第五章二次函数单元复习调研卷苏科版2025—2026学年九年级下册

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第五章二次函数单元复习调研卷苏科版2025—2026学年九年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．对称轴是的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
2．二次函数的图象经过．则当时，y的值为（　　）
A． B． C． D．
3．把抛物线向上平移2个单位，再向左平移3个单位，得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
4．对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向下 B．对称轴是直线
C．与x轴的交点是和 D．当时，y随x的增大而增大
5．如图，一段抛物线，记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；……如此进行下去，若是其中某段抛物线上一点，则为（ ）
A． B． C． D．
6．若抛物线与x轴的一个交点坐标为，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．二次函数的图象如图所示，下列结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的结论个数是（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．已知二次函数，当时，二次函数的最小值为，则实数a的值为（　　）
A．5或1 B．5或 C．或1 D．或
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．若点，都在二次函数图象上，则_________（填“>”，“<”，或“=”）．
10．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集为______．
11．已知，两点都在抛物线上，那么_________．
12．已知二次函数与x轴没有交点，则a的取值范围是___________．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，抛物线交x轴于点，，交y轴于点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，请直接写出此时点P的坐标．
14．某服装店某种服装平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了迎接节日，商店决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件服装每降价2元，商店平均每天可多售出4件．设每件服装降价x元．据此规律，请回答：
(1)每件服装降价多少元时，商店日盈利可达到1200元？
(2)如何降价，商店可获得最大利润？最大利润是多少？
15．二次函数的图象经过点，点．
(1)若，求抛物线的顶点坐标；
(2)若存在实数，使得，且，求的取值范围；
(3)当时，随着增大，先减小再增大，的最大值与的最小值的和为，求的值．
16．在平面直角坐标系中，已知点是抛物线图象上的一点，抛物线对称轴为直线．
(1)求抛物线解析式；
(2)将抛物线向上平移k个单位，当时，直接写出该二次函数y的取值范围；
(3)若抛物线与直线有两个交点，求k的取值范围．
17．在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数：图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到一个新的点．他们把这个点定义为点A的“和点”．他们发现：二次函数所有和点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“和抛物线”．例如，二次函数的“和抛物线”就是，请按照定义完成：
(1)点的“和”点是______；
(2)如果抛物线经过点，求该抛物线的“和抛物线”；
(3)已知抛物线图象上的点的“和点”是，若该抛物线的顶点坐标为，该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为．当时，求n的取值范围．
18．如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，顶点是点．
(1)求抛物线对应的函数表达式
(2)点是抛物线上的点，当时，请直接写出满足条件的点坐标；
(3)将抛物线向左平移1个单位，向下平移3个单位得到一条新抛物线，它的顶点为．直线过点，且与抛物线交于点、．轴于点、轴于点，求证：．
参考答案
一、选择题
1．A
2．C
3．C
4．B
5．B
6．C
7．B
8．D
二、填空题
9．<
10．或
11．
12．
三、解答题
13．【详解】（1）解：将点A、C坐标代入得，
解得，
抛物线的解析式为：；
（2）解：∵，
∴对称轴为直线，
如图，连接与对称轴的交点即为P，连接，，
此时的周长最小，点P即为所求，
当时，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得，
解得：，
∴直线的解析式为
当时，
∴．
14．【详解】（1）解：设每件服装降价x元，
∵每件服装每降价2元，商店平均每天可多售出4件，
∴每件服装降价x元，商店平均每天可多售出件，
由题意得，，
方程化简为，，
即，
解得，，，
答：每件服装降价10元或20元时，商店日盈利可达到1200元．
（2）解：设每件服装降价x元时，商店日盈利y元，
则商店平均每天可多售出件，
由题意得，，
化简为，，
即，
∵，
∴二次函数开口向下，
∴当时，y有最大值为1250，
答：每件服装降价15元时，商店可获得最大利润，最大利润是1250元．
15．【详解】（1）解：若，则，
顶点坐标；
（2）解：把代入得，，
把代入得，，
，
，
，
，
；
（3）解：对称轴为，
当时，随着的值增大，的值先减小再增大，
点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，
当时，的最小值是，
若，即的最大值是，
．
解得，（舍去），
若，即的最大值是，
，
解得，（舍去），
综上，的值是或．
16．【详解】（1）解：抛物线过点，对称轴为直线，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：抛物线向上平移k个单位后解析式为，
∵，
∴抛物线开口向下．
∵抛物线的对称轴为直线，并且在范围内，
∴在时取最大值，最大值为．
∵抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴距离越远，函数值越小，，
∴在时取最小值，最小值为．
∴当时，直接写出该二次函数y的取值范围为；
（3）解：设，整理得，
∵抛物线与直线有两个交点，
∴由根的判别式得，
即，
∴，
当时，，
当时，．
∴k的取值范围为或．
17．【详解】（1）解：根据题意可知，点的“和”点是，
∴点的“和”点的纵坐标为，即．
故答案为：．
（2）将点代入抛物线得：，
解得：，
即抛物线的解析式为，
∴抛物线的“和抛物线”为，
即．
（3）根据题意可知，点是点的“和”点，
∴，解得：，即，
将点代入抛物线得：，则，
∴抛物线为，
∴抛物线的“和抛物线”为：，
即
∵其顶点坐标为，
∴，
将n看作c的函数，
∵，
时，n有最大值，且最大值为1，
当时，，n有最小值，且最小值为，
∴n的取值范围是.
18．【详解】（1）解：将，两点代入得：
，
解得，
因此，抛物线对应的函数表达式为；
（2）解：由（1）知抛物线表达式为，
当时，，
则，
作的中垂线交轴于点E，连接，则，
，
，
、，
、，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得，
，
设直线的解析式为，
将代入得：，
解得，
直线的解析式为，
过点A作，交轴于点，交抛物线于点，则，
设直线的解析式为，
将代入得：，
解得，
直线的解析式为，
联立，
解得或，
；
将代入得：，
，
作点关于轴的对称点，连接，
、，
设直线的表达式为，
将和代入得：
，
解得，
直线的表达式为，
联立，
解得或，
，
综上所述，点P的坐标为或；
（3）证明：由（1）知抛物线，
平移后新的抛物线解析式为，
顶点，即，
设过点的直线的解析式为，
联立，
整理得，
设交点、，
由韦达定理得、，
，
轴于点、轴于点，且、，
、，
，
．
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