab＋2b2.
（1）图3可以解释的等式为 .
（2a＋b）（2b＋a）＝2a2＋5ab＋2b2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10. 如图1，有足够多的边长为a的小正方形（A类），长为b、宽为a的长
方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类）卡片，发现利用图1中的三种
卡片各若干可以拼出（没重叠且不留空隙）一些长方形来解释某些等式.
例如，图2可以解释的等式为（a＋2b）（a＋b）＝a2＋3ab＋2b2.
（2）类似要拼成一个长为（a＋9b），宽为（5a＋b）的长方形，则需A
类卡片 张，B类卡片 张，C类卡片 张.
解析：因为（a＋9b）（5a＋b）＝5a2＋46ab＋9b2，
所以需用A类卡片5张，B类卡片46张，C类卡片9张.
故答案为5，46，9.
5
46
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10. 如图1，有足够多的边长为a的小正方形（A类），长为b、宽为a的长
方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类）卡片，发现利用图1中的三种
卡片各若干可以拼出（没重叠且不留空隙）一些长方形来解释某些等式.
例如，图2可以解释的等式为（a＋2b）（a＋b）＝a2＋3ab＋2b2.
（3）类似要拼成一个长为（ma＋nb），宽为（pa＋qb）的长方形，则除
需A类卡片、C类卡片若干张外，还需B类卡片 张.（用含
m，n，p，q的代数式表示，其中m，n，p，q都是正整数）
（mq＋np）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解析：长方形面积为（ma＋nb）（pa＋qb）＝mpa2＋（mq＋np）ab＋
nqb2，B类卡片面积为ab，
所以需要[（mq＋np）ab]÷ab＝（mq＋np）张B类卡片.
故答案为（mq＋np）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10. 如图1，有足够多的边长为a的小正方形（A类），长为b、宽为a的长
方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类）卡片，发现利用图1中的三种
卡片各若干可以拼出（没重叠且不留空隙）一些长方形来解释某些等式.
例如，图2可以解释的等式为（a＋2b）（a＋b）＝a2＋3ab＋2b2.
（4）如图4，将12张长为b，宽为a（b＞a）的B类卡片按如图方式不重叠
地放在大长方形ABCD内，未被覆盖的部分用阴影表示，若阴影部分的面积
是大长方形面积的 ，求此时B类卡片的长b与宽a的比值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解：由题意得，大长方形的面积为（8a＋b）（2a＋b）＝16a2＋10ab＋b2，
因为阴影部分的面积是大长方形面积的 ，
所以空白部分的面积为（16a2＋10ab＋b2）× ＝12ab，
整理得16a2－8ab＋b2＝0，
所以（4a－b）2＝0，所以b＝4a，所以 ＝4∶1，
所以B类卡片的长b与宽a的比值为4∶1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
参考答案
1.A 2.D 3.C 4.C 5.2x＋y－3xy 6.2b2－4
7. 3x3＋6x2－8x＋2 解析：根据题意得
A＝3x（x2＋2x－3）＋x＋2
＝3x3＋6x2－9x＋x＋2
＝3x3＋6x2－8x＋2.
8. 解：（1）（6a2－3a）÷3a
＝6a2÷3a－3a÷3a
＝2a－1.
（2）（28a2－7a）÷7a
＝28a2÷7a－7a÷7a
＝4a－1.
（3）[x（y2－xy）－y（x2＋xy）]÷2x2
＝（xy2－x2y－x2y－xy2）÷2x2
＝－2x2y÷2x2
＝－y.
（4） ÷
＝－3x2y÷ xy＋xy2÷ xy＋ xy÷ xy
＝－6x＋2y＋1.
（5）（12x3y3－8x2y4）÷4x2y2＋y·（2y－3x）
＝3xy－2y2＋2y2－3xy
＝0.
