安徽省江南十校2026届高三3月联考数学试卷（含解析）

2026 届高三综合素质检测 数 学
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将答题卡交回。
一、选择题: 本大题共8小题, 每小题5分, 共计40分. 每小题给出的四个选项中, 只有 一个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 设集合 ,则
A. B. C. D.
2. 复数 的共轭复数是
A. B. C. D.
3. 数据35, 54, 46, 36, 73, 85, 60, 89的第75百分位数为
A. 79 B. 54 C. 50 D. 41
4. 2025年10月，某国产汽车完成一场百年汽车工业史上的创举——横渡长江， 以硬核技术惊艳亮相，彰显中国汽车品牌创新实力. 如图，此段长江的两岸近似看作平行，宽度约为1000米. 若汽车从 地出发，以 的静水速度向对岸航行，水流速度为5km/h，要使航程最短，大约需要多长时间 (单位:min)
A. B. C. 6 D. 12
5. 已知双曲线 ，在双曲线 左支上任取两个不同的点 ， ,都有 ,则双曲线 的离心率 的最大值为
A. B. 3 C. D. 2
6. 若 为正实数，且有 ，则下列大小关系中一定不成立的是
A. B. C. D.
7. A4 纸是生活中最常用规格的纸. A 系列纸张命名规则:①一张 Ai 型号纸张沿着两条长边中点连线裁剪分开后得到两张 型号纸张,比如,一张 纸对裁后可以得到两张 Al 纸，一张 Al 纸对裁后可以得到两张 A2 纸；②一张 A0 型号的纸张面积是 1 平方米, A10 纸是 ISO 国际标准中最小的纸张规格；③所有 Ai 型号的纸的长宽比相等. 现从 到 ，每种型号的纸各取一张，则所有纸张的周长之和为(单位:米)
A. B.
C. D.
8. 如图,抛物线 的方程为 ,焦点是 ,圆心在 轴上的圆 与抛物线 在第四象限有且只有一个公共点 ,且它们在点 处的切线是同一条直线. 若点 的横坐标为 ,则实数 的值为
A. 18 B. 12
C. 9 D. 6
二、选择题: 本题共3小题, 每小题6分, 共18分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求. 全部选对的得6分, 部分选对的得部分分, 有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是
A. 若成对样本数据 都落在一条直线上,则变量 和变量 的样本相关系数 满足
B. 若 ,则事件 相互独立与 互斥不能同时成立
C. 用独立性检验推断两个分类变量之间的关联性,如果把 的列联表中所有的数据都扩大为原来的 10 倍, 在相同的检验标准下, 结论不受任何影响
D. 数据 的平均数和方差分别为 和 ,数据 的平均数和方差分别为 和 ,且所有数据混合后总的平均数和方差分别为 和 ,若 ,则必有
10. 如图，已知正方体 的棱长为 2， 和 相交于点 ， 为 的中点,正方体其余各面的中心分别为 ,下面结论中正确的是
A.
B. 与 所成角的正弦值为
C. 点 到平面 的距离为
D. 多面体 的内切球半径为
11. 已知函数 ,则
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于点 中心对称
C. 在区间 上单调递增
D. 的零点构成的集合是
三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 已知 ,向量 在向量 上的投影向量为 ,则 与 夹角的余弦值为_____.
13. 已知 分别为 三个内角 的对边,且 ，则 _____.
14. 有一个摸奖游戏，在一个不透明的口袋中装有大小相同的3个红球和5个白球，红球分别标有数字1,2,3，白球分别标有数字1,2,3,4,5，若一次性从袋中摸出三个球，摸到三个球同色或摸到三个球数字之和为3的倍数就中奖，则中奖的概率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题13分)
已知等差数列 的前 项和为 ,且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
16. (本小题15分)
托马斯·贝叶斯 (Thomas Bayes) 在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式: 设 , 是一组两两互斥的事件, ,且 , ,则对任意的事件 ,有
这个公式被称为贝叶斯公式 (贝叶斯定理),其中 称为事件 的全概率. 假设一个车间有3台车床, 它们各自独立工作.
(1)假设这3台车床型号相同，它们发生故障的概率都是0.3，设同时发生故障的车床数为随机变量 ,求 的分布列和数学期望;
(2)假设该车间生产了两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件, 其中有3件次品.现从两箱中等可能地随机挑选一箱, 然后从该箱中随机取一个零件.已知取出的是次品, 求它是从第二箱中取出的概率.
