第五章二次函数单元复习培优卷苏科版2025—2026学年九年级下册

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第五章二次函数单元复习培优卷苏科版2025—2026学年九年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．二次函数的最小值为（ ）
A．2 B．0 C． D． 9
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．函数和函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A．B．C． D．
4．已知抛物线，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小
5．二次函数的对称轴为，点、在此函数的图象上，则有（ ）
A． B． C． D．以上均有可能
6．已知点、均在二次函数的图象上，、、、 均为常数，则p、q的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
7．若是抛物线与轴交点的横坐标，则代数式的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．定义平面内任意两点，之间的距离，称为之间的曼哈顿距离．若点在直线上，点为抛物线上一点，则之间的曼哈顿距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．已知二次函数与x轴交于点和，则二次函数的顶点坐标为_____．
10．若二次函数的x与y的部分对应值如下表：则当时，y的值为____．
x
y 3 5 3
11．如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点，过点作轴，点在抛物线上，则________．
12．已知函数的图象和函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是___________．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线，与y轴的交点为，与x轴的一个交点为．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求该图象与x轴的另一个交点坐标；
(3)观察图象，当时，直接写出y的取值范围．
14．如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A点的坐标为，点C的坐标为，对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；
(3)设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值．
15．有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃，设花圃的一边为x米，面积为y平方米．
(1)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)求矩形花圃的最大面积．
16．已知抛物线经过点，且当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．设是抛物线与轴一个交点的横坐标．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求代数式的值．
17．在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图像经过、两点（如图）．
(1)求该二次函数的函数表达式；
(2)若点是在直线上方抛物线上的一个动点，求点到直线的距离的最大值及此时点的坐标；
(3)若二次函数，当时，函数的最大值与最小值之差等于，请直接写出的值．
18．在平面直角坐标系中，对“横纵中点值”给出如下定义：点是函数图像上任意一点，横坐标与纵坐标的和的一半称为点的“横纵中点值”．函数图像上所有点的“横纵中点值”中的最大值称为函数的“完美横纵中点值”，最小值称为函数的“缺陷横纵中点值”．例如：点在函数的图像上，点的“横纵中点值”为，函数图像上所有点的“横纵中点值”可以表示为，当时，最大值为，最小值为，所以函数的“完美横纵中点值”为，“缺陷横纵中点值”为．
(1)点的“横纵中点值”为 ．
(2)已知二次函数，当时，求它的“完美横纵中点值”和“缺陷横纵中点值”．
(3)若二次函数的图像顶点在“横纵中点值”为的函数图像上．
①二次函数的“完美横纵中点值”为，求该二次函数的表达式．
②当时，设二次函数的“完美横纵中点值”为，“缺陷横纵中点值”为，且，求的值．
参考答案
一、选择题
1．D
2．A
3．C
4．B
5．A
6．A
7．B
8．C
二、填空题
9．
10．
11．1
12．
三、解答题
13．【详解】（1）解：根据题意，设该二次函数的表达式为．
把，分别代入解析式，得 ，
解得，
该二次函数的表达式为．
（2）解：设该图象与x轴的另一个交点坐标为，
根据题意，得，
解得．
（3）解：∵，
∴抛物线开口向下，当时，函数有最大值，
且抛物线上的点与对称轴的距离越大，函数值越小，
∵，
∴在这个范围内，
∴二次函数的最大值为４,
∵，
∴当时，取得最小值，且最小值为，
故的取值范围为．
14．【详解】（1）解：抛物线与x轴的交点，对称轴为直线，
抛物线与x轴的交点B的坐标为，
设抛物线解析式为，
将点代入，得：，
解得，
则抛物线解析式为；
（2）解：根据题意，设点P的坐标为，则点P到的距离为．
，
即，
解得．
当时，点P的坐标为；
当时，点P的坐标为．
点P的坐标为或．
（3）解：设的解析式为，将点A的坐标代入得：，解得，
直线的解析式为．
设点D的坐标为，则点Q的坐标为．
，
当时，有最大值，的最大值为．
15．【详解】（1）解：由题意得，，
∴，
∵，
解得，
∴；
（2）解：，
∴当时，y随x的增大而减小．
又∵，
∴当时，y最大，
∴矩形花圃的最大面积为平方米．
16．【详解】（1）解：抛物线经过点，
，即，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
抛物线对称轴为直线，
∴，
，
该抛物线的解析式为；
（2）解：是抛物线与轴一个交点的横坐标，
，
∴，
，
方程两边除以得，即，
，
，
．
17．【详解】（1）解：∵的图像与轴交于点，与轴交于点，
∴当时，，即：；
当时，，即：，
∵二次函数的图像经过、两点，
∴，
解得：，即：；
（2）解：点是在直线上方的抛物线上的动点，不动，
当点到直线的距离最大值时，最大，
过点作于点交于点，
设，
∴，
∴
∵，
∴开口向下，，
∴当时，最大，点到直线的距离的最大值，此时，
∵；设点到直线的距离，
∴，解得：，
即：点到直线的距离的最大值为：，此时；
（3）解：∵，
∴对称轴，
①当时，即：，
当时，函数值最小：；
当时，函数值最大：；
∵函数的最大值与最小值之差等于，
∴，
解得：；
②当时，即：，
当时，函数值最大：，
当，函数值最小时：；
∵函数的最大值与最小值之差等于，
∴解得：（舍），（舍），
当时，函数值最大：，
当，函数值最小时：；
∵函数的最大值与最小值之差等于，
∴，解得：（舍）；
③时；
当时，函数值最大：；
当时，函数值最小：；
∵函数的最大值与最小值之差等于，
∴，
解得：，
综上：或．
18．【详解】（1）解：∵，
∴点的 “横纵中点值”为，
故答案为：；
（2）解：设二次函数上任意一点的“横纵中点值”为，则
，
这是一个开口向下的二次函数，对称轴为，
当时，取得最大值，
当时，，
当时，，
∵，
∴的最小值为，
∴该函数的“完美横纵中点值”是，“缺陷横纵中点值”是；
（3）解：①∵，
∴该函数的顶点坐标为，
∵二次函数的图像顶点在“横纵中点值”为的函数图像上，
∴，
∴，
设该函数的“横纵中点值”为，则
，
∵，
∴，
则函数的图像开口向下，其最大值为
∵二次函数的“完美横纵中点值”为，
∴，
解得：，
经检验，是方程的解且符合题意，
∴，
∴该二次函数的表达式为；
②设二次函数的“横纵中点值”为，则
，
由①知：，
∴，
∴该函数的图像开口向下，对称轴为，
∵该函数自变量范围为，且，
又∵，
当即时，函数在处取得最大值，在处取得最小值，
∴，，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）；
当即时，函数在处取得最大值，在处取得最小值，
∴，，
∴，
解得：，（不符合题意，舍去）；
当即时，函数在处取得最大值，在处取得最小值，
∴，，
∴，
解得：，（不符合题意，舍去）；
当即时，函数在处取得最大值，在处取得最小值，
∴，，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）；
综上所述，的值为或．
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