9. 解：[（3a＋b）2－（b＋3a）（3a－b）－6b2]÷（－2b）
＝（9a2＋6ab＋b2－9a2＋b2－6b2）÷（－2b）
＝（－4b2＋6ab）÷（－2b）
＝2b－3a，
当a＝－ ，b＝－2时，原式＝2×（－2）－3×（－ ）＝－4＋1＝－3.
10.（1）（2a＋b）（2b＋a）＝2a2＋5ab＋2b2
（2）5 46 9 解析：因为（a＋9b）（5a＋b）＝5a2＋46ab＋9b2，
所以需用A类卡片5张，B类卡片46张，C类卡片9张.
故答案为5，46，9.
（3）（mq＋np） 解析：长方形面积为（ma＋nb）（pa＋qb）＝mpa2＋（mq＋np）ab＋nqb2，B类卡片面积为ab，
所以需要[（mq＋np）ab]÷ab＝（mq＋np）张B类卡片.
故答案为（mq＋np）.
（4）由题意得，大长方形的面积为（8a＋b）（2a＋b）＝16a2＋10ab＋b2，
因为阴影部分的面积是大长方形面积的 ，
所以空白部分的面积为（16a2＋10ab＋b2）× ＝12ab，
整理得16a2－8ab＋b2＝0，
所以（4a－b）2＝0，所以b＝4a，所以 ＝4∶1，
所以B类卡片的长b与宽a的比值为4∶1.(共17张PPT)
第一章 整式的乘除
1 幂的乘除
第4课时 同底数幂的除法
A. 基础夯实
1. 已知m≠0，m6÷m2的计算结果是（ B ）.
A. m B. m4 C. m3 D. m5
2. 若am＝12，an＝2，则am－n的值为（ C ）.
A. 14 B. 24 C. 6 D. 10
3. （2025·深圳市31校模考）下列式子运算正确的是（ B ）.
A. x2＋x3＝x6 B. x6÷x4＝x2
C. （x2）3＝x8 D. x2·x3＝x6
B
C
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4. 已知a＝（－2）0，b＝（－2）－2，c＝ ，那么a，b，c的大小关
系是（ D ）.
A. a＞b＞c B. c＞b＞a
C. b＞a＞c D. c＞a＞b
5. 已知（a＋1）0＝1，则a的值不可能为（ B ）.
A. 1 B. －1 C. 0 D. －π
6. （2025·深圳高级中学模考）填空：（2 025－π）0＋（ ）－1＝ .
7. 若x－2y＝0，则2x÷4y×3＝ .
D
B
3
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8. 计算：（1）x7÷x2；
解：x7÷x2＝x7－2＝x5.
（2）（xy）2÷（xy）；
解：（xy）2÷（xy）＝xy.
（3）（3xy）4÷（3xy）2；
解：（3xy）4÷（3xy）2＝（3xy）4－2＝（3xy）2＝9x2y2.
（4）x2m＋2÷x2m－1；
解：x2m＋2÷x2m－1＝x（2m＋2）－（2m－1）＝x3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8. 计算：
（5）（－x）9÷（－x）4；
解：（－x）9÷（－x）4＝（－x）9－4
＝（－x）5
＝－x5.
（6）（x－y）5÷（y－x）3.
解：（x－y）5÷（y－x）3
＝－（x－y）5÷（x－y）3
＝－（x－y）2
＝－x2＋2xy－y2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9. 计算：（1）（a＋b）9÷（a＋b）6；
解：（a＋b）9÷（a＋b）6＝（a＋b）3.
（2）（a3）2÷（a3÷a）；
解：（a3）2÷（a3÷a）＝a6÷a2＝a4.
（3）（－x3）2÷（－x）3；
解：（－x3）2÷（－x）3
＝x6÷（－x3）
＝－x6－3
＝－x3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9. 计算：
（4）（－x2）3÷（－x）2.
解：（－x2）3÷（－x）2
＝（－x6）÷x2
＝－x4.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B. 能力提升
10. （2025·深圳市第二实验学校期末）计算：
（1）（－ ）－2＋（2 025－π）0×（－5）－｜－3｜ ；
解：（－ ）－2＋（2 025－π）0×（－5）－｜－3｜ ＝9＋1×（－5）
－3＝9－5－3＝1.