17. (本小题 15 分)
已知梯形 , ,现沿对角线 翻折,如图, 分别为线段 的中点.
(1)证明: ；
(2)当折成直二面角时,求线段 的长度;
(3)当 时，求平面 与平面 夹角的余弦值.
18. (本小题17分)
如果点 在运动过程中,总满足关系式
设点 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)若点 ， ， 为轨迹 上一点(不在坐标轴上)，设点 ， 分别为 的内心和重心,
① 证明: 所在的直线与 轴平行;
② 过 作直线 与轨迹 交于点 ，且 ，求 面积的取值范围. 19. (本小题17分)
函数 .
(1)当 时，求函数 的图象在点 处的切线方程；
(2)若 在 上没有零点，求实数 的取值范围；
(3)当 时，设 ，若 ， 满足 ,证明: .
参考答案与评分细则
一、选择题: 本大题共8 小题, 每小题 5 分, 共计40 分. 每小题给出的四个选项中, 只有一个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B A D C A C A
1. 由并集的定义 ，选 D.
2. 共轭复数为 ,选
3. 第一步,将数据从小到大排列为:35,36,46,54,60,73,85,89
第二步, ,
第三步，取第6个73与第7个85的平均数为79，选A.
4. 设点 是长江对岸一点, 与江岸垂直,当汽车实际沿 方向行驶时,航程最短.
设汽车的速度 ,水流的速度 ,实际速度 .
.
则航行时间为 . 选 D
5. 任取双曲线 左支上两个不同的 都有
.
. 选C.
6.
在同一个坐标系下考察函数 与 的交点
当 时, ;
当 时,
当 时, ,选
7. 设 纸的宽和长分别为 , 则
;
选 C.
8. 解答: 如图,作出抛物线 和圆 在点 处的公共切线 ,同时过 作射线 轴,
则有 ，由抛物线的光学性质， ，
,
且 ,又 ,代入得: , 解得: . 故选 A.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
题号 9 10 11
答案 AB ACD BD
9、A 正确，B 正确，
对于 ,因为 ,当 扩大到原来的 10 倍,则 的值也扩大 10 倍, 则得到的结论会受到影响. C 错误.
对于 D, 反例: 第一组: 1,1,1,第二组: 0,2
D 不正确.
故选 AB
10、对于 ,因为 是等边三角形,且 是 中点,所以 , A 正确. 对于 ,方法一: 建系计算,过程略,
方法二: 对 ,在正方体 右侧补一个等大的正方体 ,作 的中点 ,连 ,易得 为 与 所成的角 (或补角 ), ,由余弦定理得: . B 错.
对于 ,点 是 的中点,所以点 到平面 的距离是点 到平面 的距离的一半,又 平面 ,点 到平面 的距离等于 ,故点 M 到平面 的距离为 正确.
对于 ,易知 EFGHIO 是正八面体,棱长为 ,所以它的内切球的半径 . D 正确.
故选 ACD.
11
A. ,不恒成立, A 错误;
B. 正确;
C.
当 时, 或 或 ,易证 是函数的极值点, 错误;
D. 由 可知, 在 递增,在 递减,在 递增,
在 递减. 而 内无零点. ,故 正确
故选 BD
三、填空题:本大题共3 小题，每小题5 分，共计 15 分.
12. 设 与 的夹角为 ,向量 在向量 上的投影向量为 , .
13. 由正弦定理: ,
,
,
.
14.
方法一: 摸球总的方法数是 种,把符合条件的摸球情况分四类:
第一类: 全红有 种;
第二类: 2 红 1 白, 若红球摸 1+2 号, 白球只能是 3 号 (1 种); 若红球摸 1+3 号, 白球可以是 2 或 5 号 (2 种); 若红球摸 2+3 号, 白球可以是 1 或 4 号 (2 种), 故第二类共 种;
第三类: 1 红 2 白, 若红球摸 1 号, 白球可以是 1+4 号、2+3 号、3+5 号 (3 种), 若红球摸
2 号, 白球可以是 1+3 号、2+5 号、3+4 号 (3 种), 若红球摸 3 号, 白球可以是 1+2 号、1+5 号、2+4 号、4+5 号(4 种)，故第三类共 3+3+4=10 种；
第四类: 全白有 种;
故所求概率为 .
