第五章二次函数单元复习拔尖卷（含答案）苏科版2025—2026学年九年级下册

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第五章二次函数单元复习拔尖卷苏科版2025—2026学年九年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．二次函数的图象的顶点在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
2．将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
3．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．最大值为4 B．最小值为4 C．最大值为6 D．最小值为6
4．函数，下列结论中正确的是（ ）
A．若，函数图象过点
B．若，函数图象与轴没有交点
C．若，则当时，随的增大而减小
D．若，则当时，随的增大而增大
5．如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知二次函数的图象经过点．如果，那么的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
7．已知二次函数（a≠0）的图象如图所示，给出下列四个结论：①；②方程的两根是；③；④函数的最大值是．其中正确的是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
8．已知抛物线（a，b都是常数，且）经过点，且对于符合，的任意实数，，其对应的函数值，始终满足，则抛物线顶点的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．若关于的二次函数的图象与坐标轴有两个交点，则实数的值是________．
10．已知二次函数的、部分对应值如下表，则该二次函数图象的对称轴为直线_____．
11．在等腰直角三角形中，，点在抛物线上，点在轴上，两点的横坐标分别为1和的值为__________．
12．已知二次函数：．
（1）若该二次函数的图象开口向下，当时，的最小值是，则a的值为______；
（2）若对于该抛物线上的两点，当时，均满足，则的取值范围是___________．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．已知抛物线与x轴的一个交点为点，与y轴的交点为点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求y的最值．
14．已知，二次函数．
(1)若该图象过点，求函数的顶点坐标；
(2)当时，y的最大值与最小值的和是4，求a的值．
15．受疫情的影响，果园里成熟的柑橘出现了滞销现象，小红和爷爷打算将柑橘（数量充足）运到城里零售，经过一段时间的调查发现，当售价为4元/千克时，每天可卖出500千克，且售价每涨1元/千克，则少卖出25千克，为了能将柑橘卖出去，又要让顾客获得实惠
(1)小红和她的爷爷希望第一天能卖出3500元的柑橘，请问售价应该定为多少？
(2)售价定为多少时可使每天的销售额最大，最大是多少？
16．已知二次函数（是常数且）．
（1）若，该函数图象的顶点坐标为_____．
（2）若函数图象经过原点，当时，函数的最大值恰好是，则的值为_____．
17．已知二次函数（其中、为常数）．
(1)若，判断二次函数的图象与轴公共点的个数，并说明理由；
(2)若点，都在二次函数的图象上，试比较、的大小．
(3)若该函数图象经过点和，若点在轴上，过作轴的垂线，交直线于点，以为斜边作等腰直角．当点落在抛物线上时，求此时的横坐标．
18．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点是该抛物线上一动点，求面积的最大值；
(3)若函数的最大值与最小值的差为，求出的值；
(4)若点是坐标平面内一动点，请直接写出的最小值及此时点的坐标．
参考答案
一、选择题
1．D
2．C
3．C
4．D
5．B
6．C
7．C
8．B
二、填空题
9．
10．
11．2
12．
三、解答题
13．【详解】（1）解：与x轴的一个交点为点，与y轴的交点为点
，
解得，
；
（2）解：，，
当时，y取最小值为．
14．【详解】（1）解：点代入中得，解得
∴
故函数的顶点坐标为：；
（2）解：∵函数对称轴为直线，，，
∴当时，最大值为；
当时，最小值为；
∵y的最大值与最小值的和是4
∴ ，
解得.
15．【详解】（1）解：设售价定为x元/千克，则销量为千克，
根据题意得：，
解得，
因为要让顾客获得实惠，选择较低售价．
所以售价应定为10元/千克；
（2）设每天的销售额为y元，售价为x元/千克．
根据题意得：，
该函数开口向下，对称轴为，
当时， ，
答：售价定为12元/千克时，每天销售额最大，最大值为3600 元．
16．【详解】（1）解：将代入中，
得，
∴该函数图象的顶点坐标为；
（2）解：由题意得，
将点代入中，
得，
解得，
∵，
∴，
∴该函数解析式为．
当时，，
当时，．
①当时，最大值为12，
∴，解得；
②当时，最大值为，
∴，解得或（舍去）．
综上所述，的值为3或8．
17．【详解】（1）解：∵，
∴，
∴二次函数的图象与轴有个公共点；
（2）∵的对称轴为，
∴，，
∵开口向上，越靠近对称轴的函数值越小，
又∵，
∴；
（3）将点和代入，
得，
解得，，
∴，
∵设直线的解析式为：，
将点和代入，得：，
解得，，
∴，
∵设，轴，点在直线上，
∴，
∴的中点为，
∵为斜边，根据等腰直角三角形的性质，点在直线上，点到的距离，
①当时，，点到的距离，
当在的左侧，，当在的右侧，
∴或，
∵点在抛物线上，
∴当时，，
解得(舍)或；
当时，，
当时，
解得或(舍)；
当时，，
②当时，，点到的距离，
当在的左侧，，当在的右侧，
∴或，
∵点在抛物线上，
∴或，
当时，，
解得(舍)或(舍)；
当时，
解得(舍)或(舍)；
综上所述：点横坐标为或．
18．【详解】（1）解：将点，代入，得，
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：如图，过点作轴的平行线，交于点，
设直线的函数表达式为，
将，代入，得，
，
解得，
∴直线的函数表达式为，
∵点是该抛物线上一动点，
∴点的坐标为，
∵轴，
∴，
∴点的坐标为，
∵，
∴点在下方，
∴，
，
，
，
，
，
∵，
∴当时，取得最大值；
（3）解：在抛物线中，图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
①当区间在对称轴左侧，即时，
∵，
∴，
在上，随的增大而减小，
∴当时，取得最大值，
当时，取得最小值，
∴，
解得；
②当区间在对称轴右侧，即时，
∴
在上，随的增大而增大，
∴当时，取得最小值，
当时，取得最大值，
∴，
解得；
③当区间包含对称轴，即时，
∴，
此时二次函数在顶点处取得最小值，即的最小值为，
∵抛物线开口向上，
∴离对称轴越远，函数值越大，
当时，
∵，
∴在处，取得最大值，
∴，
化简，得，
解得，两根均不在的范围内，故舍去；
当时，
同理，在处，取得最大值，
∴，
化简，得，
解得，两根均不在的范围内，故舍去；
综上所述，或．
（4）解：∵，
∴，，
两式相加得，即，
∴点在直线上，
如图，作直线，交轴于点，交轴于点，作点关于直线的对称点，连接、、，
将代入，得，
∴点的坐标为，
将代入，得，
∴点的坐标为，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
将代入，得，
，
解得，，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∴，，
∵点与点关于对称，
∴，，，
∴，即，
∴点的坐标为，
∵，
又∵，
∴当、、三点共线时，取得最小值，即，
在直角中，，
∴的最小值为，
设直线的函数表达式为，
将点，代入，得，
，
解得，
∴直线的函数表达式为，
联立直线与直线，得，
，
解得，
∴点的坐标为；
综上所述，的最小值为，此时点的坐标为．
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