（2）3a·a5＋（2a2）3－a11÷a5.
解：3a·a5＋（2a2）3－a11÷a5＝3a6＋8a6－a6＝10a6.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11. 请运用幂的运算性质解决下列问题：
（1）若xa＝3，xb＝6，求x3a－2b的值；
解：因为xa＝3，xb＝6，
所以x3a－2b＝ ＝ ＝ ＝ .
（2）计算：2100×8101×（－ ）200.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解：2100×8101×（－ ）200
＝2100×8100×8×［（－ ）2］100
＝［（－ ）2×2×8］100×8
＝（ ×16）100×8
＝1×8
＝8.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C. 拓展思维
12. （1）已知am＝3，an＝2，求：①am＋n的值；②a3m－2n的值.
解：①因为am＝3，an＝2，
所以am＋n＝am·an＝3×2＝6.
②因为am＝3，an＝2，
所以a3m－2n＝a3m÷a2n＝（am）3÷（an）2＝33÷22＝ .
（2）已知2×4x＋1×16＝223，求x的值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解：因为2×4x＋1×16＝223，
所以2×（22）x＋1×24＝223，
所以2×22x＋2×24＝223，
所以21＋2x＋2＋4＝223，
所以1＋2x＋2＋4＝23，
解得x＝8.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
参考答案
1. B 2.C 3.B 4.D 5.B 6.3 7.3
8. 解：（1）x7÷x2＝x7－2＝x5.
（2）（xy）2÷（xy）＝xy.
（3）（3xy）4÷（3xy）2＝（3xy）4－2＝（3xy）2＝9x2y2.
（4）x2m＋2÷x2m－1＝x（2m＋2）－（2m－1）＝x3.
（5）（－x）9÷（－x）4＝（－x）9－4
＝（－x）5
＝－x5.
（6）（x－y）5÷（y－x）3
＝－（x－y）5÷（x－y）3
＝－（x－y）2
＝－x2＋2xy－y2.
9. 解：（1）（a＋b）9÷（a＋b）6＝（a＋b）3.
（2）（a3）2÷（a3÷a）＝a6÷a2＝a4.
（3）（－x3）2÷（－x）3
＝x6÷（－x3）
＝－x6－3
＝－x3.
（4）（－x2）3÷（－x）2
＝（－x6）÷x2
＝－x4.
10. 解：（1）（－ ）－2＋（2 025－π）0×（－5）－｜－3｜＋ ＝9＋
1×（－5）－3＋8＝9－5－3＋8＝9.
（2）3a·a5＋（2a2）3－a11÷a5＝3a6＋8a6－a6＝10a6.
11. 解：（1）因为xa＝3，xb＝6，
所以x3a－2b＝ ＝ ＝ ＝ .
（2）2100×8101×（－ ）200
＝2100×8100×8×［（－ ）2］100
＝［（－ ）2×2×8］100×8
＝（ ×16）100×8
＝1×8
＝8.
12. 解：（1）①因为am＝3，an＝2，
所以am＋n＝am·an＝3×2＝6.
②因为am＝3，an＝2，
所以a3m－2n＝a3m÷a2n＝（am）3÷（an）2＝33÷22＝ .
（2）因为2×4x＋1×16＝223，
所以2×（22）x＋1×24＝223，
所以2×22x＋2×24＝223，
所以21＋2x＋2＋4＝223，
所以1＋2x＋2＋4＝23，
解得x＝8.(共17张PPT)
第一章 整式的乘除
1 幂的乘除
第1课时 同底数幂的乘法
A. 基础夯实
1. 计算a2·a6＝ .
2. 计算a2·（－a）3＝ .
3. 若a，b是正整数，且满足2a＋2a＝2b×2b，则下列a与b的关系正确的
是（ B ）.