方法二:按照容斥原理计算
(1)三个球同色的方法数:
(2)三个球数字之和为 3 的方法数:分三种情况
第一种: 和为 6 的: 1+2+3 型有 型有 1 种。其中同色有 2 种
第二种: 和为 9 的: 型有 种;
2+3+4 型有 种; 其中同色有 1 种
2+2+5 型有 种; 其中同色有 1 种
第三种: 和为 12 的: 3+4+5 型有 种
所以三个球数字之和为 3 的方法数共 20 种
故共有 种
故所求概率为 .
四、解答题: 本题共5 小题, 共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题 13 分)
解: (1) 数列 为等差数列,设首项为 ,公差为 对 恒成立, 必有 , -2 分
解之得 , -4 分
即数列 的通项公式为 . -5 分
(2) -7 分 , -10 分
-13 分
16. (本小题 15 分)
解: (1) 设 ,由题意知: -2 分
所以 的分布列为
0 1 2 3
0.343 0.441 0.189 0.027
-5 分
(2)设 “任取一个零件为次品”
“零件是从第 箱取出的” ,则 且
有题意知:
-8 分
由全概率公式:
-11 分由贝叶斯公式知:
-15 分
17. (本小题 15 分)
(1)证明:连接 、 ,则 , .
平面
平面
平面
-3 分
(2)方法一:由(1)可知， 为二面角 的平面角，
由题意 平面 ,作 于 ,则 平面 .
平面 . -5 分
中, .
.
. -8 分
方法二: 由(1)可知, 为二面角 的平面角,
由题意
以 所在直线为 轴建系. -5 分
.
-8 分
(3) . 在平面 DOG 内过 作 于
由(1)知平面 平面 面
以 所在直线为 轴建系. 11 分
.
设平面 的法向量为
令 ,则 .
平面 的法向量 所求夹角的余弦值为 . 15 分
18. (本小题 17 分)
解: (1) 由椭圆的定义,点 的轨迹是以 为焦点,长轴 的椭圆-2 分所以点 的轨迹方程为: -4 分
(2)
由 (1) 知, 为椭圆 的焦点,
由题意知 PG 交 轴于点 ,设直线 交 轴于 ,
为 重心
-6
分
方法一、
为 的内心
分别平分
-8 分
,且 不在坐标轴上,
与 轴平行 -10
分
方法二: 由对称性, 不妨设 点
在 轴右侧,由面积知
,
与 轴平行
-10
分
(3)设点 ,则 -11 分
且
则
同理:
为 的内心
又
-13 分
设 ,则
14分
设 ,则直线 ,结合 化简,直线 ,设
则 ,结合 化简,
. -16分
-17
(或者,其中 .)
分
19. (本小题 17 分)
(1)当 时， ， .
-1 分
所以有 ， -2 分所以函数 在 处的切线方程为 ,
即 -3 分
( 2 )由题意， 在 上没有零点，等价于方程 在 上无解,因为 ,
即等价于方程 在 上无解, ,
即等价于方程 在 上无解,
等价于方程 在 上无解,
等价于方程 在 上无解. -5 分
设 ,原题等价于关于 的方程 在 上无解.
设 ,
, -6 分
当 时, ,则 ,
对 恒成立,则 在 上单调递减,
又 ,故满足题意的实数 的取值范围为: .
-8 分
(3)当 时， ， ， 令 得 ,即 ,
又 ,则存在唯一的 使得 且 .
当 时, 在 上单调递减,
当 时, 在 上单调递增,
又 ,
要使 且 ,必有 ,则必有 -10 分
①先证: .
,且 在 上单调递减,要证
只需证 即可,又 ,故只需证 对 恒成立即可,只需证:
而 ,
只需证 ,即只需证 对 恒成立即可,这显然成立,
故有 ; -13 分
②再证: .
必有 ,
又当 时, 在 上单调递减,则有 .
而当 时, ,
令 ,等价于 ,方程有唯一解,记为 ,且 ,
则 在 上单调递减,在 上单调递增,
又 ),
即当 时,必有 ,与题意不符,
所以要使 ,且 ,必有 , -16 分综合①②可得: . -17 分