A. a＝b B. a＋1＝2b
C. a＋1＝b2 D. 2a＝b2
a8
－a5
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4. （1）若24＋24＝2a，35＋35＋35＝3b，则a＋b的值是（ C ）.
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
（2）已知2a＝3，2b＝5，2c＝30，则a，b，c之间满足的等式是
（ A ）.
A. c＝a＋b＋1 B. c＝ab＋1
C. c＝a＋b D. c＝ab
C
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5. 计算：（1）32·23；
解：32·23＝9×8＝72.
（2）x3·（－x2）；
解：x3·（－x2）＝－x5.
（3）a4·（－a）3；
解：a4·（－a）3＝a4·（－a3）＝－a7.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5. 计算：
（4）－b2·b5；
解：－b2·b5＝－b7.
（5）a·a4·a5；
解：a·a4·a5＝a10.
（6）am·an·ap.
解：am·an·ap＝am＋n＋p.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
6. 计算：（1）（－m）·（－m）2·（－m）3；
解：（－m）·（－m）2·（－m）3
＝（－m）1＋2＋3
＝（－m）6
＝m6.
（2）（m－n）·（n－m）3·（n－m）4；
解：（m－n）·（n－m）3·（n－m）4
＝（m－n）·[－（m－n）3]·（m－n）4
＝－（m－n）8.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
6. 计算：（3）（x＋y）2·（x＋y）3·（x＋y）m；
解：（x＋y）2·（x＋y）3·（x＋y）m
＝（x＋y）2＋3＋m
＝（x＋y）m＋5.
（4）x2m·x2m＋1·x2m＋2.
解：x2m·x2m＋1·x2m＋2
＝x2m＋2m＋1＋2m＋2
＝x6m＋3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
B. 能力提升
7. 规定m*n＝3n×3m.
（1）求2*3；
解：因为m*n＝3n×3m，
所以2*3＝33×32＝27×9＝243.
（2）若2*（x＋1）＝81，求x的值.
解：因为2*（x＋1）＝81，
所以3x＋1×32＝34，
则x＋1＋2＝4，
解得x＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
8. 社会发展了，人们生活富裕了，老百姓钱包鼓起来了.某银行去年新增加
居民存款10亿元人民币.
（1）经测量，100张面值为100元的新版人民币大约厚0.9厘米，如果将10亿
元面值为100元的新版人民币摞起来，大约有多高（结果用科学记数法表
示）？
解：10亿＝1 000 000 000＝109，
所以10亿元人民币的总张数为109÷100＝107（张），
107÷100×0.9＝9×104（厘米）.
答：大约有9×104厘米高.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
8. 社会发展了，人们生活富裕了，老百姓钱包鼓起来了.某银行去年新增加
居民存款10亿元人民币.
（2）一台激光点钞机的点钞速度是8×104张/时，按每天点钞5小时计
算，如果让点钞机点一遍10亿元面值为100元的新版人民币，点钞机大约
要点多少天？
解：107÷（5×8×104）
＝（1÷40）×（107÷104）
＝0.025×103
＝25（天）.
答：点钞机大约要点25天.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
C. 拓展思维
9. 阅读材料，解决问题：我们学习了乘方的定义和意义，根据乘方和乘
法两种运算之间的转化了解到23＝2×2×2，24＝2×2×2×2，则23×24
＝2×2×2×2×2×2×2＝27，可以得到23×24＝27.类比上述式子，解
决下列问题：
（1）填空：102×105＝ ，a3×a5＝ .
（2）利用由特殊到一般的思想，可以得到am×an＝ （m，n都是
正整数），我们把类似于am和an这样的式子叫同底数幂，因此可以得到“同
底数幂的乘法”法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
107
a8
am＋n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
9. 阅读材料，解决问题：我们学习了乘方的定义和意义，根据乘方和乘
法两种运算之间的转化了解到23＝2×2×2，24＝2×2×2×2，则23×24
＝2×2×2×2×2×2×2＝27，可以得到23×24＝27.类比上述式子，解
决下列问题：
（3）知识运用：x·x2·x2 025＝ .
（4）拓展运用：已知xA＝3，xB＝6，求xA＋B的值.
解：xA＋B＝xA×xB＝3×6＝18.
x2028
1
2
3
4
5
6
7
8
9
参考答案
1. a8 2.－a5 3.B 4.（1）C （2）A
5. 解：（1）32·23＝9×8＝72.
（2）x3·（－x2）＝－x5.
（3）a4·（－a）3＝a4·（－a3）＝－a7.
（4）－b2·b5＝－b7.
（5）a·a4·a5＝a10.
（6）am·an·ap＝am＋n＋p.
6. 解：（1）（－m）·（－m）2·（－m）3
＝（－m）1＋2＋3
＝（－m）6
＝m6.
（2）（m－n）·（n－m）3·（n－m）4
＝（m－n）·[－（m－n）3]·（m－n）4
＝－（m－n）8.
（3）（x＋y）2·（x＋y）3·（x＋y）m
＝（x＋y）2＋3＋m
＝（x＋y）m＋5.
（4）x2m·x2m＋1·x2m＋2
＝x2m＋2m＋1＋2m＋2
＝x6m＋3.
7. 解：（1）因为m*n＝3n×3m，
所以2*3＝33×32＝27×9＝243.
（2）因为2*（x＋1）＝81，
所以3x＋1×32＝34，
则x＋1＋2＝4，
解得x＝1.
8. 解：（1）10亿＝1 000 000 000＝109，
所以10亿元人民币的总张数为109÷100＝107（张），
107÷100×0.9＝9×104（厘米）.
答：大约有9×104厘米高.
（2）107÷（5×8×104）
＝（1÷40）×（107÷104）
＝0.025×103
＝25（天）.
答：点钞机大约要点25天.
9. 解：（1）107 a8
（2）am＋n
（3）x2 028
（4）xA＋B＝xA×xB＝3×6＝18.(共21张PPT)
第一章 整式的乘除
1 幂的乘除
第3课时 积的乘方
A. 基础夯实
1. 计算： ＝（ C ）.
2. 下列运算正确的是（ C ）.
A. a2＋a2＝a6 B. 6a2－2a2＝3a2
C. a2·a4＝a6 D. （2a2）3＝6a6
C
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3. 下列各式：（1）－（－a3）4＝a12；（2）（－an）2＝（－a2）n；（3）
（－a－b）3＝（a－b）3；（4）（a－b）4＝（－a＋b）4，其中正确的
个数是（ A ）.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 若a3＝2，b3＝5，则（ab）3＝ .
A
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
5. 已知2a6bm－3（anb）2＝－a6b2，则m－2n的值为 .
解析：因为2a6bm－3（anb）2＝2a6bm－3a2nb2＝－a6b2，
所以2a6bm，－3a2nb2是同类项，所以2n＝6，m＝2，所以n＝3，
所以m－2n＝2－6＝－4.
－4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
6. 计算：（1）（b4）4；
解：（b4）4＝b16.
（2）（－ab）3；
解：（－ab）3＝－a3b3.
（3）－（x2）m；
解：－（x2）m＝－x2m.
（4）（－2a3y4）3；
解：（－2a3y4）3＝－8a9y12.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
6. 计算：
（5）（m4）2＋m5·m3；
解：（m4）2＋m5·m3＝m8＋m8＝2m8.
（6）a4（－3a3）2＋（－4a5）2.
解：a4（－3a3）2＋（－4a5）2＝a4×9a6＋16a10＝9a10＋16a10＝25a10.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
7. 计算：（1）（x4）3·x2；
解：（x4）3·x2＝x12·x2＝x14.
（2）（－3a3）2a3＋（－4a）2a7＋（－2a3）3.
解：（－3a3）2a3＋（－4a）2a7＋（－2a3）3
＝9a6·a3＋16a2·a7－8a9
＝9a9＋16a9－8a9
＝17a9.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
8. 计算：（1）x4·（－x）5＋（－x）4·x5；
解：原式＝－x4＋5＋x4＋5＝－x9＋x9＝0.
（2）a3·a5＋（a2）4＋（－3a4）2.
解：原式＝a8＋a8＋9a8＝11a8.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
B. 能力提升
9. 计算：（1）（－0.125）12×（－1 ）7×（－8）13×（－ ）9；
解：（－0.125）12×（－1 ）7×（－8）13×（－ ）9
＝（－ ）12×（－ ）7×（－8）13×（－ ）9
＝（－ ）12×（－8）13×（－ ）7×（－ ）9
＝（－ ）12×（－8）12×（－8）×（－ ）7×（－ ）7×（－ ）2
＝（－8）×（－ ）2
＝－8×
＝－ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
9. 计算：（2）0.252 023×42 024－8100×0.5300.
解：0.252 023×42 024－8100×0.5300
＝（ ）2 023×42 024－2300×（ ）300
＝（ ）2 023×42 023×4－2300×（ ）300
＝4－1
＝3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
10. 根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为
易，使问题巧妙获解.请逆向运用幂的运算法则，解决以下问题：
（1）若xm＝2，xn＝3，求x3m＋2n的值；
解：因为xm＝2，xn＝3，
所以x3m＋2n＝x3m·x2n＝（xm）3·（xn）2＝23×32＝8×9＝72.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
10. 根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为
易，使问题巧妙获解.请逆向运用幂的运算法则，解决以下问题：
（2）若9x×4×6y＝25×311，求x与y的值.
解：因为9x×4×6y＝25×311，
所以32x×22×（2×3）y＝25×311，
所以32x×22×2y×3y＝25×311，
所以22＋y×32x＋y＝25×311，
所以2＋y＝5，2x＋y＝11，解得x＝4，y＝3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
C. 拓展思维
11. （1）若25＋25＝2a，37＋37＋37＝3b，则a＋b＝ ；
解：因为25＋25＝25×2＝26＝2a，
37＋37＋37＝37×3＝38＝3b，
所以a＝6，b＝8，
所以a＋b＝6＋8＝14，
故答案为14.
（2）若2m×3n＝（4×27）7，求m，n；
解：因为2m×3n＝（4×27）7＝（22×33）7＝22×7×33×7＝214×321，
所以m＝14，n＝21.
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
（3）若2p＝m，mq＝n，nr＝32，求pqr.
解：因为2p＝m，mq＝n，nr＝32，
所以（2p）q＝n，[（2p）q]r＝32，
所以2pqr＝25，
所以pqr＝5.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
参考答案
1. C 2.C 3.A 4.10
5. －4 解析：因为2a6bm－3（anb）2＝2a6bm－3a2nb2＝－a6b2，
所以2a6bm，－3a2nb2是同类项，所以2n＝6，m＝2，所以n＝3，所以m－
2n＝2－6＝－4.
6. 解：（1）（b4）4＝b16.
（2）（－ab）3＝－a3b3.
（3）－（x2）m＝－x2m.
（4）（－2a3y4）3＝－8a9y12.
（5）（m4）2＋m5·m3＝m8＋m8＝2m8.
（6）a4（－3a3）2＋（－4a5）2＝a4×9a6＋16a10＝9a10＋16a10＝25a10.
7. 解：（1）（x4）3·x2＝x12·x2＝x14.
（2）（－3a3）2a3＋（－4a）2a7＋（－2a3）3
＝9a6·a3＋16a2·a7－8a9
＝9a9＋16a9－8a9
＝17a9.
8. 解：（1）原式＝－x4＋5＋x4＋5＝－x9＋x9＝0.
（2）原式＝a8＋a8＋9a8＝11a8.
9. 解：（1）（－0.125）12×（－1 ）7×（－8）13×（－ ）9
＝（－ ）12×（－ ）7×（－8）13×（－ ）9
＝（－ ）12×（－8）13×（－ ）7×（－ ）9
＝（－ ）12×（－8）12×（－8）×（－ ）7×（－ ）7×（－ ）2
＝（－8）×（－ ）2
＝－8×
＝－ .
（2）0.252 023×42 024－8100×0.5300
＝（ ）2 023×42 024－2300×（ ）300
＝（ ）2 023×42 023×4－2300×（ ）300
＝4－1
＝3.
10. 解：（1）因为xm＝2，xn＝3，
所以x3m＋2n＝x3m·x2n＝（xm）3·（xn）2＝23×32＝8×9＝72.
（2）因为9x×4×6y＝25×311，
所以32x×22×（2×3）y＝25×311，
所以32x×22×2y×3y＝25×311，
所以22＋y×32x＋y＝25×311，
所以2＋y＝5，2x＋y＝11，解得x＝4，y＝3.
11. 解：（1）因为25＋25＝25×2＝26＝2a，
37＋37＋37＝37×3＝38＝3b，
所以a＝6，b＝8，
所以a＋b＝6＋8＝14，
故答案为14.
（2）因为2m×3n＝（4×27）7＝（22×33）7＝22×7×33×7＝214×321，
所以m＝14，n＝21.
（3）因为2p＝m，mq＝n，nr＝32，
所以（2p）q＝n，[（2p）q]r＝32，
所以2pqr＝25，
所以pqr＝5.(共20张PPT)
第一章 整式的乘除
2 整式的乘法
第1课时 单项式与单项式的乘法
A. 基础夯实
1. 计算2a2·ab的结果为（ D ）.
A. 4a2b B. 4a3b C. 2a2b D. 2a3b
2. 如果单项式－3x4a－by2与 x3ya＋b是同类项，那么这两个单项式的积是
（ A ）.
A. －x6y4 B. x6y4 C. －3x3y2
D
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3. （2025·福田外国语学校期中）若定义 表示2xyz， 表示－3abcd，
则运算 × 的结果为（ A ）.
A. －12m3n4 B. －6m4n3
C. 12m4n3 D. 12m3n4
4. 计算：3b2× b3＝ .
5. 化简：3x3y2·（－2x2）＝ .
A
5b5
－6x5y2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
6. 已知－2x3m＋1y与7 的积与x4y是同类项，则m2＋n的值
为 .
解析：因为－2x3m＋1y与7 y－3－m的积与x4y是同类项，
所以x3m＋1＋n－6y1－3－m＝x4y，
所以3m＋n－5＝4，－2－m＝1，解得m＝－3，n＝18，
所以m2＋n＝9＋18＝27.
27
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
7. 计算：（1）（－3xy4）· ；
解：原式＝ （xy4·x2）
＝2x3y4.
（2） ·（－3xy2）2.
解：原式＝ ·（9x2y4）
＝－ x8y7.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
8. 计算：（1）（－x）3·（3xy2）2；
解：（－x）3·（3xy2）2
＝（－1）3x3·32x2y4
＝－x3·9x2y4
＝－9x5y4.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
8. 计算：
（2）2（x3）2·x2－（3x4）2＋5x·x7.
解：2（x3）2·x2－（3x4）2＋5x·x7
＝2·x6·x2－9x8＋5x8
＝2x8－9x8＋5x8
＝（2－9＋5）x8
＝－2x8.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
9. 计算：（1）4xy3·（2x）2；
解：原式＝4xy3×4x2＝16x3y3.
（2）a4·3a2＋（－2a2）3＋5a6.
解：原式＝3a6－8a6＋5a6＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
10. 计算：（1）（－ab2）3＋ab2·（ab）2·（－2b）2；
解：原式＝－a3b6＋ab2·a2b2·4b2
＝－a3b6＋4a3b6
＝3a3b6.
（2）（－6x2）2＋（－3x）3·x.
解：原式＝36x4＋（－27x3）·x
＝36x4－27x4
＝9x4.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
B. 能力提升
11. 计算：（1）（3a3）2－（－a8）÷a2＋2a2·a4；
解：（3a3）2－（－a8）÷a2＋2a2·a4
＝9a6－（－a6）＋2a6
＝9a6＋a6＋2a6
＝12a6.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
11. 计算：（2）（－2ab）3－（－ab3）·（3a）2.
解：（－2ab）3－（－ab3）·（3a）2
＝－8a3b3－（－ab3）·9a2
＝－8a3b3－（－9a3b3）
＝－8a3b3＋9a3b3
＝a3b3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
12. 如图，若每个小长方形的长为x，宽为y.
（1）求阴影部分的面积；
解：阴影部分的面积是
4x·4y－ x·4y－ ×3x·3y－ ×3x·3y
＝16xy－2xy－ xy－ xy
＝5xy.
（2）当x＝4，y＝2时，阴影部分的面积是多少？
解：当x＝4，y＝2时，阴影部分的面积＝5×4×2＝40.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
C. 拓展思维
13. 一套住房的部分结构如图所示（单位：m），这套房子的主人打算将卧
室铺设500元/m2的地板，客厅铺设100元/m2的地砖，浴室和厨房铺设80元/m2
的地砖，求购买所需地板和地砖共花费多少元.
解：因为浴室的面积为x（4y－y－2y）＝xy（m2），
厨房的面积为y（4x－2x）＝2xy（m2），客厅的面积
为2y·4x＝8xy（m2），卧室的面积为2x·（4y－2y）
＝4xy（m2），所以购买所需地板和地砖共花费
500×4xy＋100×8xy＋80（xy＋2xy）＝
2 000xy＋800xy＋240xy＝3 040xy（元）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
参考答案
1. D 2.A 3.A 4.5b5 5.－6x5y2
6.27 解析：因为－2x3m＋1y与7 y－3－m的积与x4y是同类项，
所以x3m＋1＋n－6y1－3－m＝x4y，
所以3m＋n－5＝4，－2－m＝1，解得m＝－3，n＝18，
所以m2＋n＝9＋18＝27.
7. 解：（1）原式＝ （xy4·x2）
＝2x3y4.
（2）原式＝ ·（9x2y4）
＝－ x8y7.
8. 解：（1）（－x）3·（3xy2）2
＝（－1）3x3·32x2y4
＝－x3·9x2y4
＝－9x5y4.
（2）2（x3）2·x2－（3x4）2＋5x·x7
＝2·x6·x2－9x8＋5x8
＝2x8－9x8＋5x8
＝（2－9＋5）x8
＝－2x8.
9. 解：（1）原式＝4xy3×4x2＝16x3y3.
（2）原式＝3a6－8a6＋5a6＝0.
10. 解：（1）原式＝－a3b6＋ab2·a2b2·4b2
＝－a3b6＋4a3b6
＝3a3b6.
（2）原式＝36x4＋（－27x3）·x
＝36x4－27x4
＝9x4.
11. 解：（1）（3a3）2－（－a8）÷a2＋2a2·a4
＝9a6－（－a6）＋2a6
＝9a6＋a6＋2a6
＝12a6.
（2）（－2ab）3－（－ab3）·（3a）2
＝－8a3b3－（－ab3）·9a2
＝－8a3b3－（－9a3b3）
＝－8a3b3＋9a3b3
＝a3b3.
12. 解：（1）阴影部分的面积是
4x·4y－ x·4y－ ×3x·3y－ ×3x·3y
＝16xy－2xy－ xy－ xy
＝5xy.
（2）当x＝4，y＝2时，阴影部分的面积＝5×4×2＝40.
13. 解：因为浴室的面积为x（4y－y－2y）＝xy（m2），厨房的面积为y
（4x－2x）＝2xy（m2），客厅的面积为2y·4x＝8xy（m2），卧室的面积
为2x·（4y－2y）＝4xy（m2），
所以购买所需地板和地砖共花费500×4xy＋100×8xy＋80（xy＋2xy）
＝2 000xy＋800xy＋240xy＝3 040xy（元）.
